CC BY
31ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2016, том 26, № 3, c. 15-23 -ПРИБОРОСТРОЕНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ ^
УДК 576.32/36; 537.31 © А. Г. Варехов
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ И ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПАРАМЕТРЫ БИОЛОГИЧЕСКИХ МЕМБРАН
В статье обосновывается туннельная природа трансмембранного тока и суммируются представления о механизмах этого тока. Произведен расчет параметров, характеризующих электропроводность мембран, в частности кинетики электронных переходов, удельной электропроводности, подвижности и концентрации носителей, что в целом позволяет рассматривать биологическую мембрану как эквивалентный полупроводник. Материал статьи направлен, в частности, на проблему разработки и исследования биотехнических устройств на основе естественных и синтезированных биологических мембран.
Кл. сл.: трансмембранный ток, туннелирование, мембранный полупроводник, полупроводниковые параметры
ВВЕДЕНИЕ
Исследования механизмов электронного транспорта в биологическом материале начались с изучения фотоиндуцированного окисления цитохро-мов в фотосинтезирующих бактериях С^отаЫит, т. е. переноса электронов от цитохрома к реакционному центру хлорофилла. Низкотемпературные измерения далее позволили, во-первых, детально изучить температурную зависимость проводимости и, во-вторых, обнаружить туннелирование электронов. Уже к 1960 г. Чанс и Нишимура [1] обнаружили передачу электронов в дыхательной цепи ниже температуры жидкого азота. В 1966 г. Де Во и Чанс [2] исследовали температурную зависимость проводимости цитохромоксидазы в диапазоне 31-298 К и выяснили, что при низких температурах (< 65 К) начинается туннелирование электронов, тогда как при высоких температурах преобладает полупроводниковый характер температурной зависимости проводимости, т. е. возрастание по аррениусовскому закону ехр (-Еа / кТ).
Немного позже результаты исследований температурной зависимости электропроводности были суммированы Иортнером [3] в виде следующих положений: измеренное время полуокисления цитохрома при температуре 4.5 К равно Ту2 = 2.3 мс ;
время Ту2 практически постоянно в температурном диапазоне 4.5 + 100К, а энергия активации проводимости в этом температурном диапазоне составляет не более 3.5 -10-3эВ; в диапазоне 100300 К время Ту2 уменьшается от 2.3 мс
до 2 мкс; температурная зависимость времени Ту2
в диапазоне 100-300 К соответствует энергии активации 0.14 ±0.03 эВ, т. е. примерно 5.5 кТ при температуре Т = 300 К.
Стало ясно [4], что для переноса электронов нет необходимости в строгой периодической решетке. Необходимо только достаточно сильное взаимодействие переносчиков, способствующее коллективизации свободных электронных состояний.
Перенос электронов начал активно изучаться при исследованиях химических реакций в растворах, а затем и в гетерогенных средах и, в частности, в биологических мембранах, где донорно-акцепторные пары хорошо структурированы в пространстве и организованы во времени.
Биологические мембраны природного и искусственного происхождения начали в последнее время использоваться для построения измерительных систем (биосенсоров). Например, для регистрации внеклеточных сигналов [5, 6] от электрогенных раковых (HL-1) и эмбриональных почечных (НЕК293) клеток путем прямого электролитического контакта с плавающими затворами комплементарной пары полевых транзисторов [5]. Сверхминиатюрные алмазные транзисторы использовались [6] для измерений ионного обмена клеток также путем прямого электролитического контакта. Известно [7], что в мембранах некоторых электрохимически активных бактерий, относящихся к семейству Exoelectrogens, имеются цепи переноса электронов, альтернативные основной (дыхательной) цепи, способные передавать электроны на любой внешний акцептор, например
металлы. Это свойство может быть использовано для антикоррозионной защиты. Уже сравнительно давно на основе предположения Уильяма Шокли о полупроводниковых свойствах нервных волокон возник интерес к нейропротезированию [8].
ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Исходной точкой для анализа электронного переноса были исследования Фёрстера [9] миграции энергии возбуждения по частотным составляющим спектров флуоресценции посредством ди-поль-дипольных взаимодействий. Немного позже туннельный перенос электронов для сильного перекрытия орбиталей при расстоянии между донором и акцептором не более 10-15 А был исследован Декстером [10].
Константа скорости бимолекулярной реакции в растворе (частота столкновений реагентов), первоначально полученная при классическом описании методами статистической механики жидкостей, записывалась [11] общим выражением вида
К = k (г) Ла2 ехр (- ДG7RT),
где к (г) — средняя вероятность однократного электронного переноса в донорно-акцепторной паре, экспоненциально зависящая от расстояния г при больших расстояниях и близкая к единице при малых расстояниях; фактор Ла2 определяет частоту столкновений; ДG — свободная энергия реакции; кроме того,
ДО* = (А/ 4) [1 + ( ДОЕТ / А)]2
(Я — энергия реорганизации; ДОЕТ — движущая сила переноса). Отметим, что значение стандартной свободной энергии Дв0 обычно известно для реакций в растворе, но гораздо менее известно для мембранных донорно-акцепторных пар.
Квантовомеханическое описание переноса электрона в гомогенной среде (реагенты плюс растворитель) исходно было записано в форме [11]
2п
к=— н Азто,
Н
где ^С) — фактор, определяемый адиабатным принципом Франка—Кондона о неизменности положения взаимодействующих ядер, т. е. сумма произведений интегралов перекрытия вибрационных и сольватных волновых функций для реагентов и таких же интегралов для продуктов реакции; НАВ — матричный элемент связи электронных состояний реагентов и продуктов.
Позже для полуклассического описания обмена электронами в обратимой химической реакции в теории Маркуса [12] было получено основное уравнение для неадиабатического электронного переноса
к = ^.
ЕТ ,
п
К
у]4жАквТ
ехр
(А + ДО )2 4АквТ
которое представляет собой квантовомеханиче-ский аналог уравнения Аррениуса. Предэкспонен-циальный множитель в уравнении имеет размерность [с-1 ] и означает число электронных переходов в секунду, т. е. электрический ток в донорно-акцепторной паре переносчиков. Таким образом, для однонаправленного переноса электронов это уравнение является аналогом вольт-амперной характеристики перехода. Скорость передачи электронов определяется суммой энергии реорганизации Я, т. е. потенциальной энергии, характеризующей конфигурационные изменения электронных переносчиков в акте переноса, и изменением гиббсовской свободной энергии АО, рассматриваемой как термодинамическая составляющая движущей силы электронного переноса. Кинетическая составляющая энергии переноса определяется обменным взаимодействием электрона с колебаниями атомов гипотетической решетки (белка). Матричный элемент определяет разность энергетических уровней электрона в начальном (/) состоянии фА) и конечном (/) состоянии ф+А). В течение последних десятилетий уравнение Маркуса использовалось в разнообразных приложениях, касающихся электронного переноса [13].
Полуклассическая гауссовская аппроксимация [14] вероятности переноса электрона для локально организованной в мембране донорно-акцепторной пары, адекватно описывающая процесс для достаточно высоких температур [11], определяется соотношением
Ж =
2ж
Ка ( К )|'
Н2а
2nS ( 2v +1)
12
ехр
ДЕ На
- S
2S (2v +1)
где V = [ехр(На/(квТ))-1] = квТ/(На) (при Т = = 300 К); ДЕ/(На) = Р (АЕ — энергия активации проводимости); S = Ег/(На) (Ег — энергия реорганизации, т. е. восстановления равновесных, или точнее исходных для каждого акта переноса конфигураций реагентов и продуктов); параметр S
2
2
характеризует силу связи; условие S » 1 определяет сильную связь; частота ш принадлежит полосе собственных частот (нормальных колебаний) осцилляторов биологической среды, квантами которой Ьш возбуждается перенос.
Потенциальная энергия реорганизации складывается из двух компонент, первая из которых определяется изменением длин упругих связей реагентов, а вторая — изменением поляризации всех групп, участвующих в переносе.
При расстоянии между активными центрами электронных переносчиков в пределах 5-20 А или менее этого (например, для реакционных центров мембранных фотосистем) трансмембранный ток имеет туннельную природу. Иногда считалось (В.И. Гольданский), что туннельный эффект лежит в самой основе происхождения жизни.
Общие свойства электронпереносящей цепи, необходимые для дальнейшего анализа, могут быть кратко сформулированы в виде следующих известных положений.
Мембранная цепь переноса электронов (дыхательная цепь животной клетки) включает не менее 15 реакций для генерации и транспорта окислительно-восстановительных эквивалентов (H+, e) и производства энергии (фосфорилирования АДФ). Принципиальным, хотя и грубым, аналогом биологической системы электронного транспорта может служить водородно-кислородный топливный элемент Гроува (W.R. Grove, 1839). Здесь на одном электроде (аноде) водород каталитически превращается в компоненты (H+, e); протоны (в твердом полимерном электролите) и электроны (во внешней электрической цепи) перемещаются к другому электроду (катоду), где в присутствии кислорода образуется вода. Функцию проводника внешней электрической цепи в биологической мембране выполняет цепь белков-переносчиков, локализованная в основном в теле мембраны. Кофактором электронного переноса, но не легирующей примесью, служит единственный атом металла (Fe, Cu). Трансмембранная цепь переноса электронов начинается от источника (H+, e) (НАД-Н) и заканчивается терминальным акцептором электронов (1/2)O2. Лимитирующими факторами электронного переноса являются поступление водорода и кислорода, а также доступность АДФ и Фн (неорганический фосфат). Кинетические свойства цепи, исследование которых имеет длинную и противоречивую историю, определяются временем полуокисления т1/2 переносчиков (кинетика первого порядка). В последующих расчетах будут использованы считающиеся достаточно достоверными [15] значения т1/2 = 0.51 мс для звена a ^ a3 и т1/2 = 0.4 мс для терминального участка
a + a3 ^ (1/2)O2
митохондриальной электронпереносящей цепи. Эти значения получены для полностью восстановленных анаэробных митохондрий после импульсной подачи кислорода, т. е. определяют как раз переходные (кинетические) свойства переносчиков. Значение Ту2 = 0.4мс соответствует скорости
переноса электронов 1п2/г1/2 = 1.7403с-1 и току
в расчете на перенос пары электронов (в силу квантового запрета, "один за другим") на кислород, равному приблизительно 5-10-16 А. Отметим также, что мембрана принципиально является источником тока, но не источником максвелловской сторонней электродвижущей силы (гальваническим элементом).
Условием квазиклассического приближения для мембраны и характера трансмембранного тока считается [16, с. 46-53] выполнение неравенства
£2 =( Й2/(2те Ад>т dm )) ^ 1, т. е. малость квантового масштаба действия Й по сравнению с величиной ф^А^Ж, характеризующей потенциал (те — масса электрона; Ад>т — трансмембранная разность потенциалов; dm — толщина мембраны). При условии линейного хода потенциала в мембране, т. е. средней напряженности трансмембранного электрического поля А^т / dm =
= 2 • 107В/м (Арт = 200 мВ; dm = 100 А), получаем £2 = 0.0015, и, следовательно, условие квазиклассичности выполняется. При нелинейном ходе потенциала (прямоугольный или трапецеидальный барьер) следует ввести характерную длину I < dm вблизи одной из межфазных границ "мембрана— водное окружение" или вблизи обеих границ. При подстановке вместо толщины мембраны dm значения характерной длины менее I = 10 А квазиклассическое приближение перестает выполняться.
Другое условие квазиклассичности мембраны и электронного переноса следует из определения дебройлевской длины волны электрона
Л = h [2me (E - U ( x ))]"V2 (E
полная энергия
электрона; и (х) — потенциальная энергия электрона) и формулируется в виде неравенства [17, 18]
dx
h
2^2
=[ E - U ( x )]
m.
-V2
dU
dx
«1.
Если считать, что Е - и = А^т, т. е. избыточная (кинетическая) энергия электрона соответствует высоте потенциального барьера, то при I = dm (линейный ход потенциала) получаем
^ = 0.137 дх
и, следовательно, выполнение квазиклассического условия. Однако при I = 10 А (ёА/ёх = 1.37) более вероятно проявление квантовых свойств мембраны и туннелирование электронов. Соответственно в этом случае величина I обозначает длину тун-нелирования. Дебройлевская длина волны электрона может быть вычислена [17] непосредственно из выражения Хе = кД/3шеквТ = 62 А, т. е. соизмерима с толщиной мембраны. Таким образом, ясно, что электрон не может быть локализован в активном центре донора (например, Fe2+). Это состояние благоприятно как с точки зрения обмена энергией с фононами гипотетической решетки (белком), так и с точки зрения легкости туннели-рования.
Туннелирование электронов было постулировано при исследовании температурной зависимости проводимости прерывистых тонких металлических пленок на диэлектрических подложках [19]. При уменьшении внешнего смещения сохранялись однонаправленные (туннельные) переходы электронов, однако при близком к нулю, но конечном смещении такие переходы становились равновероятными в направлениях + х, а ток проводимости — равным нулю. Приближение нулевого смещения послужило в этой работе доказательством существования туннельной проводимости. Исследуются также процессы, связанные с проводимостью (электронным транспортом) в металлопротеинах [20]. В этой работе, в частности, отмечается, что для одноступенчатого переноса электрона длина туннелирования не может превышать 20А.
Прозрачность прямоугольного барьера для туннельных электронов может быть рассчитана на основании формулы
D =
1 +
( к2 + х2) sh ( ау)
2ку
в которой
к2 = 2шеЕе /Й2; у2 = 2те \Ее -ио\/ й2 (Ее <ио);
а — ширина барьера; Ее — энергия электрона; и0 — высота барьера, определяемая трансмембранной разностью потенциалов, т. е. и0 = еАфт = 0.2 эВ. Результаты расчетов представлены на рисунке.
л а
<и
Л
&
ю
Л
н о о
и
&
о
0.1
0.01
0.001
0.05 0,1 0.15
Энергия электрона Е, эВ
0.2
Прозрачность биологической мембраны для туннельного электрона при заданной длине а туннели-рования
При равенстве высоты барьера и энергии электрона и0 = Ее = 0.2эВ прозрачность с уменьшением ширины приближается к единице, а процесс переноса — к надбарьерному. Однако при Ее = 0.05эВ прозрачность тонкого барьера (5 А) за счет туннелирования примерно в 500 раз больше, чем прозрачность более протяженного (20 А).
Высота барьера и0 = 0.2эВ = 8квТ (Т = 300К)
позволяет оценить масштаб энергии, полученной электроном проводимости за счет обмена энергией с фононами гипотетической решетки донорного белка-переносчика. Прозрачность барьера при а = 5 А, как это следует из рисунка, равна приблизительно D = 0.75. Таким образом, в пределах барьера шириной а = 5 А средняя напряженность электрического поля равна Е = 4 • 108 В/м, т. е. в 20 раз больше значения, среднего для мембраны. Кроме того, наличие сильного поля у поверхности эмиттера делает барьер остроугольным и облегчает туннелирование.
Плотность мембранного туннельного тока можно оценить абиотически как плотность тока автоэлектронной эмиссии. В соответствии с формулой Фаулера—Нордгейма [21] запишем
Л
е3 Е2
8лкеДф
ехр
8ж^2ше (еД^)
3кеЕ
3/2
-*( У )
где еДф — разность стандартных восстановительных потенциалов донорно-акцепторной пары белков-переносчиков электронов; в(у) — табулированная функция Нордгейма безразмерной переменной у = (е / еД(р)^еЕ / 4^ее0 . Используем
2
значение еАф для мембранной донорно-акцепторной пары цитохромов Ь - с1, т. е. разность редокс-потенциалов 170мВ и соответственно еА^ = 0.17эВ. При е = 2^3, т. е., в частности, при эмиссии в неполярный углеводород мембраны, а также и при е = 1, т. е. при эмиссии в вакуум, расчет при в (у) = 0 для обоих случаев дает характерное для автоэлектронной эмиссии высо-
кое
значение плотности тока
Л
=Ц"^Их )уа (х) ^
: ехр
I
а
и - Е = 0.6эВ). Константа (частота) электронного переноса дается выражением
к = ^ •
ЕТ , Й
2л £ ( 2v + ^
Йю
ехр
(р - s )2
2S ( 2v +1)
= 1.464012А• м-2. Это значение плотности тока следует понимать как импульсное, определяемое обменным временем туннелирования т = 10-14с. Время переноса электрона, определяемое кинетикой электронпереносящей цепи, будем считать,
как и ранее, равным т = 1/(1.7•Ю3) = 5.9•Ю-4с.
Здесь время т следует понимать как сумму очень короткого, специфически квантового времени туннелирования т1 и несоизмеримо более продолжительного времени релаксации белков-переносчиков, включая накачку донора, реорганизацию (конформационные перестройки) акцептора и миграцию энергии в среде-посреднике при переходе. Усреднение за время т дает значение плотности тока у = 25А • м-2, или в расчете на один дыхательный ансамбль площадью 5 •10-15м2 примерно 10-13А . Точно такой же расчет для ширины барьера а = 20 А и соответственно напряженности поля, равной Е = 108В/м, дает среднее значение плотности туннельного тока около у = 1 А • м-2 и примерно 10-14А в расчете на один дыхательный ансамбль.
РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Для расчета термически активированного трансмембранного туннельного тока используем далее соотношения, полученные в работах [3, 14] и суммированные в монографии [22]. Квадрат интеграла перекрытия волновых функций электрона в потенциальных ямах донора и акцептора приближенно выражается в виде
где величина а определяется соотношением
а = й/2^2те (и - Е) . Разность и - Е определяет
высоту потенциального барьера, отсчитанную от дна ямы донора (в расчетах принята равной
эквивалентным уравнению Маркуса, в котором Vу = |Ее| • 1е — матричный элемент энергии взаимодействия электронов; Ее — электронный уровень донора, обозначаемый [14] как "энергия возмущения", отсчитанный от дна ямы и принятый в расчетах равным Ее = 6квТ. Параметр Р = АЕ/(йю) определяет "движущую силу" переноса, т. е. разность АЕ стандартных восстановительных потенциалов переносчиков, которая принята равной АЕ = 0.2эВ. Частота ю нормальных колебаний, т. е. смеси фотонов и фононов, названной Хопфилдом [14] поляритонами, при расчете принята равной 3 -1013с-1, т. е. Йю = 0.02эВ и соответственно Р = 10 , что соответствует мягким колебаниям. Параметр £ = Ег/ Йю определяет энергию реорганизации Ег =(1/2) А2Йю .
Туннельный переход скачком изменяет положение донора и акцептора, а также и положение центра тяжести акцептирующей моды, т. е. всего массива атомов и групп, воспринимающих энергию перехода. Если г — расстояние между центром ямы акцептора электрона и центром тяжести акцептирующей моды до перехода, то мгновенный сдвиг центра тяжести при туннельном переходе определяется кулоновским соотношением
Аг = е2 (11 - г)2/(4яее0112г2Мю2), в котором е — заряд электрона; 11 — ширина потенциальной ямы донора; е — микроскопическая диэлектрическая проницаемость, принимаемая равной е = 2 ; М, ш — масса и частота акцептирующей моды; Мю2 — жесткость осциллятора. Отношение А = Аг^0 (R0 — амплитуда нулевых колебаний, R0 = 0.01 ^ 0.04 А) определяет энергию реорганизации и силу связи электрона в акцепторе: А ^1 — слабая связь, энергия кванта Йю «0.1 ^ 0.2эВ и жесткие колебания; А»1 — сильная связь, энергия кванта Йю « 0.01 0.02эВ и соответственно мягкие колебания. При расчете энергия реорганизации выбрана равной Ег = 0.6эВ . Таким образом, £ = 30, что соответствует сильной связи. Равенство и - Е = Ег соответствует бездиссипативному (квазиупругому) характеру процесса реорганизации.
2
2
2
к
Параметр V = kBT/(На) (T = 300К) равен V = 1.3; длина туннелирования l принята равной l = 20 А.
Таким образом, получаем для вероятности переходов (числа переходов в секунду) значение kET = 2.65 •1013с-1. Обратная полученному значению величина, т. е. время туннелирования одного электрона, составляет = 4 -10-14с и соответствует временной (гейзенберговской) неопределенности. Трансмембранный ток в расчете на пару дыхательных переносчиков оказывается равным приблизительно /1 = 4•Ю-6А, т. е. несоизмеримо большим по сравнению со сделанной ранее оценкой (10-16А), характеризующей кинетические возможности терминального звена дыхательной цепи. Однако усреднение тем же способом, каким это было сделано при оценке автоэлектронного тока, при условии <<т1 дает значение
11 • (т</т) = 4• 10-6 • (4• 10-14/5.8•Ю-4) = 3• 10-16 А ,
Это значение соответствует плотности трансмембранного тока, равной приблизительно у = 0.06 А • м-2.
При среднем (макроскопическом) значении напряженности трансмембранного электрического поля Е = 2 -107В • м-1 из выражения у = оЕ (закон Ома) удельная электропроводность мембраны получается равной о = 3 • 10-9 (Ом • м) 1. Наконец, из соотношения о = епеяе при среднем значении подвижности /ле = 10-3см2/(В • с) (вычислена ниже) определяется концентрация носителей пе = 2 • 1011 см-3, соответствующая верхней границе для полимерных полупроводников (например, для нелегированного полиацетилена с проводимостью о = 10- (Омм)- ). Вычислим далее подвижность электрона.
Выше отмечалось, что делокализованное положение электрона в теле мембраны способствует, во-первых, обмену энергией с фононами гипотетической решетки (белка) и, во-вторых, туннельным переходам (перескокам) по определенным точкам (узлам). Последовательность перескоков представляет собой марковский процесс, т. е. отдельные акты перескоков не коррелируют. Для этого формально требуется, чтобы время перескока было значительно меньше времени релаксации. Это условие легко выполняется для массивного белка-переносчика.
Предполагается [23, ч. II], что делокализован-ный электрон ведет себя, как классическая диффундирующая частица. С другой стороны, это предположение наталкивается на некоторые трудности. Классический радиус Лоренца диффунди-
рующего электрона равен 2.8 •10-15м. Если же использовать формулу Стокса—Эйнштейна для коэффициента диффузии, в которую входят коммутативно радиус частицы и динамическая вязкость, и считать микровязкость мембраны равной т] = 0.1 Па • с (1 пуаз) (экспериментально измерена для несоизмеримо более крупных частиц), то радиус оказывается равным 10-19м. Таким образом, остается принять, что формула Стокса— Эйнштейна неприменима.
Активационная вероятность перескоков определяется выражением = (а/2п) ехр(-Еа/(квТ)), а одномерный (поперек мембраны) коэффициент диффузии — выражением D = (12¡22п);
пропорциональность частоте означает, что перескоки инициируются квантами колебаний решетки. Использование формулы Эйнштейна D = цеквТ/е позволяет записать для подвижности соотношение
Я =7^7•D = • Та• ехР( ЕаIквТ).
kT
2-Н knT
Вычисления при значениях: длина туннелирования l = 5, 20 А; а= 1013^1014сч (нормальные колебания) и Ea = 0.2эВ — дают минимальные (при а = 1013сч) значения подвижности / = = 0.7 -10~4см2/(В • с) (l = 5 А) и максимальные (при а= 1014сч) значения / = 1.Ь10_2см2/(В• с) (l = 20 А).
Малое значение подвижности (/
1 см21 (В • с)) носителей тока в полупроводниках уже давно стало основой для обоснования концепции перескоков (hoping) электронов с узла на узел. Соотношения перескоковой (/) и туннельной (/) подвижностей подробно обсуждаются в теории полярона малого радиуса [23].
Среднеквадратичное смещение диффундирующей частицы Vx2 = -J2Dt для рассчитанных значений подвижности оказывается в пределах 0.05^0.5 А. Это свидетельствует, вероятно, в пользу многоступенчатого (multistep [13]) туннелиро-вания или серии перескоков по близкорасположенным точечным квантовым контактам.
Фрелих [24] определяет время релаксации или среднее время между перескоками равенством
1 К
т = — = - exp (н/ ( kBT )),
21
а
где H — высота барьера; а — частота колеба-
ний электрона около каждого положения равновесия по обе стороны барьера; ^21 — вероятность перехода, определяемая, как и ранее, числом переходов в единицу времени; кроме того, Н » kBT . Число столкновений электрона с его окружением в секунду таково, что среднее время между столкновениями т0 мало по сравнению со средним временем т, которое электрон проводит вблизи каждого из положений равновесия, т. е. т0 ■ т .
Обозначим теперь п1 (7) — число частиц в положении 1 (донора электрона); п2 (7) — число частиц в положении 2 (акцептора электрона); п^12 — число частиц, которые в секунду переходят из положения 1 в положение 2; п2 ^21 — из положения 2 в положение 1. Тогда можно составить, следуя Фрелиху, систему справедливых для любого дискретного процесса феноменологических уравнений, показывающих скорости электронных переходов в обоих направлениях:
= -п^12 + п2 ^21, = —п2 ^21 + п^12.
Вычитая первое уравнение из второго, получаем линейное дифференциальное уравнение
d (п2 — п1 = —(ц>12 + ^21)(п2 — + + (^12 — ^21 )(п2 + п1),
для решения которого запишем сначала выраже-
ния
для
обеих
вероятностей
= — ехр 2л
Еа —Ад
kвT
\
2л
ехр
V квТ у
=
где
Ап (7 )= N ^ + NN е-^ ].
т , т. е. при N = 1 (избыточный электрон находится в положении 1 или 2) и Ап = 2 (перенос увеличивает на единицу п2 и уменьшает на единицу п) получаем простое соотношение м^12 =— 1п2/т . Это соотношение в точности соответствует реакционной кинетике первого порядка, если считать, что т = Ту2 — время полуокисления донора электронов, а м^12 — скорость (частота Щ электронного переноса от донора к акцептору. Таким образом, для частоты электронного переноса на терминальном участке цепи, равной Е = 1/ т = 1.7 • 103с—1 , находим т = 5.8-10~4с и соответственно число электронных переходов в секунду и^12 = 1.2 •103с1.
Изменение свободной энергии перехода определяется суммой энергии Еа, необходимой для генерации активированного комплекса на уровне донора (цитохромоксидаза а + а3), и энергии АС, освобождающейся при переносе электрона на уровень акцептора (12) 02). Таким образом, выполняется следующее соотношение:
®0
^12 = —ехР 2л
(
\
kвT у
• ехр
V квТ у
Энергия активации Еа при оксидоредукции звена а ^ а3 цепи составляет приблизительно Еа = |0.29 — 0.55| = 0.26эВ . Расчет дает значение первого сомножителя, равное ехр (Еа/ квТ ) = = 4.54 •10—5 (квТ = 0.026эВ) . Разность редокс-потенциалов звена а3 ^(1/2) 02 составляет АС = 0.55 — 0.82 = —0.27эВ, и соответственно зна-
Еа — энергия активации и АС — изменение свободной энергии при переносе; кроме того, для однонаправленного процесса ^12 » ^21. Начальное
условие формулируется в виде Ап (0) = = [п2 (0) +1] —[п1 (0) — 1] = 2, т. е. один активированный электрон на уровне донора и одно вакантное место на уровне акцептора; кроме того, равенство п2 (0) = п1 (0) в силу марковского характера
процесса выполняется для любого числа актов переноса, предшествующих рассматриваемому.
Решение в обозначениях Ап (7) = п2 — п1 и N = = п2 + п1 записывается в виде
чение второго сомножителя, равное ехр(АО/квТ) = 3.1 •10—5. Отметим, что оксидоре-дукция обоих звеньев а ^ а3 и а3 ^(1/2) 02 цепи протекает, как уже отмечалось выше, с примерно одинаковой скоростью (время полуокисления т^2 равно соответственно 0.51 мс и 0.4 мс). Далее вычислим при а>= 1013^1014 с^значение вероятности (частоты) электронных переходов
^ =
:2.24(103-104) с1
Для каждого шага переноса продолжительностью
с , достаточно хорошо соответствующее значению, вычисленному ранее путем решения дифференциального уравнения переноса.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Исследования проводимости биологических мембран, как и многих других электрофизических параметров мембран, занимают свое место в об-
^ 21 =
щем процессе конвергенции биологии и электроники. В 2009 г. отмечалось [25], что область биоэлектроники созрела для экспоненциального роста. Биологические мембраны уже широко используются как сенсоры для диагностики многих заболеваний, для быстрого анализа ДНК, белков и клеточных метаболитов, как элементы тонкопленочных технологий и в других прикладных направлениях. Число таких направлений будет быстро возрастать.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chance B., Nishimura M. On the mechanism of chloro-phyll-cytochrome interaction: the temperature intensitivi-ty of light-induced cytochrome oxidation in chromati-dium // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1960. Vol. 46. P. 1924. Doi: 10.1073/pnas.46.1.19.
2. De Vault D., Chance B. Studies of photosynthesis using a pulsed laser. I. Temperature dependence of cytochrome oxidation rate in Chromatidium. Evidence of tunneling // Biophys. J. 1966. Vol. 6. P. 825-847. Doi: 10.1016/ S0006-3495(66)86698-5.
3. Jortner J. Temperature dependent activation energy for electron transfer between biological molecules // J. Chem. Phys. 1976. Vol. 64, no. 12. P. 4860-4867. Doi: 10.1063/1.432142.
4. Давыдов А.С. Биология и квантовая механика. Киев: Наукова думка, 1979. 296 с.
5. Meyburg S., Wrobel G., Stockmann R., Moers J., Ingebrandt S., Offenhausser A. Single cell recordings with pairs of complementary transistors // Appl. Phys. Lett. 2006. Vol. 89. 013901. Doi: 10.1063/1.2219339.
6. Dankerl M., Eick S., Hofmann B., Hauf M., Ingebrandt S., Offenhausser A., Stutzmann M., Garrido J.A. Diamond transistor array for extracellular recording from electro-genic cells // Advanced Functional Materials. 2009. Vol. 19. P. 1-9. Doi: 10.1002/adfm.200900590.
7. Richardson D.J., Butt J.N., Clarke Th.A. Controlling electron transfer at the microbe-mineral interface // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2013. Vol. 110, no. 19. P. 75377538. Doi: 10.1073/pnas.1305244110.
8. Samardak A., Taylor S., Nogaret A., Hollier G., Austin J., Ritchie D.A. Propagation and spatiotemporal summation of electrical pulses in semiconductor nerve fibers // Appl. Phys. Lett. 2007. Vol. 91. 073502. Doi: 10.1063/ 1.2770773.
9. Foerster Th. Zwischenmolekulare energiewanderung und fluoreszenz // Ann. Phys. 1948. B. 2, № 1-2. P. 55-75.
10. Dexter D.L. A theory of sensitized luminescence in solids // J. Chem. Phys. 1953. Vol. 21. P. 836-850. Doi: 10.1063/1.1699044.
11. Marcus R.A., Sutin N. Electron transfers in chemistry and biology // Biochim. et Biophys. Acta. 1985. Vol. 81. P. 265-322. Doi: 10.1016/0304-4173(85)90014-X.
12. Marcus R.A. On the theory of oxidation-reduction reac-
tions involving electron transfer // J. Chem. Phys. 1956. Vol. 24. P. 966-978. Doi: 10.1063/1.1742723.
13. Koslowski Th., Burggraf F., Krapf S, Steinbrecher Th., Wittekindt Ch. Recent progress in biological charge transfer: Theory and simulation // BBA. 2012. Vol. 1817, no. 10. P. 1955-1957. Doi: 10.1016/j.bbabio. 2012.02.025.
14. Hopfield J.J. Electron transfer between biological molecules by thermally activated tunneling // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1974. Vol. 71. P. 3640-3644. Doi: 10.1073/pnas.71.9.3640.
15. Блюменфельд Л.А. Проблемы биологической физики. М.: Изд. "Наука", 1977. 336 с.
16. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика с задачами. М.: Изд. "Наука", 1976. 334 c.
17. Lumsden C.J., Silverman M., Trainor L.E.H. Quantum mechanical effects in molecule-membrane interacrions // J. Theor. Biol. 1974. Vol. 48. P. 325-343. Doi: 10.1016/S0022-5193(74)80004-4.
18. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Изд. "Наука", 1974. 752 c.
19. Hartman Th.E. Electrical conduction in discontinuous thin metal films // J. of Appl. Phys. 1963. V. 34, no. 4. P. 943947. Doi: 10.1063/1.1729567.
20. Gray H.B., Winkler J.R. Electron flow through metalloproteins // Review Biochimica et Biophysica Acta. 2010. Vol. 1797. P. 1563-1572. Doi: 10.1016/j.bbabio. 2010.05.001.
21. Елинсон М.И., Васильев Г.Ф. Автоэлектронная эмиссия / Под ред. Д.В. Зернова. М.: ГИФМЛ, 1958. 272 с.
22. Чернавский Д.С., Чернавская Н.М. Белок - машина. Биологические макромолекулярные конструкции. М.: Изд. "Янус-К", 1999. 149 с.
23. Поляроны / Под ред. Ю.А.Фирсова. М.: Изд. "Наука" 1975. 423 с.
24. Фрелих Г. Теория диэлектриков. М.: ИИЛ, 1960. 249 с.
25. Walker G.M., Ramsey J.M. et al. A framework for bio-electronics. Discovery and innovation. Review. 2009. URL: www.nist.gov/pml/div683/upload/bioelectronics_ report.pdf.
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Контакты: Варехов Алексей Григорьевич, varekhov@mail. ru
Материал поступил в редакцию: 1.07.2016
ISSN 0868-5886
NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2016, Vol. 26, No. 3, pp. 15-23
CONDUCTIVITY AND SEMICONDUCTOR PARAMETERS OF BIOLOGICAL MEMBRANES
A. G. Varekhov
Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, Russia
The tunnel nature of transmembrane current is proved in article and ideas of mechanisms of this current are summarized. The calculation of the parameters characterizing conductivity of membranes, in particular, kinetics of electronic transitions, specific conductivity, mobility and the concentration of carriers allows to consider a biological membrane as the equivalent semiconductor. For the analysis of an electrical conductivity the semi-classical description of the mechanism of electrons exchange in reversible chemical reaction, and then semi-classical Gaussian approximation for locally donor-acceptor couple of electronic carriers organized in a membrane is used. It allows to calculate the size of transmembrane current, and then specific conductivity and the equivalent concentration of carriers. The hoping mobility of the delocalized conduction electron is calculated proceeding from value of probability of electronic transfer, defined activation energy.
The material of this article is directed, in particular, to a problem of development and research of biotechnical devices on the basis of the natural and synthesized biological membranes.
Keywords: transmembrane current, tunneling, membrane semiconductor, semiconductor parameters
REFERENСES
1. Chance B., Nishimura M. On the mechanism of chloro-phyll-cytochrome interaction: the temperature intensitivi-ty of light-induced cytochrome oxidation in chromati-dium. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1960, vol. 46, pp. 1924. Doi: 10.1073/pnas.46.1.19.
2. De Vault D., Chance B. Studies of photosynthesis using a pulsed laser. I. Temperature dependence of cytochrome oxidation rate in Chromatidium. Evidence of tunneling. Biophys. J., 1966, vol. 6, pp. 825-847. Doi: 10.1016/ S0006-3495(66)86698-5.
3. Jortner J. Temperature dependent activation energy for electron transfer between biological molecules. J. Chem. Phys., 1976, vol. 64, no. 12, pp. 4860-4867. Doi: 10.1063/1.432142.
4. Davydov A.S. Biologiya i kvantovaya mekhanika [Biology and quantum mechanics]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1979. 296 p. (In Russ.).
5. Meyburg S., Wrobel G., Stockmann R., Moers J., Ingebrandt S., Offenhausser A. Single cell recordings with pairs of complementary transistors. Appl. Phys. Lett., 2006, vol. 89, 013901. Doi: 10.1063/1.2219339.
6. Dankerl M., Eick S., Hofmann B., Hauf M., Ingebrandt S., Offenhausser A., Stutzmann M., Garrido J.A. Diamond transistor array for extracellular recording from electro-genic cells. Advanced Functional Materials, 2009, vol. 19, pp. 1-9. Doi: 10.1002/adfm.200900590.
7. Richardson D.J., Butt J.N., Clarke Th.A. Controlling electron transfer at the microbe-mineral interface. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2013, vol. 110, no. 19, pp. 75377538. Doi: 10.1073/pnas.1305244110.
8. Samardak A., Taylor S., Nogaret A., Hollier G., Austin J.,
Ritchie D.A. Propagation and spatiotemporal summation of electrical pulses in semiconductor nerve fibers. Appl. Phys. Lett, 2007, vol. 91, 073502. Doi: 10.1063/ 1.2770773.
9. Foerster Th. Zwischenmolekulare energiewanderung und fluoreszenz. Ann. Phys, 1948, B. 2, № 1-2, pp. 55-75.
10. Dexter D.L. A theory of sensitized luminescence in solids. J. Chem. Phys, 1953, vol. 21, pp. 836-850. Doi: 10.1063/1.1699044.
11. Marcus R.A., Sutin N. Electron transfers in chemistry and biology. Biochim. et Biophys. Acta, 1985, vol. 81, pp. 265-322. Doi: 10.1016/0304-4173(85)90014-X.
12. Marcus R.A. On the theory of oxidation-reduction reactions involving electron transfer. J. Chem. Phys., 1956, vol. 24, pp. 966-978. Doi: 10.1063/1.1742723.
13. Koslowski Th., Burggraf F., Krapf S, Steinbrecher Th., Wittekindt Ch. Recent progress in biological charge transfer: Theory and simulation. BBA, 2012, vol. 1817, no. 10. pp. 1955-1957. Doi: 10.1016/j.bbabio.2012.02.025.
14. Hopfield J.J. Electron transfer between biological molecules by thermally activated tunneling. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1974, vol. 71, pp. 3640-3644. Doi: 10.1073/ pnas.71.9.3640.
15. Blyumenfeld L.A. Problemy biologicheskoj fiziki [Problems of biological physics]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 336 p. (In Russ.).
16. Elyutin P.V., Krivchenkov V.D. Kvantovaya mekhanika s zadachami [Quantum mechanics with tasks]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 334 p. (In Russ.).
17. Lumsden C.J., Silverman M., Trainor L.E.H. Quantum mechanical effects in molecule-membrane interacrions. J. Theor. Biol, 1974, vol. 48, pp. 325-343. Doi: 10.1016/ S0022-5193(74)80004-4.
18. Landau L.D., Livshic E.M. Kvantovaya mekhanika. Nere-lyativistskaya teoriya [Quantum mechanics. The nonrela-tivistic theory]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 752 p. (In Russ.).
19. Hartman Th.E. Electrical conduction in discontinuous thin metal films. J. of Appl. Phys., 1963, vol. 34, no. 4, pp. 943-947. Doi: 10.1063/1.1729567. Gray H.B., Winkler J.R. Electron flow through metalloproteins. Review Biochimica et Biophysica Acta, 2010, vol. 1797, pp. 1563-1572. Doi: 10.1016/j.bbabio. 2010.05.001.
Elinson M.I., Vasil'ev G.F. Avtoehlektronnaya emissiya [Field emission]. Ed. D.V. Zernov. Moscow, GIFML Publ., 1958. 272 p. (In Russ.).
22. Chernavskij D.S., Chernavskaya N.M. Belok - mashina.
20
21
Biologicheskie makromolekulyarnye konstrukcii [Protein - the machine. Biological macromolecular designs]. Moscow, Yanus-K Publ., 1999. 149 p. (In Russ.). 23. Polyarony [Polarons]. Ed. Yu.A. Firsov. Moscow, Nauka Publ., 1975. 423 p. (In Russ.).
Frelih G. Teoriya dielektrikov [Theory of dielectrics]. Moscow, IIL Publ., 1960. 249 p. (In Russ.). Walker G.M., Ramsey J.M., Cavin R.K., Herr D.J.C., Merzbacher C.I., Zhirnov V. A framework for bioelec-tronics. Discovery and innovation. Review, 2009. URL: www.nist.gov/pml/div683/upload/bioelectronics_ report.pdf.
24.
25
Contacts: Varechov Aleksey Grigor'evich, varekhov@mail. ru
Article received in edition: 1.07.2016
HAYHHOE OTHEOPOCTPOEHHE, 2016, tom 26, № 3
