Научная статья на тему 'Об интегрируемости в элементарных функциях некоторых классов динамических систем'

Об интегрируемости в элементарных функциях некоторых классов динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
42
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шамолин М. В.

Результаты предлагаемой работы появились благодаря исследованию прикладной задачи о движении твердого тела в сопротивляющейся среде, где для частного случая был получен трансцендентный интеграл, выраженный через элементарные функции. Это обстоятельство позволило провести полный анализ всех фазовых траекторий и указать на те их свойства, которые обладали "грубостью" и сохранялись для систем более общего вида. Интегрируемость той системы была связана с симметриями скрытого типа. Поэтому представляет интерес исследование достаточно широких классов динамических систем, обладающих аналогичными скрытыми симметриями.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Об интегрируемости в элементарных функциях некоторых классов динамических систем»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

43

Механика

УДК 531.01+531.552

ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

М. В. Шамолин

Результаты предлагаемой работы появились благодаря исследованию прикладной задачи о движении твердого тела в сопротивляющейся среде [1], где для частного случая был получен трансцендентный интеграл, выраженный через элементарные функции. Это обстоятельство позволило провести полный анализ всех фазовых траекторий и указать на те их свойства, которые обладали "грубостью" и сохранялись для систем более общего вида. Интегрируемость системы из работы [1] была связана с симметриями скрытого типа. Поэтому представляет интерес исследование достаточно широких классов динамических систем, обладающих аналогичными скрытыми симметриями.

1. Введение. В работе изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих периодическую фазовую координату. Исследуемые системы обладают такими свойствами симметрии, благодаря которым в среднем за период по периодической координате сохраняется их фазовый объем. Так, например, маятниковая система

а • = -и + / (а), и • = д(а), / (а + Т) = / (а), д(а + Т) = д(а)

с гладкой и периодической по а периода Т правой частью V сохраняет свою фазовую площадь на фазовом цилиндре за период Т:

т т т

J с№у У(а, со)<1а = J + /(а)) + da = J /'(а) йа, = 0.

Рассматриваемая система эквивалентна уравнению маятника

а •• — f'(a)a ■ + д(а) = 0,

в котором интеграл от коэффициента f '(а) при диссипативном члене а■ в среднем за период равен нулю.

Видно, что рассматриваемая система имеет такие симметрии, при которых она становится так называемой системой с переменной диссипацией с нулевым средним в смысле следующего определения (см. также [2]).

Определение. Рассмотрим гладкую автономную систему (n + 1)-го порядка нормального вида, заданную на цилиндре Rn{x} х S 1{аmodT}, где а — периодическая координата с периодом T > 0. Дивергенцию правой части (которая, вообще говоря, является функцией всех фазовых переменных и не равна тождественно нулю) данной системы обозначим через div(x, а). Назовем такую систему системой с переменной диссипацией с нулевым (ненулевым) средним, если функция

T

/£|"(х'а)

о

равна (не равна) тождественно нулю. При этом в некоторых случаях (например, когда в отдельных точках окружности S 1{а mod T} возникают особенности) данный интеграл понимается в смысле главного значения.

Необходимо заметить, что дать общее определение системы с переменной диссипацией с нулевым (ненулевым) средним достаточно непросто. Приведенное только что определение использует понятие дивергенции (как известно, дивергенция правой части системы нормального вида характеризует изменение фазового объема).

44

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

2. Системы с симметриями и переменной диссипацией с нулевым средним. Рассмотрим системы следующего вида (точкой обозначена производная по времени):

a ■ = /a(w, sin a, cos a), wk = /k(w, sin a, cos a), k = l,...,n, (1)

заданные на множестве S1{amodT} \ K x Rn{w}, w = (wi,...,wn), где функции /a(ui,U2,U3), Л = a, 1,..., n, трех переменных ui, W2, U3 таковы:

/л(-«1, U2, U3) = /a(Ui, U2, U3), /a(ui,u2, -U3) = /a(ui, U2, U3), /k(«i,«2, -U3) = —/k(ui,«2,«3).

Множество K или пусто, или состоит из конечного числа точек окружности Si{amodT}. Последние две переменные U2, U3 в функциях /a(wi,W2,U3) зависят от одного параметра a, но они выделены в разные группы по следующим причинам. Во-первых, не во всей области определения они однозначно выражаются относительно друг друга, а во-вторых, первая из них нечетная, а вторая — четная функция a, что по-разному влияет на симметрии системы (1). Ей поставим в соответствие следующую, уже неавтономную систему:

dwk /k(w, sin a, cos a) da /a(w, sin a, cos a)'

подстановкой т = sin a приводимую к виду

dwk /k (w,T,<£fc (т))

dT /a(w,T,^a(т)) '

<£a(-t ) = ^a(t ), Л = a, 1,...,n.

Последняя система может иметь, в частности, алгебраическую правую часть (т.е. быть отношением двух полиномов), что позволяет искать ее первые интегралы в явном виде.

Предложение 1. Системы вида (1) являются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним.

В работе будет затронут случай, когда функции /a(w, т, ^k(т)) (Л = a, 1,..., n) — полиномы по w, т. Для начала рассмотрим некоторый класс автономных систем на двумерном цилиндре Si{a mod 2п} x Ri{w}. Так, к примеру, следующим маятниковым системам с параметром в > 0 [1, 3]

a ■ = — w + в sin a, w ■ = sin a cos a; (2)

{a ■ = — w + в sin a cos2 a + ew2 sin a, w ■ = sin a cos a — ew sin2 a cos a + ew3 cos a

в переменных (w, т) сопоставим уравнения с алгебраическими правыми частями

duo _ т duo _ т + (Зио[ио2 - т2]

dr ~ -ш + /3т' dr ~ -ио + /Зт + (Зт[ио2 - г2]

соответственно. При этом системы (2) и (3) являются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним, что нетрудно проверить напрямую.

Более того, каждая из них обладает первым интегралом, являющимся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного) функцией, выражающейся через конечную комбинацию элементарных функций [4, 5].

Итак, мы имеем следующий объект:

1) выделенный выше класс систем (1) с отмеченными симметриями и свойства, характерные для этого объекта;

2) данный класс систем обладает переменной диссипацией с нулевым средним (по переменной a), что позволяет их рассматривать как "почти" консервативные системы;

3) в некоторых (пусть и маломерных) случаях эти системы обладают, вообще говоря, трансцендентными первыми интегралами.

Приведем еще один важный пример системы более высокого порядка, обладающей только что перечисленными свойствами.

Следующей системе, рассматриваемой уже в трехмерной области S1{a mod2n} \ {a mod2n : а = 0, а = п} х R2{zi,z2} (такая система также может быть приведена к эквивалентной себе системе на касательном расслоении к двумерной сфере):

2 cos a cos а . л.

a' = —Z2+psma, Z2' = sin a cos а — Zi -, z\- = Z\Z2--(4)

sin a sin a

и описывающей пространственное движение твердого тела в сопротивляющейся среде [6, 7], поставим в соответствие систему с алгебраической правой частью:

dz2 _ т-zj/r dzi _ Z1Z2/T (1т —Z2 + (Зт ' (1т —Z2 + ¡Зт'

И в данном случае видно, что система (4) является системой с переменной диссипацией с нулевым средним (чтобы было полное соответствие с определением, достаточно ввести новую фазовую переменную г*' = ln |zi|). Более того, она обладает двумя первыми интегралами (т.е. полным списком), являющимися трансцендентными функциями и выражающимися через конечную комбинацию элементарных функций [6, 7], что, как указывалось выше, и стало возможным после сопоставления ей (вообще говоря, неавтономной) системы уравнений с алгебраической (полиномиальной) правой частью (5).

Итак, приведенные выше системы из динамики твердого тела не только попадают в класс систем (1) и обладают переменной диссипацией с нулевым средним, но и имеют полный список трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. При этом интегрирование систем (2), (3) свелось к интегрированию соответствующих уравнений с алгебраическими правыми частями.

Как было отмечено, для поиска первых интегралов рассматриваемых систем достаточно привести системы вида (1) к системам с полиномиальными правыми частями, от вида которых зависит возможность интегрирования в элементарных функциях исходной системы. Поэтому пойдем следующим путем: будем искать достаточные условия интегрируемости в элементарных функциях систем уравнений с полиномиальными правыми частями, рассматривая при этом системы наиболее общего вида.

3. Системы на S1{a mod2n} х R1{w}. Рассмотрим возможности полного интегрирования (в элементарных функциях) системы

x ■ = ax + by + fix3 + f2x2y + f3xy2 + f4y3, y ■ = cx + dy + gix3 + g2x2y + g3xy2 + gAy3

на плоскости R2{x,y}. Кроме того, для определенности будем полагать, что корни характеристического уравнения для А-матрицы

(a - А b \ V c d - а)

вещественны. В этом случае можно считать, что b = 0. В случае же наличия комплексно-сопряженных корней у данного уравнения можно считать, что ad — bc = 1.

Применяя подстановку y = tx, характерную для однородных систем, придем к интегрированию следующего тождества:

[at + bt2 + f1tx2 + f2t2x2 + f3t3x2 + f4t4x2 — c — dt — g1x2 — g2tx2 — g3t2x2 — g4t3x2] dx + + [ax + btx + f1x3 + f2tx3 + f3t2x3 + f4t3x3] dt = 0.

Видно, что нелинейность характеризуют 8 параметров. Для интегрирования в элементарных функциях последнего тождества как однородного уравнения достаточно наложить 5 независимых условий:

g1 = 0, f1 = g2 = 01, f2 = g3 = f3 = g4 = fo, f4 = 0.

Предложение 2. Семипараметрическое семейство систем уравнений

x ■ = ax + by + e1x3 + e2x2y + @3xy2, y ■ = cx + dy + 01x2y + fcxy2 + 03y3

на плоскости Л2(ж, у} обладает (вообще говоря, трансцендентным) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции.

Схема доказательства. После несложных преобразований приходим к необходимости интегрирования следующего уравнения Бернулли:

[а* + Ы2 - с - сИ] — + [а + Ы]х + [А + fot + /5з^2] ж3 = 0,

2

которое заменой ж 2 = и сводится к линейному неоднородному:

at + bt2 — c — dt 2

^ + [a + ftí]u = -A - fot - fot2.

Поскольку первообразная функции--у--— выражается через элементарные функции, общее

at I bt c dt

решение однородной части последнего уравнения тоже выражается через элементарные функции.

Если же мы считаем, что без ограничения общности b = 0, то частное решение последнего неоднородного уравнения выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Замечание. Первый интеграл системы можно также искать из уравнения

= (а-(1)-+ Ъ - с(-\ .

у; y \yj

Следствие 1. Системы

Ía ■ = a sin a + bw + в1 sin3 a + в2и sin2 a + в3и2 sin a,

w ■ = c sin a cos a + dw cos a + e1w sin2 a cos a + в2и2 sin a cos a + в3и3 cos a

при любых параметрах a, b, c, d, въ в2, вз имеют первый интеграл, выражающийся через элементарные функции.

В частности, система (2) получается из последней системы при a = в, b = —1, c = 1, d = в1 = в2 = в3 = 0, а система (3) — при b = —1, c = 1, a = 2в, в1 = —в, в2 = 0, в3 = в.

Обобщим предыдущие рассуждения. Рассмотрим возможности полного интегрирования (в элементарных функциях) систем более общего вида. А именно нелинейность является произвольной однородной формой нечетной степени 2n — 1.

Тогда справедливо более общее, чем предложение 2, утверждение. Предложение 3. (2n + 3)-параметрическое семейство систем уравнений

(x ■ = ax + by + ¿ix2n-1 + ¿2Ж2га-2у + ... + ¿2n-2X2y2n-3 + ¿2n-ixy2n-2, ( )

\ y ■ = cx + dy + ¿1X2n-2y + ¿2X2n-3y2 + ... + ¿2n-2xy2ra-2 + ^n-^2"-1 ( )

на плоскости R2{x,y} обладает (вообще говоря, трансцендентным) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции.

Семейство уравнений (6) действительно зависит от 2n + 1 независимых параметров, поскольку общая нелинейность нечетной степени в данном случае характеризуется 4n параметрами, на которые накладывается 2n + 1 условий.

Следствие 2. Системы

í a ■ = a sin a + bu + 61 sin2"-1 a + 62w sin2"-2 a + ... + 62n-1w2n-2 sin a,

[ w ■ = c sin a cos a + dw cos a + sin2n-2 a cos a + 62w2 sin2n-3 a cos a + ... + 62n-1w2n-1 cos a

при любых параметрах a, b, c, d, 61,..., $2n-1 имеют первый интеграл, выражающийся через элементарные функции.

4. Системы на S1{amod2n} \ {a = 0, a = п} х R2{z1,z2}. Исследуем систему вида (4), которая сводится к (5), а также возникающую в пространственной динамике твердого тела систему

a ■ = —z2 + в(^2 + z2) sin a + в sin a cos2 a,

Z2' = sin a cos a + (3z2 (z2 + cos a — (3z2 sin2 a cos a — z\ C°S a

sin a

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

z\- = fo\ (z? + Zo) cos a — fo\ sin2 a: cos a + Z\Z2 cos

1 2 sin a

которая соответствует следующей системе с алгебраической правой частью:

(1г2 _ т + ¡Зх2 (¿1 + ¿1) - ¡Зх2Т2 - хЦт (1X2 _ /5^1 (¿1 + ¿2) ~ /З^Т2 + ^\Х2/т -Х2 + /Зф? + X2) + /Зт(1 - г2) ' 1ь= -X2 + /Зф2 + г2) + /Зт(1 - г2)

(7)

Аналогичным образом производится переход к однородным координатам ии, к = 1, 2, по формулам ^ = ии т.

Система (5) приведется к системе

(и2 Т — и2Т (1П\ и2и2Т

т —--ь и2 =-—рг) т --\~Щ =

dr —и2т + @т' dr —и2т + вт'

которая в свою очередь соответствует уравнению

dU2 _ 1 - /3-U2 +и\-и\

du\ 2u\v,2 — ¡Зи\

Данное уравнение интегрируется в элементарных функциях, поскольку интегрируется тождество

/1 — ви2 + u2\

V- u- J + =

и имеет в координатах (т, 21,22) первый интеграл следующего вида (ср. с [6, 7]):

х2 + z2 — в^2т + т2

-= const.

Х1т

Система же (7) после приведения к "однородному" виду соответствует системе

' du2 _т + ¡Зи2т3 {и\ + - ¡Зи2т3 - -uf т TH^+U2= -и2т + /Зг3(и2 + и2) + /?т(1 - г2)'

du1 ви,1т3 (uf + и2) — ви1т3 + и1и2т

TH7+Ul= -и2Т + /Зг3(и2 + и2) + /?т(1 - г2)'

которая также приводится к (8).

Зададим вопрос: каковы возможности интегрирования в элементарных функциях системы более общего вида

dx ax + by + сх + с1х2/х + c2xy/x + c3y2/x

dx dx + ey + f x ' (9)

dy gx + hy + ix + i1x2/x + i2xy/x + i3y2/x

dx dx + ey + fx '

включающей рассмотренные выше системы (5), (7) и имеющей особенность типа —, в трехмерной фазовой области?

Используя, как и ранее, подстановки y = ux, x = vx, приводим систему (9) к следующей системе:

dv ax + bux + cvx + c1v2x + c2vux + c3u2x dx dx + eux + f vx '

du gx + hux + ivx + i1v2x + i2vux + i3u2x dx dx + eux + f vx '

которой сопоставим уравнение

dv a + bu + cv + ^v2 + c2vu + c3u2 — v[d + eu + fv] du g + hu + iv + i1v2 + i2vu + i3u2 — u[d + eu + fv] '

Интегрирование последнего уравнения сводится к интегрированию уравнения в полных дифференциалах:

[д + hu + iv + i\v2 + i2vu + i3u2 — du — eu2 — fuv] dv =

= [a + bu + cv + civ2 + c2vu + c3u2 — dv — euv — fv2] du.

(10)

Имеем, вообще говоря, 15-параметрическое семейство уравнений вида (10). Для интегрирования в элементарных функциях последнего тождества как однородного уравнения достаточно наложить 7 условий:

д = 0, ¿3 = е, ¿1 =0, г = 0, с2 = е, с = Н, 2с2 = г2 + ¡. (11)

Введем 8 параметров 01,... и рассмотрим их в качестве независимых:

д = 0, h = pi,

f = вб, a = вб, b = в7, c = 0i,

0, ii =0, i2 = в2, i3 = вз, d = в4, e = вз,

в2 + вб

ci

2

c2 = вз, c3 = вв-

Таким образом, уравнение (10) при выполнении группы условий (11) сводится к виду

йо_ _ 06 + /37и + (01 - 04> + (02 - 05>2/2 + 08*и2 (и (02 — 04)и + (02 — /35)уи '

после чего уравнение (12) интегрируется в элементарных функциях.

Действительно, интегрируя тождество (10), получаем следующее соотношение:

(12)

d

(в1 — в4^

u

+ d

(02 - 05У 2 и

+ d

06 u

— d^7 ln |u|] — d^6u] = 0,

которое в координатах (х,у,г) позволяет найти первый интеграл в виде

(02 - 05 >2/2 - 08У2 + (01 - 04)*K + /36Х2 ух

— в7 ln

= const.

(13)

Таким образом, можно сделать вывод об интегрируемости в элементарных функциях следующей, вообще говоря, неконсервативной системы третьего порядка, зависящей от 8 параметров:

dz dx

вбХ + в7У + вlZ + (02 — вб)z2/2x + взzy/х + вву2 ¡X

в4Х + взУ + 05Z

dy _ ftiy + ¡32zy/x + ¡33y2/x dx 04ж + 0зу + 05z

Следствие 3. Система третьего порядка 'а • = в4 sin а + взZl + 05Z2,

02 + вб 2 cos а cos а 2 cos а

z2' = 06 sin cucos а: + 07 ¿i cos a + 0iz2 cos a H--z2--h 0з^1^2--b 0s-Zi -,

2 sin а sin а sin а

(14)

z\- = 0i¿i cos a + f32z\z2

+ взz2

sin a sin a

на множестве S 1{a mod2n}\{a = 0, a = п} х R2{z1,z2}, .зависящая от 8 параметров, обладает, вообще говоря, трансцендентным первым интегралом, выражающимся через элементарные функции.

В частности, система (14) при 01 = 03 = 07 = 0, 02 = 06 = 1, 05 = 08 = —1, 04 = в приводится к системе (4).

Для отыскания дополнительного первого интеграла неавтономной системы (9) используется найденный первый интеграл (13), выражающийся через конечную комбинацию элементарных функций.

5. Заключение. Рассматриваемые в данной работе динамические системы относятся к системам с переменной диссипацией с нулевым средним по имеющейся периодической координате. Более того,

такие системы часто обладают полным списком первых интегралов, выражающихся через элементарные функции.

Метод приведения исходных систем уравнений с правыми частями, содержащими полиномы от тригонометрических функций, к системам с полиномиальными правыми частями позволяет искать первые интегралы для систем более общего вида, а не только для обладающих указанными симметриями (ср.

с [2]).

Автор выражает искреннюю благодарность В. А. Самсонову за множество ценных замечаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации № МД-2311.2005.1 и грантов РФФИ № 05-08-01378-а и 05-01-00401-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самсонов В.А., Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 3. 51-54.

2. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2006.

3. Шамолин М.В. К задаче о движении тела в среде с сопротивлением // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1992. № 1. 52-58.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

5. Shamolin M. V. Classes of variable dissipation systems with nonzero mean in the dynamics of a rigid body //J. Math. Sci. 2004. 122, N 1. 2841-2915.

6. Шамолин М.В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Докл. РАН. 1999. 364, № 5. 627-629.

7. Шамолин М.В. Случаи интегрируемости уравнений пространственной динамики твердого тела // Прикл. механ. 2001. 37, № 6. 74-82.

Поступила в редакцию 06.02.2006

УДК 531.8

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ КАЛИБРОВКИ АВИАЦИОННОГО ГРАВИМЕТРА

НА ПОВТОРНЫХ ГАЛСАХ

Ю.В. Болотин, А. В. Федоров

1. Введение. Карты аномалий силы тяжести применяются в геодезии, геофизике, геологии и геодинамике. Авиационная гравиразведка предоставляет менее высокую точность измерений, чем наземная или морская, но оказывается единственным способом анализа геологической обстановки на шельфах, в тропических лесах, в полярных и других труднодоступных районах.

Аномалией силы тяжести в свободном воздухе называется разность между истинной § и нормальной Л) удельной силой тяжести (напомним, что силой тяжести является сумма сил тяготения и центробежной силы, возникающей за счет вращения Земли) в пункте измерения: Д§ = § — §о(^>, Л). Здесь ^ — географическая широта; Л — высота над референц-эллипсоидом. Значение модуля до(^, Л) нормальной составляющей силы тяжести, направленной по нормали к референц-эллипсоиду, вычисляется по формуле Гельмерта [1]. В авиационной гравиметрии аномалия рассматривается в проекции на географическую вертикаль (внешнюю нормаль к референц-эллипсоиду): Дд = дз — до(^>, Л). Здесь Дд — вертикальная составляющая аномалии силы тяжести в свободном воздухе (далее для краткости аномалия силы тяжести или просто аномалия), дз — вертикальная составляющая удельной силы тяжести.

Измерения на борту летательного аппарата (ЛА) проводятся с помощью гравиметра. В состав авиационного гравиметра входят: инерциальная навигационная система (ИНС) с горизонтируемой платформой; гравиметрический чувствительный элемент (ГЧЭ), ось чувствительности которого жестко связана с приборной вертикалью; бортовой приемник спутниковой навигационной системы (СНС).

Качество съемок тем выше, чем точнее откалиброван гравиметр, т.е. определены его параметры: масштабные коэффициенты, перекосы и т.п. Обычно эти параметры определяются на стенде при настройке

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.