Контактная задача для двухслойного упругого покрытия твердого цилиндра Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Контактная задача для двухслойного упругого покрытия твердого

цилиндра

д.т.н. проф. Божкова Л.В., к.т.н. проф. Рябов В.Г., к.т.н. доц. Норицина Г.И.

Университет машиностроения 8(495) 223-05-23, доб. 1318

Аннотация. Предложен аналитический метод решения контактной задачи для двухслойного упругого покрытия твердого цилиндра, применимый для кольцевых слоев произвольной толщины, одновременно в случае сжимаемого и несжимаемого материалов. Закон изменения контактных давлений выражен в виде некоторого бесконечного ряда, содержащего бесконечное число неизвестных констант, которые определены путем разложения известной функции по построенной ортогональной системе функций. В результате найдена величина зоны контакта, закон изменения контактных давлений, характеристика сжатия, а также напряженно-деформированное состояние слоев.

Ключевые слова: контакт, напряжения, деформации, упругие слои, зона контакта, контактные давления, характеристики обжатия, упругие перемещения

Рассмотрим задачу о контактном взаимодействии двухслойного упругого покрытия твердого покрытия цилиндра с другим твердым цилиндром.

В результате деформации упругих слоев произойдет соприкосновение твердого цилиндра с внешним слоем упругого покрытия по некоторой его части, определяемой углом 90 (рисунок 1)

Рисунок 1. Расчетная схема

Считая справедливыми условия плоской деформации и пренебрегая силами трения в зоне контакта, определим величину зоны контакта (угол 90), закон распределения контактных давлений р(0) , а также напряженное и деформированное состояние упругих слоев.

Для определенности присвоим порядковый номер каждому слою (от 1 до 2), начиная от слоя, непосредственно покрывающего твердый цилиндр.

В [1] предложен приближенный инженерный метод решения рассматриваемой задачи. Он прост и удобен, однако в основе этого метода лежит допущение о том, что контактные давления изменяются по закону косинуса. Кроме того, геометрическое условие контакта удовлетворяется только в трех точках зоны контакта.

В связи с этим является актуальным построение уточненного метода решения данной

задачи, свободного от указанных выше допущений. Уточненное решение позволит оценить погрешности, к которым приводит использование приближенного метода решения, и определить класс задач, для которого целесообразно его применение.

Таким образом, закон изменения контактных давлений р(0) представим в виде некоторого бесконечного ряда

т=

(

YjPm C0S

m=0 0,

mn-

0

V

0

0 J

0 < вп

0 > вп

(1)

где: = - безмерная величина, модуль упругости внешнего (второго) слоя уп-

ругого покрытия, pm (m = 0,1,2,...) безразмерные неизвестные константы. Разложим функцию р{0) в ряд Фурье на промежутке - ж <0 < ж :

A о) _

= v + z a cosП0.

2 И=1

(2)

Коэффициенты ряда Фурье А0, Ап являются также безразмерными величинами и определяются по формулам:

A. = 2Й'

Ж

0

- 2sin пв0^( w n

An = -Z (- 1) PmT~2-rv n = 1,2v"

ж m=0 \m - n )

(3)

m

где

m =

6n

В рассматриваемой задаче величина зоны контакта при малых деформациях будет малой (по сравнению с радиусами упругих слоев), вследствие чего радиальные упругие перемещения в зоне контакта точек внешней поверхности второго упругого слоя (Ж2 (г3, £?)) могут быть представлены в безразмерном виде следующим образом:

—

1+-3

Л

02

0 < 0п

(4)

'0 J

где: W2 (1,0)= ^3, ^, 5 = —, 8 - неизвестный параметр, характеризующий сближение тел

Г3 Г3

при сжатии.

На основании результатов [2] с учетом соотношений (1)-(3) радиальные упругие перемещения точек внешней поверхности второго упругого слоя W2 (1,0), вызванные действием на участке -0О <0 <0О контактных нормальных давлений р{0), можно представить в виде:

w2 (1,0) = sfnan cos n0,.

(5)

где уп -некоторая последовательность чисел, зависящая от конструктивных параметров (радиусов кольцевых слоев и твердых цилиндров) и упругих характеристик материала слоев.

В результате подстановки (3) в выражение (5) получим:

W2 М)=-ж

РоГоЪ +К- Г1 -Pm Z

Т]п sin n£?0 cos n0

m=0

n=1

~2 2 m - n

(6)

где Г!п = пуп (п = 1,2,„.).

Естественно, что функция (6) должна совпадать с функцией (4) в зоне контакта. Приравнивая правые части (4) и (6), будем иметь

2 ж

РоУо^о +Е(" 1)М+1 -Рт Z

r¡n sin п0о cosп0

~ 2 2 n=i m - п

и 1 2

С r ^ 1 + Г3

V r0 У

02, 0 \<0,-

(7)

Безразмерный параметр 5, характеризующий сближение тел при сжатии, определим, подставляя в (7) значение 0 = 0 :

^п ^п п00

ж

РоУово + £(" l)m+1 "PmZ

~2 2 n=i т - п

В результате подстановки (8) в (7) получим:

со 1

!>m Vm и = -

m=0

f r Л 1 + ^

V r0 У

02, 0<0„ ,.

где

1 00 /7

(0) = —У ±2-[sinп(в0 -0) + sinп(0о +0)- 2sin0о], Я" п=1 п

\m+1

Ж

1 (m2 - п2)1

[sinп(в0 - в)+ sinп(в0 + в)- 2sinпв0],

(8)

(9)

(10)

(11)

т = 1,2,...

На основании результатов [2] можно доказать, что последовательность чисел г)п (п = 1,2,...) стремится при увеличении п к некоторому числу Л. Это позволяет улучшить сходимость рядов, входящих в (8), (10) и (11). В результате будем иметь: 2

б=--\Гйрйвй-+К- ГЧ

Ж 1

(- 1)m+1 \ -^)sinп0о

4 ' r]si {тж) + ^у '

m

~ 2 2 п=1 т - п

Ро (е) = 1

ж

í 1nf 2

. 0о-0)^ г, . 0о +0}^ („ • 0

sin

\d0- J 1n| 2 sin —0-\d0- 2 J 1nl 2sin- \d0

+ J_ jrj^L__^)[sin п(0о +0)+ sin п(0о-в)-2sin п0о ]

(12)

(13)

л п=1 п

(Рт И = ^sin{т0)

жт

1n + s1 (т(0о + в)) - s1 (т(0о - 0))

00 +0

+ cos(fñ0'){si(fñ(0o +в)) + si(rñ(0o -0))]-2si (тж) U-^—1^— У Г\-

ж п=1 \т - п )

(14)

[sinп(в0 -0) + sinп(0о +0)-2sinп0о], т = 1,2,...

где: si{x) - интегральный синус, s1 (x) - затабулированная функция [3].

Таким образом, задача свелась к определению неизвестных констант рт{т = 0,1,2,...), входящих в функциональное уравнение (9).

Рассмотрим метод решения функционального уравнения (9), в основе которого лежит построение ортогональной системы функций ф = 0,1,2,...) п0 заданной системе функ-

ции (рт = 0,1,2,...). Ортогональная система функций может быть построена на основании следующего соотношения:

2

т Т

ФтИ = !угЪИ, т = 0,1,2,..., (15)

1-° тт

где Т'т - элемент некоторой обратной матрицы Т. При этом элементы матрицы Т]т определяются по формуле:

Ту = Г: <РМ-Р}-1 = 0,1,2,...,т; ] = 0,1,2,...,т., (16)

Следовательно, константы р (т = ° 1 2 ) можно определить путем решения задачи о

1 ( г Л

разложении функции у (в) = — 1 + —б2 п0 ортогональной системе функций

21 г°)

Ф {в)(т = 012 ). При этом искомые константы будут равны

г:—

Рт =z Дг Тт, (т = О'1'2'...), (17)

> г T -1 г=т T ii

где

1

(

2

г.

[в"в2Ф1 (0)d0

д. , . (18)

Г0

и ф2 №

Для определения величины зоны контакта необходимо составить уравнение статического равновесия:

5 = £ р{в)г3 ав, (19)

п - П

где п ~ Е (0- величина результирующей нагрузки). Е2

В результате подстановки (1) в уравнение (19) получим

5 = 2Р0 00, (20)

5 = Ä

E2 Г3

1+rL 1+r3

r V 00 r V r0 У

(21)

Таким образом, общая схема уточненного метода решения контактной задачи для двухслойного упругого покрытия твердого цилиндра состоит в следующем:

• На основании результатов [2] вычисляем параметр у0 и последовательность чисел rjn(n = 1'2,...). Устанавливаем при этом с заданной точностью число Л, к которому эта последовательность чисел стремится.

• Задаваясь последовательно различными значениями угла 00, определяем соответствующие им константы pm (m = 0,1,2,...) в соответствии с (14) - (18).

• На основании (12) и (20) строим графики зависимостей соответственно между параметром 8, результирующей нагрузкой и углом в0.

• По заданной результирующей нагрузке Q (или заданному сближению тел при сжатии 8 ) по одному из построенных графиков определяем угол 0О (тем самым определяем величину зоны контакта).

• Для найденного значения угла 0О определяем константы pm (m = 0,1,2,...).

• На основании (1) находим закон изменения контактных давлений p(ß).

22 Известия МГТУ «МАМИ» № 1(15), 2013, т. 3

Определив величину зоны контакта (угол ^о) и закон распределения контактных давлении , на основании результатов L2J можно определить напряженное и деформированное состояния каждого из упругих слоев. На рисунке 2 показаны законы изменения контактных давлений при различных значе-

\ E2 У

ниях отношении модулей упругости слоев

r . 2

Пуассона v = 0,5 А = и А = — = 0,96.

в случае, когда в0 = 0,05 раз, коэффициент

Рисунок 2. Законы изменения контактных давлений

Следует отметить, что достоинством предложенного метода решения контактной задачи для двухслойного упругого покрытия твердого цилиндра является применимость его не только для кольцевых слоев произвольной толщины, но и одновременно для случаев сжимаемого и несжимаемого материалов.

Литература

1. Божкова Л.В., Рябов В.Г., Норицина Г.И. Приближенное решение контактной задачи для двухслойного упругого покрытия твердого цилиндра.// Известия МГТУ «МАМИ», М.:, 2012, № 1, с. 230-234.

2. Божкова Л.В., Рябов В.Г., Норицина Г.И. Смешанная плоская задача теории упругости для двухслойной кольцевой области.// Известия МГТУ «МАМИ», М.: 2011, № 1, с. 217221.

3. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике, Наука, М.: 1978, 831 с.