Анализ точности калибровки авиационного гравиметра на повторных галсах Текст научной статьи по специальности «Математика»

такие системы часто обладают полным списком первых интегралов, выражающихся через элементарные функции.

Метод приведения исходных систем уравнений с правыми частями, содержащими полиномы от тригонометрических функций, к системам с полиномиальными правыми частями позволяет искать первые интегралы для систем более общего вида, а не только для обладающих указанными симметриями (ср.

с [2]).

Автор выражает искреннюю благодарность В. А. Самсонову за множество ценных замечаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации № МД-2311.2005.1 и грантов РФФИ № 05-08-01378-а и 05-01-00401-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самсонов В.А., Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 3. 51-54.

2. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2006.

3. Шамолин М.В. К задаче о движении тела в среде с сопротивлением // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1992. № 1. 52-58.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

5. Shamolin M. V. Classes of variable dissipation systems with nonzero mean in the dynamics of a rigid body //J. Math. Sci. 2004. 122, N 1. 2841-2915.

6. Шамолин М.В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Докл. РАН. 1999. 364, № 5. 627-629.

7. Шамолин М.В. Случаи интегрируемости уравнений пространственной динамики твердого тела // Прикл. механ. 2001. 37, № 6. 74-82.

Поступила в редакцию 06.02.2006

УДК 531.8

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ КАЛИБРОВКИ АВИАЦИОННОГО ГРАВИМЕТРА

НА ПОВТОРНЫХ ГАЛСАХ

Ю.В. Болотин, А. В. Федоров

1. Введение. Карты аномалий силы тяжести применяются в геодезии, геофизике, геологии и геодинамике. Авиационная гравиразведка предоставляет менее высокую точность измерений, чем наземная или морская, но оказывается единственным способом анализа геологической обстановки на шельфах, в тропических лесах, в полярных и других труднодоступных районах.

Аномалией силы тяжести в свободном воздухе называется разность между истинной § и нормальной §о(р, К) удельной силой тяжести (напомним, что силой тяжести является сумма сил тяготения и центробежной силы, возникающей за счет вращения Земли) в пункте измерения: Д§ = § — §о(р, К). Здесь р — географическая широта; К — высота над референц-эллипсоидом. Значение модуля до(р, К) нормальной составляющей силы тяжести, направленной по нормали к референц-эллипсоиду, вычисляется по формуле Гельмерта [1]. В авиационной гравиметрии аномалия рассматривается в проекции на географическую вертикаль (внешнюю нормаль к референц-эллипсоиду): Дд = дз — до(р, К). Здесь Дд — вертикальная составляющая аномалии силы тяжести в свободном воздухе (далее для краткости аномалия силы тяжести или просто аномалия), дз — вертикальная составляющая удельной силы тяжести.

Измерения на борту летательного аппарата (ЛА) проводятся с помощью гравиметра. В состав авиационного гравиметра входят: инерциальная навигационная система (ИНС) с горизонтируемой платформой; гравиметрический чувствительный элемент (ГЧЭ), ось чувствительности которого жестко связана с приборной вертикалью; бортовой приемник спутниковой навигационной системы (СНС).

Качество съемок тем выше, чем точнее откалиброван гравиметр, т.е. определены его параметры: масштабные коэффициенты, перекосы и т.п. Обычно эти параметры определяются на стенде при настройке

прибора. Однако в ряде случаев они меняются со временем, и требуется их уточнение. Процедуру уточнения называют докалибровкой. Весьма желательно, чтобы докалибровку можно было проводить, не прерывая процесса съемок. В данной работе таковой является докалибровка по данным съемок [2]. Часто в ходе площадных съемок для контроля точности проводятся полеты по так называемым повторным галсам — прямолинейным участкам, проходимым на постоянной высоте в прямом или обратном направлении [2]. Цель данной работы — показать, как полеты по повторным галсам можно использовать для существенного повышения точности докалибровки гравиметра.

2. Уравнения измерений. Пусть Ж1Ж2Ж3 — географическая система координат, оси которой ориентированы по сторонам света; 212223 — приборная система координат, которая связана с ГЧЭ и ось 23 которой направлена вертикально вверх. Основным уравнением для определения аномалии силы тяжести на траектории полета ЛА является уравнение движения чувствительной массы (ЧМ) в проекции на географическую вертикаль:

Ь = /з + /в - до - Ад, (1)

где Ь — высота ЧМ над референц-эллипсоидом; /3 — вертикальная составляющая удельной силы, действующей на ЧМ; /в — поправка Этвеша [3].

Задача состоит в решении уравнения (1) относительно Ад с использованием измерений гравиметра /3, показаний установленных на платформе ИНС акселерометров /1, /2 и показаний СНС Ь!. Уравнения измерений ГЧЭ можно записать в виде

т/3 + / = /*3 + ¿/3, /*3 = /3 - («1 + К1) /*2 + («2 + К2) и. (2)

Здесь /гз — составляющая действующей на ЧМ удельной силы, направленная по оси чувствительности ГЧЭ; /Х1, /¿2 — боковые ускорения; а1, а2 — угловые ошибки горизонтирования платформы ИНС; К1, К2 — угловые ошибки установки ГЧЭ на платформе ИНС; к.3 — масштабный коэффициент гравиметра; т — постоянная времени запаздывания ГЧЭ. Отметим, что запаздывание может быть как аппаратным (жидкостный демпфер), так и цифровым (предварительное сглаживание). Ошибки а1, а2 оцениваются при коррекции ИНС. В отличие от них ошибки К1, К2 при коррекции ИНС не определяются. Они обычно постоянны в течение полета, но могут меняться от полета к полету вследствие старения материала, температурных процессов и т.д. [1].

Уравнения измерений горизонтальных акселерометров можно записать в виде

/1 = /г1 + 6/1, /2 = + ¿/2, (3)

где 6/1, 6/2 — инструментальные погрешности акселерометров.

Существуют два типа измерений СНС — фазовые и доплеровские. В первом случае решение СНС в проекции на географическую вертикаль определяет высоту, во втором — вертикальную скорость [4, 5]. Для краткости ограничимся первым случаем и, вводя погрешность определения высоты 6Ь, запишем измерения СНС в виде

Ь' = Ь + 6Ь. (4)

Подставляя (3), (4) в (2) и вводя обозначения

6/ = -6Ь + 6/3 - К16/2 + К26/1, /'' = Ь' - /в + до, (5)

получаем

/'' = т/3 + к/3 + / - / - 6/ - Ад. (6)

Это уравнение является основой определения как аномалии, так и калибровки гравиметра. Угловые ошибки К1, К2, а1, а2 установки ГЧЭ на платформе приводят к тому, что боковые ускорения /Х1, /Х2 начинают влиять на показания гравиметра. Величины К1, К2, &3 и т будем называть параметрами гравиметра. Будем называть задачей докалибровки задачу определения всех или части этих параметров.

Заметим, что в разных условиях задача докалибровки может быть как расширена, так и сужена. Так, часто возникает необходимость дополнительного определения коэффициентов температурной зависимости или нелинейных связей (эффект кросс-каплинга). В других случаях, когда запаздывание гравиметра реализуется программно [6], параметр т можно исключить из рассмотрения.

3. Стохастическая модель измерений. Вектор, составленный из неизвестных параметров К1, К2, ^3 и т, обозначим через X. Введем вектор-строку с(£), составленную из коэффициентов при этих параметрах в (6). Тогда уравнения (6) можно записать в виде

/''(*) = С(*)Х - Ад(*) + 6/(*). (7)

Вектор X предполагается постоянным, априори неизвестным. Его размерность т < 4.

Решение уравнения (7) с использованием стохастического подхода рассмотрено в [2, 7]. В его основе — предположение, что öf (t) — стационарный, квадратично интегрируемый гауссовский случайный процесс, и предположение, что аномалия силы тяжести Ag(xi,x2,h) является стационарным, плоско однородным случайным полем с известными стохастическими характеристиками.

Если ЛА движется по прямой на постоянной высоте, то из последнего предположения следует, что Ag(t) — стационарный, квадратично интегрируемый гауссовский случайный процесс. Во временной области аномалия описывается ковариационной функцией RAg(t,s) = E[Ag(t)Ag(s)], которая в силу однородности представима в виде RAg(t, s) = KAg(t — s). В частотной области аномалия описывается спектральной плотностью [2]

+те

Sa9(oü) = ^ J KAg(t)e~tujt dt.

—те

Стохастическую модель аномалии можно выбрать, исходя из геофизических предположений о распределении масс внутри Земли. Также стохастическую модель можно интерпретировать как один из возможных способов регуляризации некорректной задачи. Достоинством данного метода регуляризации является его наглядная физическая интерпретация. Для внутренней согласованности подхода в качестве модели аномалии на траектории выбирается одномерная модель, согласованная с трехмерной моделью, которая затем используется при построении карты аномалий [2].

При известных статистических характеристиках погрешностей СНС и гравиметра спектральная плотность öf (t) определяется формулой Sf (ш) = ш4>вь(ш) + Sf3(ш), где Sh(&), Sf3(ш) — соответственно спектральные плотности погрешности определения высоты и инструментальной погрешности гравиметра.

4. Калибровка гравиметра на повторных галсах. Пусть ЛА пролетает n = 1,...,N раз по одному и тому же галсу. Присвоим индексы n = 1,... ,N величинам, определенным на соответствующих галсах. Предполагая, что скорость полета на галсе постоянна, все галсы можно привести к одному времени сдвигом или обращением времени. Введем вектор z(t) размерности N, составленный из измерений f"(t) на галсах. Аналогично введем матрицу b(t) размера N х n из компонент cn(t), n = 1,... , N, и вектор r(t) из компонент öfn(t), n = 1,..., N. Получим следующее выражение:

z(t)= b(t)X + r(t) + 1N Ag(t). (8)

Здесь 1n — вектор, состоящий из единиц. Далее удобно рассматривать уравнение (7) на бесконечном интервале времени. Предполагается, однако, что участок калибровки гравиметра (интенсивных маневров) ограничен, так что cn(t) € L2(R). Применим стохастический подход и сформулируем задачу оценивания на основе метода максимума правдоподобия следующим образом: при известных измерениях z(t), b(t), спектральных плотностях SAg(ш) и Sr(ш) случайных процессов Ag(t), r(t) соответственно и при динамических ограничениях (8) минимизировать функцию — logp (Ag,r,X \z,b) —> min.

Для качественного исследования задачи применим метод Фурье. Перейдем в частотную область, обозначив образы функций заглавными буквами. Обозначим через Сп(ш), B(ш) преобразования Фурье функций cn(t), b(t); С(ш), Z(ш), R(ш) — спектральное представление соответствующих случайных процессов ög(t), z(t), r(t). Уравнение (7) примет вид Z(ш) = B(ш)Х + 1nG^) + R^). Стандартными методами линейного оценивания [2] доказывается следующее

Утверждение. Оптимальная оценка X определяется из линейного уравнения

+те +те

J B*(ш)Г(ш)В(ш) dw\ X = J B*^)T^)Z(ш) dw, (9)

—те ) —те

где Г(ш) = [Sr(ш) + SAg(ш)1мxN]—1.

Заметим, что с математической точки зрения измерение Z в (9) считается случайным процессом, а интеграл в правой части — стохастическим интегралом в среднеквадратичном. Соответственно оценка X является случайной величиной. Дисперсия Dxx ошибки оценки X определяется через информационную матрицу формулой

+те

1-1

DXX

= J B*(ш)Г(ш)B(ш) (1ш. (10)

— оо

5. Среднее значение ошибки калибровки. Приведем галсы, на которых проводится калибровка, к одному времени. Исследуем поведение дисперсии ошибки определения параметров в предположении, что на каждом п-м галсе Сп(*) является реализацией стационарного случайного процесса Соп(*) с известной спектральной плотностью £п(ш):

(со„(£), * € [-Т,Т]; 0,

Сп (*) = < " "

[0, * € (-то, -Т] и [Т,

Спектральное представление процесса Сп(*) имеет вид

+те

Г 81П Т (ш - V)

Сп(ш) = / -т-— сП4(г/).

} п(ш - V)

Здесь РП — векторный процесс с ортогональными приращениями и интенсивностью £п(ш). Введем также спектральное разложение процесса Ь(*)

+те

[ 8Ш Т(ш - V) ,] п(ш - V)

п(ш - V)

—те

Здесь ^(V) — матричный процесс с ортогональными приращениями, строки которого — процессы РП^) — независимы (траектории разных полетов независимы) и имеют интенсивность £п(ш), п = 1,..., N. Подставляя разложение в (10), получим выражение для информационной матрицы X:

+те +те +те —те —те —те

Математическое ожидание информационной матрицы имеет вид

+те +те ^ . 2

Е[о~х1х{т)] = I <ь, I ¿[адад]^^^, (п)

—те —те п=1

где Гпп(ш) — диагональный элемент матрицы Г(ш). Можно показать, что при большой в сравнении с характерным временем движения (радиусом корреляции Сп(*)) длительности съемки (Т — с помощью

формулы (11) получим асимптотическую оценку дисперсии

+те N

вхх ~ £ [ ¿[ГппМ£„М] йи). (12)

-те п=1

6. Частные случаи. Проведем анализ формулы (12) для различных условий полета. Допустим для простоты, что спектральные плотности шумов S¿f (ш) для всех полетов одинаковы. Тогда формула (12) упростится. Прежде всего вычислим явное значение Г. Легко устанавливается формула

Гпк={ х + м ' л=%.

, _1 С_1 А + N - 2 ¿>дй

Поэтому из (12) следует

S¿f

Г)"1 ~ Т [ С"1

Sд

N

тг2- + У - 1 ,

п

,п=1

^ш. (13)

А

— те

Если имеется только один калибровочный галс (Ж = 1), то дисперсия (13) принимает вид

ихх ~ .

Б1

} Бв/ + Б Ас

йш.

Если нет априорной информации об аномалии (спектральная плотность Б Ад ^ го), то, как и следовало ожидать, дисперсия ошибки оценки бесконечна.

Если нет априорной информации об аномалии, но число галсов больше единицы, то формула (13) принимает вид

' N

^Би(ш)

Я"1 [Б-1

°хх~ N 4тг /

,П=1

йш.

Если условия полета на всех калибровочных галсах одинаковы, то Бп(ш) = Б+(ш) равны для всех галсов и дисперсия принимает вид

п-1 -пхх ~

+оо —

АТТ г

4п

Б

в/

+ N-1 я -Б+(ш) (1и.

БА

+ N

д

Пример. Пусть оцениваются только т, кз. Пусть Б/3 — спектральная плотность вертикального ускорения. Тогда вектор X двумерный, а дисперсии оценки ошибки кз и т определены формулами

°к3к3

Ёи. + N _ 1

ЫТ [

4п

13 д

Бб/

Бб£_

БАд

йш

+ N

1

От

+оо -

ХТ Г % 4тг У Б6/

— ОО О

БАд

+ N — 1

■ ш2 йш

+ N

1

7. Численная реализация. Рассмотрим вопрос о практической реализации алгоритмов калибровки. Помимо собственно калибровки они должны давать оценку работоспособности прибора и качества данных, для чего необходим анализ как ранее учтенных, так и новых корреляционных зависимостей. Последнее требует определенной гибкости алгоритмов. Рассмотрим с данной точки зрения известные подходы.

Частотный метод — анализ Фурье. Этот подход структурно наиболее прост (см. выше) и представляется оптимальным для длинных реализаций, но для коротких реализаций (галсов) его применение существенным образом осложняется из-за эффекта Гиббса.

Анализ во времени — фильтр Калмана. Этот подход удобен для анализа разнородных данных, нерегулярных во времени (он подробно рассмотрен в [2]). Он позволяет вводить как постоянные, так и переменные во времени корреляционные связи, но при учете новых корреляционных зависимостей требуется изменение структуры фильтра, а для исчерпывающего анализа задачи — большой объем вычислений.

Кратно-масштабный анализ на основе вейвлет-разложения [8]. Этот сравнительно новый подход позволяет гибко работать и во временной, и в частотной области и применительно к рассматриваемой задаче является наиболее удобным.

Далее рассматривается последний подход.

Кратно-масштабный анализ задачи калибровки. Вейвлет-разложением называется разложение функции / (г) в ряд [8]:

/ = /з (г), / ® = Т, 3 Ш (г).

Здесь ф3к(г) = 23ф(23г — к), где функция ф(г) — материнский вейвлет, обладающий рядом свойств, которые здесь не обсуждаются [8]. Отметим лишь, что мы будем рассматривать класс так называемых полуортогональных вейвлетов с компактным носителем, для которых функции ф3к(г) ортогональны в смысле Ь2 для разных Целое значение ] называется параметром масштаба, а целое значение к — параметром сдвига. В предположении полуортогональности пространства Ш всевозможных функций / (г)

— ОО

— ОО

— ОО

— ОО

ортогональны в £2 и имеет место разложение в прямую сумму £2 = ф . Это разложение и составляет суть кратно-масштабного анализа: при увеличении ] на единицу масштаб увеличивается вдвое. Алгоритмической основой кратно-масштабного анализа являются алгоритмы быстрого вейвлет-разложения и вейвлет-восстановления Малла [8], во многом аналогичные алгоритмам быстрого прямого и обратного преобразования Фурье. Как и в анализе Фурье, имеет место типичная последовательность операций — разложение функции /(*) по пространствам , операции над коэффициентами разложения ^ [/] и затем обратное преобразование.

Вернемся к задаче калибровки. Выполним вейвлет-разложение в (7). Получим

4 [/''] = ^ [с]Х + ^ [Ад] + ^ [/]. (14)

Введем в рассмотрение множество 0 (повторных) галсов ,*+], п = 1,..., N, подлежащих анализу, где , ] — интервал времени для п-го галса. В отличие от рассмотренного ранее в (8) не будем привязывать все галсы к одному времени. Определим множество Кп параметров масштаба и сдвига в (14) как множество всех таких к, что носитель ^(2^* - к) содержится в ,*+], и множество К — как объединение всех Кп. В силу компактности носителя множество К конечно. Тогда если ограничиться повторными галсами из 0, то уравнение (14) примет вид

4[/''] = 4[с]Х + 4[Ад] + 4[5/], к € К. (15)

Полученные уравнения составляют систему уравнений задачи МНК. Для замыкания задачи необходимо определить ковариационные матрицы ^[/], 4[Ад]. Вводя преобразования Фурье Ф^(ш) функций (*), с помощью равенства Парсеваля можно записать

те

Е[4т<ь,т] = ^ I

—оо

(16)

те

Е Г 1

4[Дд](4[Лд]] [ 3Ад(и)Ч>1(и)Ч>1(и)с1и.

При заданной функции и при известных спектральных плотностях шумов эти выражения явно вычисляются.

В качестве примера рассмотрим случай, когда шум в измерениях / белый, с известной дисперсией . Предположим также, что интервал движения между галсам и больше длины носителя ^ (*) для

всех ] (это предположение выполнено почти всегда), т.е. значения Е ^[Ад] 4[Ад] , соответствующие к, р,

принадлежащим разным Кп, равны нулю. Тогда, учитывая ортогональность ^, ковариационную матрицу коэффициентов разложения шума определим формулой

Е[4 [/] 4 [5/]] =0 в остальных случаях.

Таким образом, шумы в измерениях оказываются малокоррелированными — коррелированы лишь коэффициенты одного уровня ] кратно-масштабного анализа в пределах одного галса. Это позволяет при решении задачи МНК применять итерации по галсам, что существенно снижает объем необходимых вычислений.

Предположив дополнительно, что априорная информация об аномалии отсутствует, можно исключить без потери точности аномалию из уравнений (15), сведя их с учетом (17) к стандартной задаче МНК, которая легко решается численно.

Как уже говорилось, начальная калибровка гравиметра проводится на стенде на заводе-изготовителе. По ходу съемок приходится, в частности, решать, необходима ли повторная калибровка на стенде. Это решение можно принять по данным калибровки в полете на основе ¿-критерия [9]. Применительно к рассматриваемой задаче критерий можно сформулировать следующим образом. Пусть X0 — паспортное

—оо

значение параметра X и пусть Xi — его оценка в результате калибровки в полете, а а^ — среднеквадрати-ческое значение ошибки оценки Х^ (так называемая апостериорная дисперсия, определенная по статистике невязок в уравнениях (16)). Проверке подвергается предположение о том, что истинное значение Х^ равно его паспортному значению. Введем статистику критерия $ = (X* - Х0)/аг. Гипотеза Xi = Х0 отвергается, если $ > $(Р), где Р — заданная вероятность гипотезы, а $(Р) — обратная к используемой функции распределения (Х - X0)/аi (обычно предполагаемого нормальным).

Результаты расчетов. При расчетах использовался кратно-масштабный анализ на базе полуортогональных сплайн-вейвлетов [8], которые обладают нужными нам свойствами гладкости, гарантирующими быстрое убывание вейвлета в частотной области Ф(ш) при увеличении частоты. Расчеты проводились по результатам съемок, выполненных в Южной Африке в 2005 г. с помощью гравиметра СТ1Л [6]. Было сделано четыре повторных галса (рисунок). В число оцениваемых параметров входят к\, кз, т. В таблице приведены результаты калибровки по парам, тройкам и четверке галсов (без априорной информации об аномалии). В качестве паспортных значений параметров взяты к0 = 0, к0 = 0, к0 = 1, т0 = 2.

К

-25,9

-26,1

-26,3

-26,5

26,2 26,6 27 27,4 27,8 ф,°

Схема галсов на плоскости широта-долгота

Из расчетов следует, что в рамках заданной точности (Р = 0,1) калибровка проведена правильно. Отметим, что для получения данных результатов потребовалось несколько секунд машинного времени. При использовании калмановского подхода в аналогичной ситуации требуется несколько минут. Заметим также, что точность результатов, полученных с помощью вейвлет-разложения, пока уступает точности калмановского подхода. Представляется, что причина — в необходимости для записи уравнения (14) численно дифференцировать данные СНС в (5) и синхронизировать измерения СНС и гравиметра. Частота записи данных гравиметра СТ1Л 18 Гц, частота записи данных СНС в рассматриваемом эксперименте 2 Гц. Для синхронизации данных с целью минимизации маскировки частот потребовалось существенное предварительное сглаживание данных гравиметра. В калмановском подходе дифференцирование заменяется интегрированием, что позволяет работать с данными разных временных масштабов. Поэтому представляет интерес вычисление вейвлет-коэффициентов производной методами кратно-масштабного анализа. Еще один путь повышения точности — выбор оптимального материнского вейвлета.

Галсы о-1 о- 2 о"з о- 4 h k2 k3~ 1 г

12 0,0006 0,0005 0,0010 0,0032 -0,003 +0,001 +0,005 +2,009

13 0,0010 0,0009 0,0011 0,0035 +0,002 -0,004 +0,003 +2,018

14 0,0008 0,0007 0,0007 0,0033 -0,003 +0,002 +0,001 +2,033

23 0,0006 0,0005 0,0012 0,0027 -0,004 +0,003 +0,002 +2,037

24 0,0008 0,0006 0,0007 0,0022 -0,005 +0,004 +0,004 +2,043

34 0,0008 0,0007 0,0009 0,0032 -0,003 +0,003 +0,002 +2,038

123 0,0004 0,0004 0,0007 0,0024 -0,002 +0,000 +0,000 +2,026

124 0,0006 0,0005 0,0007 0,0022 -0,003 +0,002 -0,001 +2,027

134 0,0006 0,0005 0,0007 0,0025 -0,003 +0,002 +0,002 +2,018

234 0,0009 0,0008 0,0008 0,0021 -0,003 +0,003 -0,002 +2,027

1234 0,0004 0,0003 0,0005 0,0019 -0,003 +0,002 +0,002 +2,026

8. Выводы. Калибровка гравиметра на повторных галсах позволяет исключить влияние на ее точность неизвестной гравитационной аномалии. При этом обеспечивается точность, сравнимая с точностью

стендовой калибровки, в процессе геофизических съемок и не требуется дополнительных экспериментов.

Эффективным методом решения задачи является метод кратно-масштабного анализа на основе вейвлет-

разложения. Для повышения точности метода необходимо проводить дальнейшие исследования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Торге В. Гравиметрия / Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

2. Болотин Ю.В., Голован А.А., Парусников Н.А. Уравнения аэрогравиметрии. Алгоритмы и результаты испытаний. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2002.

3. Болотин Ю.В., Голован А.А., Кручинин П.А. Задача авиационной гравиметрии. Некоторые результаты испытаний // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 2. 36-41.

4. Вавилова Н.Б., Голован А.А., Парусников Н.А. Математические модели и алгоритмы обработки измерений спутниковой навигационной системы GPS. Стандартный режим. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2001.

5. Stepanov O.A., Blazhnov B.A., Koshaev D.A. The Efficiency of Using Velocity and Coordinate Satellite Measurements in Determining Gravity Aboard an Aircraft // Proc. 9th Saint-Petersburg Int. Conf. on Integrated Navigation Systems. Russia, St. Petersburg, May 27-29, 2002.

6. Berzhitsky V.N., Iljin V.N., Saveliev E.B. GT-1A Inertial Gravimeter System Design Consideration and Results of Flight Tests // Proc. 9th Saint-Petersburg Int. Conf. on Integrated Navigation Systems. Russia, St. Petersburg, May 27-29, 2002.

7. Болотин Ю.В., Попеленский М.Ю. Анализ точности решения задачи авиагравиметрии на основе стохастических моделей // Авиакосмическое приборостроение. 2003. № 4. 42-48.

8. Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.

9. Бендат Дж., Пирсол Л. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989.

Поступила в редакцию 22.10.2006

УДК 532.581; 539.379.4

ТРЕЩИНА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Г. Т. Бажул, Б. В. Куксенко

Получено аналитическое частное решение для задачи о плоском течении, которое вынуждается в несжимаемой идеальной жидкости окружающей ее жесткой подвижной стенкой, внезапно включаемой во вращение с угловой скоростью и. Стенка имеет форму эллиптического цилиндра и вращается вокруг своей оси. Решение содержит тангенциальный разрыв скоростей — "висячую" вихревую пелену переменной интенсивности, расположенную между фокусами эллипса (который является направляющей линией цилиндра оболочки). Пелена является аналогом сдвиговой трещины в твердом теле. Предлагаемая работа