CC BY
17
_Доклады БГУИР_
2003 январь-март Том 1, № 1
ИНФОРМАТИКА
УДК 621.391 (075.8)
УСТРОЙСТВА ОБРАБОТКИ БЧХ-КОДОВ НА ОСНОВЕ НОРМ СИНДРОМОВ
В. А. ЛИПНИЦКИЙ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 9 января 2003
Теория норм синдромов предоставляет перестановочные алгоритмы коррекции ошибок, позволяющие на порядок снизить "проблему селектора". Их реализация возможна как с помощью ПЗУ, так и ПЛИС. Первая обладает хорошей аппаратурной экономичностью, вторая -высоким быстродействием.
Ключевые слова: помехоустойчивость, БЧХ-коды, синдром ошибок, норма синдрома, декодер, перестановочное декодирование.
Введение
Одной из прикладных задач общей теории телекоммуникаций является повышение помехоустойчивости цифровой передачи, хранения, обработки и коммутации сообщений [1, 2]. При широком многообразии помехоустойчивых кодов на практике реализован лишь небольшой спектр кодов и методов их декодирования. Это декодеры, базирующиеся на методе максимального правдоподобия, используемые, как правило, для обработки низкоскоростных кодов [3], мажоритарные декодеры, синдромные декодеры для обработки высокоскоростных кодов. Основное препятствие здесь — "проблема селектора" — быстрый рост количества селектируемых векторов с увеличением длины кода или кодового расстояния. Общепризнано считать эффективными перестановочные декодеры, базирующиеся на автоморфизмах кодов [1]. Однако до последнего времени они не нашли практической реализации ввиду отсутствия теоретической базы и, как следствие, сложности алгоритмов коррекции ошибок. Определенным шагом в развитии перестановочных методов обработки кодов является создание теории норм синдромов [4]. Суть теории состоит в следующем. Под действием группы Г векторы-ошибки разбиваются на непересекающиеся классы — Г-орбиты. Каждая Г-орбита имеет четко очерченный спектр векторов и синдромов — зная вектор (синдром вектора) одной Г-орбиты, можно однозначно восстановить все остальные векторы (синдромы ее векторов). Через компоненты синдрома вычисляется норма синдрома [4]. Норма синдрома не зависит от циклических сдвигов, является однозначной характеристикой каждой Г-орбиты; это и есть норма Г-орбиты. Г-орбиты с различными нормами имеют непересекающиеся спектры синдромов. Отсюда следует, что код может корректировать любой набор К Г-орбит векторов-ошибок с попарно различными нормами. Практически в любом коде можно построить совокупность Г-орбит К, содержащий не только произвольные случайные ошибки, допустимые кодовым расстоянием, но и ряд зависимых ошибок, вплоть до полного исчерпания синдромных возможностей кода.
Норменный метод декодирования. Изложенная теория предоставляет следующий метод декодирования ошибок: вычисляется синдром ошибок S(X) = $(~ё) принятого сообщения
х = е + у, где у — истинное кодовое слово, е — вектор ошибок; далее вычисляется норма синдрома Ы(8(х)) = N . Норма указывает Г орбиту I, которой принадлежит вектор е . Если в Г-орбите I зафиксировать один элемент в качестве образующего, то, сравнив синдромы 8(ё) и 3(в}.), можно определить величину циклического сдвига, переводящего е^ в е . Тем самым вектор ошибок е может быть однозначно определен. Основные этапы этого алгоритма для БЧХ-кода с минимальным расстоянием d=5 исправляющего ошибки кратности 1=2, состоят в следующем.
1. Вычисляется синдром Я = (сс'т ,а1т ) (БВС).
2. Находятся текущие значения степеней ¡т, ]т элементов поля Галуа (ПЗУ1 и ПЗУ2).
3. Вычисляется показатель нормы синдрома deg N=( ]т —3 ¡т )(mod п) (применяется сумматор по модулю п).
4. По показателю deg N находится показатель /0 первой компоненты синдрома образующего вектора ошибок (с применением ПЗУЗ).
5. Вычисляется Ь1 = (гт —10 )(mod п) номер первого ошибочного разряда (с помощью сумматора по модулю п).
6. Вычисляется номер Ь2 второго ошибочного разряда — с помощью блока вычисления наблюдаемого вектора ошибок (БВНВО), состоящего из ПЗУ4 и сумматора по модулю п, вычисляется диаметр ошибки и, следовательно, положение второй ошибочной позиции.
7. Путем раздельной дешифрации Ь1 и Ь2 (с помощью дешифраторов Дш1 и Дш2) находятся векторы ошибок е1 и е2 веса 1.
8. Находится суммарный вектор е = е1 + е2 в блоке элементов ИЛИ (на рис. 1 — блок 1).
9. Осуществляется коррекция принятого сигнала в блоке инвертирования (БИ).
Декодер, реализующий данный алгоритм , представлен на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема декодера, использующего ПЗУ и сумматоры по модулю п
В сумме аппаратурная сложность данного декодера составляет (^ N + 3n)\og2n + 3п
элементов И, ИЛИ, ячеек памяти. Например, для длины кода п=127, 1=2 аппаратурная сложность составляет 3115 элементов. Такая сложность вполне приемлема для современной микроэлектронной базы. Однако декодер отличается неоднородностью входящих блоков; это приводит к большим затратам площади кристаллов, реализующим декодер. Сложность предложенного декодера почти в три раза меньше числа селектируемых комбинаций: C121 + C227 =8128 по таблице смежных классов, на реализацию которой потребуется ПЗУ емкостью 221о&п • 221°ьп (при п=127 емкость его примерно равна 64 Кбит) при извлечении из него двух \0g2n разрядных кодов адресов ошибок. Если декодер реализовать на основе классического метода синдромов с использованием ПЗУ емкостью, равной суммарному числу синдромов, умноженному на длину кода, то для данного примера емкость ПЗУ составит 8128-127«Мбит.
Анализ показывает, что с увеличением кратности ^ корректируемых ошибок увеличивается число ПЗУ для преобразования элементов поля в их показатели, количество сумматоров по модулю п для нахождения показателей компонент норм синдромов deg М-, ПЗУ для хранения адресов ошибок образующего вектора. Также требуется блок вычисления текущего значения нормы
синдрома Мт = (М1,М2,...,Мг) (при о^>7 норма синдрома становится вектором [4]. Ясно, что данный блок может быть реализован на элементах И, максимальное число входов у которых равно а их суммарное число равно количеству норм синдромов, необходимых для декодирования ¿-кратных ошибок.
Анализ рассматриваемого метода декодирования и его реализаций показывает, что операции при вычислениях совершаются с двоичными числами с промежуточными переходами в унитарные коды (в дешифраторах и ПЗУ) и обратно в двоичные. Это приводит к большим задержкам сигналов при преобразованиях, а также к высокой сложности при реализации сумматоров по модулю п при их параллельной схеме исполнения, а при последовательной реализации — к низкому быстродействию.
Если реализовать алгоритм декодирования на ПЛИС, то в этом случае происходит преобразование синдрома (двоичного кода) в унитарный код с помощью дешифратора, а далее вычисляется норма N и вектор ошибок ё в унитарных кодах.
На рис. 2 представлена структурная схема декодера на ПЛМ, реализующая метод декодирования в унитарном коде для БЧХ-кода длиной п=7. Каждая точка на пересечении вертикальных и горизонтальных шин логических матриц ЛМ1 и ЛМ2 обозначает элемент 2И. Схема построена на основе таблицы, где представлены все векторы-ошибки веса 1-2, собранные в Г-орбиты
11-14, синдромы ошибок в названном коде и показатели норм Г-орбит.
Перечень векторов Г - орбит ошибок веса 1, 2 и их синдромов в БЧХ- коде длиной 7
Г-орбита 11 12 13 14
ё и 8(ё) (1) (1,1) (1,2) (а3,а2) (1,3) (а6,а4) (1,4) (а,а5)
с(ё ) и 8(с(ё)) (2) (а,а6) (2,3) (а4,а) (2,4) (1,а3) (2,5) (а2,а4)
с2(ё) и 8(а2(ё)) (3) (а2,а5) (3,4) (а5,1) (3,5) (а,а2) (3,6) (а3,а3)
С (ё) и $(а3(ё)) (4) (а3,а4) (4,5) (а6,а6) (4,6) (а2,а) (4,7) (а4,а2)
с4(ё) и $(а4(ё)) (5) (а4,а3) (5,6) (1,а5) (5,7) (а3,1) (5,1) (а5,а)
с3(ё) и $(а5(ё)) (6) (а5,а2) (6,7) (а,а4) (6,1) (а4,а6) (6,2) (а6,1)
с6(ё) и $(с3(ё)) (7) (а6,а) (7,1) (а2,а3) (7,2) (а5,а5) (7,3) (1,а6)
degМ( I) 0 5 3 6
Рис. 2. Структурная схема декодера, реализующего метод коррекции в унитарных кодах
Двоичные коды синдрома с выходов БВС поступают на входы дешифраторов Дш 1 и Дш2, где преобразуются в унитарные коды. Эти коды поступают на первую логическую матрицу БВНС-ЛМ1, на выходах которой устанавливаются в унитарном коде единичные сигналы в зависимости от вычисленной нормы N; на выходах второй логической матрицы (БВТВО-ЛМ2) — текущие векторы ошибок Таким образом, по сути дела логическая матрица ЛМ2 заменяет функции, БВОВО, БВЦС, БВТВО декодера (рис. 2) и производит циклический сдвиг образующего вектора ошибок e. Прообразом здесь является работа [5].
Результаты и обсуждения
Основное преимущество норменного декодера на ПЛИС — высокое быстродействие — обеспечивается как за счет исключения отдельных блоков, так и благодаря регулярной и однородной структуре ЛМ. Так, например, для декодера на рис. 2 сигнал задерживается лишь в трех последовательно соединенных высокоскоростных блоках (дешифраторе и двух ЛМ. Известно, что сумматоры по mod n являются достаточно медленными элементами. Сложность реализации рассматриваемого декодера определяется емкостью двух ЛМ, одна из которых наполовину заполнена ( 0,5 ■ n2 ). Это приводит к более высокой сложности устройства. В частности, при длине кода n=127 сложность примерно равна 22 Кбит. Это в семь раз выше сложности декодера на рис. 1, однако примерно в 4 раза соответственно ниже сложности декодера, реализующего декодирование по таблице смежных классов.
Заключение
Теория норм синдромов предоставляет перестановочные алгоритмы коррекции ошибок, позволяющие на порядок снизить "проблему селектора". Их реализация возможна как с помощью ПЗУ, так и ПЛИС. Первая обладает хорошей аппаратурной экономичностью, вторая - высоким быстродействием.
DEVICES FOR BCH CODES DECODING USING SYNDROME NORMS
V.A. LIPNITSKY Abstract
The syndrom norm theory provides permutation algorithms for error correcting thus essentially decreasing a "selector problem". They can be implemented by using RAM and PLIS. The first one has accessible hardware economy, the second one — high speed performance.
Литература
1. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М., 1979.
2. Варламова О. Помехоустойчивые кодеки — будущее цифровой телефонии. Интернет, 2002.
3. Дворников В.Д., Конопелько В.К., Липницкий В.А. Теория и практика низкоскоростных кодов. Мн., 2002.
4. Конопелько В.К., Липницкий В.А. Теория норм синдромов и перестановочное декодирование помехоустойчивых кодов. Мн., 2000.
5. Конопелько В.К. Устройство декодирования для коррекции двойных ошибок. А.с. № 1833968. 1993. Бюл. изобрет. № 30.
