CC BY
53
3/2006
МЕТОДЫ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
П.А. Акимов, А.Б. Золотов, В.И. Ширинский
н
Введение. В настоящей статье кратко описываются методы точного аналитического решения многоточечных краевых задач (МКЗ) строительной механики. Помимо того, что исследования в данном направлении имеют самостоятельное учебно-методическое значение, к многоточечным краевым задачам сводятся и разработанные авторами дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, зданий и сооружений [1-3]. Авторами предлагаются методы аналитического решения МКЗ строительной механики трех типов: для обыкновенного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) произвольного порядка с постоянными коэффициентами [1-3], системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка с постоянными коэффициентами [1-4,7] и системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами [6].
1. Понятие о многоточечной краевой задаче. Под МКЗ понимается задача с «внутренними» граничными условиями, т.е. совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы. МКЗ представляют расчетную схему широкого спектра практических задач строительной механики (конструкции с промежуточными опорными закреплениями, шарнирами, прочими связями (рис. 1а и т.д.)). Частными случаями МКЗ являются двухточечная краевая задача (рис 2.1б, 2.1в) и одноточечная краевая задача, например, задача Коши.
Необходимость решения МКЗ возникает при расчете самых разнообразных конструкций, зданий, сооружений на различные виды воздействий. Это, в частности, балочные системы, тонкостенные и составные стержни, пластины, плиты, оболочки, высотные и протяженные здания, трубопроводы, рельсы, плотины и т.д. К МКЗ в своем промежуточном итоге сводятся предлагаемые в работе дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, а также такие известные методы как метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, метод составных стержней А.Р. Ржаницына расчета зданий, методы прямых, метод Микеладзе-Лан-цоша и т.д.
2. Обзор и некоторые общие проблемы, связанные с решением многоточечных краевых задач строительной механики. Процесс решения МКЗ строительной механики сопряжен с целым рядом принципиальных трудностей, обусловленных, главным образом, их спецификой в виде характерного именно для строительных задач расчета конструкций так называемого явления краевого эффекта (эффекта малого параметра). Более того, для системы дифференциальных уравнений не менее типичными здесь являются: жесткость системы уравнений, наличие собственных значений разных знаков у матрицы коэффициентов, присутствие в жорда-новом разложении матрицы коэффициентов жордановых клеток неединичного порядка, большое количество дифференциальных уравнений в системе,
Рис. 1. Простейшие примеры многоточечных краевых задач: а) - многоточечные задачи; б), в) двухточечная задача; г) примеры воздействий на фрагмент балки, выбор граничных и особых точек
достигающее на практике нескольких тысяч. Перечисленные факторы обуславливают большие сложности, как со стороны численных методов, так и аналитических в смысле корректности вычисления параметров (постоянных) и точности решения в целом. Предлагаемые в диссертации методы решения МКЗ позволяют успешно преодолевать обозначенные проблемы и получать решение в удобной аналитической форме (с использованием аппарата обобщенных функций), реализуемой на ЭВМ. Аналитическое решение упрощает качественный анализ расчетной схемы (НДС) конструкций и является необходимой частью проверки численных методов.
Стоит еще раз отдельно отметить, что построенные методы ориентированы именно на решение задач расчета конструкций. Авторы не претендуют на универсальность их использования для иных приложений. Это невозможно хоты бы с той точки зрения, что в общем случае вплоть до настоящего времени не существует устойчивого численного метода построения жордановой формы. Строительные же задачи имеют специфические, присущие именно им черты. Так, например, в рамках дискретно-
континуального метода конечных элементов [1], количество, характер и размерности жордановых клеток неединичного порядка в жордановом разложении матрицы коэффициентов системы обыкновенных дифференциальных уравнений не меняются при сгущении сетки дискретно-континуальных конечных элементов, они соответствуют нулевым собственным значениям, т.е. «полиномиальной» («балочной») части решения. Иными словами, в математическом плане закрыт очень частный случай, который, впрочем, практически исчерпывает задачи расчета конструкций, зданий и сооружений исследуемого вида.
Вообще, при рассмотрении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в литературе зачастую предлагаются такие традиционные методы их решения как метод начальных параметров, метод прогонки и метод ортогональной прогонки С.Г. Годунова. Остановимся на них подробнее с позиции их сравнения с предлагаемыми подходами. Не приводя далее ссылок на литературные источники, отметим лишь, что подробная библиография по указанным методам содержится, например, в [5].
Метод начальных параметров. Под единым названием «метод начальных параметров» (МНП) понимается группа методов, основанных на прямой замене краевой задачи для одномерного процесса рядом задач Коши, т.е. задач с начальными условиями. МНП используется в строительной механике в виде различных модификаций, предложенных в разное время A.B. Александровым, Н.И. Безуховым, B.3. Власовым, Е.Д. Гохбаумом, Р. Клебшем, О. Коши, А.Н. Крыловым, Н.Н. Леонтьевым, Ш.Е. Микеладзе, П.Ф. Папкови-чем, В.Н. Пастушихиным, Н.П. Пузы-ревским, Н.К. Снитко, B.C. Чувиков-ским и др. Идея метода применительно к линейным задачам весьма проста: заданные граничные условия на одном из краев конструкции дополняются такими начальными параметрами (на этой стадии они неизвестны), чтобы образовавшаяся при этом совокупность начальных условий полностью определила бы НДС конструкции. Неизвестные начальные параметры, заданные на одном краю конструкции, «проходят» в процессе решения задач Коши по всей конструкции и определяются из граничных условий на другом краю. МНП позволяет значительно сократить число вычисляемых констант и этот факт был особенно важен в тот период времени, когда задачи решались вручную, с появлением же ЭВМ существенная актуальность такого преимущества отпала. В работах В.И. Феодосьева, B.C. Чувиковского, О.М. Палия, В.Е. Спиро предлагается использование МНП для решения нелинейных одномерных задач при введении в алгоритм процедуры проб. Подчеркнем, что МНП не всегда обладает удовлетворительной устойчивостью, что не позволяет использовать его для решения целого ряда задач расчета конструкций. Это очень серьезный недостаток метода, обусловленный как раз тем, что в его основе лежит прием замены исходной краевой
задачи совокупностью задач Коши. Дело в том, что, решения отдельных задач Коши с увеличением соответствующей независимой переменной сильно возрастают (из-за наличия в соответствующих выражениях гиперболических функций или экспоненциальных функций с положительными аргументами). Этот факт приводит к тому, что искомые элементы определяются через малую разность близких величин и добиться удовлетворительной точности численных расчетов становится весьма и весьма затруднительным. Теоретически, выйти из сложившегося положения можно было бы путем увеличения числа значащих цифр в мантиссе чисел, однако в этом смысле эффективные возможности широко используемой в настоящее время компьютерной техники и программного обеспечения ограничены, их точность часто оказывается недостаточной. Заметим, однако, что вообще, существуют пакеты (под)программ повышенной точности (extended precision floating point arithmetic), реализуемые в современных компиляторах языков программирования C/C++, Fortran и др. (см., например, библиотеки Mark P. Esplin и др.). Тем не менее, их применение в данном случае не является эффективным как по причине возникающих алгоритмических трудностей, так и в частности в связи увеличивающимся объемом вычислительной работы и соответственно существенно повышающимися временными затратами. Как правило, негативные свойства МНП проявляются тем сильнее, чем слабее влияние краевых условий на одном конце конструкции, на поведение искомых функций в районе другого конца. Так, даже в простейшей задаче о поперечном изгибе балки на упругом основании (модель Винклера) увеличение длины балки или жесткости упругого основания сопровождается ростом погрешности в численных результатах.
Метод прогонки. Впервые идеи метода прогонки (МП) применительно к решению уравнения второго порядка были изложены в работе И.М. Гельфанда и О.В. Локуциевского, которая, однако, долгое время оставалась вне поля зрения специалистов. Практически одновременно другими авторами был предложен еще один численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений -метод парциальных откликов (МПО), который почти сразу получил распространение при решении задач расчета прочности конструкций. Дальнейшие исследования В.Л. Бидермана показали, что МП и МПО достаточно близки, хотя их разработчики и исходили из разных физических предпосылок. Использование МП позволяет частично преодолеть трудности, связанные с явлением типа краевого эффекта, приводящего к появлению быстровозрастающих и убывающих членов, но в общем случае МП неприменим для решения жестких краевых задач, которые и являются объектом рассмотрения в рамках данной диссертационной работы. Для преодоления подобных сложностей используются сочетания МП с итерационными процедурами. Подчеркнем и то, что МП не является аналитическим.
Метод ортогональной прогонки С.Г. Годунова. Метод ортогональной прогонки (МОП) был предложен С.Г. Годуновым. Это достаточно простой и вместе с тем эффективный способ численного интегрирования систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в значительно большей степени, чем МП адаптированный для решения граничных задач с характерными краевыми эффектами. Особенностью метода является операция ортогонализации, которая и препятствует появлению быстро возрастающих и быстро убывающих частных решений в общей формуле метода. Использование МОП позволяет на всем протяжении рассматриваемого интервала изменения независимой переменной сохранить линейную независимость соответствующих частных решений и избежать чрезмерного роста их числовых значений. Тем не менее, заметим, что и МОП не является аналитическим и в общем случае неэффективен для решения жестких систем, прежде всего, по причине существенного возрастания объема вычислений (однако, его можно рекомендовать для решения систем с переменными коэффициентами). По этим параметрам и в целом он качественно уступает представляемым в данной статье методам.
3. Метод аналитического решения многоточечной краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами. Традиционная постановка МКЗ для ОЛДУ произвольного порядка:
Ьу - Ёару(р)(х) = ВД, X е у (хЬ,хЬ+1);
(1)
р=0
ВГ у(хг° -0) + ВГ у(хг° + 0) = 1Г, г = 1, ..., пг , (2)
где Ь- оператор с постоянными коэффициентами ар, р = 0, ..., п; Г(х) - правая часть; у(х) = [у(0)(х) у(1)(х) ... у(п-1)(х)]т - искомый
п-мерный вектор, содержащий значения функции-решения задачи и ее производных до (п-1)-го порядка в точке х; х^, г = 1, ..., пг - координаты граничных точек;
В-, В+ , ёг - матрицы и вектор правых частей граничных условий в точке х^ .
Процесс решения задач (1)-(2) в строительной механике всегда сопряжен с целым рядом специфических трудностей, возникающих из-за наличия характерного явления краевого эффекта (эффекта малого параметра), приводящего к большим сложностям, как со стороны численных методов, так и аналитических в
П.А. Акимов, А.Б. Золотое, В.И. Ширинский 3/2006 ВЕСТНИК МГСУ
смысле корректности вычисления параметров (постоянных) и точности решения
в целом. Предлагаемый подход позволяет получить решение в удобной аналити-
ческой форме (с использованием обобщенных функций), реализуемой на ЭВМ,
исключающей отмеченные сложности.
Постановка МКЗ (1)-(2) в классе обобщенных функций имеет вид:
nr n LY = F(x) , где F(x) = f(x) + r=l s=l -"(х-х^С; ; хе(-оо,+оо) ; (3)
B;Y(x^-0) + B;Y(x^+0) = gr, r = l,...,nr; (4)
n n-s+1 С) ^Ay™ = Z^Ay™ p=s p=l
n n—s+1 — с;=Х>рду?"> = ¿X+P-^r11; сг=ААУг,г = 1,...,пг . (5)
Cr=[C| Cr2 ... С
y II [Ду° АУ: ... АуГ1]1
Здесь (х) - дельта-функция Дирака; У(х) - искомая обобщенная функция;
А у[5) = у(к) (х^ + 0) - у(к) (х^ - 0) - конечные разрывы в граничных точках.
Общее решение задачи (3)-(5) записывается в виде
nr Y = 8 *f + ^E(x r=1 -х*)Сг , (6)
где s(x) = [в 11 (x) s(1)(x) ... s(nl)(x)]T - вектор-функция, содержащая фундамен-
тальную функцию и производные; E(x - xr) = {8<i+])(x-x;?)}i]=0k пЧ.
Фундаментальная функция оп-
ределяется однозначно в специальной форме, удобной для решения задач расчета
конструкций:
e(x) = (C,Yj7) = £(Ct,Yi7t) , (7) k=l
W= [ VlT V2T ... VnTt ]T X(x,^k)exp(zk), A,k^0; mk = 0
гДе zt =[ 1 Zt z2 ... zm ]T ; ^t = ' (84=[ i xt x2 ... xmk ]t X(x,A.k)exp(zk)zk, A,k^0; mk > 0 . Х(хДк), ^k=0; mk=0 Х(хДк)хк, K=0; mk > 0
C = [ CT CT ... cTt ]T; Ск=[Скл Ck2 ... CkmJT, (9)
A,k, k = l,...,nk - различные корни характеристического уравнения с кратнос-
тями mk; zk=?ikx; Ckj= const ; x(x>k) - характеристическая функция,
X(x k) - Я' ССЛИ X>° И RCak) "° ИЛИ X<° И RCak) >0 • mt = mt -1 (10) [О, если x>0 и Re(^k) >0 или x<0 и Re(A,k) <0
Для определения вектора используется метод базисных вариаций [1].
33
Разработаны удобные алгоритмы дифференцирования и интегрирования фундаментальной функции на основе явных и рекуррентных формул вычисления постоянных коэффициентов в соответствующих выражениях.
8«(Х) = (С8, у) = ^(Ск, 8 е 2
с8+1 = дс8,
(11)
к=1
где W - соответствующая матрица перехода, квадратная п-го порядка.
Определение коэффициентов в (6) из граничных условий (4) производится явным матричным методом или методом базисных вариаций.
4. Метод аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Традиционная постановка имеет вид:
У(1) - Ау = ^ Х е
и (Х
к=1
Ь Ь
В- у(хЬ - 0) + В+ у(хк + 0) = & + 1+, к = 2, ..., Пк -1;
В+ у(хЬ + 0) + в-к у(хЬк - 0) = 1+ +1-
(12)
(13)
(14)
где у = у(х) = [ у1(х) у2(х) ... уп(х) ]т - искомая п-мерная вектор-функция;
{ = ?(х) = [ ^(х) Г2(х) ... ^(х) ]т - п-мерная вектор-функция правых частей;
хк, к = 1, ..., пк - координаты граничных точек; А - матрица коэффициентов п-
го порядка; Вк, В+ и I-, 1+ - заданные матрицы граничных условий п-го порядка и п-мерные векторы правых частей граничных условий.
Характерная для строительных задач жесткость системы, обусловленная явлением краевого эффекта, наличие у матрицы коэффициентов собственных значений разных знаков, присутствие в разложении Жордана клеток неединичного порядка и большой порядок систем дифференциальных уравнений (несколько тысяч) предопределяют значительные трудности при практической реализации как аналитических, так и численных методов. Например, метод начальных параметров чаще всего неприменим к изучаемым задачам, а методы прогонки не являются аналитическими. Предлагаемая методика преодолевает указанные осложняющие факторы, сохраняя аналитический характер решения.
Жорданово разложение матрицы А записывается в виде
А = Т IТ-1 , где I = (11, 12, ..., 1и) ; (15)
т - невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные и корневые (присоединенные) векторы матрицы А; I - матрица Жордана; 1р - жорда-нова клетка, соответствующая собственному значению Xр; Шш1р = тр .
Наличие жордановых клеток неединичного порядка требует вычисления корневых векторов. Эффективные методы получения жорданового разложения в общем случае отсутствуют. Однако в задачах расчета конструкций количество и размерности жордановых клеток неединичного порядка не меняются при сгущении аппроксимирующей сетки, они соответствуют нулевым собственным значениям и для получения решения разработаны специальные подходы.
Авторами предлагается так называемое частичное жорданово разложение, основанное на применении правых и левых собственных векторов матрицы А, представимой в виде:
А = А1 + А2, где А1 = Т111Т1, А2 = А - А1; (16)
Т1 и Т1 - соответственно матрицы, содержащие правые и левые собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям, расположенные
по столбцам и строкам; 11 - диагональная жорданова матрица, отвечающая ненулевым собственным значениям; А2 - часть матрицы А, соответствующая кратным и простым нулевых собственным значениям.
Пусть и - число различных собственных значений. Проведем сортировку
X р = 1,...,и (и преобразование Т1, Т1,11), т.ч. будет выполняться:
УХр, р =1 . ., 1 Зтр =1 1 1 = £ 5 * I1, если 1 = ] (17)
, , , 3 Л , где 1 = ^51,тр ; 5;: = \ . . . (17)
УХр, р = I +1, ..., и Зтр > 1 ] ^ р ' [0, если 1 ф ]
Пусть ?! и Р2 - матрицы проектирования на подпространства левых и правых собственных и корневых векторов для ненулевых и нулевых собственных значений соответственно. Имеем:
? = Т1 (Т1Т1 )-1 Т1; Р2 = Е - ? . (18)
Фундаментальная матрица-функция системы (12) определяется в удобной для решения практических задач форме:
~ ттах-1 к
8(х) = Т1То(х)Т1 + х(х,0)[Р2 + £ ^к-Ак] , (19)
к=1 к!
( Х ) 81вп(х)0(- Яе(Х р)х) X р ф 0 ) I 1, х > 0
где Х^ Х р) Ч . 0 в.вп(х) = ^ 1 0 (20)
0.58щп(х), Xр = 0; [ -1, х < 0;
~0(х) = ^{х^Х^етр^Х х(хХ1 )ехр(Хгх)} ; ттах = тахт. ; (21)
I <1<и
Р2 - матрица проектирования на подпространство левых и правых собственных и корневых векторов, соответствующих нулевым собственным значениям.
Отметим, что сумма в правой части (19) содержит не более четырех членов и соответствует полиномиальной («балочной») части решения.
Решение многоточечной краевой задачи (12)-(14) на произвольном интервале
(х^,хк+1), обозначаемое Ук(х) можно записать в виде:
Ук(х) = Ек(х)Ск х е (хк,хк+1), (22)
где Ек(х) = е(х - хк)-е(х - хк+1); ^(х) = в* 4, (23)
Г 1 ^ ( ь ь )
4(х). Г(х)0(х,хЬ,хЬ+1) ; е(х,хк,хк+1) = ] , х (хкь,хк+1; (24)
[ 0, х г (хк,хк+1).
Подставляем (22) в (13)-(14), учитывая соотношения:
У(хк - 0) = Ук-1 (хк - 0), к = 2, ..., Пк; (25)
У(хк + 0) = Ук(хк + 0), к = 1, ..., Пк -1. (26)
В результате получаем разрешающую систему линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов Ск, к = 1,...,пк -1:
ъ. 1 ^
где
кс = а , (27)
а = [ аТ ат ... а^к-1 ]т; с = = [ сТ с т ст 2 ... спк -1 ]т; (28)
^ = Ё1++ Ёп-к - В+Ё1(х? + 0) - ВПк ^к-1 (хпк -0); (29)
ак = 8к + £+- В-$к_1(хк - 0) - В+ ^к(хк + 0), к = 2, ..., п к -1 ; (30)
" К1Л 0 0 ... 0 К1,пк-1
К2,1 К2,2 0 ... 0 0
К= 0 К3,2 К3,3 0 0 ? (31)
_ 0 0 0 КПк -1,Пк-2 Кпк -1,пк -1 _
Кк,к-1 = В- Ек_1(хк - 0); Кк,к = В+Ек(хк + 0) ; (32)
К1.1 = В+ Е^ + 0); К,Пк -1 = В- Е пк пк - 1< -0); (33)
Ек-1(хЬ - 0) = 8(Ьк-1 - 0) -8(-0) = 8(Ь ь-1) -8(-0), к = 2, . .. , пк ; (34)
где
Ек(хк + 0) = б(+0)-8(0-= 8(+0)-в(-Ьк), к = 1, пк -1 ; (35) ^ = хЬ+1 -хЬ, к = 1, Пк -1 . (36)
Матрицы 8(-0) и 8(+0) будем называть главными частями (не зависят от х). У матрицы (26) выделяются главная К0 и дополнительная К1 части:
К = К0 + К1, (37)
К0 = В+[8(+0) ® Еп] - в-[8(-0) ® Еп] ; (38)
0 0 0 . .. 0 Впк В+ 0 0 .. . 0 0 "
В- 0 0 .. 0 0 0 В+ 0 .. . 0 0
В- = 0 В- 0 .. 0 0 В+ = ? 0 0 В+ . . 0 0 ; (39)
0 0 0 ••• В-к -1 0 0 0 0 . .. 0 В+к-1 _
" К1,1 0 0 .. 0 Ки-1
К2,1 К2,2 0 .. 0 0
К1 = 0 К13,2 К3,3 .. 0 0 ; (40)
0 0 0 К1 •• -^пк -1,пк-2 К1 ^пк -1,пк-1
К^ = В- ефЬ-,) ; Кк,к = -В+8(-^) ;
(41)
К1Л = -В+ 8^) ; К1Пк-1 = В-к-1) . (42)
Здесь символ ® обозначает операцию прямого произведения матриц.
По своей структуре СЛАУ (25) называется системой с окаймлением и для ее решения могут применяться специальные методы [1].
Заметим, что после соответствующих модификаций в рамках метода можно принять более общую постановку задачи, в частности, допустить изменения вида уравнения на наборе выделенных участков (например, можно решать МКЗ для уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами или вообще задачи с различными уравнениями на разных подобластях и т.д.).
5. Метод аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Традиционная постановка имеет вид:
Пк -1
У(2) - Ау = Г, X е и(хк,0 ; (43)
к=1
В-У(х2,к - 0) + В+У(хЬ,к + 0) = Ёк+ Ёк+, к = 2, 3, ..., Пк -1 ; (44)
В+У(х2,1 + 0) + В-к У(х2,Пк - 0) = Ё1+ + в-к , (45)
где У = У(х) = [ (у(х))т (у(1)(х))т ]т (46)
- искомая п-мерная вектор-функция; Г = Г(х) = [ ^(х) Г2(х) ... ГП(х) ]т - заданная п-мерная вектор-функция правых частей; хк, к = 1, ..., пк - координаты граничных точек; А - матрица коэффициентов, квадратная п-го порядка; В-, В+
- заданные матрицы граничных условий, квадратные 2п-го порядка; Вк, - заданные 2П-мерные векторы правых частей граничных условий.
Специфические особенности многоточечных краевых задач типа (43)-(45) идентичны тем, что указывались в предыдущем пункте.
Фундаментальная матрица-функция системы (43), как и в предыдущем параграфе, представляется в виде суммы трех или двух составляющих:
е(х) = 8+ (х) + е_ (х) + 80(х) или 8(х) = в1(х) + 82(х) , (47)
где
81 (х) = 8+ (х) + 8- (х) ; 82 (х) = 80(х) ; (48)
где 8+ (х), 8 (х) - соответственно составляющие, отвечающие подпространствам простых положительных и отрицательных собственных значений; £-, (х) -составляющая, отвечающая подпространству простых и кратных нулевых собственных значений.
В статье [6] получена формула для построения фундаментальной матрицы-функции в удобном для решения задач расчета конструкций виде (именно здесь ^ ^
учитывается характерное явление краевого эффекта, наличие собственных значений разных знаков у матрицы коэффициентов и устраняются соответствующие вычислительные трудности):
1
е(х) = Т180Д(х)Т1 + х+Р2 + £
j=l (2 -1)!
х+НА2
где в01(х) =
Т"^=ехР(-л/^11 х 1) ••• -Т~^ехР(-л/^ 1х1) Ч А1 2у1 к 11
(49)
(50)
ш„ах
- максимальный порядок жордановой клетки соответствующей нулевому собственному значению матрицы А.
Пусть Ук(х) - вектор-функция У(х) , определяемая (46), на интервале (хк,хк+1) • Имеем (см. также формулу (24)):
Ук(х) = (Е(х - хк) - Е(х - хк+1 ))Ск + в * Гк, х е (хк,хк+1)
где
Е(х) =
в(х) в(1)(х)
в(1) (х) в(2) (х)
в(х) =
в(х) в(1)(х)
(51)
(52)
Ск - вектор искомых постоянных коэффициентов 2п -го порядка;
1 х е (хк,хк+1)
Гк(х) - Г(х)0(х,хк,хк+1) ; 6(х,хк,хк+1) = < ;; (53)
0, х £ (хк,хк+1).
Определение постоянных коэффициентов в общем решении из граничных условий (44)-(45) производится методами описанными в [6]. Например, можно использовать метод, аналогичный тому, который использовался в пункте 4 настоящей статьи.
6. Учебно-методическое значение методов аналитического решения многоточечных краевых задач. Представляется, что разработанные методы аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики достаточно эффектны и обеспечивают более современный путь решения стандартных математических задач из курсов «Сопротивление материалов» и «Строительная механика», так как они используют аппарат обобщенных функций, который является более адекватным физическим постановкам (сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, формулировки граничных условий и т.д.) и может быть рекомендован для использования в учебном процессе в силу своей большей универсальности. В этом смысле полученные результаты могут внести определенный методический вклад в учебный процесс. Как известно, основные математические формулировки типовых одномерных задач, встречающихся в названных выше учебных курсах, получены более ста лет тому назад. За прошедший период в строительную механику, в частности, пришли понятия, связанные с теорией обобщенных функций, с помощью которых достаточно четко и просто формулируются такие физические понятия как, например, сосредоточенная сила, сосредоточенный изгибающий момент, поворот в шарнире, краевые условия, линия влияния (функция Грина), фундаментальное решение. Тем не менее, даже в настоящее время подобные сведения, как правило, отсутствуют в соответствующих стандартных учебниках и учебных пособиях для студентов высших учебных за-
ведений. В этом смысле многие авторы, игнорируя современный математический аппарат, зачастую берут за основу при изложении материала тот стиль и форму, что использовались в начале XX века в известных классических трудах С.П. Тимошенко. Вызывает определенное недоумение то неоправданно большое внимание, которое уделяется таким подходам как, например, метод начальных параметров. Данный метод, заметим, просто неприменим при решении многих практических и даже учебных задач с использованием ЭВМ. Разработанные же подходы достаточно кратки и универсальны. Представляются, что они могут позволить существенно сократить общий объем учебников по рассматриваемым дисциплинам за счет исключения разделов, связанных с описанием решений задач по устаревшим методикам.
7. Сведения о программных реализациях разработанных методов аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики.
Описанные в статье методы реализованы в программных комплексах BPOLDE и BPSOLDE. Текущие версии вычислительных модулей составлены авторами на языке FORTRAN стандарта FORTRAN-90/95 с использованием Compaq Visual Fortran 6.6В Professional и Intel Fortran Compiler 7.0. Комплексы функционируют в операционных системах Microsoft Windows 98/ NT/2000/ME/XP/2003. Помимо расчетных функций, программное обеспечение предоставляет возможности для различного численного анализа решаемых задач, предусмотрена диагностика и визуализация вводимых пользователем исходных данных и сервисное обеспечение.
Литература
1. Золотое А.Б., Акимов П.А. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной механики: Монография - М.: Издательство АСВ, 2004. -200 стр.
2. Акимов ПЛ., Золотое А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспективы развития и сопоставления. // САПР и графика, 2005, №1, с. 78-82.
3. Акимов П.А. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. // «НТТ -наука и техника транспорта», 2005, №1, с. 56-59.
4. Золотое А.Б., Акимов П. А. О задачах расчета конструкций с постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений в аналитических и дискретно-континуальных формах. // Строительная механика и расчет сооружений, 2005, №1, с. 55-60.
5. Акимов П.А., Золотое А.Б., Ксштуков Т.Е. Обзор и некоторые общие проблемы, связанные с решением многоточечных краевых задач строительной механики. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. - М.: МГСУ. 2005, с. 28-33.
6. Золотое А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Колесников Г.П. Метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №8. - М.: МГСУ. 2005, с. 124-134.
7. Zolotov A.B., Akimov P.A. Semianalytical Finite Element Method for Two-dimensional and Three-dimensional Problems of Structural Analysis. // Proceedings of the International Symposium LSCE 2002 organized by Polish Chapter of IASS, Warsaw, Poland, 2002, p. 431-440.
Публикуемая статья создана с использованием результатов выполнения работ на средства Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МД-1785.2006.8.
