CC BY
13
_Доклады БГУИР_
2009 № 5 (43)
УДК 621.391.(075.8)
ДЕКОДИРОВАНИЕ КРАТНЫХ ОШИБОК НА ОСНОВЕ ЦИКЛОТОМИЧЕСКОГО СЖАТИЯ НОРМ СИНДРОМОВ
А.В.КУРИЛОВИЧ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки 6, Минск 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 16 октября 2009
Работа посвящена совершенствованию норменных методов коррекции ошибок для семейства БЧХ-кодов. Разрабатывается метод сжатия норм синдромов с помощью циклотомических подстановок. Переход к G-орбитам в примитивных БЧХ-кодах позволяет дополнительно сократить в Ьо^п раз количество селектируемых Г-орбит.
Ключевые слова: синдром ошибок, норма синдрома, автоморфизм кода, циклическая подстановка, циклотомическая подстановка, БЧХ-код, декодер.
Введение
На рубеже 20 - 21 веков белорусской школой кодировщиков разработана теория норм синдромов - новое направление в теории и практике помехоустойчивого кодирования. Основным ее практическим результатом явилась серия норменных перестановочных методов коррекции кратных ошибок для широкого семейства циклических кодов, в частности, для семейства кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ-кодов) [1, 2]. Норменные методы отличают сокращение в п раз (п - длина кода) количества селектируемых комбинаций, конструктивная возможность исчерпания избыточности кодов, однородность структуры декодирующих схем.
Интенсивный рост объемов информации в современных инфокоммуникационных системах предъявляет жесткие требования к декодерам, прямым следствием которых является необходимость увеличения длин помехоустойчивых кодов и кратностей корректируемых ошибок. Эти требования приводят к необходимости дальнейшей работы по развитию теории норм синдромов и норменных методов коррекции ошибок. В [3] предложен оригинальный метод сжатия норм синдромов путем отображения векторов-ошибок в класс векторов-ошибок большей кратности. В данной работе рассматривается сжатие норм синдромов последовательным применением циклотомических подстановок.
Циклические и циклотомические подстановки принадлежат группам автоморфизмов многих циклических кодов, в том числе кодов семейства БЧХ [2, 4]. В данной работе на основе изученного влияния циклотомических подстановок на синдромы ошибок и нормы синдромов предложен альтернативный метод сжатия норм синдромов. Совместная группа О циклических и циклотомических подстановок разбивает корректируемую совокупность векторов-ошибок на непересекающиеся классы - О-орбиты. При этом О-орбиты состоят из Г-орбит. В примитивных БЧХ-кодах в подавляющем большинстве случаев О-орбита содержит Ьо^п Г-орбит.
Традиционные норменные методы требуют селекции всего многообразия Г-орбит корректируемой совокупности (что как известно в п раз меньше количества синдромов исправляемых векторов-ошибок). Предлагается модификация норменного метода, согласно которой следует селектировать только образующие О-орбит. В таком случае по вычисленным синдрому и норме синдрома определяем О-орбиту, содержащую искомую вектор-ошибку, затем осуществляем поиск вектора-ошибки внутри О-орбиты. Такой метод дополнительно
сокращает в Ьо^п раз мощность селектируемой совокупности норм синдромов, что в конечном итоге соответственно уменьшает сложность декодирующих устройств.
Действие циклотомических подстановок на пространстве векторов-ошибок двоичных кодов
Определим на множестве 7" = {0,1,—1} преобразование (р по следующему
правилу: для каждого / е / (р{1) = 2/ - элемент множества Т, равный 2/, если 2/ < п. и равный 2/ — п, если 2/ >п. Известно [2], что отображение <р является биекцией множества Т тогда и только тогда, когда п нечетно. В дальнейшем п = 2/ + 1 — нечётно. Существует наименьшее натуральное т с условием: 2™—1 — Щ, то есть п делит 2™—1. Тогда циклическая группа Ф , порожденная степенями (р, конечна и имеет порядок т .
Группа Ф действует на пространстве ошибок Еп любого двоичного линейного кода, переставляя координаты векторов-ошибок в соответствии с указанным выше правилом действия на их номера, образующие множество Т. Действия (р и ее степеней на / — элемент
множества Т— образуют циклотомический класс /, 2/, 22/, • • 2'" 1 / по модулю п [3]. Поэтому подстановки ср, ср2, • • •, ср"' - называются циклотомическими. Действие подстановок (р, (р2, • • •, (рт на векторы пространства Е7 иллюстрирует рис. 1.
Рис. 1. Действие циклотомической подстановки (р и ее степеней в пространстве Е7 на вектор ё = (1011000)
Подстановки <р,<7 Е для циклической подстановки сг на множестве Т взаимосвязаны: для произвольного е е£я (рае =ст (р с [2]. Они порождают некоммутативную группу G подстановок порядка тп.
Два вектора / и ^ из Еп называются G - эквивалентными, если найдется подстановка
т — (р3ст1 е О . такая, что = г / . в-орбитой называется совокупность всех попарно О-эквивалентных между собой векторов-ошибок из Еи. Если ё - фиксированный вектор данной в - орбиты, то в - орбиту с вектором ~ё будем обозначать через <ё >а .
Пусть <е>- Г-орбита, порожденная вектором ё е Еп [2]. Тогда (р < ё > также является Г-орбитой. Поэтому всякая G-орбита имеет следующую структуру: < ё >а= < ё >, ср < ё >, ср2 < ё >,..., < ё > , где срм < ё >=< ё >, /и = т или делит т .
В табл. 1 приведены значения количества векторов-ошибок весом 2 - 4, их Г-орбит и G-орбит в примитивных БЧХ-кодах длиной в диапазоне от 15 до 1023.
Вес m Количество Длина кода, n
15 31 63 127 255 511 1023
2 Ошибок 105 465 1 953 8 001 32 385 130 305 522 753
Г-орбит 7 15 31 63 127 255 511
G-орбит 3 3 7 9 16 29 52
3 Ошибок 455 4495 3 9711 333375 2731135 22108415 177910271
Г-орбит 31 145 631 2625 10712 43265 173911
G-орбит 10 29 106 375 214 4808 17395
4 Ошибок 13655 31465 595665 10334625 1,72E+08 2,81E+09 4,54E+10
Г-орбит 91 1015 9455 81375 674751 5494655 44347135
G-орбит 24 203 1577 11625 84345 610519 443474
Табл. 1 демонстрирует, что количество Г-орбит в n раз меньше количества векторов-ошибок данного веса, а количество G-орбит в Log2n раз меньше числа составляющих их Г-орбит.
Влияние циклотомических подстановок на синдромы и нормы синдромов векторов-ошибок
Пусть S е = Sj, s2, - синдром вектора-ошибки ё в БЧХ коде С с
" " тт Г 01 (0+1)! п{й+д—2п гр — 2 2 2
проверочной матрицей Н= [а ,а ,...,р \ . Тогда синдром о (ре — , 52,...,
[2]. Отсюда и из определения компонент нормы синдрома [2] вытекает, что компоненты нормы синдрома N Б (р ~ё , преобразуются аналогично - возводятся в квадрат как элементы поля Галуа.
В табл. 2 приведен список О-орбит и составляющих их Г-орбит векторов-ошибок весом 2 в пространстве £31, синдромов образующих и норм синдромов в БЧХ-коде С5 над полем
(}/' (32) с примитивным элементом а - корнем полинома х5 + х2 +1.
Каждая О-орбита в табл. 2 является полной - содержит максимально возможное количество Г-орбит, при этом построена из Г-орбит по циклу: следующая Г-орбита есть образ предыдущей под действием (р, последняя при этом переходит в первую. Аналогично выбраны и образующие Г-орбит. Поэтому компоненты синдрома каждой следующей образующей являются квадратами соответствующих компонент синдрома предыдущей образующей. Такая же взаимосвязь и норм синдромов внутри О-орбит.
Таким образом, зная образующую О-орбиты, а также ее синдром, можно однозначно восстановить элементы всей О-орбиты и синдромы всех ее векторов-ошибок.
№ п/п О-орбиты О-орбита <ё>а Образующая Г-орбиты <ё> Показатели (deg ^ , deg £2 ) компонент синдрома Показатель нормы degN(S( е ))
1 < 0,1 >е (0,1) (18,29) 6
(0,2) (5,27) 12
(0,4) (10,23) 24
(0,8) (20,15) 17
(0,16) (9,30) 3
2 < 0,3 >е (0,3) (29,16) 22
(0,6) (27,1) 13
(0,12) (23,2) 26
(0,24) (15,4) 21
(0,17) (30,8) 11
3 < 0, 5 >е (0,5) (2,24) 18
(0,10) (4,17) 5
(0,20) (8,3) 10
(0,9) (16,6) 20
(0,13) (14,20) 9
Норменный метод коррекции ошибок на основе циклотомических подстановок
Предложенная классификация векторов-ошибок позволяет сформулировать норменный перестановочный метод коррекции ошибок в БЧХ-кодах на основе циклотомических подстановок.
Предварительно составляем список 1 образующих ^ из совокупности К = ,..., (/, С-орбит корректируемых векторов-ошибок, список 2 синдромов Я gi и
список 3 норм синдромов Ni = N 8 или показателей di = .
Предлагаемый метод можно сформулировать следующим образом. Приняв сообщение х , вычисляем его синдром ошибок Л' х = а'.
Вычисляем текущую норму Nтек = N £ х (или показатель N 8 х . В счётчике итераций алгоритма записываем «0».
Текущую норму сравниваем с множеством Л^,..., Л^ третьего списка. Если N — А'(. то переходим к этапу 4. Если же N £ ,, то переходим к этапу 5.
По текущему значению синдрома в Г-орбите <gl> с нормой N, по одному из вариантов известного норменного алгоритма (см. [2], раздел 5.1) находим вектор-ошибку ётек. Если в счётчике записано значение «0», то переходим к последнему - седьмому этапу алгоритма. Если в счётчике записано ненулевое значение, то переходим к шестому этапу.
Вычисляем квадрат текущей нормы, а с ним и квадраты компонент синдрома. Значение счётчика итераций увеличиваем на 1. С полученными текущими значениями нормы и синдрома возвращаемся к этапу 3.
Если в счётчике записано число А;, 1 < к < т — 1, то находим истинный вектор ошибок
по формуле ё = срт к (ётек) и переходим к седьмому этапу алгоритма. Находим истинное сообщение с = х + е.
Техническая реализация данного метода может иметь различные варианты в зависимости от применяемых средств и схем декодеров. Наиболее естественной, является схема декодера, представленная на рис. 2 для коррекции ошибок в (21, 31)-БЧХ-коде С5, исправляющем двойные ошибки. Необходимые данные представлены в табл. 2. Здесь синдром S поступает через мультиплексоры Mi, М. на логическую матрицу ЛМ1, выделяющую только
три фиксированные нормы синдрома N, N, N. Если на выходе ЛМ1 присутствует логический "0", то счетчик Сг переходит из состояния (0,0,...,0) в состояние (1,0,...,0). Далее, декодер переходит к реализации п. 4 алгоритма. При наличии логической "1" на выходе ЛМ1 -к п. 5 алгоритма.
В двух блоках умножения БУ1, БУ2 последовательно производится параллельное возведение в квадрат компонент синдрома ^ и £2 как элементов поля Галуа. Полученные
значения квадратов поочередно опрашиваются через мультиплексоры Mi, М. под
управлением выходного кода счетчика. Данная операция по сути дела осуществляет последовательную перестановку образующих векторов Г-орбит ошибок.
При логическом "1" на выходе ЛМ1 счетчик останавливается, фиксируя тем самым код перестановки текущей нормы синдрома до одной из выбранных норм N, N, N ■
Компоненты вычисленного синдрома = (л',2, ) поступают на ЛМ2. На выходе ЛМ2 будет
находиться вектор ошибок ё* из Г-орбиты ./ с нормой , синдром которого равен Л".
На седьмом этапе найденный вектор ё. поступает на блок обратной перестановки
вектора ошибок (БОПВО) для нахождения истинного вектора ошибок ё. Это можно осуществить под управлением кода перестановки, хранимого в счетчике.
Реализация БОПВО сопряжена с определенными трудностями, поскольку необходимо реализовать не циклическую перестановку для вектора ошибок данной нормы N, а
преобразование с изменением диаметра, полученного с ЛМ1 с нормой синдрома Ni. Зная
степени ¡т и /0 синдромов можно определить, код сдвига Ьсдв — /т — /0 для нормы Ni. В
Величина сдвига не меняется под действием преобразований этапа 4 и, следовательно, остается одинаковой для всех рассматриваемых алгоритмом Г-орбит. Тогда по известному коду перестановки (а, значит, и по известной норме) можно сформировать образующий вектор ошибок и сдвинуть его в регистре сдвига на соответствующее число тактов, или же по адресу не сдвинутого вектора ошибок находить адреса текущего вектора ошибок.
Рис. 2. Структурная схема декодера, реализующего метод циклотомического сдвига для t=3
Анализ затрат на реализацию метода показывает, что резкое сокращение аппаратурных затрат (например, для t=3 емкость ЛМ1 равна 3n, а ЛМ2 - 6n, то есть суммарная сложность равняется 9n) связано с увеличением числа тактов на перебор всех норм синдромов. Так при длине кода n=31 при t=3 в худшем случае требуется 161 такт (примерно 5n тактов) на декодирование.
Заключение
В работе исследован норменный метод коррекции ошибок БЧХ-кодами на основе циклотомических перестановок. Этот метод позволяет существенно сократить множество селектируемых норм синдромов (в Log2n раз для примитивных БЧХ-кодов, где п — длина
кода). Предложена реализация метода декодером на логических матрицах или на программируемых логических интегральных схемах.
DECODING OF MULTIPLE ERRORS ON THE BASIS OF CYCLOTOMIC COMPRESSION OF NORMS OF SYNDROMES
A.V. KURYLOVICH
Abstract
Work is devoted perfection norm methods of correction of errors for family of BCHH-CODES. The method of compression of norms of syndromes with the help cyclotomic substitutions is developed. Transition to G-orbits in primitive BCHH-CODES allows to reduce in addition in Log2n time quantity selected G-orbits.
Литература
1. Конопелько В.К., Липницкий В.А. Теория норм синдромов и перестановочное декодирование помехоустойчивых кодов. М, 2004.
2. Липницкий В.А., Конопелько В.К. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения. Мн., 2007.
3. Курилович А.В., Конопелько В.К., Липницкий В.А. // Докл. БГУИР, 2005. № 6. 28 - 30.
4. Мак-Вильямс, Ф.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М., 1979.
