Уточненный метод решения контактной задачи для кольцевого слоя с учетом сил трения. Сообщение 2. Решение функциональных уравнений, определяющих математическую модель контактной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»

Уточненный метод решения контактной задачи для кольцевого слоя с

учетом сил трения

Сообщение 2. Решение функциональных уравнений, определяющих математическую модель контактной задачи

д.т.н. проф. Божкова Л.В., к.т.н. доц. Норицина Г.И., к.т.н. проф. Рябов В.Г.

Университет машиностроения 8(495) 223-05-23, tm@mami.ru

Аннотация. Приводится два метода решения системы двух функциональных уравнений, определяющих математическую модель контактной задачи для упругого слоя с учетом сил трения в зоне контакта. Первый метод основан на замене системы функциональных уравнений парной системой линейных алгебраических уравнений, второй - на ортогонализации систем функций. Приведено численное решение задачи.

Ключевые слова: контактная задача, силы трения, кольцевой слой, малые деформации, контактные давления, функциональные уравнения. При уточненном методе решения контактной задачи для кольцевого слоя с учетом сил трения в зоне контакта радиальные контактные давления pr (0) представлены в виде беско-

ряда [1]:

нечного

pr (0) =

Z pm C0S

m=0 0,

f шп0Л

V q0 0

+ Z hm sin

f ШР0Л

m=1

V 0o 0

, <00, 10 >00,

(1)

- / ч Рг (0)

где: рг (0)= (Е - модуль упругости слоя), 2Q0 - величина зоны контакта,

Е

рт (т = 0,1,2,...) и Нт (т = 1,2,...) - безразмерные неизвестные константы. Для определения неизвестных констант рт(т = 0,1,2,...) и Нт(т = 1,2,...) получена система двух функциональных уравнений [1] :

Е[РтФт (0) + hmym (0)]= 0, 10 <00 ,

m=0

¥ 1 Z[PmTm (0)+ hmFm (0)]= -

m=0 2

1+r-

V r0 0

(2)

02

0 <0n

где: r1, r2 - радиусы кольцевого слоя (r2 > r1), r0 - радиус жесткого цилиндра, с которым контактирует упругий слой

nsin n0 ( sin n0\

m = 0,1,2,...,

ф. (e)=(-1)"' ■ -f Z

p n=1

P*-иsin7/00 f sin 7/0

~ 2 2 m —n

n

y. (0М-1Г-2. Z

00 n=1

Pn-sin«0n f sin^O

(m2-n2)

-0

n

m = 0,1,2.....

¥

¥

¥

Г\ ¥

тт (е) = (-1)и+1 X

Р п=1

Р (0) = (-1)"Ц- т±

е0 п=1

Ри • вт пв0 (СОБ и0 -1) Р* • БШ я0о (СОБ «0 -1)

г{т2 -п2)

, т = 0,1,2,...,

, т = 0,1,2,...,

(3)

/7771

/ - коэффициент трения, /77 = — ,

Рп и ЬП(п = 1,2,...) - некоторая последовательность чисел [1].

Анализ последовательностей чисел Рп и РП (п = 1,2,...) показал, что последовательность чисел Рп (п = 1,2,...) стремится к некоторому числу Р = 2А (А = 1 -V2, V - коэффициент Пуассона упругого слоя), а последовательность чисел Рп(п = 1,2,...) стремится к числу

Р* =-1 (5 А + В) (В = п(1 + п)). Это позволило улучшить сходимость рядов, входящих в (3), и придать им к следующий вид:

фт (е)=£

О* 00 (р* - В")

Р*тге - ^ 8Ш(те) + 2 (-\)т+х У -Ц-ф- ( л9 - вт л9) вт пвс

/77 п=1 ум ~П )

, (т = 1,2,...), |е|<ес

е+е

90 |2т2

1 г ,у+1, 1-со8(е0+е) -(-1) 1п-;-

2 ' 1-соз(е0-е)

+

1п

ео-е

+(ео-е)-(ео+е)

со8(т0) + [м'(т(0о -0)) + 5,/(т(0о +0))]зт(/й9)]-

80

т

51

(,р)+(-1) т+'Х(Рп-Р) 5'П п°о <*'п "е-е) 1, (т = 0,1,2,...) е<во,

п=1

/77 -П

пт

1п

е0-е 0о+0

- + Л',

(/й(0о+0))-^(ш(0о-0))

+

+ соз(»г0)^/'(т(0о +0) + 5'/(АЙ(0о -0))) — 2^/(/итт)| +

(4)

(-1), + 1 ¥ (Р -Р)

+^— X " Д ^тп(е0 -е)+б1пп(е0+е)-2 8шпе0], (, = 0,1,2,...),|е| < е0,

р (т2-п2)1

р (е)=^ л ; е0

В*7Г

т

+ ("1Г2У

, 8т/?Э0 (соъпв-Х)

, (т = 1,2,...), |е|<00,

п=1 /7 (/772 -/72 )

где: (х) - некоторая затабулированная функция, 5г(х) - интегральный синус [ 2 ].

Как следует из (1) для определения закона распределения радиальных контактных давлений при любом угле е0 необходимо знать две группы констант рт (т = 0,1,2,...)и

кт (т = 1,2,...), которые входят в систему двух функциональных уравнений (2).

Названные константы можно определить двумя способами: либо путем замены системы функциональных уравнений парной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений, либо методом ортогонализации систем функций.

Вначале охарактеризуем метод замены системы двух функциональных уравнений (2)

парной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений. С этой целью необходимо выбрать полную систему функций фк(0) (к = 0,1,2,...) на отрезке —0О <0<00, затем

умножить обе части функциональных уравнений (2) на функции этой системы и интегрировать их в указанных пределах. В результате получим:

ЕГ p d, + hc J = 0, УГ p dh + he, 1 = h , (к = 0,1,2,..),

m к,m m c,m J ' / m к,m m к,m J к' \ ' ' ' / '

(5)

m=0

m=0

где:

a =

к ,m

J Фт (в)Фк (e) de, к = 0,1,.

-00 e0

Ск ,m = Jym (е)Фк (e) de, к = 0,1,..

-e0 e0

dKm = J Tm (e)Фk (e) de, к = 0,1,..

-e0

e0

e^m = J Fm (e)Фk (e) de, к = 0,1,...

m = 0,1,...

m = 0,1,...

m = 0,1,...

m = 0,1,..

(6)

-e0

h=2

f

1+-2 IJe2 Фк(e)ede, к = 0,1,...

ч -0 0-e0

В качестве системы функций фк(e) (к = 0,1,2,...) была выбрана система

cos к = 0,1,2,...), являющаяся полной на отрезке (-e0, e0). e0

Парную систему линейных алгебраических уравнений (5) можно решать либо методом последовательных приближений, либо методом редукции.

Рассмотрим теперь способ определения констант pm (m = 0,1,...) и hm (m = 1,2,...), основанный на построении ортогональных систем функций по заданным системам функций. С этой целью построим прежде всего ортогональную систему функций Rm (e) (m = 0,1,...) на

базе системы функций Om(e)(m = 0,1,..) [2]:

m тт-1 Rm (e)=Z i (ty

(7)

i=1 тт

где: И-! есть « т- ый» элемент некоторой обратной матрицы Н^ . При этом элементы матрицы [Н ]т определяются по формулам:

Hj = J ф((e)Oj(e)de, к = 0,1,...

-e0

Из первого уравнения системы (2) следует:

¥ ¥ ¥

У PmOm (e) =У BnRn (e)=- У hm y (e).

m=0 n=0 m=0

На основании (7) и (9) получаем:

Р =У B

^ m s j j

Hm,

H

(8)

(9)

(10)

e

0

e

j=m

где:

В = —Ух А ,

п с * пт т ?

т=0

^0

|Ут (0) Я (0) й0

(11)

х =

пт

0

| Я (0) й0

(12)

Подставим (11) в (10), предварительно поменяв в (10) индекс г на п, а индекс т на г. В результате получим:

где:

Р = —У А у. ,

г г / > т ' гт ?

т=0

И—

у ■ =У

* гт /

х.

пт тт—1 '

И,

Из второго уравнения системы (2) следует:

¥ 1 У (0)= 2

т=0 2

Г г 1 1 + ^ V г0 0

02 —У Рт^т (0) .

(13)

(14)

(15)

Подставив (13) в (15), предварительно поменяв в (13) индекс г на т и наоборот, полу-

чим:

где:

¥ 1 У КХт (0) =-

т=0 2

С г 1 1 + ^ V г0 0

Х„ (0) = ¥п (0) — Уу^ (0) .

(16)

(17)

Для определения постоянных кт (т = 0,1,...) нужно построить ортогональную систему

функций Ут (0) (т = 0,1,...) на базе системы функций Хт (0) (т = 0,1,...) :

и

Ут (0) = У ТГХ (0) ,

■=0 Ьтт

тогда:

где:

¥ Г—1

ит =У, т = 0,1,...

т ^^ т т— 1 ? ? ?

г=1 Ь,,

(18)

(19)

к=2

1 + 102^„ (0) й0

V '0 0—00

(20)

| £ (0)й0

—00

При этом Ь—П есть « т- ый» элемент обратной матрицы [', а элементы матрицы [Ьт ] определяются по формулам:

00

Ь = I X, (0) ХД0)й0. (21)

е

э

0

п=г

т=0

2

г=0

0

0

Таким образом, получены соотношения (7) - (21), с помощью которых можно вычислить все неизвестные константы рт (т = 0,1,...) и Нт (т = 1,2,...)при заданном угле 90 и, следовательно, определить закон изменения радиальных контактных давлений рг [б] по формуле (1).

На рисунке 1 показан закон изменения радиальных контактных давлений рг (0), полученный при приближенном (пунктирная линия) и уточненном (сплошная линия) методах решения контактной задачи в случае несжимаемого материала V = 0,5 и при / = 0,3;

1

00 = 0,05 рад; р1 = 0,95.

Рисунок 1. Изменение радиальных контактных давлений

Анализ численного решения задачи показал, что расхождение между законами изменения радиальных контактных давлений рг (б), полученных на основании приближенного и уточненного методов решения, увеличивается с ростом коэффициента трения / .

Литература

1. Божкова Л.В, Норицина Г.И., Рябов В.Г. Уточненное решение контактной задачи для кольцевого слоя с учетом сил трения. Сообщение I. Математическая модель контактного взаимодействия кольцевого слоя с жестким основанием. Известия МГТУ «МАМИ», № 1(19), 2014, с. 11-18.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978, 831 с.

г

2