Об интегрируемости в элементарных функциях некоторых классов динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

43

Механика

УДК 531.01+531.552

ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

М. В. Шамолин

Результаты предлагаемой работы появились благодаря исследованию прикладной задачи о движении твердого тела в сопротивляющейся среде [1], где для частного случая был получен трансцендентный интеграл, выраженный через элементарные функции. Это обстоятельство позволило провести полный анализ всех фазовых траекторий и указать на те их свойства, которые обладали "грубостью" и сохранялись для систем более общего вида. Интегрируемость системы из работы [1] была связана с симметриями скрытого типа. Поэтому представляет интерес исследование достаточно широких классов динамических систем, обладающих аналогичными скрытыми симметриями.

1. Введение. В работе изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих периодическую фазовую координату. Исследуемые системы обладают такими свойствами симметрии, благодаря которым в среднем за период по периодической координате сохраняется их фазовый объем. Так, например, маятниковая система

а • = -и + / (а), и • = д(а), / (а + Т) = / (а), д(а + Т) = д(а)

с гладкой и периодической по а периода Т правой частью V сохраняет свою фазовую площадь на фазовом цилиндре за период Т:

т т т

J с№у У(а, со)<1а = J + /(а)) + da = J /'(а) йа, = 0.

Рассматриваемая система эквивалентна уравнению маятника

а •• — f'(a)a ■ + д(а) = 0,

в котором интеграл от коэффициента f '(а) при диссипативном члене а■ в среднем за период равен нулю.

Видно, что рассматриваемая система имеет такие симметрии, при которых она становится так называемой системой с переменной диссипацией с нулевым средним в смысле следующего определения (см. также [2]).

Определение. Рассмотрим гладкую автономную систему (n + 1)-го порядка нормального вида, заданную на цилиндре Rn{x} х S 1{аmodT}, где а — периодическая координата с периодом T > 0. Дивергенцию правой части (которая, вообще говоря, является функцией всех фазовых переменных и не равна тождественно нулю) данной системы обозначим через div(x, а). Назовем такую систему системой с переменной диссипацией с нулевым (ненулевым) средним, если функция

T

/£|"(х'а)

о

равна (не равна) тождественно нулю. При этом в некоторых случаях (например, когда в отдельных точках окружности S 1{а mod T} возникают особенности) данный интеграл понимается в смысле главного значения.

Необходимо заметить, что дать общее определение системы с переменной диссипацией с нулевым (ненулевым) средним достаточно непросто. Приведенное только что определение использует понятие дивергенции (как известно, дивергенция правой части системы нормального вида характеризует изменение фазового объема).

44

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

2. Системы с симметриями и переменной диссипацией с нулевым средним. Рассмотрим системы следующего вида (точкой обозначена производная по времени):

a ■ = /a(w, sin a, cos a), wk = /k(w, sin a, cos a), k = l,...,n, (1)

заданные на множестве S1{amodT} \ K x Rn{w}, w = (wi,...,wn), где функции /a(ui,U2,U3), Л = a, 1,..., n, трех переменных ui, W2, U3 таковы:

/л(-«1, U2, U3) = /a(Ui, U2, U3), /a(ui,u2, -U3) = /a(ui, U2, U3), /k(«i,«2, -U3) = —/k(ui,«2,«3).

Множество K или пусто, или состоит из конечного числа точек окружности Si{amodT}. Последние две переменные U2, U3 в функциях /a(wi,W2,U3) зависят от одного параметра a, но они выделены в разные группы по следующим причинам. Во-первых, не во всей области определения они однозначно выражаются относительно друг друга, а во-вторых, первая из них нечетная, а вторая — четная функция a, что по-разному влияет на симметрии системы (1). Ей поставим в соответствие следующую, уже неавтономную систему:

dwk /k(w, sin a, cos a) da /a(w, sin a, cos a)'

подстановкой т = sin a приводимую к виду

dwk /k (w,T,<£fc (т))

dT /a(w,T,^a(т)) '

<£a(-t ) = ^a(t ), Л = a, 1,...,n.

Последняя система может иметь, в частности, алгебраическую правую часть (т.е. быть отношением двух полиномов), что позволяет искать ее первые интегралы в явном виде.

Предложение 1. Системы вида (1) являются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним.

В работе будет затронут случай, когда функции /a(w, т, ^k(т)) (Л = a, 1,..., n) — полиномы по w, т. Для начала рассмотрим некоторый класс автономных систем на двумерном цилиндре Si{a mod 2п} x Ri{w}. Так, к примеру, следующим маятниковым системам с параметром в > 0 [1, 3]

a ■ = — w + в sin a, w ■ = sin a cos a; (2)

{a ■ = — w + в sin a cos2 a + ew2 sin a, w ■ = sin a cos a — ew sin2 a cos a + ew3 cos a

в переменных (w, т) сопоставим уравнения с алгебраическими правыми частями

duo _ т duo _ т + (Зио[ио2 - т2]

dr ~ -ш + /3т' dr ~ -ио + /Зт + (Зт[ио2 - г2]

соответственно. При этом системы (2) и (3) являются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним, что нетрудно проверить напрямую.

Более того, каждая из них обладает первым интегралом, являющимся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного) функцией, выражающейся через конечную комбинацию элементарных функций [4, 5].

Итак, мы имеем следующий объект:

1) выделенный выше класс систем (1) с отмеченными симметриями и свойства, характерные для этого объекта;

2) данный класс систем обладает переменной диссипацией с нулевым средним (по переменной a), что позволяет их рассматривать как "почти" консервативные системы;

3) в некоторых (пусть и маломерных) случаях эти системы обладают, вообще говоря, трансцендентными первыми интегралами.

Приведем еще один важный пример системы более высокого порядка, обладающей только что перечисленными свойствами.

Следующей системе, рассматриваемой уже в трехмерной области S1{a mod2n} \ {a mod2n : а = 0, а = п} х R2{zi,z2} (такая система также может быть приведена к эквивалентной себе системе на касательном расслоении к двумерной сфере):

2 cos a cos а . л.

a' = —Z2+psma, Z2' = sin a cos а — Zi -, z\- = Z\Z2--(4)

sin a sin a

и описывающей пространственное движение твердого тела в сопротивляющейся среде [6, 7], поставим в соответствие систему с алгебраической правой частью:

dz2 _ т-zj/r dzi _ Z1Z2/T (1т —Z2 + (Зт ' (1т —Z2 + ¡Зт'

И в данном случае видно, что система (4) является системой с переменной диссипацией с нулевым средним (чтобы было полное соответствие с определением, достаточно ввести новую фазовую переменную г*' = ln |zi|). Более того, она обладает двумя первыми интегралами (т.е. полным списком), являющимися трансцендентными функциями и выражающимися через конечную комбинацию элементарных функций [6, 7], что, как указывалось выше, и стало возможным после сопоставления ей (вообще говоря, неавтономной) системы уравнений с алгебраической (полиномиальной) правой частью (5).

Итак, приведенные выше системы из динамики твердого тела не только попадают в класс систем (1) и обладают переменной диссипацией с нулевым средним, но и имеют полный список трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. При этом интегрирование систем (2), (3) свелось к интегрированию соответствующих уравнений с алгебраическими правыми частями.

Как было отмечено, для поиска первых интегралов рассматриваемых систем достаточно привести системы вида (1) к системам с полиномиальными правыми частями, от вида которых зависит возможность интегрирования в элементарных функциях исходной системы. Поэтому пойдем следующим путем: будем искать достаточные условия интегрируемости в элементарных функциях систем уравнений с полиномиальными правыми частями, рассматривая при этом системы наиболее общего вида.

3. Системы на S1{a mod2n} х R1{w}. Рассмотрим возможности полного интегрирования (в элементарных функциях) системы

x ■ = ax + by + fix3 + f2x2y + f3xy2 + f4y3, y ■ = cx + dy + gix3 + g2x2y + g3xy2 + gAy3

на плоскости R2{x,y}. Кроме того, для определенности будем полагать, что корни характеристического уравнения для А-матрицы

(a - А b \ V c d - а)

вещественны. В этом случае можно считать, что b = 0. В случае же наличия комплексно-сопряженных корней у данного уравнения можно считать, что ad — bc = 1.

Применяя подстановку y = tx, характерную для однородных систем, придем к интегрированию следующего тождества:

[at + bt2 + f1tx2 + f2t2x2 + f3t3x2 + f4t4x2 — c — dt — g1x2 — g2tx2 — g3t2x2 — g4t3x2] dx + + [ax + btx + f1x3 + f2tx3 + f3t2x3 + f4t3x3] dt = 0.

Видно, что нелинейность характеризуют 8 параметров. Для интегрирования в элементарных функциях последнего тождества как однородного уравнения достаточно наложить 5 независимых условий:

g1 = 0, f1 = g2 = 01, f2 = g3 = f3 = g4 = fo, f4 = 0.

Предложение 2. Семипараметрическое семейство систем уравнений

x ■ = ax + by + e1x3 + e2x2y + @3xy2, y ■ = cx + dy + 01x2y + fcxy2 + 03y3

на плоскости Л2(ж, у} обладает (вообще говоря, трансцендентным) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции.

Схема доказательства. После несложных преобразований приходим к необходимости интегрирования следующего уравнения Бернулли:

[а* + Ы2 - с - сИ] — + [а + Ы]х + [А + fot + /5з^2] ж3 = 0,

2

которое заменой ж 2 = и сводится к линейному неоднородному:

at + bt2 — c — dt 2

^ + [a + ftí]u = -A - fot - fot2.

Поскольку первообразная функции--у--— выражается через элементарные функции, общее

at I bt c dt

решение однородной части последнего уравнения тоже выражается через элементарные функции.

Если же мы считаем, что без ограничения общности b = 0, то частное решение последнего неоднородного уравнения выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Замечание. Первый интеграл системы можно также искать из уравнения

= (а-(1)-+ Ъ - с(-\ .

у; y \yj

Следствие 1. Системы

Ía ■ = a sin a + bw + в1 sin3 a + в2и sin2 a + в3и2 sin a,

w ■ = c sin a cos a + dw cos a + e1w sin2 a cos a + в2и2 sin a cos a + в3и3 cos a

при любых параметрах a, b, c, d, въ в2, вз имеют первый интеграл, выражающийся через элементарные функции.

В частности, система (2) получается из последней системы при a = в, b = —1, c = 1, d = в1 = в2 = в3 = 0, а система (3) — при b = —1, c = 1, a = 2в, в1 = —в, в2 = 0, в3 = в.

Обобщим предыдущие рассуждения. Рассмотрим возможности полного интегрирования (в элементарных функциях) систем более общего вида. А именно нелинейность является произвольной однородной формой нечетной степени 2n — 1.

Тогда справедливо более общее, чем предложение 2, утверждение. Предложение 3. (2n + 3)-параметрическое семейство систем уравнений

(x ■ = ax + by + ¿ix2n-1 + ¿2Ж2га-2у + ... + ¿2n-2X2y2n-3 + ¿2n-ixy2n-2, ( )

\ y ■ = cx + dy + ¿1X2n-2y + ¿2X2n-3y2 + ... + ¿2n-2xy2ra-2 + ^n-^2"-1 ( )

на плоскости R2{x,y} обладает (вообще говоря, трансцендентным) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции.

Семейство уравнений (6) действительно зависит от 2n + 1 независимых параметров, поскольку общая нелинейность нечетной степени в данном случае характеризуется 4n параметрами, на которые накладывается 2n + 1 условий.

Следствие 2. Системы

í a ■ = a sin a + bu + 61 sin2"-1 a + 62w sin2"-2 a + ... + 62n-1w2n-2 sin a,

[ w ■ = c sin a cos a + dw cos a + sin2n-2 a cos a + 62w2 sin2n-3 a cos a + ... + 62n-1w2n-1 cos a

при любых параметрах a, b, c, d, 61,..., $2n-1 имеют первый интеграл, выражающийся через элементарные функции.

4. Системы на S1{amod2n} \ {a = 0, a = п} х R2{z1,z2}. Исследуем систему вида (4), которая сводится к (5), а также возникающую в пространственной динамике твердого тела систему

a ■ = —z2 + в(^2 + z2) sin a + в sin a cos2 a,

Z2' = sin a cos a + (3z2 (z2 + cos a — (3z2 sin2 a cos a — z\ C°S a

sin a

z\- = fo\ (z? + Zo) cos a — fo\ sin2 a: cos a + Z\Z2 cos

1 2 sin a

которая соответствует следующей системе с алгебраической правой частью:

(1г2 _ т + ¡Зх2 (¿1 + ¿1) - ¡Зх2Т2 - хЦт (1X2 _ /5^1 (¿1 + ¿2) ~ /З^Т2 + ^\Х2/т -Х2 + /Зф? + X2) + /Зт(1 - г2) ' 1ь= -X2 + /Зф2 + г2) + /Зт(1 - г2)

(7)

Аналогичным образом производится переход к однородным координатам ии, к = 1, 2, по формулам ^ = ии т.

Система (5) приведется к системе

(и2 Т — и2Т (1П\ и2и2Т

т —--ь и2 =-—рг) т --\~Щ =

dr —и2т + @т' dr —и2т + вт'

которая в свою очередь соответствует уравнению

dU2 _ 1 - /3-U2 +и\-и\

du\ 2u\v,2 — ¡Зи\

Данное уравнение интегрируется в элементарных функциях, поскольку интегрируется тождество

/1 — ви2 + u2\

V- u- J + =

и имеет в координатах (т, 21,22) первый интеграл следующего вида (ср. с [6, 7]):

х2 + z2 — в^2т + т2

-= const.

Х1т

Система же (7) после приведения к "однородному" виду соответствует системе

' du2 _т + ¡Зи2т3 {и\ + - ¡Зи2т3 - -uf т TH^+U2= -и2т + /Зг3(и2 + и2) + /?т(1 - г2)'

du1 ви,1т3 (uf + и2) — ви1т3 + и1и2т

TH7+Ul= -и2Т + /Зг3(и2 + и2) + /?т(1 - г2)'

которая также приводится к (8).

Зададим вопрос: каковы возможности интегрирования в элементарных функциях системы более общего вида

dx ax + by + сх + с1х2/х + c2xy/x + c3y2/x

dx dx + ey + f x ' (9)

dy gx + hy + ix + i1x2/x + i2xy/x + i3y2/x

dx dx + ey + fx '

включающей рассмотренные выше системы (5), (7) и имеющей особенность типа —, в трехмерной фазовой области?

Используя, как и ранее, подстановки y = ux, x = vx, приводим систему (9) к следующей системе:

dv ax + bux + cvx + c1v2x + c2vux + c3u2x dx dx + eux + f vx '

du gx + hux + ivx + i1v2x + i2vux + i3u2x dx dx + eux + f vx '

которой сопоставим уравнение

dv a + bu + cv + ^v2 + c2vu + c3u2 — v[d + eu + fv] du g + hu + iv + i1v2 + i2vu + i3u2 — u[d + eu + fv] '

Интегрирование последнего уравнения сводится к интегрированию уравнения в полных дифференциалах:

[д + hu + iv + i\v2 + i2vu + i3u2 — du — eu2 — fuv] dv =

= [a + bu + cv + civ2 + c2vu + c3u2 — dv — euv — fv2] du.

(10)

Имеем, вообще говоря, 15-параметрическое семейство уравнений вида (10). Для интегрирования в элементарных функциях последнего тождества как однородного уравнения достаточно наложить 7 условий:

д = 0, ¿3 = е, ¿1 =0, г = 0, с2 = е, с = Н, 2с2 = г2 + ¡. (11)

Введем 8 параметров 01,... и рассмотрим их в качестве независимых:

д = 0, h = pi,

f = вб, a = вб, b = в7, c = 0i,

0, ii =0, i2 = в2, i3 = вз, d = в4, e = вз,

в2 + вб

ci

2

c2 = вз, c3 = вв-

Таким образом, уравнение (10) при выполнении группы условий (11) сводится к виду

йо_ _ 06 + /37и + (01 - 04> + (02 - 05>2/2 + 08*и2 (и (02 — 04)и + (02 — /35)уи '

после чего уравнение (12) интегрируется в элементарных функциях.

Действительно, интегрируя тождество (10), получаем следующее соотношение:

(12)

d

(в1 — в4^

u

+ d

(02 - 05У 2 и

+ d

06 u

— d^7 ln |u|] — d^6u] = 0,

которое в координатах (х,у,г) позволяет найти первый интеграл в виде

(02 - 05 >2/2 - 08У2 + (01 - 04)*K + /36Х2 ух

— в7 ln

= const.

(13)

Таким образом, можно сделать вывод об интегрируемости в элементарных функциях следующей, вообще говоря, неконсервативной системы третьего порядка, зависящей от 8 параметров:

dz dx

вбХ + в7У + вlZ + (02 — вб)z2/2x + взzy/х + вву2 ¡X

в4Х + взУ + 05Z

dy _ ftiy + ¡32zy/x + ¡33y2/x dx 04ж + 0зу + 05z

Следствие 3. Система третьего порядка 'а • = в4 sin а + взZl + 05Z2,

02 + вб 2 cos а cos а 2 cos а

z2' = 06 sin cucos а: + 07 ¿i cos a + 0iz2 cos a H--z2--h 0з^1^2--b 0s-Zi -,

2 sin а sin а sin а

(14)

z\- = 0i¿i cos a + f32z\z2

+ взz2

sin a sin a

на множестве S 1{a mod2n}\{a = 0, a = п} х R2{z1,z2}, .зависящая от 8 параметров, обладает, вообще говоря, трансцендентным первым интегралом, выражающимся через элементарные функции.

В частности, система (14) при 01 = 03 = 07 = 0, 02 = 06 = 1, 05 = 08 = —1, 04 = в приводится к системе (4).

Для отыскания дополнительного первого интеграла неавтономной системы (9) используется найденный первый интеграл (13), выражающийся через конечную комбинацию элементарных функций.

5. Заключение. Рассматриваемые в данной работе динамические системы относятся к системам с переменной диссипацией с нулевым средним по имеющейся периодической координате. Более того,

такие системы часто обладают полным списком первых интегралов, выражающихся через элементарные функции.

Метод приведения исходных систем уравнений с правыми частями, содержащими полиномы от тригонометрических функций, к системам с полиномиальными правыми частями позволяет искать первые интегралы для систем более общего вида, а не только для обладающих указанными симметриями (ср.

с [2]).

Автор выражает искреннюю благодарность В. А. Самсонову за множество ценных замечаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации № МД-2311.2005.1 и грантов РФФИ № 05-08-01378-а и 05-01-00401-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самсонов В.А., Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 3. 51-54.

2. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2006.

3. Шамолин М.В. К задаче о движении тела в среде с сопротивлением // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1992. № 1. 52-58.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

5. Shamolin M. V. Classes of variable dissipation systems with nonzero mean in the dynamics of a rigid body //J. Math. Sci. 2004. 122, N 1. 2841-2915.

6. Шамолин М.В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой // Докл. РАН. 1999. 364, № 5. 627-629.

7. Шамолин М.В. Случаи интегрируемости уравнений пространственной динамики твердого тела // Прикл. механ. 2001. 37, № 6. 74-82.

Поступила в редакцию 06.02.2006

УДК 531.8

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ КАЛИБРОВКИ АВИАЦИОННОГО ГРАВИМЕТРА

НА ПОВТОРНЫХ ГАЛСАХ

Ю.В. Болотин, А. В. Федоров

1. Введение. Карты аномалий силы тяжести применяются в геодезии, геофизике, геологии и геодинамике. Авиационная гравиразведка предоставляет менее высокую точность измерений, чем наземная или морская, но оказывается единственным способом анализа геологической обстановки на шельфах, в тропических лесах, в полярных и других труднодоступных районах.

Аномалией силы тяжести в свободном воздухе называется разность между истинной § и нормальной Л) удельной силой тяжести (напомним, что силой тяжести является сумма сил тяготения и центробежной силы, возникающей за счет вращения Земли) в пункте измерения: Д§ = § — §о(^>, Л). Здесь ^ — географическая широта; Л — высота над референц-эллипсоидом. Значение модуля до(^, Л) нормальной составляющей силы тяжести, направленной по нормали к референц-эллипсоиду, вычисляется по формуле Гельмерта [1]. В авиационной гравиметрии аномалия рассматривается в проекции на географическую вертикаль (внешнюю нормаль к референц-эллипсоиду): Дд = дз — до(^>, Л). Здесь Дд — вертикальная составляющая аномалии силы тяжести в свободном воздухе (далее для краткости аномалия силы тяжести или просто аномалия), дз — вертикальная составляющая удельной силы тяжести.

Измерения на борту летательного аппарата (ЛА) проводятся с помощью гравиметра. В состав авиационного гравиметра входят: инерциальная навигационная система (ИНС) с горизонтируемой платформой; гравиметрический чувствительный элемент (ГЧЭ), ось чувствительности которого жестко связана с приборной вертикалью; бортовой приемник спутниковой навигационной системы (СНС).

Качество съемок тем выше, чем точнее откалиброван гравиметр, т.е. определены его параметры: масштабные коэффициенты, перекосы и т.п. Обычно эти параметры определяются на стенде при настройке