Уточненная инженерная теория трещин с применением двухпараметрического критерия прочности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.011

Уточненная инженерная теория трещин с применением двухпараметрического критерия прочности

В.С. Ключанцев, В.Д. Кургузов, А.В. Шутов

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В работе представлена уточненная инженерная теория трещин с применением двухпараметрического критерия прочности. По сравнению с базовой теорией, уточнение состоит в усовершенствованном алгоритме расчета регулярной компоненты напряжений, что позволяет расширить область применимости инженерной теории на случай более длинных трещин. За основу взят двухпараметрический критерий разрушения Леонова-Панасюка-Дагдейла. Сдвоенный критерий разрушения включает в себя деформационный критерий, который сформулирован для вершины истинной трещины, а также силовой критерий, сформулированный для вершины модельной трещины. На основе уточненного критерия построены диаграммы квазихрупкого разрушения компактного образца, полосы с краевой трещиной и балки в режиме четырехточечного изгиба. Для валидации уточненного критерия разрушения приведены результаты моделирования квазихрупкого разрушения конструкций из ряда виртуальных материалов. Соответствующие виртуальные материалы моделируются в рамках нелокальной теории накопления повреждений, косвенно учитывающей средний размер зерна; рассмотрены различные классы гипотез накопления повреждений. Работа с различными типами виртуальных материалов позволяет более детально проанализировать влияние основных гипотез инженерной теории. Для каждого из типов материалов проведено исследование влияния линейного размера микроструктуры на прочность конструкции. Установлено, что уточненная инженерная теория обладает более широкой областью применимости по сравнению с базовой теорией, основанной на двухпара-метрических критериях прочности.

Ключевые слова: инженерная теория трещин, двухпараметрический критерий прочности, квазихрупкое разрушение, нелокальные модели накопления повреждений

DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_3_72

Refined engineering theory of fracture with a two-parameter strength criterion

V.S. Klyuchantsev, V.D. Kurguzov, and A.V. Shutov

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

We present a refined engineering theory of cracks, based on a two-parameter strength criterion. Unlike the basic theory, the refined approach utilizes an improved algorithm for the regular stress component computation. This improvement allows extending the applicability range of the engineering theory to longer cracks. The two-parameter Leonov-Panasyuk-Dagdale fracture criterion serves as a basis. A coupled fracture criterion includes a strain-based criterion, which is formulated at the tip of the true crack, as well as a stress-based criterion, formulated at the tip of a fictitious crack. Based on the refined criterion, quasi-brittle fracture curves are constructed for a compact specimen, a strip with an edge crack, and a beam under four-point bending. To validate the new refined fracture criterion, we present simulation results of quasi-brittle fracture for structures made from various virtual materials. The corresponding virtual materials are modeled using a nonlocal damage accumulation theory accounting for the average size of the aggregate state of the material. Additionally, various classes of damage accumulation hypotheses are considered. Analysis of various types of virtual materials provides insights into the impact of hypotheses behind the engineering theory. For each type of material, the influence of the microstructural length scale on the overall structural strength is investigated. The analysis shows that the refined engineering theory has a wider range of applicability as compared to the basic theory based on two-parameter strength criteria.

Keywords: engineering theory of fracture, two-parameter strength criterion, quasi-brittle fracture, nonlocal damage accumulation models

© Ключанцев В.С., Кургузов В.Д., Шутов А.В., 2023

1. Введение

Неизбежное наличие трещин является одним из факторов, ограничивающих прочность металлических конструкций, применяемых в машиностроении. Наиболее часто встречающиеся трещи-ноподобные дефекты располагаются в местах концентрации напряжений, как правило, в окрестности вершин вырезов и на границах отверстий. Поэтому необходимы простые, пригодные для инженерных расчетов аналитические модели процесса разрушения материалов и конструкций.

Для определения критической нагрузки, приводящей к разрушению конструкций, в инженерных теориях применяются силовые и деформационные критерии прочности [1, 2]. Указанные критерии формулируются на основе полей напряжений и деформаций, полученных с помощью инструментария линейной теории упругости. Особенности силовых и деформационных критериев разрушения обсуждаются в работах [1-5], причем указанные работы сосредоточены на однопара-метрических локальных критериях разрушения хрупких и квазихрупких материалов.

Построение двухпараметрического критерия разрушения дает возможность объединить области использования однопараметрических критериев разрушения, которые отвечают различным предельным состояниям материала. Такой критерий может базироваться на основе однопарамет-рических критериев, включая силовой, деформационный, энергетический и их комбинацию [6-9].

Особое внимание в литературе уделяется разрушению конструкций из материалов со структурой. Условно, к таким материалам относятся материалы, в которых размер микроструктуры сопоставим с размером зоны пластичности. В работах [10-12] предложен двухпараметрический (сдвоенный) интегральный критерий разрушения в уп-ругопластическом материале и построены диаграммы разрушения плоских образцов при наличии в них острых внутренних трещин нормального отрыва (I мода разрушения). В тех ситуациях, когда необходим учет наличия структуры материала, представление зоны предразрушения в виде прямоугольника получено с использованием модифицированной модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла [13, 14] на основе подхода Нейбера-Ново-жилова [15, 16]. Для необходимого и достаточного критериев разрушения на плоскости «длина трещины - напряжения» построены критические кривые, разделяющие эту плоскость на три подобласти, соответствующие отсутствию разруше-

ния, накоплению повреждений в зоне предразру-шения и разделению образца на части. В рамках стандартного подхода подбор постоянных, применяемых для аналитического описания диаграмм разрушения квазихрупких материалов при наличии трещин, осуществляется с использованием аппроксимации классической диаграммы напряжение-деформация исходного материала и критического коэффициента интенсивности напряжений. Следует отметить, что предложенный Легийоном [4] сдвоенный критерий разрушения применим только к хрупкому разрушению.

В настоящей статье двухпараметрический (сдвоенный) критерий прочности применяется для определения критических нагрузок для компактного образца, полосы с краевой трещиной и балки в режиме четырехточечного изгиба. В основу предлагаемого инженерного подхода положены представления о том, что зарождению и росту трещины предшествуют следующие состояния материала: упругое деформирование, переход в пластическое состояние, развитие пластических деформаций, исчерпание ресурса пластичности и разрушение. Полученные в работе результаты дают возможность оценивать несущую способность конструкций с трещинами в более широком диапазоне условий нагружения, чем это позволяют однопараметрические критерии механики разрушения.

Главная цель настоящей работы состоит в том, чтобы представить уточненный вариант инженерной теории. По сравнению с предложенными ранее вариантами инженерной теории, модификация состоит в более точном учете регулярной части распределения напряжений. Для нового варианта инженерной теории представлен алгоритм расчета критической нагрузки для рассматриваемых конструкций; описана процедура калибровки инженерной модели, проведена валидация теории на дополнительных данных. Помимо более скрупулезного учета регулярной части напряжений, отличительной чертой уточненной теории является то, что параметр запаса пластичности является свободным параметром, калибруемым по данным о разрушении образцов с короткими трещинами.

В представленной работе экспериментальное обоснование сдвоенного прочностного критерия получено с помощью обширной программы опытов по разрушению образцов из виртуальных материалов. В качестве виртуальных материалов здесь выступают определяющие соотношения уп-ругопластического деформирования с учетом на-

копления повреждений [17-19]. Для обеспечения корректности конечно-элементных расчетов, а именно для предотвращения патологической зависимости решения от сетки конечных элементов, применяются нелокальные модели интегрального типа [20-23]. В отличие от лабораторных экспериментов работа с виртуальными материалами позволяет реализовать значительно более широкую программу испытаний. Так как в работе применяются несколько классов виртуальных материалов, основанных на существенно различных гипотезах, сравнение с виртуальным экспериментом позволяет более точно оценить корректность гипотез, заложенных в инженерной теории.

2. Уточненный вариант инженерной теории

Под инженерной теорией понимается полуаналитическая методика определения критических нагрузок для конструкций из упругопластических материалов с субструктурой. Рассмотрим конструкцию с трещиной длиной 10, представляемой в виде математического разреза (рис. 1). Введем де-картову систему координат с осью х, направленной вдоль продолжения трещины, а осью у — в перпендикулярном направлении. Следуя концепции Леонова-Панасюка-Дагдейла, положим, что на удалении Ь от вершины реальной трещины располагается вершина так называемой фиктивной трещины. При этом величина Ь соответствует размеру зоны предразрушения вдоль линии трещины; для краткости этот параметр обозначается как длина зоны предразрушения. Пусть начало системы координат находится в вершине фиктивной трещины. Исходная инженерная теория базируется на двух критериях прочности:

1 d

— Ja^(x, 0)dx = aY,

d n

(1)

у(~Ьс) = 5С. (2)

Здесь формула (1) задает силовой критерий в терминах распределения нормальных напряжений вдоль продолжения фиктивной трещины, а формула (2) — деформационный критерий в вершине истинной трещины. Символ й обозначает размер микроструктуры материала; оу — предел текучести материала, 8С — критическое расхождение берегов трещины, зависящие от запаса пластичности материала; 1/2у(-ЬС) — вертикальное перемещение одного берега трещины; ЬС — критическая длина зоны предразрушения. По терминологии

В. В. Новожилова формула (1) считается необходимым критерием разрушения, а формула (2) — достаточным.

Фигурирующие в (1) и (2) поля напряжений и перемещений соответствуют решению задачи линейной теории упругости о равновесии конструкции с фиктивной трещиной. Соответствующая схема нагружения берегов фиктивной трещины представлена на рис. 1.

В рамках обеих инженерных теорий (базовой и уточненной) прочностные характеристики материала задаются следующими тремя параметрами: предел текучести оу, размер микроструктуры й, а также запас пластичности В = (вх-в0)/в0, где в0 — деформация начала пластичности; в1 — критическая деформация разрушения. На практике оу определяется из теста на одноосное растяжение. В публикациях [12, 24] предлагается вычислять параметр й по формуле й = 2/п(К1С/оу)2, где К1с — критический коэффициент интенсивности напряжений материала. В рамках базовой теории запас пластичности в также определяется из теста на одноосное растяжение. Как будет показано ниже, в рамках уточненной теории параметры й и в калибруются по данным о разрушении образцов с различными длинами трещин.

В основу вычислений по обеим инженерным теориям заложено представление напряжений вдоль продолжения фиктивной трещины в виде

a( x ) =

K т

л/2

+ areg(x) x > 0

ЛХ

(3)

где К — коэффициент интенсивности напряжений в вершине фиктивной трещины; огеё(х) — регулярная часть эпюры напряжений вдоль лига-мента (лигаментом называем часть конструкции, находящуюся вдоль продолжения фиктивной трещины). Согласно принципу суперпозиции решений задач линейной теории упругости, коэффициент интенсивности напряжений в вершине фик-

Рис. 1. Истинная и фиктивная трещины. Начало координат О расположено в вершине фиктивной трещины. Вдоль зоны предразрушения приложены стягивающие усилия оу

тивной трещины вычисляется по формуле К1 = К10+К1р, где К10 — коэффициент интенсивности напряжений в линейно упругой задаче о нагруже-нии образца с трещиной длиной 1с = 10 + Ьс нагрузкой интенсивности ас, а коэффициент интенсивности напряжений К1р соответствует решению задачи линейной теории упругости о нагружении фиктивной трещины стягивающими усилиями ау.

В настоящей публикации рассматриваются три геометрии образцов: компактный образец, образец с краевой трещиной, образец на четырехточечный изгиб (рис. 2). Формальное определение интенсивности нагрузки ас следующее: ас = Р/^Н) для компактного образца и образца с краевой трещиной и ас = 3Р/^Н) для образца на четырехточечный изгиб, где Р обозначает приложенное к образцу усилие, w и Н — соответственно ширина и толщина образца.

Из решения задачи линейной теории упругости [25] имеем

К10 = ас Т^ЧЛ

Г1 \

с

V W у

(4)

где — так называемая функция формы.

Полагая 2 = lc/w, имеем следующие соотношения [25] для компактного образца:

78(2) = 16.7 -104.3752, + 369.54422

- 573.78123 + 360.51724, (5)

для образца с краевой трещиной:

78(2) = 1.120 - 0.2312 +10.5522

- 21.7223 + 30.3924, (6)

для образца на четырехточечный изгиб: 7,(2) = 1.122 -1.1212 + 3.74022 + 3.87323 -19.0524 + 22.5525. (7)

Как сказано выше, коэффициент интенсивности напряжений К1р соответствует решению задачи о нагружении берегов фиктивной трещины стягивающими поверхностными усилиями ау. Положим, что длина зоны предразрушения Ьс мала по сравнению с длиной трещины. В этом случае имеем следующее приближенное выражение [10, 11]:

К1р = -2а у

2Ьс

(8)

Для вычисления регулярной компоненты эпюры напряжений воспользуемся приближением теории сопротивления материалов [5]:

агеи(х) = + х1 х > 0, (9)

Рис. 2. Три типа применяемых образцов и их размеры: компактный образец (а); образец с краевой трещиной (б); образец на четырехточечный изгиб (в). Длина истинной трещины обозначена как 10

где а8 — постоянная часть эпюры; а^х) соответствует изгибу с нейтральной осью в середине лига-мента (рис. 3). Более подробно алгоритмы вычисления регулярной части будут обсуждены ниже.

Для расхождения берегов трещины имеем следующую формулу, полученную в рамках линейной теории упругости:

( \ к + 1 ^ и( х) =-К1

-2 х

х < 0,

(10)

20 V п

где О = Е/(2(1 + у)) — модуль сдвига; к — параметр вида напряженного состояния, к = 3 - 4у для плоской деформации.

Рис. 3. Разложение регулярной части эпюры напряжений вдоль лигамента на две компоненты

П

Критическое раскрытие фиктивной трещины 5с в соотношении (2) зависит от запаса пластичности 81 - во исследуемого материала и ширины зоны предразрушения а в вершине реальной трещины. Будем вычислять критическое расхождение берегов по формуле [11, 24]

5с = (Ех -80>а. (11)

Полагаем, что в случае локализованного пластического течения поперечный размер а зоны предразрушения в соотношении (11) пропорционален удвоенному максимальному размеру пластической зоны Я0. Для трещины нормального отрыва в идеально пластических телах имеем следующее приближение [26]:

а = 2 Я0 = ■

(К ^ Л 1р 2 (К ^ Л 1р 2

= хМ . (12)

Vау У Vау У

2л/2(2 + п)

Приведенная оценка зоны пластичности верна для случая плоской деформации. Например, при V = 0.33 имеем %=0.415. Достижение критической величины раскрытия фиктивной трещины 5с, вычисленной по формулам (11), (12), соответствует переходу материала в вершине реальной трещины в критическое состояние и его разрушению.

Получим оценки критического состояния материала в вершине трещины. В соотношениях (3), (4), (8)-(12) имеются все необходимые аналитические выражения для применения достаточного (сдвоенного) критерия (1), (2). Подставляя аппроксимацию (3) в силовой критерий (1), после интегрирования находим:

ас7г =Су.

(13)

Здесь ас — критическое напряжение, 1 *

Сс7- = а х, 0)ах.

а 0

Преобразуем силовой критерий (13), поделив обе части уравнения на ау и подставив выражения (4), (8) для вычисления суммарного коэффициента интенсивности напряжений К1=К10+К1р. В итоге получим

/2Т

Кс„

= 1 - 7 ас

(14)

2 2Ьс Я\ 1с

Здесь ас = ас/су — безразмерное критическое напряжение; 1с = 10 + Ьс — критическая длина фиктивной трещины. Как было указано выше, при построении инженерной теории мы полагаем

Ьс << 1с. (15)

Подставляя (10)-(12) в (2), получаем деформационный критерий в виде

— = (81 -80)Х п

( К V

К 1(

Vе у у

(16)

Учитывая, что О = Е/[2(1 + у)] и Е = ау/80, из (16) получаем

( 2 ^^ ^ (+1(1'+ )(7,^с)2,(17)

(к +1)(1 + у)

где Е' = (е1 -е0)/ е0 — параметр, характеризующий запас пластичности материала в окрестности вершины реальной трещины. После раскрытия скобок в левой части уравнения (17) появляется множитель 2Ьс/ 1с, который можно отбросить как величину более высокого порядка малости по сравнению с ^¡2Ьс/ 1с в силу принятого ограничения (15). В результате преобразований мы получили систему двух уравнений (14), (17) с двумя неизвестными: ^2Ьс/ 1с и ас. После алгебраического преобразования полученной системы находим ее эквивалентную запись. В новой записи в левых частях фигурируют выражения безразмерной критической длины зоны предразрушения Ьс = Ьс/ 1с и безразмерной критической нагрузки

ас = ас/ау:

Ьс =-Т"( Р 8I7SCc)2,

(18)

ас = [7Г + 7,(1 - р Е')^]"1,

где 1с = 1с/ * — безразмерная критическая длина трещины, р = 2%/[(к +1)(1 + у)]. В случае плоской деформации имеем р = х/[2(1 -V2)] = 9/(4>/2(2 + п)(1 + v)).

Для практического применения сдвоенного критерия прочности необходимо вычислить ас7Г:

1 *

(19)

°с7г = а 1 а геЕ^.

В обоих вариантах инженерной теории интеграл от регулярной части эпюры напряжений вычисляется с помощью аппроксимации (9). В базовом варианте инженерной теории константа о8 и функция получаются из условия равновесия образца, нагруженного внешней силой и регулярными напряжениями. В результате 7Г находится по формулам (рис. 2): для компактного образца

1с

1

7г I ,-1 = ..

w w У 1 - 1с/w

Рис. 4. Силовая схема для вычисления регулярной части эпюры напряжений в рамках уточненной теории

+ 3-

1+U

d/w

(1 - ¡J w)2 Тчл

(20)

для образца с краевой трещиной

/ ic d ^ 1

w w

+ 3-

¡J

w

1 - ¡J w

d/w -1-¡cl w.

(1- lj w)

для образца на четырехточечный изгиб

a d^

Yr

w w

=w ( s-D) wzL-d,

2 (w-lc)3

(21)

(22)

В рамках уточненной теории для вычисления о8, 0£ и 7Г применяется силовая схема, изображенная на рис. 4. Как видно из рис. 4, в отличие от базового варианта теории, в условиях равновесия учитывается вклад фиктивной нагрузки о^ = оу и сингулярной части = К пх. Таким образом, имеем

Fr

os =

reg

w - ¡c

(23)

где Кгеё — результирующая сила регулярной части огеё. Изгибная нагрузка 0£ подбирается таким образом, чтобы соответствующий ей изгибающий момент совпадал с моментом регулярной части Мгеё относительно середины лигамента х = 1/2 х ("-/„):

6M

Or =

reg

(24)

( "-/с)2'

Обсудим вычисление требуемых величин Кгеё и Мгеё. Пусть — сила, действующая на образец (на половину образца) в результате внешних усилий. Аналогично, Мех — момент внешних сил относительно центра лигамента; — результи-

рующая сила, вызванная сингулярной частью эпюры напряжений; М;^ — момент сингулярной части эпюры напряжений, вычисленный относительно середины лигамента; — результирующая сила, вызванная фиктивными стягивающими напряжениями интенсивности о^ = оу; М^ — момент, вызванный фиктивными стягивающими напряжениями, вычисленный относительно середины лигамента.

Из условия равновесия образца получаем:

(25)

(26)

Подставляя полученные выражения для Кгеё и Мгеё в формулы (23), (24), находим о8, Омах. Окончательно имеем требуемый интеграл от регулярной части эпюры напряжений в виде

( А Л

V ( - й

о „К = о, + о

F = F — F — F

reg ext sing fict' Mreg = Mext- Msing- f

fmax

1

w - ¡,

(27)

c У

Таким образом, в рамках уточненной теории получаем 7r как функцию от неизвестных bc и ac. Усложнение по сравнению с базовым (стандартным) вариантом инженерной теории состоит в том, что теперь 7r не представляется как функция только от bc.

Напомним, что в рамках инженерной теории требуется решить систему (18) относительно неизвестных bc и ac. Так как безразмерная критическая длина трещины ic = lc/d является функцией от неизвестной величины bc, система (18) полностью связана. При численном решении системы (18) возникшая в рамках уточненной теории зависимость 7r от ac не приводит к усложнению вычислительного алгоритма.

3. Нелокальные модели виртуальных материалов

Как показано в [21, 27], задачи о зарождении и распространении трещин в первом режиме могут решаться с применением нелокальных моделей накопления поврежденности. Указанные модели в явном виде учитывают такие механизмы, как конечные упругопластические деформации, упрочнение материала, накопление поврежденнос-ти. Под поврежденностью в рамках континуального подхода (continuum damage mechanics) понимается возникновение, рост и объединение микродефектов, таких как микротрещины и поры. Благодаря делокализации определяющих соотношений [20, 28] модель учитывает как минимум

один линейный размер микроструктуры материала. Предполагается, что линейные размеры микроструктуры связаны с характерным размером зерна, характерным расстоянием между включениями, характерными размерами дефектов. Введение линейного размера микроструктуры обогащает формулировку задачи и позволяет более точно описывать напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины [20, 29-31]. С вычислительной точки зрения делока-лизация определяющих соотношений позволяет получать устойчивые численные результаты для более мелкой конечно-элементной сетки вне зависимости от ее ориентации [22]. Сравнение расчетов с результатами лабораторных экспериментов показывает, что нелокальные модели позволяют корректно описывать процессы локализации деформаций, а также дают точные оценки критических нагрузок [21, 27].

В настоящей работе применяются две нелокальные модели: термодинамически совместная модель (ТДС) и нелокальная версия модели Гур-сона-Твергаарда-Нидлмана (ГТН). Уравнения обеих моделей представлены в приложении А. В качестве параметра нелокальности в обеих моделях фигурирует величина Н№, задающая радиус дело-кализации. При Н№ ^ 0 предсказания моделей стремятся к предсказаниям по локальным моделям [33].

Для тестирования уточненной инженерной теории представлены три семейства виртуальных материалов с различными конститутивными гипотезами, определяющими их механическое поведение. В рамках каждого семейства материалы отличаются друг от друга только значением параметра нелокальности Н№.

Для семейства виртуальных материалов I поведение материала определяется с помощью модели ТДС. При этом предполагается, что степень

накопленных повреждений линейно зависит от накопленной пластической деформации (при этом при моделировании можно пренебречь эффектом увеличения скорости накопления повреждений в области растягивающих напряжений); условие текучести не зависит от гидростатической компоненты тензора напряжений.

Для семейства виртуальных материалов II механические свойства материала задаются моделью ТДС. Для материала характерны следующие свойства: уравнение накопления повреждений учитывает эффект увеличения скорости роста пор под действием растягивающих гидростатических напряжений; условие текучести не зависит от гидростатической компоненты тензора напряжений.

Для семейства виртуальных материалов III виртуальный материал соответствует модели ГТН. Для материала характерны следующие свойства: уравнение накопления повреждений учитывает эффект увеличения скорости роста пор под действием растягивающих напряжений, а также учитывается эффект слияния пор на финальной стадии процесса разрушения; условие текучести зависит от гидростатической компоненты тензора напряжений.

Для всех трех семейств виртуальных материалов полагаем оу = 900 МПа. При моделировании теста на растяжение в условиях плоской деформации кривая напряжение-деформация для всех трех материалов обладает выраженным плато (рис. 5).

Приведенный выше выбор виртуальных материалов позволяет исследовать применимость инженерной теории к упругопластическим материалам различного типа. При построении инженерной теории трещин принимается ряд упрощающих допущений касательно поведения материала. В частности, инженерная теория основана на чис-

Рис. 5. Тест на растяжение образцов из виртуальных материалов I (a), II (б), III (в) в условиях плоской деформации. По горизонтали отложена инженерная деформация, по вертикали — истинные напряжения

Рис. 6. Геометрия испытываемых образцов из виртуальных материалов; /0 — длина истинной трещины. Размеры в мм

то кинематическом правиле накопления повреждений, которое пренебрегает влиянием гидростатической компоненты тензора напряжений. Анализ точности работы инженерной теории для трех виртуальных материалов позволит оценить значимость рассмотренных механических эффектов, в частности оценить погрешность инженерной теории, вызванную пренебрежением конкретными механизмами накопления повреждений.

4. Результаты расчетов

4.1. Постановка задачи: образцы и нагрузки

В работе рассматриваются три вида образцов для проведения испытаний на виртуальных материалах: компактный образец (рис. 6, а), образец с краевой трещиной (рис. 6, б), образец на четырехточечный изгиб (рис. 6, в). Во всех образцах длина истинной трещины ¡0 варьируется в пределах от 12 до 42 мм. Отметим, что для компактного образца длина истинной трещины включает в себя длину специально подготовленной усталостной трещины (усталостная трещина показана пунктиром на рис. 6, а). Выбор трех указанных геометрий позволяет реализовать разные механизмы на-гружения лигамента. Так, в компактном образце

значительный вклад оказывают как нормальное усилие, так и изгибающий момент. В образце с краевой трещиной большую роль играет нормальное усилие. В режиме четырехточечного изгиба нормальное усилие равно нулю и разрушение происходит исключительно за счет изгибающего момента. Таким образом, совокупность рассматриваемых тестов охватывает широкий диапазон сценариев нагружения лигамента.

4.2. Аспекты численного моделирования и стабильность результатов

Работа с виртуальными материалами имеет ряд преимуществ перед лабораторным экспериментом: отсутствие погрешностей измерений в результатах экспериментов; возможность подобрать параметры, удовлетворяющие ограничениям инженерной теории; большое количество проводимых экспериментов; воспроизводимость (устойчивость) результатов.

Для того чтобы считать виртуальный эксперимент репрезентативным для рассматриваемой задачи, необходимо проверить корректность численного моделирования. Предполагаем, что критерием корректности для виртуального материала является стабильность в предсказании критичес-

Рис. 7. Конечно-элементные сетки, применяемые для тестирования виртуальных материалов. Размеры в мм

кого коэффициента интенсивности напряжений виртуального материала при изменении геометрии образца, характера нагружения и уменьшении размеров конечных элементов сетки. Если результаты расчетов критического коэффициента интенсивности напряжений стабильны, то можно считать, что виртуальный материал задан корректно. В настоящем исследовании уменьшение размеров конечных элементов сеток проводилось до достижения сходимости предсказаний трещи-ностойкости. Отметим, что при работе с чисто локальными моделями такая сходимость невозможна [20, 21].

В представленном исследовании дискретизация по пространству проведена с помощью четы-рехузловых элементов с линейной аппроксимацией геометрии и перемещений (рис. 7). Для предотвращения эффекта запирания применяется пониженный порядок интегрирования (reduced stress integration) [32]. Для интегрирования по времени выбран явный метод Эйлера. Подробности численной реализации нелокальных моделей

интегрального типа представлены в [21, 33]. Во всех задачах применялась схема жесткого нагружения; нагрузка возрастала монотонно вплоть до разрушения образца. Результаты расчетов критических нагрузок по тестам на виртуальных материалах представлены кругами на рис. 8-10. Полученные данные являются основой для калибровки и валидации инженерной теории трещин.

4.3. Калибровка и валидация уточненной инженерной теории

Как в базовом варианте инженерной теории, так и в уточненной теории предполагается, что прочностные свойства материала определяются тремя константами материала: пределом текучести ау, размером микроструктуры й и запасом пластичности в. В рамках базовой теории полагается, что ау ив определяются из одного теста на растяжение [11, 12, 24], а параметр й определяется по тесту о разрушении образца с длинной трещиной (более точно, й является однозначной

-Уточненная инженерная теория о Виртуальный эксперимент

Рис. 8. Результаты калибровки и валидации уточненной инженерной теории для семейства виртуальных материалов I, Нмь = 0.05 (7), 0.2 (2), 0.4 мм (3)

-Уточненная инженерная теория о Виртуальный эксперимент

Рис. 9. Результаты калибровки и валидации уточненной инженерной теории для семейства виртуальных материалов II, Нмь = 0.05 (7), 0.2 (2), 0.4 мм (3)

-Уточненная инженерная теория о Виртуальный эксперимент

Рис. 10. Результаты калибровки и валидации уточненной инженерной теории для семейства виртуальных материалов III, Нмь = 0.05 (7), 0.2 (2), 0.4 мм (3)

функцией от ау и Кс, где критический коэффициент интенсивности напряжений Кс находится в тесте на разрушение образца с длинной трещиной).

В уточненном варианте инженерной теории, по аналогии с базовым вариантом, параметр ау определяется из теста на растяжение. Однако в уточненном варианте теории запас пластичности

в является калибровочным параметром и не определяется непосредственно из теста на одноосное растяжение. Основной причиной, почему В не определяется из теста на растяжение, является то, что напряженно-деформированное состояние в тесте на растяжение принципиально отличается от неоднородного напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины.

Таблица 1. Результаты калибровки уточненной инженерной теории для трех семейств виртуальных материалов

Номер семейства материалов кмм й, мм в

0.05 0.7502 0.8574

Т 0.20 1.1587 1.4595

0.40 1.6593 1.9691

0.05 0.6785 0.7648

ТТ 0.20 1.0023 1.1419

0.40 1.3076 1.8165

0.05 0.7025 1.1769

ТТТ 0.20 1.1776 1.3436

0.40 1.5646 1.9042

Кроме того, в рамках уточненной теории размер микроструктуры й также является свободным калибровочным параметром.

Для конкретного (виртуального) материала опишем алгоритм калибровки уточненной инженерной теории по имеющимся экспериментальным данным. Для калибровки применяются данные по разрушению компактного образца с длинами трещин 10 е {12,18, 24, 30, 42} мм. Экспериментально измеренные критические нагрузки (синтетические данные по разрушению виртуальных компактных образцов) обозначим как а/хр. Здесь 3 — номер эксперимента для исследуемого материала. Так как рассматриваются пять образцов с различными длинами трещин, имеем 3 = 1, ..., 5. Обозначим теоретические значения критической нагрузки, вычисленной по уточненной инженерной теории, как а^й, В). Далее строим функционал ошибки, описывающий среднеквадратичное отклонение предсказаний инженерной теории от экспериментальных данных:

Ф(й, в) = Х (аГ - а*(й, в))2.

(28)

з =1

Тогда для расчетов по инженерной теории применяется пара (й, в"), соответствующая минимуму функционала ошибки. Минимум ищется численно с помощью нелинейного симплекс-метода Нелдера-Мида [34]. Определенные таким образом параметры виртуальных материалов сведены в табл. 1.

Примечательно, что для каждого семейства виртуальных материалов размер микроструктуры й возрастает по мере роста параметра нелокальности йкъ (табл. 1). Это косвенно подтверждает

связь между параметром нелокальности и характерным размером микроструктуры. Кроме того, по мере роста параметра нелокальности увеличивается размер зоны пластичности. Подобные результаты характерны для расчетов в рамках нелокальных теорий [30].

Результаты калибровки уточненной инженерной теории для всех трех семейств виртуальных материалов представлены на рис. 8-10, а. Из рисунков видно, что прочностные характеристики рассматриваемых образцов из всех трех семейств виртуальных материалов схожи. Как следствие, три семейства материалов обладают близкими параметрами размера микроструктуры и запаса пластичности (табл. 1).

Отметим, что уточненная инженерная теория предсказывает прочность компактных образцов с высокой точностью для всех трех семейств виртуальных материалов. Для валидации инженерной теории идентифицированные константы материала (табл. 1) применены также для анализа прочности образцов с краевой трещиной и образцов на четырехточечный изгиб. Как видно из сопоставления расчетов на рис. 8-10, б, в, уточненная инженерная теория сохранила свою предсказательную силу для всех трех семейств виртуальных материалов и двух типов нагружения лига-мента образца. Особо отметим, что высокая точность расчетов подтверждается экспериментальными данными, не использованными для калибровки модели.

4.4. Сравнение вариантов инженерной теории

Для демонстрации превосходства уточненной инженерной теории проведем расчеты по базовой инженерной теории, основанной на упрощенных формулах (20)-(22). На первом этапе константы инженерной теории определяются следующим образом. Предел текучести ау определяется из теста на растяжение, размер микроструктуры вычисляется по формуле

й = 2. Л

К Т

У

Vе у )

(29)

где КТс — критический коэффициент интенсивности напряжений материала, запас пластичности ё определяется из теста на разрушение компактного образца с короткой трещиной (рис. 11, а). Во втором протоколе калибровки для более корректного сравнения вариантов инженерной теории откажемся от формулы (29), накладывающей избыточные ограничения на параметры. Таким обра-

0.1 0.3 0.5 0.7

Уточненная инженерная теория • Виртуальный эксперимент---Базовая инженерная теория

Рис. 11. Сравнение предсказаний уточненной и базовой инженерных теорий. В базовой теории й = 3.4713 мм, В = 0.7451

0.1 0.3 0.5 0.7

Уточненная инженерная теория • Виртуальный эксперимент---Базовая инженерная теория

Рис. 12. Сравнение предсказаний уточненной и базовой инженерных теорий. В базовой теории й= 1.6901 мм, В = 1.8264

зом, во втором протоколе калибровки теории параметр й также подлежит идентификации. Результат калибровки со свободным параметром й представлен на рис. 12, а. Найденные оптимизационным алгоритмом параметры базовой инженерной теории равны й = 3.4713 мм, В = 0.7451 для первого варианта идентификации и й = 1.6901 мм, В = 1.8264 для второго варианта идентификации.

Как видно из рис. 11 и 12, базовая инженерная теория обладает худшей точностью, по сравнению с уточненной инженерной теорией. Более того, базовая инженерная теория, откалиброванная по данным экспериментов о разрушении компактного образца, не позволяет получить достаточно точные результаты для других образцов (рис. 11, б, в, и 12, б, в). В этом отношении базовый вариант теории уступает уточненной инженерной теории, которая позволяет единообразно (с одним набором параметров) описать разрушение различных типов образцов.

5. Заключение

Для материалов с субструктурой предложен уточненный вариант инженерной теории. Уточне-

ние состоит в более подробном описании регулярной части эпюры напряжений areg, основанном на новой расчетной схеме (рис. 4). Благодаря указанному уточнению новая теория описывает прочность трещиноватых конструкций в более широком диапазоне длин трещин (рис. 11 и 12).

Предложена методика калибровки и валида-ции инженерных моделей на основе синтетических экспериментальных данных. Синтетические данные получаются из конечно-элементного решения упругопластической задачи с учетом нелокального закона накопления повреждений материала. Работа с нелокальными моделями позволяет получить устойчивые результаты, вне зависимости от применяемой сетки конечных элементов. При этом параметр нелокальности Ищ, зависит от микроструктурных параметров материала.

Семейства виртуальных материалов подобраны таким образом, чтобы обеспечить количественный анализ влияния механических эффектов на прочность трещиноватой конструкции. Так, рассматриваются семейства с выраженным влиянием гидростатической компоненты на пластические свойства и на скорость накопления повреждений, а также материалы без указанных эффек-

тов. Сопоставление результатов позволило проанализировать работоспособность уточненной инженерной теории, а также оценить значимость рассмотренных механических эффектов.

Сравнение с данными синтетических экспериментов выявило, что базовый вариант инженерной теории недостаточно точно описывает совокупность экспериментальных данных для различных образцов (рис. 11 и 12). В то же время уточненный вариант позволяет описать имеющиеся данные с применением только одного набора констант материала (рис. 8-10).

В отличие от предыдущих работ [35, 36] параметр запаса пластичности е не определяется из теста на растяжение. Это продиктовано тем обстоятельством, что запас пластичности материала в условиях однородного теста на растяжение существенно отличается от запаса пластичности в условиях неоднородного напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины. В рамках более общей теории, описывающей разрушение в комбинированном режиме, запас пластичности следует считать функцией вида напряженного состояния [37-39]. Кроме того, в рассмотренном варианте инженерной теории предполагается, что характерный размер микроструктуры ё задает размер зоны предразрушения, фигурирующей в силовом критерии (1). В качестве обобщения теории размер зоны предразруше-ния может быть принят как функция от размера микроструктуры и размера зоны концентрации напряжений [40]. Соответствующая микромеханическая теория должна калиброваться на основании данных об эволюции размера зоны пред-разрушения. Подробные данные могут быть получены методами компьютерной томографии высокого разрешения [41, 42].

В то время как инженерная теория оперирует характерным размером микроструктуры ё, нелокальная теория накопления повреждений имеет схожий параметр, а именно радиус делокализа-ции И^ц. Между обоими параметрами существует монотонная зависимость (табл. 1). Преимущество инженерной теории состоит в большой скорости проведения прочностных расчетов для ряда типовых конструкций [24, 43]. В то же время конечно-элементные расчеты по нелокальным моделям накопления повреждения обладают значительной универсальностью и позволяют получать результаты для конструкций со сложной геометрией. В данной работе представлена связка инженерной теории и нелокальных моделей накопления по-

вреждений, комбинирующая сильные стороны обоих подходов. Тем самым, указанная связка перспективна для решения сложных инженерных задач.

Приложение А

А1. Термодинамически совместная модель. Запись уравнений модели на отсчетной конфигурации

Термодинамически совместная модель (ТДС) основана на разложении тензора градиента деформации на упругопластическую часть Еерр°г и изменение объема Ер°г, вызванное накопленным повреждением материала. При этом часть Ер°г считается чисто шаровой:

Г = ГеРр°ГГр°г, Гр°г = Ф1/31, Ер°г = Ф. (А1)

Здесь Ф — скалярная величина, описывающая соответствующее относительное изменение объема. Неповрежденное состояние соответствует Ф = 1, а полностью разрушенное — Ф ^ да. Также применяется классическое мультипликативное разложение (разложение Билби) упругопластической части на неупругую часть Е^™" и упругую часть Ге:

(А2)

Связь между напряжениями и деформациями задается в виде

Ч^ с I5 N^ с у5

Г р°г _ Г Г р°г ер е 1

к (Ф)

10

Ф

Ф

1-1

ц(Ф)с-1(ссг1)°.

(А3)

Здесь Т — второй тензор Пиолы-Кирхгофа; с = ГТГ — правый тензор Коши-Грина; с! :=Г1р°г т х Г1р°г — неупругий правый тензор Коши-Грина; с _ det (с)-13 с — унимодулярная часть тензора. Величины к(Ф) и ц(Ф) соответствуют модулю объемного сжатия и модулю сдвига; они зависят от накопленной пористости. Норма движущей силы пластического течения вычисляется по формуле

Т _ Ф-1^Дг[(сТ)°]2.

(А4)

Пластическое (неупругое) течение задается уравнением (см. [19])

— с: _ 2 ^ Ф-1(СГ )° с:. dt 1 Т 1

(А5)

С учетом формулы (А3) закон течения запишется в следующем виде:

1 л

- с1 _ 2 Т Ф-1ц(Ф)(сс-1)° с1. (А6)

Фигурирующая в этом уравнении интенсивность пластического течения вычисляется по закону вязкопластичности

X; =

Ч f

overstress

fo

ц

foverstress = F -J"[K(Ф)-

(A7)

R(s, Ф)].

Здесь АГ(Ф) — зависящий от актуальной пористости предел текучести при отсутствии упрочнения; s — параметр Одквиста; R(s, Ф) — величина изотопного упрочнения как функция от накопленной пластической деформации и актуальной повреж-денности; п и m — константы вязкости. Изотропное упрочнение по правилу Воче (Voce) вычисляется как

s=V3

R(s, Ф) = Ф-

У(Ф) Р

(A8)

(1 - exp(1 -Р s)),

где у(Ф) — параметр упрочнения, зависящий от накопленного повреждения; ß > 0 — фиксированный параметр материала.

Примем следующий закон деградации механических характреристик материала:

у(Ф) = у0 exp(-IRR • (Ф -1)),

, (A9)

K (Ф) = К0Ф-1 exp(-IRR • (Ф -1)),

где IRR — константа материала; константы у0 и K0 соответствуют неповрежденному материалу. В настоящей работе пренебрегаем деградацией упругих характеристик: £(Ф) = k0, ц(Ф) = ц0.

В локальной модели полагаем, что существуют два механизма роста пористости Ф, а именно: зарождение новых пор и рост уже существующих:

Фloc = 4uA

growth

(Ф-Ф 0)Х exp

3 tr(CT)

Dn2

2 tr[(CT)D]

. (A10)

Здесь Апис1 > 0, йЁГО№Л > 0 и Ф0 — константы материала. Согласно уравнению (А10), скорость роста уже существующих пор зависит от коэффициента трехосности напряжений. После задания процедуры делокализации уравнения (А 10) система определяющих соотношений замыкается заданием начальных условий.

Следуя работе [21], для уменьшения чрезмерного «размазывания» поврежденности в нелокальной модели эксплуатируется эффект запира-

ния поврежденности. Для получения эффекта запирания вводится дополнительный параметр — сплошность По определению, сплошность ¥ и пористость Ф двойственны:

1о§¥

¥ = exp[-PCR • (Ф -1)], Ф = 1 -

PCR

(A11)

где PCR > 0 — параметр материала, задающий отношение между пористостью и сплошностью. Уравнение (А 10) делокализовано применением оператора усреднения к скорости сплошности ¥ [21]. Для этого рассмотрим следующий интегральный оператор делокализации, позволяющий по локальному полю qloc вычислить нелокальное

nonloc

поле q :

qnonloc(x) = (qloc)deloc(x) = J qloc(yKeloc(*, y)dy, Vx e Body. (A12)

Body

Здесь adeloc — так называемое ядро делокализации. Это интегральное тождество понимается следующим образом: локальное значение в «источнике» y e Body переходит в «приемник» x e Body с весом adeloc(x, y). В настоящей работе применяется следующее ядро делокализации:

а® (г (x, y))

a

deloc

(x, y) =

J Body a® (Г (x, Z ))dz:

(A 13)

a®(r(x, y)) = «1 -r4(x, y)>)2. В изотропном случае полагаем (см. [44])

r2(x, y) ,

hNL

(A 14)

где hNL — параметр, несущий информацию о характерном размере микроструктуры материала. В случае поликристаллических металлов этот параметр опосредованно связан со средним размером зерна, средним размером дефектов, средним расстоянием между дефектами. В нелокальной модели накопления повреждений постулируется для всех x e Body следующий закон эволюции сплошности:

ф nonloc(x) = (¥ )deloc = (-PCR • Ф • ф^)4*™. (A15)

А2. Модель Гурсона-Твергаарда-Нидлмана. Запись уравнений на отсчетной конфигурации

Применяя мультипликативные разложения тензора градиента деформации, аналогичные разложениям (A1), (A2), получаем выражение для второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, аналогичное выражению (A3):

m

k_ 10

U det C 5 N det C

Ф Ф

-5

■^c-1(ccr1)D.

(А 16)

В рамках модели ГТН модуль сжатия к и модуль сдвига ц не зависят от накопленной повреж-денности Ф. Введем функцию текучести Фаш, которая была получена Гурсоном аналитически из решения задачи о деформировании идеально пластичной среды со сферическими пустотами:

Ф

gtn = -f2 - (1 + q3f *2)аi

2f q1 cosh

f q^-1tr(Cf) ^ 2am

(A 17)

где д2, д3 — константы материала; от=К+Я — актуальный предел текучести; Я — величина изотропного упрочнения; К — начальный предел текучести в тесте на одноосное растяжение. Величина / соответствует модифицированной пористости, схема вычисления которой описана ниже. Поведение материала чисто упруго при Ф0-ш < 0.

В дополнение к пористости Ф в модели ГТН вводится фиктивная пористость / описывающая деградацию механических характеристик материала. Далее вводится модифицированная пористость /(/) для учета эффекта быстрого объединения пустот на финальной стадии повреждения материала. Модфицированная пористость вычисля-

ется по формуле, предложенной Твергаардом и Нидлманом:

' / пРи / ^

/*(/) + К{(/ - /с) при / > /с, (А 18)

_/и при / > ^

где К = (/и -/с)// -/с) — множитель, описывающий ускорение роста повреждений; /и = 1/^1 — значение пористости / в момент образования макротрещины; /с — критическое значение пористости, соответствующее моменту ускорения роста поврежденности; / — значение пористости, соответствующее полностью разрушенному материалу.

Для локального варианта модели ГТН уравнение роста пористости / принимает вид

,1°с - к, Т

fl0C = Aucl^i -Г + (1 - f )Ф.

(A 19)

Для простоты полагаем Anucl = const.

Пластический поток разделен на две части — консервативную и объемную. Консервативная (несжимаемая) часть принимает вид

d Ci = 6-ib ^(Cc-1)D Ci. (A20) dt ат

Скорость изменения объема вычисляется по формуле

dt

Ф = ЗА,;f q1q2 sinh

( q^-1tr(Cf) ^ 2am

1

.(A21)

Таблица A1. Константы семейств виртуальных материалов

Семейство I (ТДС) Семейство II (ТДС) Семейство III (ГТН)

Упругость k0, МПа 175 k0, МПа 175 k0, МПа 175

МПа 80.76 ^o, МПа 80.76 ^o, МПа 80.76

Пластичность K0, МПа 800 K0, МПа 800 K0, МПа 800

Y0, МПа 10.00 Y0, МПа 3.00 Y0, МПа 1.75

в 10.00 в 10.00 в 5.05

Вязкость П, c 1 П, c 1 П, c 1

m 1 m 1 m 1

Повреждаемость Ф0 1 Ф0 1 f0 0

Anucl 0.10 Anucl 0.10 Anucl 0.05

^growth 0.00 ^growth 0.01 q1 1.50

IRR 80 IRR 80 q2 1.00

q3 2.25

fc 0.005

fF 0.015

Нелокальность PCR 1 PCR 1 PCR 1

hNL, мм [0.05, 0.4] hNL, мм [0.05, 0.4] hNL, мм [0.05, 0.4]

Интенсивность пластического течения вычисляется по правилу вязкопластичности

1 f

X — __/ ^ overstress

ц

f0

(A22)

foverstress — 2 - (1 + ^

f

■2 f q1 cosh

фЛг((сТ f)-^

2c

Л

m /

Параметр Одквиста s определяет эволюцию изотропного упрочнения типа Воче:

s = ТбЯ; FT, R(s) = ^(1 - exp(1 - ps)). (A23)

-m p

По аналогии с моделью ТДС, для эффекта запирания повреждения вводится переменная сплошности Y:

log У

¥ — exp(-PCR • f), f — -

(A24)

PCR '

где PCR — параметр материала. Локальная скорость эволюции пористости /loc подвергается де-локализации с помощью следующего интегрального оператора:

г nonloc / \ 1

f (x) —-

(A25)

¥(x)

X J У(y)«deloc(x, y) f l0c(y)dy.

Body

Значения констант для каждого из семейств сведены в табл. A1.

Финансирование

Представленное исследование поддержано грантом Министерства науки и образования Российской Федерации, проект № 075-15-2020-781.

Литература

1. Berto F., Lazzarin P. Recent developments in brittle and quasi-brittle failure assessment of engineering materials by means of local approaches // Mater. Sci. Eng. R. Rep. - 2014. - V. 75. - P. 1-48.

2. Newman J.C., James M.A., Zerbst U. A review of the CTOA/CTOD fracture criterion // Eng. Fract. Mech. -2003. - V. 70. - P. 371-385.

3. Zhu X.K., Joyce J.A. Review of fracture toughness (G, K, J, CTOD, CTOA) testing and standardization // Eng. Fract. Mech. - 2012. - V. 85. - P. 1-46.

4. Leguillon D. Strength or toughness? A criterion for crack onset at a notch // Eur. J. Mech. A. Solids. -2002. - V. 21. - No. 1. - P. 61-72.

5. Weissgraeber P., Leguillon D., Becker W. A review of finite fracture mechanics: Crack initiation at singular

and non-singular stress raisers // Arch. Appl. Mech. -2016. - V. 86. - No. 1. - P. 375-401.

6. Zhu X.K., Chao Y.J. Specimen size requirements for two-parameter fracture toughness testing // Int. J. Fract. - 2005. - V. 135. - No. 1. - P. 117-136.

7. Meliani M.H., Matvienko Y.G., Pluvinage G. Two-parameter fracture criterion (K, p, cTef, c) based on notch fracture mechanics // Int. J. Fract. - 2011. - V. 167. -No. 2. - P. 173-182.

8. Newman J.C., Jr., Newman III J.C. Validation of the two-parameter fracture criterion using finite-element analyses with the critical CTOA fracture criterion // Eng. Fract. Mech. - 2015. - V. 136. - P. 131-141.

9. Warren J.M., Lacy T., Newman J.C., Jr. Validation of the two-parameter fracture criterion using 3D finite-element analyses with the critical CTOA fracture criterion // Eng. Fract. Mech. - 2016. - V. 151. - P. 130-137.

10. Корнев В.М. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 1. -С. 47-59.

11. Корнев В.М., Демешкин А.Г. Диаграмма квазихрупкого разрушения тел со структурой при наличии краевых трещин // ПМТФ. - 2011. - Т. 52. - № 6. -С. 152-164.

12. Корнев В.М. Критические кривые разрушения и эффективный диаметр структуры хрупких и квазихрупких материалов // Физ. мезомех. - 2013. -Т. 16. - № 5. - С. 25-34. - https://doi.org/10.24411/ 1683-805X-2013-00050

13. Леонов М.Я., Панасюк В. В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. -1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391-401.

14. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. -P. 100-104.

15. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannungsrechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937.

16. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикладная математика и механика. - 1969. - Т. 33. - № 2. - С. 212222.

17. Gurson A.L. Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth: Part I—Yield criteria and flow rules for porous ductile media. - 1977.

18. Tvergaard V., Needleman A. Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar // Acta Metallurg. -1984. - V. 32. - No. 1. - P. 157-169.

19. Shutov A.V., Silbermann C.B., Ihlemann J. Ductile damage model for metal forming simulations including refined description of void nucleation // Int. J. Plasticity. - 2015. - V. 71. - P. 195-217.

20. Bazant Z.P., Jirasek M. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress // J. Eng. Mech. - 2002. - V. 128. - No. 11. - P. 1119-1149.

m

21. Shutov A.V., Klyuchantsev V.S. Large strain integral-based nonlocal simulation of ductile damage with application to mode-I fracture // Int. J. Plasticity. -2021. - V. 144. - P. 103061.

22. Klyuchancev V.S., ShutovA.V. Nonlocal FEM simulations of ductile damage with regularized crack path predictions // J. Phys. Conf. Ser. - IOP Publ., 2021. -V. 1945. - No. 1. - P. 012018.

23. Shutov Shutov A.V., Klyuchantsev V.S. Integral-based averaging with spatial symmetries for nonlocal damage modelling // ZAMM. - 2023. - V. 103. -No. 1. - P. e202100434. - https://doi.org/10.1002/ zamm.202100434

24. Кургузов В.Д., Корнев В.М. Построение диаграмм квазихрупкого и квазивязкого разрушения материалов на основе необходимых и достаточных критериев // ПМТФ. - 2013. - Т. 54. - № 1. - С. 179194.

25. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х т. / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - Т. 1.

26. Райс Дж. Математические методы в механике разрушений // Разрушение. Т. 2. - М.: Мир, 1975. -С. 204-335.

27. Shutov A.V., Klyuchantsev V.S. Geometrically Exact Integral-Based Nonlocal Model of Ductile Damage: Numerical Treatment and Validation // 16th International Conference on Computational Plasticity: Fundamentals and Applications, COMPLAS 2021. - 2021.

28. Andrade F.X.C., César de Sá J.M.A., Andrade Pires F.M. A ductile damage nonlocal model of integral-type at finite strains: Formulation and numerical issues // Int. J. Damage Mech. - 2011. - V. 20. -No. 4. - P. 515-557.

29. Eringen A.C., Speziale C.G., Kim B.S. Crack-tip problem in non-local elasticity // J. Mech. Phys. Solids. -1977. - V. 25. - No. 5. - P. 339-355.

30. Шлянников В.Н., Туманов А.В., Хамидуллин Р.М. Эффекты градиентной пластичности в вершине трещины при плоском напряженном состоянии и плоской деформации // Физ. мезомех. - 2021. -Т. 24. - № 2. - С. 41-55. - https://doi.org/10.24412/ 1683-805X-2021-2-41-55

31. Дерюгин Е.Е. Модель трещины с градиентами пластической деформации // Физ. мезомех. - 2022. -Т. 25. - № 1. - С. 43-65. - https://doi.org/10.55652/ 1683-805X_2022_25_1_43

32. Wriggers P. Nonlinear Finite Element Methods. -Springer, 2008.

33. Ключанцев В.С., Шутов А.В. Сравнительный анализ двух подходов к нелокальному моделированию накопления повреждений // Инж.-физ. журн. -2022. - Т. 95. - № 7. - С. 1680-1692.

34. Lagarias J.C., Reeds J.A., Wright M.N., Wright P.E. Convergence properties of the Nelder-Mead simplex method in low dimensions // SIAM J. Optimization. -1998. - V. 9. - No. 1. - P. 112-147.

35. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности для сложного напряженного состояния // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 5. - C. 43-52.

36. Кургузов В.Д., Корнев В.М., Астапов Н.С. Модель разрушения биматериала при расслоении. Численный эксперимент // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011. - Т. 17. - № 4. -С. 462-473.

37. Mirza M.S., Barton D.C., Church P. The effect of stress triaxiality and strain-rate on the fracture characteristics of ductile metals // J. Mater. Sci. - 1996. -V. 31. - No. 2. - P. 453-461.

38. Mirone G., Corallo D. A local viewpoint for evaluating the influence of stress triaxiality and Lode angle on ductile failure and hardening // Int. J. Plasticity. -2010. - V. 26. - No. 3. - P. 348-371.

39. Huang J., Guo Ya., Qin D., Zhou Zh., Li D., Li Yu. Influence of stress triaxiality on the failure behavior of Ti-6Al-4V alloy under a broad range of strain rates // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2018. - V. 97. - P. 48-61.

40. Сукнев С. В. Нелокальные и градиентные критерии разрушения квазихрупких материалов при сжатии // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 4. - С. 22-32. -https://doi.org/10.24411/1683-805X-2018-14003

41. Cooper A.J., Tuck O.C.G., Burnett T.L., Sherry A.H. A statistical assessment of ductile damage in 304L stainless steel resolved using X-ray computed tomography // Mater. Sci. Eng. A. - 2018. - V. 728. -P. 218-230.

42. Croom B.P., Jin H., Noell Ph.J., Boyce B.L., Li X. Collaborative ductile rupture mechanisms of high-purity copper identified by in situ X-ray computed tomography // Acta Mater. - 2019. - V. 181. - P. 377-384.

43. Kornev V.M., Kurguzov V.D., Astapov N.S. Fracture model of bimaterial under delamination of elasto-plas-tic structured media // Appl. Composite Mater. -2013. - V. 20. - No. 2. - P. 129-143.

44. Bazant Z.P., Lin F.B. Non-local yield limit degradation // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1988. - V. 26. No. 8. -P. 1805-1823.

Поступила в редакцию 13.06.2022 г., после доработки 11.10.2022 г., принята к публикации 12.10.2022 г.

Сведения об авторах

Ключанцев Владислав Сергеевич, мнс ИГиЛ СО РАН, vsk1yuchantsev@gmai1.com

Кургузов Владимир Дмитриевич, д.ф.-м.н., гнс ИГиЛ СО РАН, kurguz°v.v1ad1mir54@gmai1.c°m

Шутов Алексей Валерьевич, Бг. habi1., гнс ИГиЛ СО РАН, a1exey.v.shutov@gmai1.com