CC BY
36
The application of the pyrotechnic gas generator systems provide submarine-launched ballistic missiles, the difficulties to be solved when the rocket engine starting at the exit from the water, position the pyrotechnic gas generators in solving the problems of underwater launch, as well as modern tendencies in the design and study of intrachamber processes and actuality of improving the characteristics of the gas generators.
Key words: pyrotechnic gas generator, nitrogen-generating composition, noble gas, rocket engineering, heat and mass transfer.
Antonov Oleg Yurievich, deputy chief, ms. ivtsarambler.ru, Russia, Sergiev Posad, JSC "FSPC"Institute of Applied Chemistry",
Vagonov Sergei Nikolaevich, candidate of technical science, deputy general director, ms. ivtsarambler. ru, Russia, Sergiev Posad, JSC "FSPC"Institute of Applied Chemistry",
Tartinov Igor Viktorovich, Head of Department, ms. ivtsarambler. ru, Russia, Sergiev Posad, JSC "FSPC"Institute of Applied Chemistry",
Polyakov Evgeniy Pavlovich, doctor of technical science, professor, ms. ivtsa rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University.
УДК 623.4:536.7
УТОЧНЕНИЕ И АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА ЧЕРЕЗ СУЖИВАЮЩЕЕСЯ СОПЛО
А.Н. Маршавин, Е.Б. Чудакова, Ю.С. Швыкин
Рассмотрены вопросы расхождения значений при определении скорости истечения и расхода газа и критического отношения давлений в суживающемся сопле для идеального газа, газа Дюпре-Абеля и газа Ван-дер-Ваальса. Объяснены с физической точки зрения расхождения между скоростями и расходами идеального газа и Дюпре-Абеля. Показано влияние уточнений, содержащихся в уравнения состояния Дюпре-Абеля и Ван-дер-Ваальса, на тягу ракетного двигателя и дальность полёта ракеты.
Ключевые слова: скорость истечения, расход, ракетный двигатель, тяга, газ Дюпре-Абеля, газ Ван-дер-Ваальса.
Внутренняя баллистика в начале своего развития опиралась на уравнение состояния идеального газа. Свойства реального газа близки к свойствам идеального газа при высокой температуре, малых давлении и плотности.
Однако существующие энергетические узлы далеки от идеальных условий. В этой связи было выведено уравнение состояния Дюпре-Абеля
p(v - b) = RT, (1)
где p - давление газа; v - удельный объём газа; b - коволюм газа; R - газовая постоянная рассматриваемого газа; T - абсолютная температура.
Уравнение (1) учитывает объём путём вычитания коволюма из объёма, занятого газом, но не учитывает взаимодействие молекул газа. Ково-люм - тот наименьший объём, до которого можно сжать газ. Он складывается из объёма самих молекул и зазоров между ними при самой плотной упаковке и примерно равен учетверённому собственному объёму молекул Ш.
Есть целый ряд энергетических узлов, где уравнение Дюпре-Абеля не корректно, например, система продувки, пароиспарительная система охлаждения. Следовательно, целесообразно использовать уравнения типа уравнения состояния Ван-дер-Ваальса там, где применение обычных законов не приемлемо. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса
' ал
Р + "2
V V У
(V - Ь) = ЯТ, (2)
где а - постоянная Ван-дер-Ваальса.
Однако на практике по-прежнему используется уравнение состояния идеального газа. Изменения коснулись лишь формулы для нахождения давления внутри камеры
к -1 тт
Р =--и,
V - Ьт
где к - показатель адиабаты; V - объём газа; т - масса газа в объёме; и -внутренняя энергия газа.
Целью работы является установление вида и величины поправок в зависимостях для определения скорости истечения и расхода газа при условиях, существенно отличающихся от идеальных. Актуальность введения таких поправок объясняется тем, что от скорости и расхода напрямую зависит тяга ракетного двигателя, а, следовательно, и дальность полёта ракеты.
Авторы провели сравнительный анализ формул скорости истечения и расхода через суживающееся сопло (рис. 1) при следующих допущениях:
1) химических реакций не происходит;
2) теплообмен отсутствует;
3) трение отсутствует;
4) техническая работа не выполняется;
5) поток является установившимся.
Индексами на рис. 1 обозначены номера сечений.
Для вывода были использованы:
1) уравнение состояния газа (1) и (2);
2) Закон сохранения энергии для потока газа
^дм = -vdp; (3)
3) первый закон термодинамики для адиабатического процесса;
4) выражение для удельной внутренней энергии;
65
5) выражение для секундного расхода газа где р плотность газа.
(4)
IV,
£ а
-> в, и
т,
Рис. 1. Схематическое изображение суживающегося сопла ракетного двигателя: IV - скорость истечения газа;/- площадь сечения; Т - абсолютная температура; V - удельный объём газа; С1 - секундный приход газа; С2 - секундный расход газа
Известно, что для идеального газа скорость истечения при Р > Р
кр
=
1
2к
к -1
т
к-1
1 -р к
+
(5)
Р2
где р = —, а расход при р > р Р1
(2 = /2
кр
2к Р1
к -1 у1
' 2 к+1' Рк-Р к
(6)
При этом Р Кр =
2
к к-1
к +1 (2 = /2
. При Р < Р
кр
2к 2 РЛ + ,
к +1
1
к • Р1
2
к+1 к-1
к +1
Выведем теперь уравнение адиабаты для газа Дюпре-Абеля. Из уравнения первого закона термодинамики, считая удельный объём молекул постоянным (так как химических реакций не происходит), получим:
йи + р= 0 . (7)
Дифференциал удельной внутренней энергии выразим из уравнения
(и = —1—(у - Ь)(р +--1— р(у .
к -1 к -1
Подставляя уравнение (8) в (7) и интегрируя, получаем Р1(У1 - Ь)к = р2 (у2 - Ь)к -
(8)
(9)
уравнение адиабаты для газа Дюпре-Абеля.
Р2
Из уравнений (3) и (9), подставляя = Р, получим формулу для
Р1
скорости газа Дюпре-Абеля
1
2к к -1
Р1(У1 - Ь)
Г к-1 ^ 1 -р к
+ 2 р1Ь(1 -Р) +
(10)
Выведем формулу для расхода газа Дюпре-Абеля. Подставляя в (4) выражение для скорости (10), имеем
<2 = У2р 2
2к
к -1
Р1<>1 - Ь)
' к-1 1 -Р к
+ 2р1Ь(1 -Р) + w12 .
Пренебрежём скоростью w1 и подставим р2
У2 - Ь
(в знаменателе
стоит удельный объём, который может быть заполнен молекулами):
<2 = /2
Г к-11
2к (VI /1Р1 1 к -1 (У2- - Ь) - Ь)2 1 -Р к + 2 Р1Ь(1 -Р) V - Ь)2
(11)
Выразим (у2 - Ь) из (9) и подставим в (11) с учётом Р
Р2 Р1
<2 = /2
2к Р1
к -1 у1 - Ь
" 2 к+1 Рк -Р к
+
2 к+2 Рк -Р к
V У
(У1 - Ь)
2
(12)
1
Абеля.
Получили выражение (12) - формулу для расхода газа Дюпре-
Построим график этой функции (рис. 2, толстая сплошная линия). С., кг/с
6„
Практика
х —
' Тео эия 1
1 1 1
1 1 1
Р
кр
Р 2
-6=--ед-
Р1
Рис. 2. Графики теоретического и практического расходов
газа Дюпре-Абеля
Из этого графика следует, что когда в = 0, то есть наружное давление р2 равно нулю, расход тоже равен нулю. Получается парадокс, так как на самом деле расход в этом случае максимальный. Причина этого в том, что после достижения определённого отношения давлений ркр скорость истечения достигает скорости звука в данной среде и при дальнейшем уменьшении в её изменение прекращается. В результате формула (12) правильно описывает расход только при Р > Р кр.
Для получения значения Р кр нужно решить уравнение
Э<2
ЭР
0.
(13)
Так как уравнение (13) аналитически не решается, то было получено численное решение на основе метода Ньютона.
Результаты работы программы: Введите параметры газа. Показатель адиабаты к=1,4. Коволюм Ь=0.0008.
Известен удельный объём газа в камере (введите 1) или снаружи (введите 2)? 1
Удельный объём газа в камере у1=0.009063180695965552. Введите допустимую погрешность.
1Б-10
Бе1а_критическая: 0.533091928765518
Найдя Ь кр, можно подставить его в формулу (12) и получить значение расхода при критическом и закритическом истечении.
Рассмотрим газ Ван-дер-Ваальса. Для газа Ван-дер-Ваальса удельная внутренняя энергия является функцией не только температуры, но и удельного объёма. Из дифференциальных уравнений термодинамики [2] имеем
du = с^Т +
Т
др
ЭТ
л
- Р
V У
dv = ^ Я
^ , \ а 2аЪЛ
р-(2 - к Ь=- +
V
3 V
dv + (V - Ъ )ф
В соответствии с формулой (7)
^ а 2аЪ^ кр + (к - 2)— +--— dv = -(V - Ъ)ф.
V 2 V 3 У
(14)
Проинтегрируем уравнение (14) от сечения 1 до сечения 2 (рис. 1):
к | pdv +а(к - 2)
(1 - ] + аЪ с 1 Л 1
V ^ v2 у V? VIУ
Р2
= -|vdp + Ъ(р2 -Р1). (15) Р1
^ Р1
Выразим в (15) | pdv через | vdp, применив формулу интегрирова-
П Р2
ния по частям. Тогда
Р1
| vdp Р2
1
к -1
/
(к - 2)
а а V ^ V1 у
Л / л
аЪ аЪ
+
2 2 V ^ V1 у
к(Р2^2 -) + Ъ(Р2 -Р1)
Подставим последнюю формулу в выражение для скорости, полученное из (3):
Щ =
2 к -1 (к - 2) ( а а + / аЪ о аЪ ^ о - к(Р2У2 - РЛ) + Ъ(Р2 - Р1) 2 + щ
V V у V v2 VI у
(16)
Получили выражение (16) - формулу для определения скорости газа Ван-дер-Ваальса.
Так как в формулу (16) входят параметры газа в двух сечениях, а не в одном, то нужно иметь возможность вычислять их. Для этого нужно численно решить дифференциальное уравнение (14). Так как давления обычно известны, будем искать удельный объём:
-(V - Ъ )ф
dv =
/, „ч а 2аЪ
кР + (к - 2)— + —
V 2 V 3
V
| dv + Vo.
Для решения уравнения был использован метод Эйлера.
Результаты работы программы
Введите показатель адиабаты и постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь 1.4 129.2 0.001.
Введите удельный объём и давление газа при известных условиях 0.7008 101325.
Введите давление газа, для которого нужно найти удельный объём 50662500.
Введите шаг интегрирования.
50
Удельный объём газа при давлении 50662500 равен 0.0090984143016511
Расход для газа Ван-дер-Ваальса рассчитывается по формуле (4), где плотность вычисляется как
_ 1
у( р) - Ь
Перейдём к сравнению скоростей и расходов идеального газа, газа Дюпре-Абеля и газа Ван-дер-Ваальса (в качестве примера взят азот, р1 = 500 атм.). Справочные данные взяты из [3] и [4].
Как видно из рис. 3 и 4, ^ид(Ь) > ^да(Ь), а 02ид(Ь) < ^да(Ь) при Ь е [0;1). Расхождения при закритическом истечении по скорости составляют 1,3%, а по расходу - 11,8%. В то же время расхождения между газом Дюпре-Абеля и газом Ван-дер-Ваальса составляют 1,1% по скорости и 0,8% по расходу. Поэтому для большинства задач следует ограничиться использованием формул (10) и (12) с учётом (13), а зависимости для газа Ван-дер-Ваальса использовать лишь в случае близости вещества к критическому состоянию (например, в пароиспарительных системах охлаждения).
500'—
0.4 0.45 0,5 0,55 0.6
Рис. 3. Скорости истечения: 1 - идеального газа; 2 - газа Дюпре-Абеля; 3 - газа Ван-дер-Ваальса
70
800
600
400
200
в2, кг/с
/3
/
/ 1 у е / / - / / /' // / II ц —э?^- / ^ / ^ / / ч\
/ / /
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Рис. 4. Расходы:
1 - идеального газа; 2 - газа Дюпре-Абеля; 3 - газа Ван-дер-Ваальса
На рис. 3 и 4 штриховыми линиями обозначены теоретические скорости и расходы при закритическом истечении.
Дадим физическое объяснение полученному результату. Работа по проталкиванию газа, изменению его скорости осуществляется за счёт расширения газа. У газа Дюпре-Абеля свободный объем меньше за счёт вычитания молекул. А, следовательно, меньше и возможности по расширению, и скорость.
Чтобы объяснить превышение расхода газа Дюпре-Абеля над расходом идеального газа, рассмотрим промежуточные формулы, получающиеся при выводе зависимостей для расходов идеального газа и газа Дюпре-Абеля.
ид - /2
Г к-11
2к к -1 1 1 1 -Р к
^2ДА - /2
У2 - Ь
2к
к -1
Р\Ы -Ь)
" к-1 1 -р к
+ 2 Р1Ь(1 -р)
Из формул видно, что к увеличению расхода приводит увеличение плотности. Появившееся в формуле для газа Дюпре-Абеля слагаемое (учёт вылетающих молекул) ещё больше увеличивает результат.
Сравним критические в для идеального газа и газа Дюпре-Абеля. Запишем формулу для вкр идеального газа:
к к-1
р кр.ИД
' 2 Л
к +1
1
Сравним формулы секундных расходов (6) и (12). Формула (14) получена как экстремум формулы (6). Она является экстремумом скобки ' 2 ^Л ^
Рk -Р k , являющейся одновременно частью формулы (6). Поиск экс)
тремума формулы (12) сложен, поэтому проведём лишь его оценку. Экс-
^ 2 k+2 ^
2
равен р кр 2 =-. Приняв к = 1,4, сравним:
к + 2
тремум скобки
рk-р
k
2 ^Н-1
к + 2
Ркр ИД = 1 k+l) = 0,528; Ркр.2 = т^ = °,588.
Так как обе скобки затем суммируются с некоторыми коэффициентами, то можно предположить, что экстремум всей формулы (12) находится где-то между ними. Расчёты подтверждают это (ркр.ДА = 0,534). Ита^ ркр.ДА >ркр.ИД
Результаты работы:
- объяснена физическая природа отличия скорости истечения и расхода для идеального газа и газа с учётом объёма молекул;
- дан алгоритм решения уравнений для определения скорости истечения и расхода с учётом объёма и взаимодействия молекул;
- на примере рассчитаны численные значения скоростей и расходов тепломеханического рабочего тела;
- анализ показал, что ошибка в определении секундного расхода при неучёте коволюма составляет около 11 %;
- рекомендовано ввести в имеющиеся математические модели энергоузлов учёт влияния объёма молекул на скорость и расход газа.
Список литературы
1. Мелешко Л.О. Молекулярная физика и введение в термодинамику. Минск: Вышэйш. школа, 1977. 384 с.
2. Кириллин В. А., Сычёв В.В., Шейдлин А.Е. Техническая термодинамика. М.: Изд-во МЭИ, 2008. 486 с.
3. Нащокин В. В. Техническая термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1975. 496 с.
4. Жуковский В. С. Техническая термодинамика. М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит, 1940. 335 с.
Маршавин Алексей Николаевич, студент, marschavin. alexei@yandex. т, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
72
Чудакова Екатерина Борисовна, инженер 2-й категории, godunowa.ekat@yandex.ru, Россия, Тула, АО ««КБП»,
Швыкин Юрий Сергеевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, godunowa.ekat@yandex.ru, Россия, Тула, АО ««КБП»
UPDA TE AND ANALYSIS OF THE SIMULA TED MODEL OF GAS DISCHARGE THROUGH A CONVERGENT NOZZLE
A.N. Marshavin, E.B. Chudakova, Yu.S. Shvykin
The paper studies discrepancies of gas discharge rate and gas flowrate determination and critical pressure ratio in a convergent nozzle for the ideal gas, the Dupre-Abel gas and the van der Waals gas. The discrepancies between discharge rates and flowrates of the ideal gas and the Dupre-Abel gas have been explained from the physical standpoint. The paper shows the influence of the updated Dupre-Abel and van der Waals equations of state upon the missile thrust and range.
Key words: gas discharge rate, flowrate, missile engine, thrust, Dupre-Abel gas, van der Waals gas.
Marshavin Alexey Nicolai, student, marschavin.alexei@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Chudakova Ekaterina Boris, engineer, godunowa. ekat@yandex. ru, Russia, Tula, JSC «KBP»,
Shvykin Yury Sergei, doctor of technical sciences, professor, head of chair, godunowa. ekat@yandex. ru, Russia, Tula, JSC «KBP»
