CC BY
1УДК 624
doi: 10.52470/2619046X_2023_1_47
УТОЧНЁННЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МНОГООПОРНЫХ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
А.Н. Громыко, А.А. Миронов
Аннотация. Изложенный в статье метод отличается точностью и универсальностью, при заданной точности решения существенно меньшими затратами оперативных времени и памяти ЭВМ, меньшими трудозатратами при подготовке и осуществлении решения, возможностями более точного учёта особенностей реальных конструкций в их расчётных схемах, охватом в рамках единого вычислительного процесса практически всего класса задач о статическом напряженно-деформированном состоянии многоопорных неразрезных непризматических балочных конструкций и возможностями развития на более сложные в смысле многосвязности конструкции.
Ключевые слова: напряжённо-деформированное состояние (НДС), многоопорные неразрезные балочные конструкции, многоточечные краевые задачи, метод начальных параметров, непризматические балочные конструкции, стержневые конструкции.
PRECISE METHOD FOR CALCULATING
THE STRESS-STRAIN STATE OF MULTI-SUPPORT
WHOLE BEAM STRUCTURES
A.N. Gromyko, A.A. Mironov
Abstract. The outlined in the article method is distinguished by accuracy and versatility, with a given accuracy of the solution, significantly less operational time and computer memory, less labor costs in preparing and implementing the solution, the ability to more accurately consideration the features of real structures in their design schemes, covering almost everything within the framework of a single computing process. a class of problems on the static stress-strain state of multi-support whole non-prismatic beam structures and the possibility of developing to structures that are more complex in the sense of multiple connectivity.
Keywords: stress-strain state (SSS), multisupport whole beam structures, multipoint boundary value problems, method of initial parameters, non-prismatic beam structures, bar structures.
Расчетными схемами балочных стержневых конструкций описываются многие реальные конструкции в различных отраслях нефте- и газодобычи, машиностроения, строительства, транспорта.
Важным этапом расчетов на прочность таких конструкций является определение их статического напряженно-деформированного состояния (НДС). Для наиболее полного приближения расчетной схемы к реальной конструкции и благодаря этому повышения точности определения НДС их математическое описание должно представляться в виде многоточечных краевых задач.
Обобщённое математическое описание многоточечных краевых задач о статическом напряжённо-деформированном состоянии (НДС) многоопорных неразрезных непризматических балочных конструкций можно представить в следующем виде:
1) разрешающая система дифференциальных уравнений
<1у(х)
ск
2) краевые условия В~у{0) = 0, В~уЦ) = 0;
(1)
(2) (3)
3) промежуточные условия (условия совместности перемещений на промежуточных опорах)
' = и ./ = 12; (4)
где а-, ь - осевая координата и длина балки;
у(х) = {И/(х),¥(х),()(х),М(х)}т - вектор напряженно-деформированного состояния балки в произвольном сечении, включающий в себя прогиб угол поворота поперечного сечения поперечную сил}'
<2(х) и изгибающий момент М(х);
- квадратная матрица жёсткости балки в произвольном сечении 4-го порядка;
Л(х) =
О 1 О ООО
Ы(х) ООО о 0 0-1 о
/(х) - вектор поперечной и моментной внешней нагрузки 4-го порядка:
В0,ВК - прямоугольные матрицы порядка 2x4, устанавливающие известные факторы векторов НДС на левом и правом краях балки: 1-у, 0 у, 0^
В0-
о 1-у1 о 5
1-П
Г» О
о 1-Ш 0 V*
(О, если м>(0) = 0; (0, если у(0) = 0; Г'" [1, если ЩО) ф 0; 72 ~ [Д если V(0)* 0;
[О, если = 0; Г0, если Ь) — 0;
у у —<
\1,еслим(Ь)фО; 4 [/,если \>(Ь)фО.
(У = 1,2) - единичные векторы-строки 4-го порядка, идентифицирующие соответственно прогиб j = 1 и угол поворота сечения ] = 2;
Яу (У=1,2) - реактивные поперечная сила (/= 1) и изгибающий момент
= - поперечная (7 = 1) иугловая (/ = 2) податливости 1-й промежуточной опоры (для идеальной шарнирной опоры дй = <?/2 = 6)-
Для решения аналогичных двухточечных краевых задач, описываемых уравнениями (1)...(3), в настоящее время широко распространен метод начальных параметров в различных своих интерпретациях, чаще всего в виде методов обычной и ортогональной прогонки. Метод отличается логической простотой, удобством программирования, высокими точностью и универсальностью, минимальными затратами памяти и времени ЭВМ. Суть классического метода начальных параметров состоит в следующем. Двухточечная краевая задача (1)...(3) сводится к ряду задач Коши, то есть задач с известными начальными условиями. В качестве начальных условий используются два единичных вектора НДС, соответствующие неизвестным факторам НДС на выбранном в качестве исходного крае балки и являющиеся частными решениями однородной системы дифференциальных уравнений (1), а также нулевой вектор НДС, являющийся частным решением неоднородной системы дифференциальных уравнений (1). С помощью условий переноса, определяемых методом решения задач Коши, осуществляется прямая прогонка векторов-начальных условий от принятого в качестве исходного края балки до противоположного и находятся векторы НДС на нем. На основе полученных векторов НДС строится общее решение на противоположном крае балки, которое удовлетворяет известным краевым условиям (3). Это позволяет построить однозначную неоднородную систему алгебраических уравнений и путем ее решения определить неизвестные факторы НДС на исходном крае балки. По известным факторам НДС на исходном крае балки легко определяются фактические векторы НДС и искомые решения в любом интересующем сечении балки, обычно с помощью обратной прогонки.
Математически изложенную выше процедуру можно выразить следующим образом:
1) общее решение краевой задачи (1).,.(3) представляется в виде:
где >'{(1'(а-} - частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1). обусловленное внешней нагрузкой Г (х);
уд\х) (5=1,2) - частные решения однородного дифференциального уравнения (1), обусловленные краевыми условиями (2), (3);
2,(5 = 1,2) - неизвестные факторы НДС на исходном крае балки;
2) путём удовлетворения (5) исходным краевым условиям (2) определяются векторы-начальные условия уЫ(0)(з=0,1,2):
7>Н0Д0,0}7: у(1){0) = {Г1с",0,1-Ур0[ '
~ (0) = |0, у2 с-°, 0,1 - | ;
где С10, Сх - поперечная и угловая жесткости опоры на исходном крае балки.
3) осуществляется прямая прогонка или перенос векторов-начальных условий в конечное сечение балки х-Ь путём решения задач Кош и на отрезке 0<х<1, с помощью одного из соответствующих методов {например, методов Рунге-Кутта):
ск
где =
1 ,если 5=0; 0, если л ^ 0.
4) в результате решения задач Коши определяются векторы НДС в конечном сечении балки ;р11)(Х){я=0,1,2);
5) по известным векторам ум(Ь) (з=0Л,2) с помощью соотношения (5) строится общее решение в конечном сечении балки:
6) общее решение в конечном сечении балки удовлетворяется второму7 краевому условию (3):
В,уЩ = В,
- 0;
в результате возникает неоднородная система алгеорштчсских уравнении
(6)
7) путем решения системы алгебраических уравнений (6) определяются неизвестные факторы НДС на исходном крас балки 1,(3 = 1,2);
8) по известным значениям факторов НДС на исходном крае балки = 1,2), и векторов-частных решений 5>ы(л*) ($=(Ц2) с помощью соотношешы (5)
определяются общие решения краевой задачи (1)...{3) в любом интересующем сечении балки.
Возможности метода начальных параметров позволяют его применять и для решения многоточечных краевых задач. При этом для раскрытия статической неопределимости многоточечная краевая задача сводится к ряду двухточечных краевых задач для каждого из пролетов балки, краевые условия в сечениях размещения промежуточных опор задаются первоначально приближенно, а затем уточняются путем их последовательного приближения к условиям совместности перемещений на промежуточных опорах. Очевидно, что такое решение проблемы раскрытия статической неопределимости является неявным и неточным, существенно зависит от опыта и квалификации решающего задачу специалиста.
В результате метод начальных параметров теряет практически все свои достоинства: становится приближенным, не универсальным, трудоемким и не оперативным, в принципе неприемлемым для решения целых классов задач о НДС балочных конструкций.
Стремление сохранить достоинства метода начальных параметров при решении многоточечных краевых задач в постановке (1)...(4) побудило автора разработать новый метод, позволяющий в рамках изложенного выше вычислительного процесса естественным образом, без каких-либо дополнительных преобразований, математически точно и в явной форме решать проблему раскрытия статической неопределимости.
Предлагаемый метод базируется на общей идее метода начальных параметров и отличается подходом к учёту в общей вычислительной схеме условий совместности перемещений на промежуточных опорах (4). Суть этого подхода заключается в том, что в процессе прямой прогонки основных векторов-частных решений, характерных для двухточечных краевых задач и соответствующих исходному краевому условию (2), последовательно включаются дополнительные векторы-частные решения, описывающие неизвестные реакции промежуточных опор, в конце прямой прогонки при удовлетворении второму краевому условию (3) общее решение строится с учётом дополнительных частных решений, а возникающая при этом система алгебраических уравнений для обеспечения однозначности дополняется уравнениями, описывающими условия совместности перемещений на промежуточных опорах.
Математическое описание изложенного выше подхода к решению многоточечных краевых задач, приведенных к виду (1)...(4), на основе метода начальных параметров представляет собой следующее:
1) общее решение краевой задачи (1)...(4) представляется в виде:
где у(,))<л) - частное решение неоднородного дифференциального
уравнения (1), соответствующее внешней нагрузке /{■»'); Vм (л-) (л = 1,2) — мастные решения однородного дифференциального у равнения (1), соответствующие краевым условиям (2), (3):
(* = I';} = 1,2) - частные решения однородного
дифференциального уравнения (1), соответствующие условиям
совместности перемещений на опорах (4): %(я = 1,2) - неизвестные факторы НДС на исходном крае балки:
= 1,/;) =1,2) - неизвестные поперечная (_/ = !) имоментная у=2 реакции каждой из ' промежуточных опор балки;
2) путём удовлетворения (7) исходному краевому условию (2) определяются основные векторы-начальные условия:
А0И0Д0,0}Г; ;Д0) = |г,+^-Д1-Г,,<>| ;
3) щтём удовлетворения (7) условиям совместности перемещений на опорах (4) определяются дополнительные векторы-начальные условия:
= ; уГ2Ч*„> = {0,0,0,1}', ¿=и;
4) осуществляется прямая прогонка или перенос векторов начальных условий в конечное ссчснис х = Ь путём решения задач Коши на отрезке 0 <х<Ь\
а) задачи Коши. соответствующие исходному краевому условию (2)
ф^(х)
Ос
Г1 ,если 5 = 0; I О, если 5^1),
б) задачи Коши. соответствующие условиям совместности перемещений на опорах (4)
^Уя: Л(х,) „ л,-. \rrf2WJ) ~
{¡X,
ха<х,<Ц 1 = 1,/; ] =1,2 ;
5) в результате решения задачи Коши определяются векторы НДС в сечениях размещения промежуточных опор
(5 = 0,1,2), (; = 1.2;.*=Щ
и в конечном сечении балки 5%} (5 - 0,1,2), Ш|=V2; I = й):
6) по известным векторам/"(х^)(5 = 0,1,2), О = 1,2;; = 1,/)с помощью соотношения (7) строятся общие решения в сечениях размещения промежуточных опор балки:
5=1 5=1
С помощью соотношения (7) строится общее решение в конечном сечении балки:
8) общие решения в ссчсннях размещения промежуточных опор балки удовлетворяются условиям совместности перемещений на опорах (4):
В результате возникает неоднородная система 21 алгебраических уравнений относительно 2/+2 неизвестных
9) общее решение в конечном сечении балки удовлетворяется второму
в результате возникает неоднородная система 2-х алгебраических уравнений относительно 2? +2 неизвестных;
10) формируется общая система алгебраических уравнений (8), (9) и путём ее решения определяются неизвестные факторы НДС на исходном крае балки Zs,(s = 1,2) и реакции промежуточных опор (у = 1,2;г = 1,г);
11) по известным значениям факторов НДС на исходном крае балки = 1,2), реакций промежуточных опор =1,2; г = 1, г), и векторов-частных
решений (*)($=0,1,2), у»(*) (./ = 1>2; * = 1, <) с помощью соотношения (7)
определяются общие решения многоточечной краевой задачи (1),..(4) в любом интересующем сечении балки.
Изложенный вычислительный процесс представляет собой новый метод для решения многоточечных краевых задач о статическом напряженно-деформированном состоянии многоопорных неразрезных непризматических балочных конструкций, отличающийся обобщением известного вычислительного процесса метода начальных параметров, применяемого при решении двухточечных краевых задач, на многоточечные краевые задачи за счет дополнения его естественным образом вписывающимся, математически точным и явным вычислительным процессом определения реакций промежуточных опор и соответствующей математической доработки.
По сравнению со всеми известными методами решения многоточечных краевых задач вида (1)...(4) данный метод отличается большей точностью и универсальностью, при заданной точности решения существенно меньшими затратами оперативных времени и памяти ЭВМ, меньшими трудозатратами при подготовке и осуществлении решения, возможностями более точного учёта особенностей реальных конструкций в их расчётных схемах, охватом в рамках единого вычислительного процесса практически всего класса задач о статическом напряженно-деформированном состоянии многоопорных неразрезных непризматических балочных конструкций и возможностями развития на более сложные в смысле многосвяз-ности конструкции.
Библиографический список
1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М., 1982.
2. Вольмир А.С., КурановБ.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур. Прикладные многоуровневые методы исследований. М., 1989.
3. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л., 1984.
4. Mc. Namara J.F. Solution schemes for problems of nonlinear structural dynamics // J. of Pressure Vessel Technology. Trans.ASME. 1974. № 5.
А.Н. Громыко
кандидат технических наук, доцент
РГУ «Нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина», г. Москва
E-mail: [email protected]
А.А. Миронов
студент
РГУ «<Нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина», г. Москва
