CC BY
48
Л.О. Бабешко
профессор кафедры «Математическое моделирование
экономических процессов», Л.В.Груздева студентка Института математических методов в экономике и антикризисного управления
УТОЧНЕНИЕ РИСКОВОЙ НАДБАВКИ ТАРИФНОЙ СТАВКИ В РИСКОВЫХ ВИДАХ СТРАХОВАНИЯ
1. Вычисление рисковой надбавки тарифной ставки в рамках методики,
рекомендованной Федеральной службой России по надзору за
страховой деятельностью
Страховая компания принимает на себя риск неблагоприятного события, которое может нанести ущерб объекту страхования. Цена страховой услуги устанавливается в начале действия договора страхования и, в отличие от общества взаимного страхования, не меняется путем внесения дополнительных взносов при нехватке собранных средств на выплаты страховых возмещений [3, с. 16]. Поэтому вопрос формирования тарифной ставки в рисковых видах страхования является особенно важным. В соответствии с методикой, рекомендованной Федеральной службой России по надзору за страховой деятельностью, структура тарифной
ставки включает следующие составляющие:
Тб = Тн +^-• Тб, т.е. тб = 100 • Тн , тн = т0 + тг 0.0)
б н 100 б б 100 - /
где тб- брутто-ставка, тн - нетто-ставка, т0 - чистая нетто-ставка, тг -рисковая надбавка, f- нагрузка, идущая на выплаты сотрудникам. Как следует из (1.0), основная задача формирования структуры тарифной ставки связана с расчетом нетто-ставки тн.
Алгоритм вычисления тарифной ставки по статистической информации включает следующие этапы (см., например, источники, указанные в списке литературы).
© Подготовка статистических данных. На данном этапе, за определенный период времени (п лет), собирается информация о суммах
страховых возмещении sb и совокупной страховой сумме по рискам st, принятым на страхование/ и вычисляется величина фактической убыточности страховой суммы за год t
У = SЬL, ? = ■ (1.1)
' St
© Оценка модели линейной парной регрессии со спецификацией
Уг = а + Ь ■ Хг + вг, г = 1,...п , (1.2)
где х( = г — независимая переменная (момент времени, к которому относится У(), У — значение фактической убыточности страховой суммы за год t, а, Ь — параметры модели, вг — случайное возмущение на момент t, удовлетворяющее условиям Гаусса-Маркова.
Оценка убыточности страховой суммы за год t в рамках модели (1.2) вычисляется по формуле
7 = а + Ь ■* = Х{-р, (1.3)
где а,Ь- МНК-оценки параметров модели (1.2), р=(а, Ь)т- вектор столбец оценок параметров, Хр(1 1)— t-я строка матрицы регрессоров X.
МНК-оценки вектора параметров определяются выражением
в = (ХТХ)-1 ХТУ = ЛУ , где 7 = (У1,..., У г,..., Уп )Т , (1.4)
и являются линейными несмещенными и эффективными в силу теоремы Гаусса-Маркова. Автоковариационная матрица оценок (1.4):
Ср р =а2(ХТХ)-1, (1.5)
где Ст2 - дисперсия возмущения.
Ф Вычисление чистой нетто-ставки т0 . Чистая нетто-ставка (основная часть тарифной ставки) определяется как прогноз убыточности на
г = п + 1 год
То=Уп+1 = а+Ь ■ (п+1). о-б)
© Вычисление рисковой надбавки тарифной ставки Тг. Рисковая составляющая нетто-ставки рассчитывается по формуле
Тг = гкр -6 У, (17)
где 6у - оценка среднего квадратического отклонения фактических значений убыточности от оцененных по формуле (1.3)
62 = -Ц -Е (У - у )2 , (1.8) п -1 г=1
где п - объем выборки, гкр - табличное значение статистики Стьюдента,
выбираемое в соответствии с параметрами: (п-к) - число степеней сво-
боды и (1-а) - значение доверительной вероятности, с которой собранные взносы способны обеспечить выплаты страховых возмещений.
По существу, методика вычисления тарифной ставки представляет собой расчет правой границы доверительного интервала для индивидуального значения эндогенной переменной (убыточности страховой суммы) и выполняется в рамках эконометрических методов.
2. Вычисление рисковой надбавки тарифной ставки в рамках эконометрических методов
Доверительный интервал среднего значения зависимой переменной.
Построим доверительный интервал для ожидаемого значения убыточности страховой суммы на момент времени Ї
ту = Е{уї }= Е{а + ЪХ( +е( }= а + ЪХ{, где Хї = ї,
т.е. интервал, который с заданной доверительной вероятностью 1-а будет накрывать ожидаемое значение зависимой переменной на данный момент. Для построения границ доверительного интервала используется стандартная процедура. Составляется дробь Стьюдента
ту -Уї (2.1)
у =-
- нормированная ошибка оценки (прогноза) среднего значения эндогенной переменной, где в числителе — истинная ошибка оценки (прогноза)
У1 = а + ьхг, (2.2)
в знаменателе — оценка среднего квадратического отклонения (ско) данной ошибки
SУt = VУа г \пу - Уг } = у1 Уа~ {т, }. .
Точечная оценка (2.2) используется для формирования интервальной оценки, в соответствии с (2.1)
У г ± гкр ■ Sуt. (2.3)
Для того чтобы найти оценку ско ^, поступим следующим образом. За-
пишем выражение для дисперсии оценки (2.2)
Уаг{У,) = Уаг(а + ЬХг) = Уаг(а) + X,2 ■Уаг(Ь) + 2ХгСоу(а,Ь). (2.4)
Подставим в (2.4) выражения для дисперсий оценок параметров парной регрессионной модели и их взаимной ковариации (элементы матрицы (1.5)), выраженные через выборочные данные
С--=| ¥аг(а) Соу(а,Ъ)^ = а2 ,(хгхI"1 =
1 Соу(Ъ,а) ¥аг(Ъ) пЕх2
2 Хї2 -2Хї 1 (2.5)
П
где x = Xt -X- центрированное по выборке значение регрессора (X -среднее по выборке), п - объем выборки, ст2- дисперсия возмущений.
Предварительно дисперсию оценки параметра а преобразуем к виду
тогда
Var (а ) =
V2
= ст2 X X2 = Ст2 X (xt + X )2 = 2Г1 X 2 „V, „2 ст I “ + ^^
п X x
п X *
X X
Var ?=„ ) = ст2[! + _^І | - 2 X ст2 + X? СТ“ -
X Х,
(1 X2 - 2 X „X + X2 ^
п
Р 2
X
Р 2
X ХІ
X
= ст2
X X2
(ХР)
X X2
(2.6)
где хр = хр - х -центрированное по выборке значение регрессора, для которого определяется прогноз (оценка) ожидаемого значения зависимой переменной у . Дисперсия (2.6) является диагональным элементом матрицы автоковарриаций вектора оценок эндогенной переменной
Суу = Соу{,У }= Соу[ЫУ,т}= N • Соу(У,У}= ст2N =
2 (1 т Т ^
=ст • -• I• 1Т + х • wт
у П п,1 1,п П,1 1,П у
где N = X• А, I = (1,1,...,1)т, w = w2,...,wn)т, м>( = / ^2 . Так, например,
/ 5=1
элементу / = р соответствует выражение (2.6). Заменяя значение дисперсии возмущения ст2 его оценкой, получим выражение для оценки дисперсии
(2.7)
( , ч2
1 (Хр )
— + ——
X X,
2
Доверительный интервал индивидуального значения зависимой переменной.
Для определения границ доверительного интервала для отдельных (индивидуальных) значений зависимой переменной (например, на момент , = р), применяя стандартную процедуру, составляем дробь Стьюдента
У - У
р р
8р
= 1:р
(2.8)
Числитель дроби (2.8) представляет собой истинную ошибку прогноза индивидуального значения эндогенной переменной
ер = Ур - Ур . (2-9)
2
= а
п
Знаменатель дроби (2.8) — оценка ско истинной ошибки прогноза. Определим дисперсию данной ошибки
Уаг{вр }= Уаг{?р }+ Уаг{? „ }- 2 • Соу{?„ }=
2 2 ст2 + ст2
( 2 А
I + І
п X
1 +1 + Л*
2 А
п X
Покажем, что
Соу{р ?р }=
0
л 2 А
2 1 , Хр
ст + 2
п X *2 V ‘ /
на интервале прогнозирования на интерваленастройки
(2.10)
(2.11)
Интервал настройки модели:
СоУ{р, ер }= СоУр р, ер }= Соу|е р, 8 р -8-Хр £8 5W5 |
2 1 п ( ^ п ( \ 2 СТ2
= СТ----- ^ Соу (8р, 8^ — Хр ^ Wg * Соу рр, 85 | = СТ-
п ,=1 = ст2 | 1-----------Хр ■ М>р
ст 2
Хр ' ^ р ' ст
п
СоУ{р ?р }= СоУ{р ?р - Єр }= ^г{р }- СоУ{р , Єр }=(
1 Хр
—+—^
X х2
Здесь учтена взаимосвязь между остатками регрессии и случайными возмущениями [1, с. 30].
Интервал прогнозирования:
Соу{р , ер }= Соу{ р, ер }= СоУ <^8 р, 8 р - 8- Хр £85W5 | =
= ст 2 - 1 • £ Соу р;р , 8{ }- Хр £ ws • Соу {8р , 8 ^ }= ст 2 .
п г=1 5 = 1
Соу рр,У р }= Соу рр ■>ур - ер }= Уаг {Гр }- Соу {Гр, ер }=ст2 - ст2 = 0 , или, в матричной форме
г „ 1 Г 0 на интервале прогнозиро вания Соу рУ ,У }= < 2
[ст N на интервале настройки
Интервал настройки модели:
Соу р,У }= Соу [Унс , Шнс }= N • Суу = ст2 • N Интервал прогнозирования:
2
СТ
п
Соу у ,у}= Сот {Тир, тнс }= N • Соу { щ, е не }= 0 ’
где у у - векторы значений эндогенной переменной на интервалах
пр ? нс
прогнозирования и настройки, соответственно. Заменяя в (2.10) значение
«о «
дисперсии возмущений а2 его несмещенной оценкой
^2 =Ь2 П - 2,
1=1 /
получим выражение для оценки дисперсии прогноза значения фактической убыточности для наблюдения х = р
1 + - +
Границы для доверительного интервала прогноза индивидуальных значений ух определяются по формуле
У р ± Хкр • 5 р ,
и, следовательно, рисковая надбавка тарифной ставки в рамках регрессионных методов равна
Т = х • 5. (213)
г 1кр ^р
Таким образом, формула (1.8) учитывает лишь часть полной дисперсии прогноза, и рисковая составляющая тарифной ставки (1.7) дает заниженное значение относительно заданной доверительной вероятности по сравнению с (2.13).
Продемонстрируем это на следующих эмпирических данных.
Расчет значений фактической убыточности страховой суммы
ґ Б, * У, ъ =— 100 %
1 227800 410 0,0018 0,179982
2 294200 765 0,0026 0,260027
3 275500 799 0,0029 0,290018
4 309400 1114 0,0036 0,360052
5 334600 1305 0,0039 0,390018
Стандартная форма оцененной регрессионной модели:
У4 = 0,140 + 0,052 • 1 + е4 , Я2 = 0,98, ^ = 119,0 > ^ = 10,1 .
(0,016) (0,005) (0,015 )
Прогноз значения фактической убыточности на следующий год , = 6 равен
т0 = 76 = 0,452 % .
Значение рисковой надбавки тарифной ставки, рассчитанное по формулам (2.12) и (2.13):
Тг = 1,984 • 0,022 = 0,043 .
Значение рисковой надбавки тарифной ставки, рассчитанное по формулам (1.7) и (1.8):
Тг = 1,984 • 0,013 = 0,025.
Из сравнения оценок надбавок тарифных ставок, рассчитанных по анализируемым методикам, следует, что методика, рекомендованная Федеральной службой России по надзору за страховой деятельностью, приводит к занижению рисковой надбавки тарифной ставки и, как следствие, к повышению риска страховых компаний, связанного с нарушением принципа эквивалентности между страховыми премиями и страховыми выплатами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. М.: Дело, 1997.
2. Жданов А.И., Чудилина Т.В. Уточненный регрессионный метод расчета тарифных ставок в рисковых видах страхования // Страховое дело. 2001, декабрь.
С. 37-41.
3. Салин В.Н., Абламская Л.В., Ковалев О.Н. Математикоэкономическая методология анализа рисковых видов страхования. М.: Анкил, 1997.
