CC BY
12функциям /¿(a), i = 1,2, 3, 4. Для количественной оценки степени согласования расчетных результатов с экспериментальными
/¿(a)
числены значения невязок, равных квадратному корню из суммы квадратов разностей расчетных и экспериментальных ординат. Для невязок A¿ были получены следующие значения: Ai = 5,74; A2 = 3,42; A3 = 2,78; A4 = 2,94. Этим же способом было проведено сравнение результатов расчета с экспериментальным распределением для медных образцов [3]. были получены следующие величины невязок: A1 = 1,35; A2 = 0,89; A3 = 1,03; A4 = 0,84, причем в расчетах по формулам (3)-(5) для медных образцов [3] принималось значение параметра S = 22п/180, а по формуле (6) — значение S = п/77. Наибольшая невязка Ai в обоих случаях получена. естественно, при использовании самого простого распределения /1(а). Невязки A2, A3 A4 близки, поэтому плотности распределения /2(а), /з(а), /4(а) можно использовать в расчетах примерно с одинаковой степенью достоверности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант Л® 11-08-00007).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Раузип Я.Р. О некоторых особенностях начальной стадии пластической деформации. II: О месте появления и распределении направлений первых плоскостей сдвига // Фи:?, мет. и металловедение. 1959. VIII, вып. 2. 225-234.
2. Локощемко A.M.. Шестериков С.А. О распределении направлений линий сдвига при пластическом деформировании // Вести. Моск. ун-та. Матом. Мехаи. 1964. Л*2 2. 37-40.
3. Грязное И.М. О направлении полос скольжения при одноосном растяжении ноликристалличсских меди и алюминия // Вести. Моск. ун-та. Матом. Мехаи. 1966. Л*2 4. 105-107.
4. Гурьев A.B.. Водопьянов В.И. О механизме пластической деформации ноликристалличсских твердых тел // Пробл. прочности. 1970. Л*2 5. 21-25.
5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: ГИФМЛ, 1961.
6. Вептцель E.G. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.
Поступила в редакцию 07.06.2012
УДК 51-7:550.831
УТОЧНЕНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ ПО ДАННЫМ АЭРОГРАВИМЕТРИИ
В. С. Вязьмин1
Рассматривается задача комбинирования данных аэрогравиметрии с данными, доставляемыми глобальной .моделью гравитационного ноля Земли, задаваемой сферическим вейвлет-разложением. Разрабатываемая .методика решения основана 11а оптимальном гарантирующем оценивании вейвлот-коэффициентов ноля.
Ключевые слова: авиационная гравиметрия, вейвлеты, гарантирующее оценивание.
The problem of combining airborne gravimetry data with the data of a global Earth's gravitational field model is considered. The model is based on the use of spherical wavelet
1 Вязьмин Вадим, Сергеевич аси. каф. прикладной механики и уиравлышя мох.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vadikmm@yandex.ru.
Расчетные и экспериментальные данные для плотности вероятности
decompositions. The proposed approach to solving this problem is based on an optimal guaranteed estimation of spherical wavelet coefficients of the field.
Key words: airborne gravimetry, wavelets, guaranteed estimation.
Введение. Высокие точность и разрешение аэрогравиметрических съемок позволяют выявлять коротковолновые составляющие гравитационных аномалий [1]. Благодаря этому аэрогравиметрические данные часто используют при локальном уточнении приближенных глобальных моделей гравитационного поля Земли. В настоящее время в мире развернуто несколько космических миссий (GRACE, GOCE), нацеленных, в частности, на построение высокоточных глобальных моделей гравитационного поля Земли второго поколения. При этом наметились изменения в представлении глобальных данных и в решении задачи комбинирования разнородных гравиметрических данных.
Наиболее распространенным представлением данных глобальных моделей гравитационного поля остается разложение по шаровым гармоническим функциям. Недостаток такого представления состоит в том, что число коэффициентов разложения растет квадратично с увеличением его степени (например, в модели EGM08 их число свыше 4 млн). При этом каждый коэффициент зависит от измерений на всей поверхности Земли. Альтернативным вариантом задания функционалов гравитационного потенциала является активно развиваемое в последние годы разложение по сферическим вейвлетам. Так, получены вейвлетные представления некоторых гармонических моделей, в том числе EGM96 [2]. Использование сферического вейвлет-разложения позволяет хранить существенно меньшее количество коэффициентов, необходимых для вычисления характеристик гравитационного поля в данной точке (зависящих лишь от некоторой ее окрестности).
Для решения задачи локального уточнения модели глобального гравитационного поля Земли широко применяется метод коллокаций [3]. Однако этот метод обладает рядом недостатков, таких, как зависимость вычисляемой оценки от стохастической модели поля, которая часто оказывается недостоверной, и высокая вычислительная сложность.
В настоящей работе предпринята попытка построения алгоритма комбинирования данных аэрогравиметрии с глобальными данными, задаваемыми гармоническим сферическим вейвлет-разложением [2]. При этом учитывается сложная коррелированность ошибок авиационных измерений и не требуется введения стохастической модели поля. Особенностью данного подхода является обработка алгоритмом вейвлет-коэффициентов данных (а не измерений), что существенно снижает размерность задачи. Для простоты нами рассматривается сферическая аппроксимация Земли.
Постановка задачи, методика решения. Обозначим через E область аэрогравиметрической съемки, E С Q,r, С К3 — сфера радиуса r = R + h, h = const h > 0. Авиационные измерения проводятся вдоль галсов — прямолинейных параллельных отрезков траектории. Данные аэрогравиметрии на галсе имеют вид [1]
ga ir(x) = Fairg(x) + Sg air(x),
где g — вертикальная составляющая удельной силы тяжести, Fair — сглаживающий фильтр на данном галсе, Sgair — ошибка измерения, x = (ж1,ж2,жз)т. Предполагается, что ошибки измерений являются стационарным гауссовским случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и известной корреляционной функцией. Предполагается также, что ошибки на разных галсах независимы. Данные глобальной модели будем представлять в виде сферического вейвлет-разложения силы тяжести Земли на h
N2 Jgiob Nj
ggiob(x) = wí2af2ob$2(x, yi2) + cS°b^i(x' Ун ^ (1)
i=1 j=2 i=1
где af2°b, cfj°b — соответственно скейлинг- и вейвлет-коэффициенты разложения силы тяжести; Wj, yj — интегральные веса и узлы квадратурной формулы; N2, Nj — размерности узловых сеток, j — уровень (масштаб); Ф2 — скейлинг-функция; \Jj — двойственный вейвлет; Jgi°b — максимальный уровень вейвлет-разложения, вычисляемый по минимальной определяемой длине волны измерений.
Обозначим через Jair максимальный вейвлет-уровень, отвечающий минимальной выявляемой длине волны авиационных измерений. Пусть jo — минимальный вейвлет-уровень данных аэрогравиметрии, соответствующий максимальной (в силу ограниченности участка съемки) определяемой длине волны измерений. В данной работе предполагается, что уровни связаны неравенствами
Jair > Jglob ^ j0,
где первое выполнено вследствие более высокого пространственного разрешения авиационных данных, второе — в предположении, что частотные спектры данных аэрогравиметрии и глобальной модели пересекаются. Задачу уточнения данных глобальной модели по данным аэрогравиметрии сформулируем в виде задачи оценивания вейвлет-коэффициентов данных на общих уровнях jo,..., • Для этого вычислим вейвлет-коэффициенты с? данных аэрогравиметрии. При этом будем рассматривать остаточную силу тяжести, вычитая из авиационных измерений длинноволновую составляющую д'^ (первые jo — 1 уровней глобальной модели (1)) и доопределяя остаточное поле вне участка съемки Е нулем для учета влияния "дальних зон" [3]. Имеет место квадратурная формула [4]
с? = J Ф3 (x, У? ^Гев (х) Мх) « ^ Шк? (хк ,УЦ )дГев(хк ),
П Е к=1
где дГе8 = д'а¡г — — остаточная сила тяжести; Ф? — вейвлет с носителем О?] — интегральные веса,
Хк
авиационные измерения; М? — число узлов в О? П Е. Предполагается, что функция дГе8 принадлежит пространству Соболева [4]. Учтем погрешности в вычисленных вейвлет-коэффициентах:
с? = С? + 5с? — 5? + ДСЕ + Дс* + л?сг, г = 1,...,М?, j = jo,..., JgloЪ, (2)
где с? — истинные коэффициенты вейвлет-разложения остаточной силы тяжести; — погрешности, вызванные ошибками авиационных измерений; ДсЕ — погрешности доопределения остаточной силы тяжести вне участка съемки; Дс* — погрешности "обрезания" вейвлетов (так как рассматриваемые вейвлеты являются гармоническими функциями вне сферы, они не обладают компактным носителем); ДсН8СГ —
тм uclow
ционного поля Земли по формуле
погрешности дискретизации. Ошибки 5с? определяются через погрешности глобальной модели гравита-
bcjw = J Ф®(x,yij)5giow(x) <dw(x),
где
N2 jo-1 Nj
¿glow (x) = Y^ Wi2^af:2ob$2(x,yi2) + YhWij 5cfjl0b^j (x,yij )•
i=1 j=2 i=1
Здесь bag2ob, bcgjob — погрешности данных глобальной модели. Выпишем уравнения для вейвлет-коэффи-циентов глобальной модели гравитационного поля (1):
c!j°b = cij + bcj, i = 1, • • •, Nj, j = jo,..., Jgiob. (3)
Для полной постановки задачи оценивания коэффициентов c® зададим информацию об ошибках, входящих в (2) и (3).
1. Ошибки Ac®, Ac*, Acdjiscr предполагаются детерминированными и удовлетворяющими "схеме бортиков" [5] с заданными неотрицательными константами pj, pf, pdjiscr:
IAcEj| < pj, |Acf | < pf, |Acdjlscr| < pdjlscr. (4)
2. Ошибки be® являются реализациями стационарных гауссовских случайных процессов с нулевым математическим ожиданием и ковариациями
j = E[bcjr bcj ] = ^ J J fcf(u, у)Щп, yij )V(v, ykj) ds(u) ds(v), (5)
l=1 Dj П Г Dj П Г
где ds — элемент длины на сфере; fcfir(u, v) — автоковариационная функция ошибок измерений bgair на l-м галсе; u,v € Г^ Г1 С — галс, l = 1,..., L, L — число галсов на участке съемки E. В (5) учтено, что ошибки авиационных измерений независимы поперек галсов.
R
3. Имеющаяся стохастическая информация об ошибках ¿cgjob, ¿cj предполагается неточной. Ошибки в таком случае нами рассматриваются в рамках стохастического варианта "схемы бортиков" [4] как реализации гауссовского случайного процесса с нулевыми математическими ожиданиями, ограниченными дисперсиями и неизвестными ковариациями:
E[j] = 0, D[£cgob] < pfjob, E[^0w ] = 0, D[^c'Ow ] < pj, (6)
где i = 1,..., Nj, j = jo,..., Jg i0b pfj0^ pj _ заданные положительные числа. Взаимно корреляционная функция ¿cgjob, ¿c'ow предполагается неизвестной.
4. Автокорреляционные и взаимно корреляционные функции ошибок Ac®, Ac*, Acdjiscr, ¿c^jS ¿cg]ob, ¿cj на разных вейвлет-vровнях j и j' также предполагаются неизвестными.
Основной результат. Поставлена задача оценивания вейвлет-коэффициентов Cj по измерениям (2), (3), ошибки которых удовлетворяют (4), (6). При решении задачи нами используется метод оптимального гарантирующего оценивания в постановке для комбинированной модели шума измерений [5]. А именно будем искать оценку вектора c € RN вейвлет-коэффициентов cj с помощью линейного оценивателя F : R2N ^ Rn в виде с = Fc', где c' € R2N — вектор вейвлет-коэффициентов cjr данных аэрогравиметрии и
cgjob данных глобальной модели. Введем гарантированное значение для второго момента ошибки оценки
d(F) = sup E[||c - с||2] = sup tr E[(c - c)(c - c)T], (7)
ce RN ce RN
tr F
проблемы:
F * = argminmax d(F). (8)
Максимизация в (8) проводится по всем случайным процессам с дисперсиями и ковариациями, удовлетворяющими условиям (4), (6), и определяет, таким образом, дисперсию при "наихудших корреляциях".
Утверждение. Оптимальное значение функционала, (7) достигается при условиях
1) min{pgob,pgob'low} > rj, где rj = D\5cj], pg°b'low = yf^yf^l
2) I j | < (pg- + pfj + pdjscr )(pg + pg + Pdjiscr) + РйГу + PgjS l = k ^de
и имеет вид
Jgiob Nj
d" = E E mi4 rj + P jw + (pEj + p* + 4iscr)2, pjo6};
j=j0i=1
оценки вейвлет-коэффициентов имеют вид
'cj:, если rj + pjw + (pEj + p* + pdjiscr)2 < pg°b; cj°b, если rjr + pjw + (pEj + p* + pdjiscr)2 > pgj°b; "наихудшие корреляции" определяются следующим,и соотношениями: E[ácjw¿cj] = О, E[ác j°b5c| job] = 0 щи i = k для любых j и j'; D[5ci°w] = pjw D[¿cjob] = и rj + pjw + (pEj + p? + pdjiscr)2 < pg°b;
D[¿cgob] = pjob, D[¿cjw] = pj/2, если rj + pjw + (pEj + p* + pdjiscr)2 > pj°b; E[ácjw«j = О дм любы,х i, k, j, j', i = 1,..., Nj j = jo,..., Jgi°b-
Отметим, что при выводе (9) не использовалась стохастическая модель гравитационного поля. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00703а.
(9)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болотин Ю.В., Голован А.А., Парусников Н.А. Уравнения аэрогравиметрии. Алгоритмы и результаты испытаний. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2002.
2. Fengler M.J., Freeden W., Gutting M. Multiscale modeling from EIGEN-1S, EIGEN-2, EIGEN-GRACE01S, GGM01S, UCPH2002_0,5, EGM96: wavelet coefficients, variances and reconstruction // Proc. 2nd CHAMP Science Meeting. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 2004. 145-150.
3. Moritz H. Advanced physical geodesy. Karlsruhe: Herbert Wichmann Verlag, 1980.
4. Freeden W., Schneider F. Wavelet approximation on closed surfaces and their application to boundary-value problems of potential theory // Math. Meth. Appl. Sci. 1998. 21. 129-163.
5. Матасов А.И. Метод гарантирующего оценивания. M.: Изд-во МГУ, 2009.
Поступила в редакцию 07.06.2012
УДК 511
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
М. В. Козлов1, С. В. Шешенин2
В работе излагается способ практического решения вариационного уравнения в геометрически и физически нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела на основе метода продолжения решения по параметру нагружения. В таких задачах возникает система большого числа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которой обычно применяется метод Эйлера. Предлагается использовать метод Рунге-Кутты и многошаговые методы и рассматривать затратность решения с точки зрения вычислений. Устанавливается зависимость величин ошибок методов от числа шагов, и на ее основе выбирается оптимальный метод для решения нелинейных задач.
Ключевые слова: резинокорд, композит, нелинейность, вариационное уравнение, линеаризация, метод конечных элементов, метод Эйлера, метод Ньютона, метод Рунге-Кутты, многошаговый метод.
In this paper we describe the way of practical solution of the variational equation in geometrically and physically nonlinear problems of deformable body mechanics. A system of a large number of nonlinear ordinary differential equations usually appears in such problems. The Euler method is typically used in this approach. We propose to use a Runge-Kutta method and multistep methods and consider the solution complexity in terms of computing cost to find a method that provides a more efficient solving procedure of nonlinear problems.
Key words: rubber-cord, composite, nonlinearity, variational equation, linearization, finite element method, Euler method, Newton method, Runge-Kutta method, multistep method.
Необходимость построения эффективного численного метода решения вариационного уравнения возникает во многих задачах, где присутствует нелинейность.
В настоящей работе рассматривается общий вид квазистатической краевой задачи в начальной области в случае, когда нагрузка S0 не зависит от вектора перемещения (случай "мертвой нагрузки"):
oo
v р(u) + p f = о, < P(u) ■ NV(X)|o = S0(X,t), (1)
~ £2
u10 =0,
£1
1 Козлов Михаил Владимирович — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: my_skylineQmail.ru.
2 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergey.shesheninQmail.ru.
