CC BY
25
ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ
УДК 621.833
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА НАГРУЖЕННОСТИ КОСОЗУБЫХ ПЕРЕДАЧ
ПРИ ПЕРЕКОСЕ
Ф.Г. Нахатакян
Предложен расчетный метод определения параметров контакта косозубого зубчатого зацепления при перекосе. Для указанных передач в условиях перекоса получены аналитические выражения для определения контактной деформации, контактной жесткости, длины площадки контакта и максимального контактного напряжения.
Ключевые слова: косозубая передача; угол перекоса; контактная деформация зубьев; жесткость косозубого зацепления при перекосе; контактные напряжения зубьев при перекосе, эквивалентное колесо.
Нагрузка в зубчатом зацеплении распределяется равномерно по ширине зубчатого венца только в прямозубых передачах при идеально точном изготовлении и при абсолютно жестких валах и опорах [1]. В действительности, вследствие упругих деформаций валов, упругих смещений и износа подшипников, а также погрешностей изготовления и монтажа, сопряженные зубчатые колеса перекашиваются одно относительно другого, и вместо идеального имеет место кромочный контакт.
При таком контакте зубьев вследствие неполного прилегания, коэффициент угла перекоса Ку (коэффициент концентрации контактных деформаций [2]) для прямозубых колес определяется из решения задачи о контакте двух цилиндров в условиях перекоса [3]:
Ку= 1 + 0,5/ при х < 2 ,
Кг = 42х°ъ при х > 2 , (1)
где нагрузочный параметр / = ¡у / ; здесь I - длина контактной площадки (в отсутствии перекоса совпадает с шириной зубчатого венца);
У = Ут - Уд (2)
- расчетный угол перекоса, ут ;Уд - исходный (технологический) и деформативный углы соответственно; ан - контактная деформация при отсутствии перекоса, которая согласно работе [4] определяется
ан =-4дв[Ы(4Я / Ьн) - 0,5] ,
п Л + 2Ц ТТ Л 1 Ev
где 0 =--—, здесь постоянные Ламе л и ц определяются Я =
4 + {\ + у){\-2У)
Е „ _ 1-У2 „ п =-; из последних выражении следует, в частности, что 0 =- ; К, V - мо-
2(1 +V) лЕ
дуль упругости и коэффициент Пуассона материалов; Я- приведенный радиус кривизны в рассматриваемой точке контакта; q - погонная нагрузка; Ьн-полуширина полоски контакта по Герцу, Ьн = 2л/цЯв.
Согласно работе [5] деформативный угол
Ут = 0,506Д,°'П(1/х)0,296 , (3)
где Д, - безразмерный параметр длины зуба- балки на упругом основании, согласно работе [6] Д, = Ь/1,1УР; Ь = 1/Ь ; УР = у /И , здесь И - толщина зуба в текущей точке;
ур - высота зуба по делительной окружности.
Расчет параметров контакта косозубого колеса с углом наклона зубьев /? в условиях перекоса у будем вести с использованием эквивалентного прямозубого колеса
[7].
Контактная податливость 8 зубчатого зацепления прямозубой передачи определяется из соотношения
ан = , (4)
или, согласно работе [8].
(2,124^ЕС^Щ, (5)
где С - приведенная толщина зубьев.
Из формул (4) и (5) можно определить контактную жесткость К'1:
I
igR
Для прямозубого эквивалентного колеса контактная деформация в отсутствии перекоса
«н = Ч\>1\А> ■> (6)
где согласно принятому подходу, длина контактной линии /у (и соответственно длина зуба эквивалентного колеса)
К=К= Ъ^/соф ,
где Ьу, - ширина зубчато венца. Здесь и далее параметры с индексом V будут относится к эквивалентному колесу. Удельная нагрузка
4v =
К
lv cos aw
или, учитывая что окружная сила Ft в зацеплении для эквивалентного колеса
pv _ = ^LC0S2 р, удельная нагрузка будет
dv d
2 Т з
qv =-cos р '
dbw cos aw
где T - крутящий момент на валу; d - делительный диаметр косозубого колеса; ocw -угол зацепления. Следовательно податливость определяется
46>cos^ii2124
8V =—--In
bw
lvRv ;
где Су=С т.к. модули зацепления одинаковые у эквивалентного и исходного колес.
Подставляя полученные значения в (6), для контактной деформации эквивалентного колеса в отсутствии перекоса получаем выражение
í I Л
2,124 lE°v
2T i
аП =—--cos3 Д- 4в- ln
dbw cosa [ ]¡ qvRv;
и, наконец, контактная деформация косозубого зацепления при перекосе
ag = KgaH , (7)
где нагрузочный параметр х в коэффициенте угла перекоса Kg в формуле (1) для эквивалентного колеса вычисляется по формуле
Zv = lv7v /ajH ,(8)
при этом углы перекоса - расчетный и деформативный - определяются по формулам (2) и (3) с параметрами эквивалентного колеса, т.е.
Ту = Тг-Тэ ;
и
ту/Тг=о,50бД,<U1 (1/Zn)0'296.
Контактные напряжения sHg при перекосе для эквивалентного колеса определяются [3]
sHg =л[Ку -SH.
Тогда длина пятна контакта lк в долях lv , учитывая результаты работы [3],
lk = lk / 1у= ку / Ху. (8)
Подход расчета изгибных напряжений для косозубых колес аналогичен вышеизложенному. Коэффициент концентрации изгибных напряжений Ks для прямозубых
колес при перекосе определяется [9]
Ks (0) = 1 + 0,754До°'5 (кт -1)0,59 , в сечении x=0;
>-0,72 (K ^0,097
S V ) ~ í -"5 • í -'Но K Т
SV / L"- S V У ^SWJ v 1 ^S*
______ ,j0,7
~Y 4 ; x = x/l ; n3 Соотношения (9) с учетом зависимости (1) можно переписать:
Ks (0) = 1 + 0,54Д0'5ХМ7; Ks(l ) = 1 - 2,56bo"0'72Z0,078 .
Для большинства типоразмеров зубьев До = 3, и полученные выше зависимости упростятся:
Ks(0) = 1 + 0,935Х0,47;
Ks(i) = 1 - 1,16х°,°78; (10)
п = 1+0,01х1,4 ; n3 = 1,81 . И наконец, коэффициенты концентрации изгибных напряжений эквивалентного колеса Kva определяется с помощью соотношений (10), где нагрузочный параметр Zv вычисляется по формуле (8).
Для проверки достоверности полученных зависимостей, на рисунке показано сопоставление расчетных и экспериментальных исследований длины пятна контакта в косозубом зубчатом зацеплении от нагрузки в безразмерном виде. Эксперименты были проведены в Институте машиноведения им. А. А. Благонравова [10].
Ka(l) = 1 - 2,713 Д-0'72 (KY-1)0,097 , в сечении x=l (9)
Ks (x) = [Ks (0) - Ks (l)] - (1 - x)" + Ks (l), в текущем сечении x.
Здесь n = 1 + 0,029(KY -1)113; x = x/l; n3 = 0,84Д0
I = 1к/К
___
я I !
я 1 А А • Л
■
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Сопоставление расчетных (линия) и экспериментальных (точки) зависимостей длины пятна контакта от нагрузки в безразмерном виде; ■ - правый п/шеврон; ▲ - левый п/шеврон
При варьировании нагрузки была определена длина пятна контакта. На графике они показаны в безразмерном виде в долях ширины зубчатого венца - = 1к / ¿М! в зависимости от безразмерной нагрузки P = P / Pmax , где Ь - длина пятна контакта, ¿и -
ширина зубчатого венца; Р, Ртах — текущая и максимальная нагрузки. Удовлетворительное соответствие экспериментальных (точки) и расчетных (линия) данных говорит о правильности предложенного метода.
Список литературы
1. Решетов Д.Н. Детали машин. М.: Машиностроение, 1989. 496 с.
2. Айрапетов Э.Л., Нахатакян Ф.Г. Влияние изгибной деформации зубьев прямозубых цилиндрических передач на параметры контакта зубьев. // Вестник машиностроения, 1990, № 8. С. 21-23.
3. Нахатакян Ф.Г., Косарев О.И., Фирсанов В.В., Леонтьев М.Ю. Напряженно-деформированное состояние при контакте цилиндров в условиях перекоса // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2016. Вып. 4. С.198-206.
4. Нахатакян Ф.Г. Решение плоской контактной задачи теории упругости с помощью модели упругого полупространства // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2011. № 5. С. 63 - 67.
5. Нахатакян Ф.Г. Напряженно-деформированное состояние упругих элементов зубчатых механизмов и сооружений при их линейном и кромочном контакте: дис. ... д-ра техн. наук. М.: ИМАШ РАН, 2014.
6. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д., Ряснов Ю.А. Статика зубчатых передач. М.: Наука, 1983. 142 с.
7. Иосилевич Г.Б., Лебедев П. А., Стреляев В.С. Прикладная механика. М.: Машиностроение, 1985. 576 с.
8. Нахатакян Ф.Г. Сближение упругих тел конечных размеров при начальном касании по линии // Вестник машиностроения. 2014. № 2. С. 24-27.
9. Нахатакян Ф.Г., Косарев О.И., Леонтьев М.Ю., Пузакина А.К. Расчетное определение коэффициента изгибных напряжений на зубьях зубчатых колес при перекосе // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 2. С. 61- 69.
10. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Статика планетарных механизмов. М.: Наука, 1976. 263 с.
Нахатакян Филарет Гургенович, д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, filnahat7@mail.ru, Россия, Москва, Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук
FEA TURES OF THE CALCULA TION OF THE LOAD ABILITY OF KOSOZUBE TRANSMISSIONS A T THE DROP
F.G. Nakhatakyan
A calculation method for determining the parameters of the contact of the helical gearing in a skew is proposed. For these transmissions under skewed conditions, analytical expressions are obtainedfor determining the contact deformation, contact stiffness, the length of the contact area and the maximum contact stresses.
Key words: helical gear; angle of skew; contact deformation of teeth; stiffness of helical gearing when skewing; contact tensions of the teeth with a skew, equivalent wheel.
Nakhatakyan Filaret Gurgenovich, doctor of technical sciences, leading researcher, filnahat7(a),mail, ru, Russia, Moscow, Institute of Engineering Science named after A. A. Blagonravov of the Russian Academy of Sciences
УДК 539.3
ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО
СЕТЕВОГО КОМПОЗИТА
И.К. Архипов, В.И. Абрамова
Производится расчет эффективных констант упругости для регулярной двух-компонентной структуры, состоящей из металлической сети и наполнителя, заполняющего ромбовидные пространства между стержнями сети. Сформулирована и решена соответствующая плоская задача теории упругости для клиновидного наполнителя (с учетом симметрии). В результате получены значения эффективных модуля упругости Юнга и коэффициента Пуассона композита. Показана анизотропия констант упругости при отсутствии полной симметрии металлической сети.
Ключевые слова: эффективные константы упругости, сетчатый композит, плоская задача теории упругости
Рассматривается следующая регулярная композитная структура (рис.1). Металлические стержни образуют ромбовидную сетку. На эту сетку действует нормальное
р
напряжение а0 = —, где Р - действующая нагрузка, F - площадь поперечного сечения
2 F
одного волокна сети. Нагрузка передается наполнителю через радиальные напряжения, постоянные вдоль металлического волокна. Представительный элемент (рис.1) представляет собой половину ромба, нагруженного двумя противоположными силами Р. Радиальные напряжения в волокнах определяются как а0 cos а. Эти напряжения по торцам клина передаются наполнителю при условии идеального контакта между компонентами.
Решение соответствующих краевых задач сводится к решению плоской задачи теории упругости для клиновидной области наполнителя и задачи растяжения волокон силой Р. Вторая задача решена в работе [1], решение которой позволяет найти эффективный модуль сети в виде:
Е2* = Е20 cos2 а. (1)
Решение плоской задачи теории упругости для клина с указанными условиями нагружения произведем в соответствии с рекомендациями [2] в полярных координатах (г, в). Для этого выберем вид функции напряжений:
