CC BY
39
УДК 629.7.023:669.018.95
УТОЧНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ МЕТАЛЛОКОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК, РАБОТАЮЩИХ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
П.И. Болтаев
THE CALCULATED DEPENDANCES REFINEMENT OF THE BEARING CAPACITY OF METAL-COMPOSITE ENVELOPES OPERATING IN STABILITY
P.l. Boltayev
На основе разработанной автором методики сопоставления и согласования расчетных и экспериментальных значений несущей способности слоистых оболочек, работающих при сжимающих нагрузках, осуществлена процедура корректировки расчетных значений по имеющимся экспериментальным данным. При этом полученная уточненная расчетная зависимость позволяет снижать статистические характеристики, определяющие разброс расчетных и экспериментальных значений, оцениваемых по коэффициенту K. А это, в свою очередь, дает возможность более обоснованно подходить к назначению коэффициентов безопасности при проектировании металлокомпозитных конструкций.
Ключевые слова: методика, несущая способность, слоистая оболочка, металлокомпозитная конструкция, разброс расчетных и экспериментальных значений, корректирующая функция.
Based on the author’s methodology the refinement of calculated values in accordance with available experimental data was performed. The above methodology correlates and aligns experimental and calculated values of the bearing capacity of multilayer envelopes operating under contraction conditions. In this respect the obtained calculated dependance enables to reduce statistical characteristics defining calculated and experimental variations estimate by the K-coeffi-cient. In such a way it allows to make more solid approach to the safety coefficient definition at the metal-composite structures design.
Keywords: methodology, bearing capacity, layered envelope, metal-composite structure, spread in calculated and experimental values, correction function.
В статье автора [1] охарактеризована методика сопоставления и согласования расчетных и экспериментальных значений несущей способности слоистых оболочек, работающих на устойчивость. Напомним вкратце сущность разработанной методики.
Основываясь на проведенных ранее исследованиях [2], заметим, что величина критической нагрузки будет зависеть от комплекса структурных и геометрических параметров: числа слоев в пакете N, толщины слоя h, угла укладки слоя а, соотношения слоев ф, уложенных под различными углами, последовательности укладки слоев в пакете, коэффициента армирования слоя ^,
L н
безразмерных параметров — и —(Ь- длина, R - радиус, H - толщина пакета оболочки), а так-
R Я
же от упругих характеристик исходных компонентов, составляющих однонаправленный слой композиционного материала. В связи с этим, очевидно, в зависимости от комплекса этих параметров будет изменяться также и функция согласия экспериментальных и расчетных данных.
Следовательно, каждому комплексу геометрических и структурных параметров оболочки соответствует определенное значение критической нагрузки.
Это говорит о том, что критическая нагрузка оболочки, спроектированная из однонаправленных слоев в пакете, может описываться функцией от целого ряда параметров геометрического и структурного характера:
д = р ^ Я; Я:N; ф; у; аП; Еа; Ес; V а; V с; °а; ^ ^, (1)
где П - вариант порядка расположения слоев в пакете.
В многомерном пространстве геометрических, структурных и упругих параметров в логарифмических координатах критическую нагрузку можно представить в виде гиперплоскости.
1бЯ = а1 • 1б-Ь + а2 ' !ё + ••• + ак !ёСс + с1. (2)
Я Я
Уравнение (2) удобно представить в виде:
7' = Iа'] • Х] + С'. (3)
] =1
Поскольку теоретические значения критической нагрузки представляют собой гиперплоскость, то, следовательно, и экспериментальные значения должны с некоторым отклонением также аппроксимироваться уравнением гиперплоскости. Поэтому, используя методы аналитической геометрии, мы можем найти корректирующую функцию для расчетных значений.
Строго говоря, использование уравнения (2) наиболее эффективно в том случае, когда есть уверенность, что критическая нагрузка имеет экспоненциальную зависимость от входящих параметров или близкую к ней. В случае если это не имеет места, то результаты согласования могут быть менее эффективны. Как показано в классической литературе [3], поведение критической
Ь Н
нагрузки в зависимости от геометрических параметров — и — имеет экспоненциальный харак-
Я Я
тер. Следовательно, в нашем случае данный подход является приемлемым и обоснованным.
Допустим, экспериментальные значения критических нагрузок аппроксимируются следующим уравнением гиперплоскости:
7 " = 1']'- X] + С". (4)
] =1
Тогда, вычитая из (4) уравнение (3), мы получим значение корректирующей функции:
к
7" — 7' = Iа] • Х] + С. (5)
] =1
Действительно, обозначив правую часть уравнения (5) ^К, будем иметь:
7'' — 7 = ^ К. (6)
Подставив в левую часть уравнения (6) истинные значения, будем иметь:
( '
^ Яэ — !§ Яр = !§ К = !§ — . (7)
Iд р )
И окончательно будем иметь:
Яэ = Кд р. (8)
Отсюда, зная К, мы можем корректировать расчетные значения критических нагрузок, согласовывая их с экспериментальными данными.
Перепишем уравнение (5):
7 = I а] • X] + С. (9)
] =1
Найдем методом наименьших квадратов уравнение гиперплоскости корректирующей функции. Используя методы, предложенные в работе [4], запишем систему, определяющую коэффициенты а,, С по экспериментальным данным:
Расчет и конструирование
(10)
¡11 ¡12. ■¡1к ¡11 ¡12. .¡10. ■¡1к ¡11 ¡12. ■¡1.к-1.. ■¡10
¡21¡22. .■¡2к ¡2^22. ..¡20 ..¡2к ¡21¡22. ■■¡2.к-1. ■■¡20
где Ь = ; Ь = ; Ьс =
¡к^к 2. .■¡кк ¡к^к 2. .■¡к 0 ■■¡кк ¡к^к 2. ■■¡к .к-1 ■■¡к 0
(11)
Элементы, входящие в определители Ь, Ьу, Ьс, определяются следующим образом:
1 п
я1 ’ п ,=1
¡рк = -ТХР,; 1 <Г < я < р <к; (12)
п ,=1
1ро = - X 2, • Хр1. п ,=1
Определители Ьу получаются из определителя Ь заменой у-го столбца (т. е. элементов ¡1*, ¡2в... ¡к*) столбцом из элементов /10, /20... ¡ко . А определитель Ьс заменой последнего столбца столбцом из элементов ¡10, ¡20... ¡к0 .
Скорректированная зависимость (8), отражающая влияние экспериментальных данных, позволяет определить разброс уточненной расчетной зависимости, который удобно определять через коэффициент К. Следует заметить, что разброс по коэффициенту К должен быть наименьшим, поскольку корректирующую функцию мы находим по методу наименьших квадратов.
Используя разработанную методику, проведем согласование теоретических расчетных значений имеющимся экспериментальным данным, взятым из работы [5] и представленным в таблице.
Кольцевая укладка ¥~ 0,3.
Параметры оболочки
¡* =- X ХГ1 - х
№ п/п А, мм N Ь, мм ¥ — Н Ь — <7э, МПа Чр, МПа К * ч , МПа К* К = Чг- 1 Ч*р (К1 - К1 )2
1 0,184 9 178 0,328 36,76 2,92 5,4 5,51 0,9800 5,454 0,9898 0,9901 0,001807
2 0,173 13 177 0,345 27,03 2,91 10,2 11,88 0,8586 9,730 0,8190 1,0483 0,000246
3 0,224 12 180 0,271 22,68 2,96 13,1 15,45 0,8479 12,788 0,8277 1,0244 0,000067
4 0,227 12 180 0,266 22,32 2,96 14,5 15,90 0,9119 13,046 0,8205 1,1114 0,006216
5 0,210 15 181 0,287 19,34 2,97 16,1 23,20 0,6939 17,978 0,7749 0,8955 0,018788
6 0,183 15 182 0,330 22,22 2,99 15,1 17,40 0,8678 15,168 0,8717 0,9955 0,001376
7 0,200 14 180 0,296 21,74 2,96 17,8 17,70 1,0056 14,316 0,8088 1,2434 0,044416
8 0,196 14 180 0,296 22,17 2,96 13,0 16,70 0,7784 13,652 0,8175 0,9522 0,006459
Для наглядности графического изображения корректирующую функцию представим зависимой только от геометрических безразмерных параметров Ь и Н. В данном случае берем об— —
ратную величину — = 1/ Н также из условия удобства изображения и наглядности. Поскольку Н Л
й й й — . Н
перейти от одной величины к другой не представляет труда, то щ щ— .
Н Л
Представим корректирующую функцию в следующем виде:
1в К = а • 1в А + Ъ • 1в Т + С. н к
(13)
Применяя процедуру метода наименьших квадратов и используя данные таблицы из 8 оболочек кольцевой укладки пакета при коэффициенте армирования у = 0,3, найдем уравнение
плоскости, которое будет отражать корректирующую функцию. Система уравнений (10), определяющая неизвестные коэффициенты а, Ъ, С, будет иметь вид:
(14)
где Л =
Аъ =
Лt; ъ= ЛЪ . С л ; С = Л с Л ’
I х2 I У,х, I х, I Zí х, IY, х I х,
п п п п п п
I х, У, IY 2 IY, ; Л = I Z,Y, IY 2 IY,
п п п п п п
I х, IV, 1 12, IY, 1
п п п п
I х2 I ^ х, I х, I х2 IY, х, I ^ х,
п п п п п п
I х, У, I Z,Y, IY, ; л с = I х, Y, IY 2 I Z, Y,
п п п п п п
I х, I ^ 1 I х, IY, I Z
п п п п п
В определителях (15) приняты следующие обозначения:
к Т
X = 18 н-; = 1в К; Y г = 1в А .
н, к,
Используя (14), (15) и (16), уравнение (13) будет иметь вид:
18 К * = 0,54648 • 18 А + 6,24507 • ^ Т - 3,7662.
н к
Зависимость (17) удобнее представить в виде:
18Кх = 0,54648 • 18 А + 6,24507 • 18Т-185837.
н к
Отсюда:
К • =. 1
к
0,54648
6,24507
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
С учетом (19) и теоретической расчетной зависимости, приведенной в работе [6], уравнение уточненной расчетной зависимости (8) будет иметь вид:
1
а33 -
а13а22 + а23а11 2а12а23а13 ^ а11а22 - а12
(20)
На рисунке показана процедура корректировки расчетных значений, построенная по данным таблицы (точками показаны экспериментальные значения). По уточненной расчетной зависимости (20) рассчитан коэффициент К1, значения которого показаны в двух последних колонках
таблицы. Среднее его значение равно К1 = 1,03261, а коэффициент вариации Vк = 0,103 .
Расчет и конструирование
Таким образом, разброс экспериментальных и расчетных значений по коэффициенту К составляет порядка 10,3 %.
Подобная величина разброса объясняется малым числом испытаний и сравнительно большим диапазоном значений коэффициента армирования ^ .
Корректирующая согласующая функция (19), строго говоря, соответствует лишь тем экспериментальным данным, которые представлены в таблице. К сожалению, экспериментальные точки по параметру — мало отличаются друг от друга, поэтому корректирующая функция (19), Л
а следовательно, и уточненная расчетная зависимость (20), показанная на рисунке цифрой 2 —
в направлении —, отражает согласие, очевидно, только в этом малом диапазоне изменения этого
Я
параметра.
Сопоставление расчетных и экспериментальных значений критических нагрузок слоистых боралюминиевых оболочек при ф = 0,3 и ф = 0: 1 - расчетная плоскость;
2 - уточненная по экспериментальным данным плоскость
Для более надежного экстраполирования необходимо получение экспериментальных значений в более широком диапазоне изменения параметра Я .
Таким образом, разработанная методика согласования расчетных и экспериментальных значений, основанная на представлении зависимости в виде гиперплоскости логарифмических величин входящих параметров, позволяет определять уточненную расчетную зависимость благодаря введению корректирующей функции, найденной методом наименьших квадратов.
Использование уточненной расчетной зависимости позволяет снижать статистические характеристики, определяющие разброс расчетных и экспериментальных значений по коэффициенту К, и тем самым более обоснованно подходить к назначению коэффициентов безопасности конструкций.
Литература
1. Болтаев, П.И. Методика согласования расчетных и экспериментальных значений несущей способности слоистых оболочек из композиционных материалов / П.И. Болтаев // Технология. Сер. «Конструкции из композиционных материалов». - 1987. - Вып. 1. - С. 47-52.
2. Болтаев, П.И. Исследование схем проектирования тонкостенных цилиндрических оболочек из боралюминия, работающих на устойчивость при внешнем давлении /П.И. Болтаев, М.Р. Романов // Техника, экономика, информация. Сер. «Техника. Конструкции из композиционных материалов». - 1981. - Вып. 2. - С. 41-48.
3. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. - М.: Наука, 1967. -984 с.
4. Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений /Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. - М. : Наука, 1969. - 512 с.
5. Ершов, Н.П. Сопоставление несущей способности оболочек из алюминиево-магниевого сплава, боралюминия и стеклопластика / Н.П. Ершов, С. Т. Милейко //Материалы межотраслевых научно-технических конференций, совещаний, семинаров и выставок. - М. : Всерос. ин-т межотраслевой информации, 1976. - Вып. 3 (6). - С. 100-106.
6. Болтаев, П.И. Основные уравнения анизотропной цилиндрической оболочки / П.И. Болтаев //Конструкции из композиционных материалов. - 2008. - № 1. - С. 3-11.
Поступила в редакцию 22 марта 2012 г.
Болтаев Петр Иванович. Доктор технических наук, помощник Генерального конструктора, Государственный ракетный центр имени академика В.П. Макеева. Область научных интересов -проектирование конструкций из композиционных материалов, устойчивость металлокомпозитных конструкций летательных аппаратов. Тел.: (351) 328-61-29; е-mail: src@makeyev.ru
Petr I. Boltayev. Doctor of engineering science, General designer assistant, “Academician V.P. Makeyev state rocket centre”. The area of scientific interests - composite material structural design, stability of metal-composite structures of airborne devices. Tel.: (351) 328-61-29; е-mail: src@makeyev.ru
