CC BY
13
ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ
УДК 620.173.21-231.221
УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ КОНТАКТНОЙ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГИХ ТЕЛ
КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
На основе предложенной модели контакта упругих тел конечных размеров при начальном касании по линии, разработан метод и получено аналитическое решение задачи по определению суммарной контактной деформации двух упругих тел с учетом их конечных размеров. Установлено, что известное из научных публикаций решение по определению контактной деформации прямоугольной плиты, при нагружении ее распределенной в виде эллиптического полуцилиндра нагрузкой, имеющей место при контакте ролик- плита, приближенное. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных сближения сжимающих ролик стальных плит от нагрузки показало, что соответствие их удовлетворительное.
Ключевые слова: контактная деформация, тело конечных размеров, линейный контакт упругих тел, деформация прямоугольной плиты, суммарная контактная деформация, контактная деформация цилиндрического сегмента.
При расчете нагруженности и прочности шарико- и роликовых подшипников обычно пользуются известным решением контактных задач теории упругости о сжатии двух цилиндров по образующей и ролика (или шарика) двумя плоскими плитами. Очевидно, что в таких случаях необходимо учитывать деформации всех тел, находящихся в силовом контакте.
В работе [1] приведено решение задачи о контактной деформации /в плоской
плиты (рис.1), как суммарного сближения двух точек: А0 - точки приложения нагрузки, и В -точки основания плиты, при ее сжатии распределенной в виде эллиптического полуцилиндра нагрузкой (что имеет место, например, при контакте плиты с цилиндром) в виде
где V и Е- коэффициент Пуассона и модуль упругости материала; д- погонная нагрузка; Ь- полуширина площадки контакта по Герцу.
Выражение (1) совпадает с решением Джонсона [2] , однако, как показано далее, этот результат является приближенным.
Более точное решение данной задачи получим, используя метод определения контактной деформации упругих тел, предложенный в работе [3] , суть которого заключается в следующем. Рассмотрим плиту толщиной 2С, нагруженной симметричной системой
Ф.Г. Нахатакян, В.В. Фирсанов
(1)
нагрузок (рис 2). Обозначим плиту толщиной С и 2С соответственно 1 и 2. Очевидно, что искомое решение для плиты 1 соответствует половине контактной деформации плиты 2, т.е. Ч'а0 /в = Ч'а0 /р /2, а контактная деформация плиты 2 определяется суперпозицией решений двух задач, показанных на (рис.3,а и б):
жА0/ р = ж' А / р + ™'' А / р ,
где ж А0 / р и ж А0 / р -изменение расстояния между точками А о и р внутри упругого полупространства под действием нагрузки. Последнее утверждение можно обосновать исходя из следующих выводов теории упругости. Напряженное состояние внутри полупространства (см. рис.3.а) , ограниченного пунктирной линией (абстрактная плита толщиной 2С ), определяется нагрузкой q (у) , причем влиянием опоры, находящейся на бесконечно большом расстоянии от зоны приложения нагрузки, можно пренебречь.
С
ъ
Рис. 1. Плита нагруженная распределенной эллиптической нагрузкой
Рис. 2. Плита с удвоенной толщиной
Перемещение ж^) в упругом полупространстве под действием нагрузки q (у) в
произвольной точке с координатой г на плоскости симметрии определяется по формуле [4]
м>(г)
= _ 2(1 -V2 д ^
рЕ
/
1п
.2
Л
'+Ь7+1
V
/
V г
1 -vb
2
Л
1+Ь2 _ ьу
V У
Контактная деформация м а0 / Е определяется как,
м'ао/е = м(гаа )- м(гр ) ,
или
М А0 / Е
2д(1 -V2)
рЕ
. 4С 1 V 1п---
Ь 21 — V
Ж"
/////
В
Ао
Ъ
У
а б
Рис. 3. Упругие полупространства
Так как м а0/Е = м а0/Е , то сближение точек А о и Е будет
МАп / Е
4д(1 — V2) рЕ
1п4С.
Ь
1 .V
21 — V
Таким образом, искомое решение с учетом V = 0,3 будет
МА0/ В = МА0 / Е /2 =
2д (1 — V2) рЕ
4С
1п— — 0,214 Ь
(2)
Анализ выражений (2) и (1) показал, что при большой толщине плиты результаты расчетов сближения по этим формулам отличаются несущественно, разница составляет 5 =8 ^ 12 %. Однако при малой толщине плиты погрешность приближенного решения резко возрастает (рис. 4).
Далее определим, далее, суммарную упругую деформацию двух тел конечных размеров, находящихся в силовом контакте до деформации по линии. Рассмотрим два цилиндрических сегмента (рис.5), находящихся в контакте по образующей. Сближение точек А и В (суммарная контактная деформация) после приложения нагрузки определится как сумма сближений точек А0 и А (контактная деформация первого тела) и А0 и В (контактная деформация второго тела):
МА / В = М1 + М2 ,
где для величин контактных деформаций м и , можно получить по аналогии с плитой следующие зависимости:
=
2д(1 — V2)
рЕ
4С
1п—^ — 0,214 Ь
где / =1, 2.
Р
5 % 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
100
С мм
Рис. 4. Зависимость погрешности д % приближенного решения от толщины плиты С, мм
Следовательно, суммарная контактная деформация определяется
4д( -у 2) рЕ
w
а / в
\ 4л/ СС '
1п ^ 1 2 - 0,214
Ь
где полуширина полоски контакта определяется по формуле Герца [4]
Е ^е (*1 + я2)'
Ь = 1,52 ^ =1,52
(3)
(4)
С1
С2
Рис. 5. Контакт двух упругих тел конечных размеров по линии
Тогда с учетом соотношения (4) формулу (3) можно переписать в виде
4д(ь
w
У
а/в
рЕ
1п 2,124
1
есс 2 (ях + м2)
(5)
С помощью формулы (5) можно определить суммарную контактную деформацию двух упругих тел конечных размеров, контактирующих до деформации по линии. Например, чтобы найти сближение точек А и В цилиндрического сегмента и плоской плиты, достаточно в формуле (5) принять Я2 = да В таблице представлены варианты взаимодействий двух тел и формулы для определения их суммарных деформаций.
Имея решение (2) задачи о контактной деформации плиты толщиной С под действием указанной нагрузки q (у) , легко найти сближение WA / в центра ролика А относительно основания плиты В , как суммарную контактную деформацию ролика и плоской плиты, т.е.
ма / в = ма / а0 + ма0/ в
(6)
где Ма / а0 - половина контактной деформации ролика радиуса Я , которая в соответствии с работой [3] определяется по формуле
. к——0,5
рЕ Ь
м
а / а0
(7)
Суммарная контактная деформация двух упругих тел из одинаковых материалов, _контактирующихся до деформации по линии
№
Контактирующие до деформации по линии упругие тела из одинаковых материалов
Формула для определения перемещения точки А относительно точки В
Цилиндр с плитой
4(1—V2)? рЕ
1п
1,842
ЕС
Цилиндричес-кий сегмент с цилиндром
4(1 — V2)? рЕ
1п
1,842
ЕС(Я + Я2)
?Я2
Цилиндричес кий сегмент с плитой
4(1 — v2)? рЕ
1п
2,124.
\ЕС1С2)
дЯ
Два цилиндрических сегмента
4(1 — V2)? рЕ
1п
2,124
ЕС£2( Ях + Я2)
дЯ1Я2
1
?
2
3
4
Тогда, с учетом последней формулы и (2), из (6) находим
4л/ЯС 0,714"
м
А / В
4д(1 —V2) рЕ
1п-
Ь 2
Подставляя в последнюю зависимость полуширину полоски контакта по формуле (4), окончательно имеем
4д( — V2) рЕ
М
А / В
1п1,842
ЕС
д
(7)
С помощью полученных формул можно найти также суммарную контактную деформацию ролика и цилиндрического сегмента (рис.6), т.е. сближение центра ролика А относительно основания сегмента В :
м
А / В
2?1 — V2) рЕ
или
ьЗ — 0,5
Ь
.2'
+
— V2)
рЕ
4С
1п— — 0,214 Ь
м
А / В
4д (1 — V2) рЕ
1п1,842
ЕС (Я1 + Я2)
дЯ2
(8)
Отметим следующее обстоятельство. Из многочисленных экспериментальных исследований, например [5, 6], следует, что при сжатии ролика плитами из одинакового материала, сближение плит не зависит от радиуса ролика. Этот факт можно доказать
теоретически. Действительно, сближение плит происходит в результате суммарной деформации ролика и обеих плит. Воспользуемся первой формулой таблицы, которая определяет сближение центра ролика относительно основания плиты. В результате находим полное сближение двух сжимающих ролик плит (рис.7) с толщинами С\ и С2 , т.е. сближение точек Н и В в виде аналитического выражения
Из формулы (9) следует, что сближение плит не зависит от радиуса ролика. Этот неожиданный, на первый взгляд, результат подтверждается экспериментальными данными в ряде публикаций, например [5, 6], где приведены результаты исследований сжатия стальных роликов стальными плитами.
Для проверки достоверности полученной зависимости (9), на рис.8 показано сопоставление расчетных (линия) и экспериментальных (точки) данных [6] . Как видно из рисунка, результаты практически совпадают, что говорит о правильности разработанного метода.
Рис. 6. Контакт ролика с цилиндрическим сегментом
Рис. 7. Сжатие ролика плитами из одинакового материала
а
40 32 24 16 8 0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
д [Н/мм]
а
а [мкм]
70 60 50 40 30 20 10 0
0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800
д [Н/мм]
б
а [ мкм]
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600
д [Н/мм]
в
Рис. 8. Сопоставление расчетных (линии) и экспериментальных (точки) данных сжатия стального ролика стальными плитами. Сближение плит от погонной нагрузки. Параметры роликов: а - длина I = 50 мм; диаметр 2г =12 мм; б - длина ролика I =50 мм; диаметр 2г =20 мм; в - длина ролика I = 50 мм; диаметр
2г = 30 мм
Таким образом, на основании предложенной модели сжатия упругих тел конечных размеров при начальном касании по линии, разработан метод и получено аналитическое решение для определения суммарной контактной деформация этих тел.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ 17-08-00849а.
[ мкм]
Список литературы
1. Нахатакян Ф.Г. Механика контактного сближения упругих тел в задаче Герца. // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2010. № 5. С. 48-56.
2. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510 с.
3. Нахатакян Ф.Г. Об одном методе точного решения контактной задачи Герца для круговых цилиндров с параллельными осями // Вестник машиностроения, 2011. № 3. С. 3-6.
4. Динник А Н. Избранные труды. Киев: АН УССР, 1952. Т. 1. 151с.
5. Хоприх Цантопулос. Контактные деформации вдоль прямой линии: цилиндр между двумя плоскими плитами // Тр. Американского общества инженеров- механиков. Проблемы трения и смазки. М.: Мир, 1974. № 3. С. 193 - 198.
6. Орлов А.В. Упругие деформации и напряжения на линейном контакте. // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2006. № 6. С. 31-36.
Нахатакян Филарет Гургенович, д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, filnahat7@,mail.ru, Россия, Москва, Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук,
Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, заведующий кафедрой, kaf906amai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
REFINED CALCULATION OF THE CONTACT DEFORMATION OF ELASTIC BODIES OF FINITE DIMENSIONS
F.G. Nakhatakyan, V.V. Firsanov
Based on the proposed model of contact of elastic bodies of finite dimensions with the initial contact along the line, a method was developed and an analytical solution was obtained for determining the total contact deformation of two elastic bodies with regard to their final dimensions. It is established that the solution known from scientific publications for determining the contact deformation of a rectangular plate, when loaded with an elliptic half-cylinder distributed by a load that occurs when the roller-plate contacts, is approximate. Comparison of the calculated and experimental data for the convergence of the compressive roller steel plates from the load showed that their compliance is satisfactory.
Key words: contact deformation, body of finite dimensions, linear contact of elastic bodies, rectangular plate deformation, total contact deformation, contact deformation of a cylindrical segment.
Nakhatakyan Filaret Gurgenovich, doctor of technical sciences, leading researcher, filnahat7amail. ru, Russia, Moscow, Institute of Engineering Science named after A.A. Blagonravov of the Russian Academy of Sciences,
Firsanov Valery Vasilyevich, doctor of technical sciences, head of the department, kaf906a mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
