Уточнение классической теории влияния пространственного заряда на автоэлектронную эмиссию с плоской поверхности проводника часть 1. Потенциальный барьер имеет пилообразную форму Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.533.2

Ю.Ф. Захарченко

УТОЧНЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЛИЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА НА АВТОЭЛЕКТРОННУЮ ЭМИССИЮ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДНИКА

Часть 1. Потенциальный барьер имеет пилообразную форму

Показано, что модель автоэлектронной эмиссии, в которой потенциальная энергия электронов вне проводника задается суммарным действием электрических полей, создаваемых внешним источником напряжения, эмитируемым электроном и его зеркальным зарядом, не описывает экспериментально наблюдаемое явление -уменьшение плотности тока эмиссии при большой напряженности внешнего поля.

Для теоретического изучения этого явления исследуется вклад в потенциальную энергию электронов электрического поля, создаваемого всеми эмитируемыми электронами. Требуемая волновая функция электрона находится с помощью метода последовательных приближений, где в качестве нулевого используется волновая функция для потенциального барьера пилообразной формы. В данной работе для этой волновой функции получено точное выражение.

Квантовая механика; автоэлектронная эмиссия; волновая функция электрона; потенциальная функция; область потенциального барьера

Yu.F. Zakharchenko

CLARIFICATION OF THE CLASSICAL THEORY OF THE INFLUENCE OF SPACE CHARGE ON AUTOELECTRONIC EMISSIONS FROM THE FLAT SURFACE OF THE CONDUCTOR.

Part 1. The potential barrier has peak mode form

It is shown that the model of autoelectronic emission, in which the potential energy of the electrons outside Explorer is set the total effect of electric fields created by an external voltage source, issuable an electron and its mirror charge, does not describe the experimentally observed phenomenon - the decrease of density of a current issue with great intensity of external f ields. For the theoretical study of this phenomenon is investigated contribution to the potential energy of the electrons of the electric field created by all emitterly electrons. Required by the wave function of the electron is with the help of the method of successive approximations, where as a zero is used wave function for the potential barrier of the sawtooth waveform. In this work to the ox-a new function we obtain the exact expression.

Quantum mechanics; field emission; the wave function of the electron; the potential function; the scope of the potential barrier

Введение

В начале ХХ века Фаулером и Нордгеймом была создана теория холодной эмиссии электронов с плоской поверхности проводника под действием сильного однородного электрического поля [1]. С её помощью было получено аналитическое выражение для плотности тока Je0 эмиссии, позволяющее достаточно корректно описывать основные закономерности этого явления при напряженности электрического поля до 2-5 В/нМ в зависимости от величины работы выхода электрона e9e (эВ) из материала проводника.

При построении данной теории полагалось, что в зоне проводимости проводника свободные электроны массой me = 0,9110-30 кг и зарядом e = 1,б-10-19 Кл имеют постоянную, стремящуюся к бесконечности потенциальную энергию. При этом их распределение по кинетической энергии W = e9 (эВ) подчиняется закону Ферми-Дирака. Вне проводника потенциальная энергия электрона определя-

ется действием неоднородного электрического поля, создаваемого эмитируемым электроном и его зеркальным зарядом в проводнике. На это поле накладывается однородное электрическое поле напряженностью Е0 (В/нМ), создаваемое внешним источником. В результате возникает потенциальный барьер, описываемый функцией и(х) = - еЕ0х - е2/(4п е0 х), где: е0 = 8,85-10-12 Кл/Вм. Волновая функция у(х), требуемая для вывода коэффициента прохождения Б электрона через барьер (рис. 1, а), находится путем решения одномерного квантово-механического уравнения для областей внутри и вне проводника. Данное уравнение решается с учетом ряда упрощающих допущений, в частности, используется квазиклассический метод Вентцеля-Крамерса-Бриллуэна.

Выражения для волновых функций у(х) и их производных, полученные для областей внутри проводника (зона I), внутри барьера (зона II) и за барьером (зона III), «сшиваются» на границе потенциального барьера в точках, где функция и(х) - W обращается в нуль. В результате получено следующее выражение для коэффициента Б [1-3]:

Б ^ ехр

(

~ ехр

3

л/2те е 3/2 «е

Й Ео

У

? 2

«И

3

„3/2

Л

Й

Ег

-0(у/«е)

(

ехр

„1/2

Е

0(у/«е) - Т

2 d0(у/«е)

3 d(у/«е)

А

(«е -«)

(1)

В (3) введены обозначения:

?2 Г

0 (У/«е) =— 1Л

«е І М

1 - ІХ £ dС,

0 (у/«е) -

«е ^ V 2 «е

2 d0(у/«е)

3 d(у/«е)

1+с

у=1,^, С,= (Л-1

2 V пє0

3 «е ?1 -(

2

к

1

у

1 - - — С — dZ, 2 «е 1+ С

Л

(2)

С2 =л1у - 1

у

Л

у

у V у , , ,

Для частного случая, когда потенциальная функция в области барьера задается в виде И(х) = -еЕ0х (барьер пилообразной формы), т.е. определяется только электрическим полем внешнего источника, выражение (1) запишется в виде:

( 4 У2тее (р - (р -р))312 ^

3

Б0 « ехр

Й

ехр

3 Й

Еп

Ео

(

-4 У2тее «е/2]ехр| 2>/2тее

ехр

ЙЕ

-(9е -9)

(3)

Плотность тока 1е (А/см2) эмиссии электронов, прошедших потенциальный барьер, определяется для случая, когда в функции Ферми-Дирака температура электронного газа Т стремится к нулю. В результате для 1е имеем:

! ет^2е9е/те г т , . 3 Ре (4)

е | Б(^2х) г?х |ере --у# |й#х = ^ |б(р){р-рМр

Je =

2 п2 Й3

Если в (4) подставить Б в форме (1), то, после интегрирования, имеем:

е

е

2

Й

•р 2

1е » 1,544 • 108 • —^

«е

1

0 (у/«е) -

2 d 0 ( у / «е)

-• ехр

^ «е2

- 6,815 0 (у/«е)

Ее

Л

(5)

3 й(у/9е) J

Для частного случая, когда Б задается в форме (3), выражение для 1е запишется в виде:

Е ^

т » 1,544 • 108 • • ехр

«е

- 6,815

Е

(6)

о У

Отметим, что методика вывода выражений (5) и (6) взята за основу во всех последующих зарубежных и отечественных работах, посвященных анализу более сложных моделей автоэлектронной эмиссии (см., например, [2 - 4, 7]).

Результаты расчета зависимости ^( 1е/Ео2 ) от 1/Е0 для ряда значений фе приведены на рис. 2. На этом же рисунке для сравнения с предыдущей зависимостью для тех же значений Е0 и ефе приведены графики зависимости ^( 1ео/Ео2 ) от 1/Ео.

^( Je/Eo2)

lg( Je/Eo2)

0,5

1,0

1,5

2,0 1^0

Рис. 2. Графики зависимости ^( Je/Eo2) от 1/Eo (1) и зависимости ^( Jeo/Eo2) от 1^0 (2) для єфє = 2,5 эВ (а) и вф = 5,0 эВ (б)

Видно [2, 3], что действие электрического поля зеркального заряда в области потенциального барьера приводит к существенному уменьшению плотности тока 1е автоэлектронной эмиссии (кривые 1) по сравнению со случаем, когда действием поля зеркального заряда пренебрегают (кривые 2). Из рис. 2. также следует, что зависимости ^( 1е/Е02) и ^( 1е0/Е02) от 1/Е0 имеет линейный характер. При этом данная закономерность выполняется в широком интервале значений тока 1е (до 25 порядков) и значений напряженности поля Е0 (до 10 В/нм).

В то же время экспериментальные исследования автоэлектронной эмиссии из различных проводящих материалов показали (см., например, [5, 6]), что при Е0 > 5-8 В/нм наблюдается существенное отклонение зависимости ^( 1е/Е02) = /(1/Е0) от линейного закона в сторону меньших величин 1е. В ряде работ, например, [2, 4, 7], это явление связывается с влиянием электрического поля пространственного заряда, создаваемого потоком электронов, прошедшего потенциальный барьер (т.е. движущегося в зоне III на рис. 1, а).

Теоретическая попытка обосновать данное явление заключалась в следующем. Для области движения электронного потока за барьером решалось уравнение Пуассона вида

Э 2Щх)/Э х2 + к^Д/Щх), к = д/ — е/8е/

с граничными условиями

пє,

(9)

и (х)

= о = 0,

х = о

д И (х) /д х

х = о

= Ег

д и(х)/д х х = Еы

В (9) величина 1е задавалась с помощью (6). Интегрируя (9), можно получить выражение:

Ео - (3/2)ЕІ8(Ео = 6к2Т2

(Ю)

(11)

где: И^ и Е^ - потенциал электрода источника и напряженность электрического поля у плоской поверхности электрода источника соответственно.

Совместный расчет (6) и (9) при фиксированных значениях И^ и Е^ продемонстрировал некоторое отклонение зависимости ^( 1е/Е02) = /(1/Е0) от линейного закона в сторону меньших значений 1е [2, 4, 7]. Тем самым, подтверждается в некоторой степени влияние поля пространственного заряда, создаваемого потоком электронов за потенциальным барьером, на процесс туннелирования электронов через него. Однако необходимо отметить. Что в данной теории заложено серьезное противоречие -потенциал на границе барьера полагается равным нулю (см. (10)). Следовательно, на этой границе потенциального барьера плотность пространственного заряда полагается бесконечно большой. А это

2

противоречит результатам решения строгого одномерного квантово-механического уравнения, согласно которым амплитуда волновой функции у(х) электрона на этой границе барьера не равна нулю.

В этой связи в данной работе исследуется вклад в потенциальную энергию электронов в области потенциального барьера электрического поля, создаваемого всеми эмитируемыми электронами. Требуемая волновая функция электрона находится с помощью метода последовательных приближений, где в качестве нулевого используется волновая функция у(х) для потенциального барьера пилообразной формы, описываемой функцией и(х) = - еБоХ. Ниже для этой волновой функции дается вывод точного выражения.

Вывод волновой функции для потенциального барьера пилообразной формы

Как и в рассмотренных моделях автоэлектронной эмиссии [1 - 4], в проводнике используется модель свободных электронов. При этом полагается, что в функции Ферми-Дирака температура электронного газа стремится к нулю. Кроме этого, полагается, что в проводнике (х < 0) электроны, движущиеся перпендикулярно к его поверхности, имеют энергию, равную еф = рх2/2те < ефр в эВ, где: рх - квазиимпульс частицы в данном направлении, имеющей заряд е и массу те), отсчитываемую от дна зоны проводимости. Здесь: ефр - уровень Ферми для потенциальной энергии электронного газа в эВ, отсчитываемый от дна зоны проводимости (для большинства проводящих материалов 0,5 < фр /ф0 <

0,65). Вне проводника полагается, что на электроны действует внешнее электрическое поле напряженностью Е0, вектор которого перпендикулярен поверхности проводника. Тогда электроны имеют потенциальную энергию И(х) (рис. 1, б), задаваемую выражениями:

и (х) = 0 при х < 0, и (х) = е <р0 - еЕ0х при х > 0 (12)

где: еф0 - потенциальная энергия в эВ, отсчитываемая от дна зоны проводимости до нулевого значения (соответствует удалению электрона в бесконечность от поверхности проводника).

В одномерном приближении (вдоль оси х) уравнение для волновой функции у(х) внутри проводника (при х < 0) запишется в виде:

д2 у (х) /д х2 +((2т^Й2 ) ер)у (х) = 0 (13)

Решение (1.4) имеет вид:

у(I) (х) = у 10) ехр^^х) + у2(I) ехр( -1^х), к0 = ^2теер/Й (14)

Уравнение для у(х) вне проводника (при х > 0) запишется в виде:

д2 у (х)/д х2 +((2 те/Й2)(ер-ер0 + еЕ0 • х))у (х) = 0 (15)

Введем в (15) замену переменных £ = -Ьх + с, где:

с/Ь = (Р0-р)/Е0, Ь = (2тееЕю/Й2)1/3 , х = £/Ь + р-р)/Е0, (16)

Тогда уравнение (1.6) запишется в виде [2]:

д2 у (х)/д с2 -с-у (О = 0 (17)

Из (17) следует, что величина £ = С0, соответствующая х = 0, равна

^ =((Р0-Р)/Е0)(2тееЕ^Й 2 )1/3 (18)

Решение (17) в пределах потенциального барьера, т.е. при > С > 0, имеет вид [8]:

у (II) (О = у 1(П^ л/~С 1 -1/3 ( 2С /з) + у 2(П)^^ А/3 (2С /з) (19)

В (19) функции /±1/3( 0 при I £!>>1 можно заменить асимптотическими представлениями:

у 1(П) ^ ||С3/2 1 с08 ( П - П1 - ] 8ШЬ (|С3/2 1 ЯП ( П - П1} + (20)

+ у 2(II) | 2С3/2 1 С0Э | П П | - } 8ШЬ | 2С3/2 1 вт I П П

3 ) У 46) У 3 ) У 4 6,

За пределами потенциального барьера, т.е. при £ < 0, решение (17) имеет вид [8]:

у (III) (0 = у 1 (III) V ^ ^-1/3 У 3^1 | - у 2 (III) л/Т^Т ^ 1/3 У 3^1 ]

В (21) функции Л1/3( 0 при I £!>>1 можно заменить асимптотическими представлениями:

Физика, радиотехника и электроника

V 1(Ш) с°8

2 , „ , 3/2 П П

-с +—

31 4 6

V 2 (III) С°8

2 I „ I 3/2 П П

-с +-+31 4 6

Так как У(ш)(0 соответствует уходящей волне, то должны выполняться условия:

%1)(°“ 2 ]тг ^ ^2 2 + 4 'б)=¥0(Ш^^1

Ущщехр^ | )-¥2(Ш)ехР^- ^ )=0

.( 2і н3/2

ШехРі! 3|С|

Из (23), (24) следует

V 1(Ш) =

' (V3 )л/_П еХР (- '5 V12 )у 0 (III) , V 2 (III)

= і (2/3)Л/~Пехр (-І5п/ 12 )у

0(Ш)

(22)

(23)

(24)

(25)

Проведем сшивание волновых функций V(II)(О и V(ш)(0 при £ = 0. Согласно (21), выражение для V(III)( 0 при £ ~ 0 запишется в виде [8]:

V (ш) Ю « V і (ш)

д V (III) (С)

31/3 с -+

Г(2/3) 2 • 35/3 Г(5/3)

+....

+ V

2 (III)

С

і с4

- + -

31/3 Г(4/3) 2 • 37/3 Г(7/3)

+..

ЭС

V1 (III)

_С_________1_

2 • 32/3 Г(5/3)

+..

+ V

2 (III)

1 1

2С3

31/3 Г(4/3) 37/3 Г(7/3)

+..

Таким образом, имеем:

V (ш) (| С = 0) ~ V1 (

31

1 (Ш) Г(2 / 3) ’ Э С Т 2 ^ 31/3 Г(4 / 3)

Согласно (19), выражение для V(П)(Q при £ ~ 0 запишется в виде [8]:

(г Л ~ Г 31/3 С3 1 1

¥(II) (Ч) ~ ¥1(II) г(2/3)+ 2. 35/3 г(5/3) + "" + ¥2 (II)

Э V (II)(С) Г с2 1 1 Г 1

1

д С

С2 1

2 • 32/3 Г(5/3)

+....

+ V

2 (II)

А

31/3 Г(4/3) ' 2 • 37/3 Г(7/3)

3

1 2 С3 1

---------------1— --------------+

31/3 Г(4/3) 37/3 Г(7/3)

Таким образом, имеем

V (II) (С = 0) ^ V 1(

31

д V (щ (С)

l(II) Г(2/3)’ Э £

Из сопоставления (27) и (29) следует

V 2 (II)

1 1

31/3 Г(4/3)

V1 (II) = V1 (III) = Vя ехР

. 5 п

іТ2 IV0(Щ)

V2 (II) = V2 (III) = Vя еХР

. П

■->12 IV 0(Ш)

Вычислим У(щ( С ) при £ ~ Со- Используя (30) в (20), имеем

V (II)(С 0)« '

2 V 0 (III)

л/3 г 1/4 ^ 0

еХРІ ЦшвЫ2с0/2 'ІС°«ГП-6I->япь[|с0/2

• ІП

81ПІ —

14

+ ехр| -іЦ с0/2

=і

2 V 0 (III)

л/3 /4 ^ о

2

V 0 (III)

я

3

-^хр | |С0/2 7Г/гехР [2С0/2

С°8

3

81П

ПП

4 + 6

I 2 „3/2 ) [ П

+ехР і - 3 с о і ^

3

. 1 1

+ >2 ^їйехР 1 - ^3 с о

. П

ехР| -.)

4

Используя (31), вычислим dy(п)( х )Мх при х = 0. Имеем:

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

3

1

1

1

0

д ¥(щ(Со) Э х

• ехр| -Л

)/Т 1 1ехр 13Со

IV ^ ( ГШ

4^0^0

4Сс

С1'

(32)

Для «сшивания» волновых функции У(1)(х) и У(ц)(х) при х = 0 используем условия:

. д V (I) (х = 0) д V (II) (С о ) д V (II) (С о ) Э С

V(I)(х = о) = V(II)(СоЬ ------^^^----------------------------------------

д х д х

Подставляя (14) и (31), (32) в (32), получим:

1 (2

3 Ч “4] с

д

2 ( . п

V 1 (I) + v 2 (I) = v о (III) ехр 1 - J

ехР I 3 с о/2

1 1

2 со

+ ^^л/гехР I -тС3/2

¥1(Т) ¥2(Т)=¥о(Ш) ггехр| -J

) л/Со

4 Со

+-

2

ехР |- 3 С3о/2

й/4

^о

(33)

(34)

(35)

Из (34) и (35) следует:

V 1 (I) = V о (III)

1

13

ехР | - Л

. п

■ 1/4

ехР |2 С ?2

(36)

4 С,

ЬехР (- 2Со/211 Ь + ±-{^

4 С,

л/3

ехР

. п

(37)

4 С,

7!7^ехР ^ о

4 С,

Коэффициенты отражения И и прохождения Б электронов через потенциальный барьер задаются соотношениями [2 - 4]:

И =

У 2 (I)

V 1(!)

Б = 1 - И =

V 1(!)

V 2 (I)

V10)

Выражения для ІV1(I)I 2 и V щ! 2 запишутся в виде:

I I2 I I2 1

Г1 ГО = Г о (III) ТТ1/

3 Ц о

ехР

(4„ (Ро -Р)32 1 — а-----------------

V 3 Е о ,

V о ]

Е

1+ГГ ИРо-Р,Ш -4(р-р)|

(38)

(39)

+ ехР

4 (Ро -ФУ

----а -

Е

о ]

411 + ^ ИРо-Р)1/2 +

Е

4 (Ро -Р)1

• +"—а (ро - р)1/2

2 21 " (

У 2 (I) У о (Ш) /2 О 3 ехР V

4„ (Ро-Р) — а---------

3 Е„

3/2 1| 1 { - ^ 2

1 + ГГ 1а(Ро "Р)1”- 4(Ро-р)1

(4о)

• +

(

+ ехР

3/2

4 (Ро -Р)

— а---------

ч 3 Ео ,

V о ]

Е

4 (Ро-Р)

’- ~^а{Ро -Р)1/2

где: а = (2тее) / Ь = 5,11Ыо9 [1 / В1/2М ко = аУ.

Подставляя (39) и (4о) в (38), получим выражение для коэффициента Б:

1

1

1

+

4

о

о

1

+

С

о

о

1

+

4

о

1

1

+

+

2

2

2

2

2

+

о

Б =

_4к0а(р0 -р)

1/2

ехр

( 4„ (Ро -Р)3/2 ^

— а----------

3 Бп

к0 + ^а(ро -р)1/2 -

Е,

4 (Ро -Р)

(41)

(

+ ехр

4„ (Ро-р)

---а---------

3 Е„

11 к2 + ^а(ро-Р)1/2 + 4(Р00-Р)^| 1 + 2коа(Ро-р)

1/2

Видно, что полученное выражение для коэффициента Б существенно отличается от выражения (3), приводимого в [1- 4].

Результаты расчета зависимости величины отношения Б/Бо от величины ф/фо для ряда значений фо и Ео приведены на рис. 3 (здесь величина Бо задается выражением (3)).

□/□о

□/□о

Рис. 3. Г рафики зависимости □/□о от ф/фо для Ео =0,5 (а) и Ео =5,0 (б) для фр/фо = о,6 при фо= 12,5 (1), фо= 1 о (2), фо= 7,5 (3), фо= 5 (4), фо= 2,5 (5).

2

+

Видно, что зависимость Б от ф описывается с помощью точного выражения (41) не только количественно, но и качественно по-другому, чем с помощью известного приближенного выражения (3).

Рассмотрим, как на результаты расчета плотности тока эмиссии влияет использование точного выражения для коэффициента Б вместо приближенного, задаваемого (1).

Вводя в (4) замену переменных вида:

ц = 2 (тее/18Е2 й2 )1/3ро(1 - X) = В2/3 (1 - X) , В = 6,815 ро3/2/Ео, X =р / ро

получим следующее выражение для 1е:

в2/3

1е _ 1,248610 • Е04/3 |

ц - В

2/3

Ре

Ро

V ц (В2/3 -ц)

(42)

(43)

В2/3 Ре / Ро

В2/3 + 1

9ц2

со$Ь (ц3/2) —

8ІпИ (ц 3/2)+У ц(В^-ц)

ё ц

2/3

Выражение (43) интегрируется только численно.

Результаты расчета зависимости величины отношения 1е/1е0 [А/см2] от Е0 [В/нМ] для ряда значений фр /ф0 и ф0 приведены на рис. 4.

^еЛео

Рис. 4. Г рафики зависимости Ле/Лео от Ео для фр/фо = о,6 при фо= 12,5 (1), фо= 1 о (2),

фо= 7,5 (3), фо= 5 (4), фо= 2,5 (5)

2

Видно, что приближенное выражение (6) из [2, 3] описывает зависимость Jeo от Е0 с существенной погрешностью по сравнению с точным выражением (43). Погрешность увеличивается при значениях Е0 > 2 В/нМ и ефе < 3 эВ.

Заключение

Показано, что упрощения, использованные в [1-4] при выводе выражений (3) и (6), вносят достаточно большую погрешность при определении величины плотности тока автоэлектронной эмиссии при Е0 > 2 В/нМ и работе выхода электрона из проводника ефе < 3 эВ.

Данная работа выполнена при частичной финансовой поддержке проектом РФФИ № 12-0200807.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fowler R.H.. Electron emission in intense electric fields / R.H. Fowler, L. Nordheim.// Proc. Roy. Soc. 1928. Vol. 119. № A781. P. 173-181.

2. Елинсон М.И.. Автоэлектронная эмиссия / М.И. Елинсон, Г.Ф. Васильев. - М.: Физматгиз, 1958, 272 с.

3. Шредник В.Н. Теория автоэлектронной эмиссии металлов // Ненакаливаемые катоды./ В.Н. Шредник. М.:Сов. радио, 1974, С. 166-169.

4. Мотт Н.. Волновая механика и её применения / Н. Мотт, И. Снеддон. - М.: Наука. Физмат-лит, 1966. 427 с.

5. Dyke W.P. Field emission: large current densities, space charge and vacuum ARC / W.P. Dyke, J.K. Trolan // Phys. Rev. 1953. Vol.89. № 4. P. 799-808.

6. Горьков В. А. О роли пространственного заряда при отборе автоэлектронных токов большой плотности / В.А. Горьков, М.И. Елинсон, В.Б. Сандомирский // Радиотехника и электроника. 1962. Т. 7. № 9. С. 1495-1500.

7. Barbour J.P. Space-charge effects in field emission / J.P. Barbour, W.W. Dolan, J.K. Trolan et.al. // Phys. Rev. 1953. Vol. 92. № 1. P. 45-51.

8. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. / В.Я. Арсенин. М.: Наука. Физматлит, 1984. 384 с.

9. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М., 1971. 1108 с.

Захарченко Юрий Федорович -

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Саратовского отделения Института радиотехники и электроники РАН

Статья поступила в редакцию 13.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011

Yury F. Zakharchenko -

PhD., senior research worker The Saratov branch of the Institute of radio engineering and electronics of RAS