CC BY
62
УДК 62-50:519.7/8
УСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ В УСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
© В.И. Левин
Ключевые слова: оптимизация систем; неопределенность; устойчивость оптимума; варьирование параметров; интервальная математика.
Рассмотрена задача оптимизации неполностью определенных (недетерминированных) функций, т. е. функций с параметрами, заданными лишь с точностью до интервала. Показано, что решение этой проблемы требует также рассмотрения задачи определения устойчивости оптимума к варьированию значений параметров функции. Предлагается метод нахождения оптимума функций и определения его устойчивости методами интервальной математики.
1. ВВЕДЕНИЕ
Сегодня в мире имеется обширная литература по оптимизации различных систем с детерминированными параметрами - технических, экономических и т. д. Соответствующие задачи формулируются как задачи математического программирования с целевыми функциями и функциями ограничений, параметры которых являются детерминированными величинами. При этом на практике чаще встречаются системы с недетерминированными параметрами. Оптимизация таких систем обычно формализуется в виде задач математического программирования с целевыми функциями и функциями ограничений, параметры которых суть различные недетерминированные величины: случайные, нечеткие, интервальные и т. д. Эти задачи сложнее детерминированных. Они требуют обобщения понятия экстремума функции, выяснения условия его существования, связанных с недетерминированностью параметров функции, и создания специальных методов поиска экстремума таких функций.
Известно три различных подхода к решению недетерминированных задач математического программирования: детерминированный, вероятностный [1] и интервальный [2]. Детерминированный подход заключается в решении задачи для определенных значений ее параметров, выбранных внутри заданных областей неопределенности. Вероятностный подход состоит в решении задачи для усредненных (ожидаемых, в смысле математического ожидания) значений ее параметров, что предполагает задание вероятностной меры внутри их областей неопределенности. Оба указанных подхода объединяет предварительная детерминизация параметров задачи, выполняемая перед ее оптимальным решением. В отличие от них интервальный подход не предполагает никакой детерминизации параметров, которые задаются в интервальной форме. В данном подходе оптимальное решение задачи проводится на основе прямого сравнения недетерминированных значений целевой функции, соответствующих различным значениям вектора аргументов, и выбора оптимального значения данной функции. Достоинства и недостатки указанных трех подходов рассмотрены в [1 -8].
Изложенные подходы объединяет одна существенная черта - все они предназначаются для решения задач оптимизации, в которых параметры целевых функций и функций ограничений точно не известны. Поэтому может оказаться, что действительные значения параметров задачи отличаются от тех, которые были приняты в процессе отыскания решения. В этом случае для того, чтобы найденное оптимальное решение задачи имело содержательный смысл, нужно, чтобы оно еще обладало следующим свойством: при небольшом варьировании значений параметров задачи ее оптимальное решение должно по-прежнему существовать. При этом точка, в которой достигается оптимум целевой функции, может переместиться из исходного положения в новое положение, которое, однако, должно быть близко к исходному. Другими словами, требуется, чтобы найденное оптимальное решение неполностью определенной (недетерминированной) задачи математического программирования было устойчивым относительно небольших количественных изменений ее параметров.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим сначала детерминированный случай. Пусть задана некоторая произвольная непрерывная функция п вещественных переменных
у = Е(х1,...,х„), 0)
где параметры (коэффициенты) ее явного представления рк, к = 1,1, известны точно. Будем рассматривать функцию (1) в ограниченной области, определяемой системой ограничений
Фг(х1,...,х„) < Ьг, г = 1^}, (2)
в которой параметры , я = 1,1 явного представления функций ограничений Фг и правые части Ьг также известны точно. Тогда относительно функции (1) можно сформулировать полностью определенную задачу
1787
условной оптимизации (математического программирования)
F (л^,... ,xn ) = max , при условии
ф (x1,...,xn ) * bi, i = 1 m}.
(3)
(4)
Решением задачи (3), (4) является некоторая точка х = (х*,...,х*) (множество точек М = {х*}) области (4), в которой целевая функция F достигает максимального значения ^ах. В современном математическом программировании разработано много методов эффективного решения задач (3), (4), ориентирующихся на тип целевой
функции F и функций ограничений Фг-, I = 1, т .
Предположим теперь, что в задаче оптимизации (3), (4) параметры явного представления целевой функции F и функций ограничений Ф, , а также правые части ограничений Ь, известны не точно, а приближенно. Тогда, в соответствии со сказанным во «Введении», мы должны вместе с задачей условной оптимизации (3), (4) рассматривать еще задачу проверки устойчивости решения задачи (3), (4) относительно небольших изменений ее параметров.
В отличие от существующих методов [5] изучения устойчивости решения задач оптимизации будем рассматривать все возможные количественные значения каждого параметра задачи как единое целое. Это позволит задавать все возможные количественные значения параметров задач оптимизации в теоретико-множественных терминах. Простейший способ такого задания состоит в том, чтобы задать совокупность указанных значений параметров задачи в виде соответствующих числовых интервалов. Преимущество этого подхода к изучению устойчивости решения задач оптимизации в том, что возникает возможность изучать устойчивость с помощью хорошо разработанных методов интервальной математики [9].
Итак, совместно с полностью определенной задачей (3), (4) мы должны рассмотреть производную от нее интервальную задачу условной оптимизации
F(*i,...,xn) = max , при условии
ф i (*i,...,*n) * ~, i=im}.
(5)
(6)
Целевая функция F интервальной задачи оптимизации (5), (6) получается из целевой функции F искомой, полностью определенной задачи оптимизации (3),
(4) путем замены ее точных параметров рк, к = 1,1, соответствующими интервальными параметрами Рк = [Рк1,Рк2], к = 1,1. Аналогично любая функция ограничений Фг-, I = 1,т, интервальной задачи (5), (6)
получается из соответствующей функции Фг-, I = 1, т , исходной полностью определенной задачи (3), (4) за-1788
меной ее точно известных параметров , 5 = 1, /, / = 1, т соответствующими интервальными параметрами ря = [д51, 2], 5 = 1,^ I = 1,т . Так же интервальные параметры р-,г = 1, т в ограничениях интервальной задачи (5), (6) заменяют собой соответствующие точно известные параметры = 1,т , в ограничениях исходной, детерминированной задачи оптимизации (3), (4).
Будем называть полностью определенную задачу условной оптимизации (математического программирования) (3), (4) макроустойчивой, если она имеет решение, и, кроме того, имеет решение производная от нее интервальная задача оптимизации (5), (6).
Далее, будем называть полностью определенную задачу условной оптимизации (математического программирования) (3), (4) микроустойчивой, если она макроустойчива, и, сверх того, существует пара решений (х',х") , где х' = (х1,...,х^) - некоторая точка решения задачи оптимизации (3), (4), а х = (х{,...,х"п) - некоторая точка решения задачи (5), (6), расстояние между которыми В(х', х") не превосходит заданной достаточно малой величины <. Задача настоящего исследования - разработать алгоритмы определения макро- и микроустойчивости полностью определенных задач условной оптимизации типа (3), (4).
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
В основу решения поставленной задачи положим аппарат интервальной математики [9], где алгебраические операции над интервальными числами
р = [аъа2], Ь = [Ь1,Ь2],... вводятся как следующие теоретико-множественные конструкции:
~ + b = {а + b | а е b е b }, ~ — b = {а — b | а е а, b е b }, ка = {ка | а е ~}
(7)
и т. д. Другими словами, любая операция над интервалами определяется на основе соответствующей операции над точечными величинами при условии, что конкретные значения величин пробегают все возможные значения из соответствующих интервалов. Из введенных алгебраических операций над интервалами вытекают простые правила выполнения операций:
[а, а2 ]+[Ь, Ь ] = [а + Ь, а2 + Ь ], [а, а2 ] - [Ь, Ь2 ] = [а - Ь, а2 - Ь ];
к[а, а2 ] =
[ка1,ка2], к > 0, [ка2,ка ], к < 0;
(8)
[а1,а2]•[b1,b2] = [mm(ai • b),тах(аг- • b)];
i, j J i, j
[аъ fl2]/[bi, b2] = [а^] •[!/b2,1/bi].
Введем теперь операции сравнения интервальных чисел [2; 8]. Попытаемся сравнить интервалы
а = [а1,а2] и Ь = [Ьх,Ь2], рассматривая их как интер-
вальные числа. Естественно начать со сравнения интервалов ~ и ~ на базе сравнений в отдельных парах вещественных чисел (а,,Ьу), где а, е Ь, Ь е Ь . Однако
такой подход приведет нас к провалу, т. к. в общем случае одни пары чисел (ai, Ьу) будут находиться в
отношении а, > Ьу , а другие - в противоположном отношении: а, < Ьу . Единственное, что остается - реализовать операцию сравнения интервалов на теоретико-множественном уровне, подобно алгебраическим операциям над интервалами (7). В соответствии с вышесказанным, введем операции взятия максимума V и минимума л двух интервальных чисел а = [а1, а2] и
Ь = [¿1, Ь2] в виде конструкций
а V Ь = {а V Ь | а е а, Ь е Ь },
Ь { 1 ; Ь (9)
ь лЬ = {а лЬ | а е а, Ь е Ь }.
Операция взятия максимума (минимума) из двух интервалов Ь и ~ , согласно (9), определяется как нахождение максимума (минимума) из двух точечных величин а и при условии, что конкретные значения этих величин пробегают все возможные значения, соответственно, из интервалов аЬ и . По определению, чтобы аЬ и можно было сравнить по величине, установив их отношение (~ > Ь или Ь < Ь ), нужно, чтобы: 1) введенные операции V,л над этими интервалами существовали; 2) их результатом был один из операндов Ь ,Ь ; 3) операции v,л были согласованы между собой, т. е. если большим (меньшим) является один из интервалов аЬ, , то меньшим (большим) является другой из них. Легко доказать, что условие согласованности операций V и л над интервалами выполняется для произвольной пары интервалов (аЬ, ) [2; 8; 13]. Также для любой пары интервалов, очевидно, выполняется условие существования введенных нами выше операций взятия максимума V и минимума л интервалов, но результатом операции оказывается некоторый, вообще говоря, новый интервал. В итоге сформулированное условие сравнимости интервалов
аЬ и сводится к условию, по которому операции Ь V Ь и ~ л Ь должны давать в результате обязательно один из интервалов-операндов: аЬ или . Такая формулировка условия сравнимости интервалов дает возможность получения его в конструктивной форме, пригодной для практического применения. Базовая форма условия здесь такова.
Теорема 1. Для сравнимости двух интервалов
а = [а1,а2] и Ь = [Ь^^] и их нахождения между собой в отношении аЬ > необходимо и достаточно, чтобы одноименные границы этих интервалов удовлетворяли условиям
а1 > Ьъ а2 > Ь2 , (10)
а для сравнимости этих интервалов и их нахождения
между собой в отношении а <Ь - чтобы удовлетворялись следующие условия:
а1 < Ь1, а2 < Ь2 . (11)
Доказательство теоремы 1 см. в [2; 8; 13]. По утверждению теоремы 1, интервалы аЬ и являются сравнимыми и находятся в определенном отношении
~ > Ь или ~ < Ь только тогда, когда в таком же отношении находятся их одноименные границы а1, 1 и а2,Ь2. Итак, с помощью теоремы 1 сравнение интервалов и выбор большего (меньшего) из них сводится к сравнению одноименных границ этих интервалов, являющихся точными вещественными числами.
Теорема 2. Для несравнимости двух интервалов
а = [а1,а2] и Ь = [ Ь^^], т. е. для того, чтобы они не находились ни в отношении Ь >Ь , ни в отношении
Ь < Ь , необходимо и достаточно, чтобы одноименные границы интервалов удовлетворяли условиям
а1 < Ь[, а2 > Ь2 или Ь1 < а1,Ь2 > а2 . (12)
Условия (12) обозначают ситуацию, когда один интервал на числовой оси полностью «накрывает» другой. Доказательство теоремы 2 см. в. [2; 8; 13].
Итак, теорема 2 показывает существование случаев несравнимости интервалов. Несравнимость некоторых интервалов - естественное следствие того, что, в отличие от точных вещественных чисел, интервальные числа задаются с некоторой неопределенностью (известно лишь, что вещественное число принимает некоторое значение в заданном интервале, но не известно, какое именно это значение). Теоремы 1 и 2, посвященные сравнению пар интервалов, можно обобщить на системы с произвольным числом интервалов.
Теорема 3. Для существования в системе интервалов ~(1) = [а1(1), а2(1)], ~(2) = [а1(2),а2(2)],... максимального интервала необходимо и достаточно, чтобы его границы располагались относительно одноименных границ всех остальных интервалов согласно следующим условиям
«!(1) > ^(2), а1(1) > а1(3),...;
а2(1) > «2(2), а2(1) > «2(3),... (13)
Условия-неравенства (13) записаны для конкретного случая, когда максимальным является интервал аЬ(1) , что не ограничивает общности.
Теорема 4. Для существования в системе интервалов ~(1) = [а!(1),а2(1)], ~(2) = [а!(2),а2(2)],... минимального интервала необходимо и достаточно, чтобы его границы были расположены относительно одноименных границ всех остальных интервалов согласно условиям
а, (1) < а, (2), а, (1) < а,(3),...;
(14)
а2(1) < а2(2), а2(1) < а2(3),... ( )
1789
Условия (14), аналогично условиям (13), записаны для случая, когда минимальным является интервал р(1), что не ограничивает общности. Теоремы 3, 4 являются обобщениями теоремы 1. Доказательство теорем 3, 4 см. в [2; 8; 13].
4. МАКРОУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧИ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Обратимся к полностью определенной задаче условной оптимизации (3), (4) и опишем метод установления макроустойчивости этой задачи. Задача (3), (4) по определению (см. п. 2) является макроустойчивой, если она сама и производная от нее интервальная задача условной оптимизации (5), (6) имеют решения. Существование решения полностью определенной задачи условной оптимизации (3), (4) обычно можно установить с помощью общеизвестных методов решения задач математического программирования, решая соответствующую задачу [10-12]. Сложнее обстоит дело с проверкой существования решения неполностью определенной (интервальной) задачи условной оптимизации (5), (6). Здесь эффективным оказывается применение детерминизационного метода решения задач интервальной оптимизации [2; 8; 13].
Интервальная задача условной оптимизации (5), (6)
имеет интервальную целевую функцию F(х1,...,хп),
интервальные функции ограничений Фг ,1, т в левых частях ограничений и интервальные параметры Ьг, г = 1, т в правых частях. Используя формулы элементарных преобразований интервалов (8), функции F и Ф г можно представить явно в интервальной
форме. Так же можно представить и параметры Ьг . Все эти представления записываются в виде
(15)
Р(х^..^ %п) = [х^..^ хпX ^2(х^.^ Хпа
Ф г хп ) = [фг1( x1,..., хп X фг 2(x1,..., хп )],
г = 1, т,
р = [Ьги г = 1 т.
Алгоритм получения представлений (15) покажем на примере одной достаточно общей задачи оптимизации типа (5), (6).
Пример 1. Рассмотрим частный случай общей интервальной задачи условной оптимизации (5), (6) -интервальную задачу линейного программирования
р1х1 +... + рпхп = тах5
рг1х1 +... + сгпхп < р, I = 1 т. х1 > 0,..., хп > 0.
р = [<С,1, с
= с] 2], у =1 п Р = [aij,l, а,] ,2], г =1 m, у =1, п
р = [Ьil, Ьг 2].
Здесь интервальная целевая функция F(x1,...,xn) = р1х1 +... + рпхп , интервальные функции ограничений Фг(х1,...,хп) = +...+ рпхп,г = 1,т , и наконец, интервальные параметры Ьг в правых частях ограничений: Ь = [Ьг1,Ьг2] .
Подставляя в выражения функций F, Фг параметры с у, ру в явной форме интервалов и умножая эти интервалы на неотрицательные переменные х1,...,хп, согласно формуле (8), получим необходимые явные интервальные представления вида (15) для рассматриваемой нами задачи линейного программирования
F(x1,...,xn) = [Fl(х1,...,хп ) = р11х1 + ... + рп1хп, F2( х1,...,хп ) = с12х1 + ... + рп2 хп К Фг(х1 , . ,хп ) = [Фг1 (х1,...,хп ) = р1,1х1 + . . + рп ,1хп, Ф;2(х1,...,хп ) = рг1,2х1 + ... + ргп,2хп ], г = 1, т, р = [Ьi1, Ьi2], г = 1, т.
Учитывая полученные представления (15), всю интервальную задачу (5), (6) также можно записать в явном интервальном виде
[F1(x1,...,xnXх1,...,хп)] = тах :
(16)
[Фд(хь...,х„),Ф;2(хь...,х„)] < [Ьг1,Ьг2], г = 1,т}. (17)
Согласно представлению (16), (17), задача (5), (6) заключается в том, чтобы найти максимум интервальной функции в области, ограниченной системой интервальных неравенств.
От интервального представления задачи (16), (17) перейдем к ее эквивалентному представлению в виде пары полностью определенных (детерминированных) задач условной оптимизации, которое уже поддается решению. Для этого сначала по теореме 3 представим интервальное уравнение (16) в виде эквивалентной пары детерминированных уравнений
Fl(xl,...,xи) = тах, F2(xl,...,xn) = тах .
(18)
Далее, по теореме 1 представим систему интервальных неравенств (17) в виде эквивалентной системы обычных детерминированных неравенств
Фд(хь...,хп) < Ьд, Фг2(х1,...,хп) < ^2, г = 1,т . (19)
Соединив пару уравнений оптимизации (18) с системой неравенств-ограничений (19), получаем совокупность двух полностью определенных задач условной оптимизации вида (3), (4)
F1( х1,...,хп) = тах, Ф11( х1,...,хп) < Ьг1, г = 1, т,
Ф12( х1,.,хп) < Ьi2, г =1, т
1790
Г2( х1,...,хп ) = тах, Ф11( х1,...,хп ) < Ьи1, г = 1, т,
Ф12( х1,.,хп ) < Ьi2, и =1, т
(21)
эквивалентную исходной интервальной задаче условной оптимизации (5), (6). Задачу (20) будем называть нижней граничной задачей интервальной задачи (5), (6), а задачу (21) - ее верхней граничной задачей. Для получения решения интервальной задачи (5), (6) нам нужно решить ее нижнюю (20) и верхнюю (21) граничные задачи. В общем случае решение нижней граничной задачи имеет вид {Мн (х), Г1тах} , а верхней граничной задачи - вид {Мв (х), Г2 тах } .
Здесь Мн (х), Мв (х) - множества точек решения
х = (х1,...,хп) нижней и верхней граничных задач, а
^1тах, Г2тах - полученные максимальные значения
целевых функций этих задач. Решение интервальной задачи оптимизации (5), (6) формируется из решений ее нижней и верхней граничных задач и имеет вид
{х е Мн (х) П Мв (х); ^тах = [F1,max, Г2,тах
]}.
(22)
Согласно (22), в качестве точки решения х интервальной задачи оптимизации (5), (6) выбирается любая точка из пересечения множеств точек решения ее нижней и верхней граничных задач, а в качестве максимального значения интервальной целевой функции Гтах - интервал от максимального значения целевой функции нижней граничной задачи Г тах до максимального значения целевой функции верхней граничной задачи Г2 тах .
Из выполненного процесса построения решения интервальной задачи условной оптимизации вида (5), (6) и определения макроустойчивости полностью определенной задачи условной оптимизации (3), (4) вытекает следующая основная теорема.
Теорема 5. Для того чтобы полностью определенная задача условной оптимизации (3), (4) была макро-устойчива, необходимо и достаточно, чтобы: 1) она имела решение; 2) интервальная задача оптимизации (5), (6), производная от задачи (3), (4), имела нижнюю и верхнюю граничные задачи, обладающие решениями; 3) множества решений нижней и верхней граничных задач интервальной задачи оптимизации (5), (6) пересекались.
Сформулированная выше теорема 5 определяет следующий алгоритм для проверки произвольной полностью определенной (детерминированной) задачи условной оптимизации, имеющей вид (3), (4), на макроустойчивость.
Шаг 1. Используя подходящие для конкретного типа целевой функции методы решения полностью определенных (детерминированных) задач условной оптимизации [10-12], ищем решение х = (х{,...,хп) задачи (3), (4). Одновременно с этим проверяется и существование (несуществование) решения этой задачи.
Шаг 2. Задаваясь некоторыми подходящими значениями интервальных параметров целевой функции Г,
функций ограничений Фи,и = 1, т , и правых частей
ограничений Ьи, г = 1,т , полностью определенной задачи условной оптимизации (3), (4), строим производную от нее интервальную задачу условной оптимизации (5), (6).
Шаг 3. Используя формулы интервальной математики (8), выражающие результаты элементарных преобразований интервалов, представляем целевую функцию Г , функции ограничений Фи, г = 1, т, а также
правые части ограничений Ьи, г = 1, т интервальной задачи условной оптимизации (5), (6) в интервальной форме (15).
Шаг 4. По найденным на шаге 3 интервальным представлениям функций Г, Фг,и = 1, т , и параметров
~,, = 1, т формируем нижнюю (20) и верхнюю (21) граничные задачи интервальной задачи условной оптимизации (5), (6).
Шаг 5. Используя те же самые методы, что и на шаге 1, ищем решения оптимизационных задач (20) и (21). Одновременно с этим проверяем существование или несуществование решений указанных задач. Полные решения задач условной оптимизации вида (20) и (21) Щ^ЮГ вид {Мн(х), Г1,тах}, {Мв(х), Г2,тах} ,
где Мн (х) - множество точек х решения нижней, М (х) - множество точек х решения верхней граничной задачи.
Шаг 6. Проверяется наличие (отсутствие) пересечения найденных в результате решения задач (20) и (21) множеств Мн (х),Мв (х).
Итог. Если в результате работы алгоритма выяснилось, что полностью определенная задача условной оптимизации (3), (4) имеет решение, а производная от нее интервальная задача (5), (6) имеет нижнюю и верхнюю граничные задачи, обладающие решениями, причем множества этих решений пересекаются, то задача оптимизации (3), (4) является макроустойчивой. В противном случае задача (3), (4) не является макроустой-чивой.
Пример 2 (задача о назначениях). Имеется 3 работы и 3 исполнителя. Заданы доходы а от выполнения
и
любой у -й работы любым и -м исполнителем
(и,у = 1,3). Требуется распределить работы между исполнителями так, чтобы каждый из них выполнял ровно одну работу, и, кроме того, суммарный доход от выполнения всех работ был максимальным. Введя множество неизвестных матриц назначений
х;,
, е {0,1}, где ху = 1, если и -й исполнитель
выполняет у -ю работу, и хиу = 0 в противном случае, задачу можно записать математически в виде
3 3
Г ( ху ) = ХХ аихи = ^^
и=1 у =1 при условии
3
Ф1 (ху ) = Xху = 1, у = 1,3; ф2(ху ) = X х
= 1, и = 1,3.
у=1
у
=1
1791
Видим, что наша задача - частный случай полностью определенной задачи условной оптимизации (3), (4). Проверим эту задачу на макроустойчивость, используя изложенный алгоритм.
Шаг 1. Для определенности конкретизируем матрицу доходов А = | |агу || в виде матрицы с точно известными параметрами
2 3 3
А = 4 4 3
3 4 4
и решим нашу задачу при этих условиях. Имеется 6 различных матриц назначений X , удовлетворяющих ограничениям задачи:
Х1
1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
X 2 =
1 0 0 0 1 0 001 0 1 0 0 0 1 1 0 0
X,
хл
0 1 0 1 0 0 001 0 0 1 0 1 0 1 0 0
которым соответствуют значения целевой функции F1 = 9, F2 = 10, F3 = 11, F4 = 11, F5 = 9, F6 = 10 . Так что решение задачи существует, достигается на матрицах назначений Xз, X4 и равно
FmaY Р)
X, X
= 11.
Шаг 2. Согласно описанию данного шага алгоритма (см. выше), задаемся подходящими значениями интервальных параметров целевой функции F нашей недетерминированной задачи о назначениях в виде заданной неполностью (с точностью до интервалов возможных значений) матрицы доходов
А = 1Ы1 = 1И?, а2У ]||:
А = [ Л, А2],
Шаг 3. С помощью формул (8) элементарных преобразований интервалов представляем целевую функцию производной задачи F в интервальной форме (15)
F (х„) =
3 3
3 3
^С ху) - Ц ауху, ^Оу) - Ца г=1 У=1 г=1 У=1
Шаг 4. По найденному на шаге 3 интервальному представлению целевой функции F и заданным условиям-ограничениям формируем нижнюю (20) и верхнюю (21) граничные задачи исходной интервальной задачи условной оптимизации
^у) -11 а1УхУ = тах,
г=1 у=1
при условии
3 __3 _
ф1(ху)-Iху = 1 у = 13 ф2(ху) ху = 1г = 1,3
г=1
3 3
2(хгу) -Iху
у=1
^ ху ) - II а2уху = max, г=1 у =1
при тех же самых условиях
Шаг 5. Тем же методом, что и на шаге 1, находим решения нижней и верхней граничных задач. В нашем случае решение нижней граничной задачи существует, достигается на матрицах назначений X!, X2, X3, X4 и
равно ^тах = F1(X1,X2 .Уз,X,) = 5 . Решение верХНей граничной задачи тоже существует, достигается на матрицах назначений X3, X4 и равно F2,max = F1(X ,^) = 14 .
Шаг 6. Проверяем наличие пересечения множеств точек решения нижней и верхней граничных задач интервальной задачи
МН пМВ = XX2,X3,X4}п{X,,X4} = = {X3, X4} *0,
х
1 2 2 3 4 4
1 2 2 , А2 =||с2у' || = 5 5 4
2 2 2 4 5 5
Имеем производную от решенной полностью определенной задачи условной оптимизации интервальную задачу условной оптимизации типа (5), (6)
3 3
Рху ) -Цауху = тах , г=1 у=1
при тех же самых условиях-ограничениях, которые существовали и для полностью определенной задачи условной оптимизации.
т. е. пересечение непусто.
Итог. Исходная полностью определенная задача условной оптимизации типа (3), (4) имеет решение. Производная от нее интервальная задача типа (5), (6) имеет нижнюю и верхнюю граничные задачи, обладающие решениями, причем множества точек решения этих задач пересекаются. Таким образом, заданная полностью определенная задача условной оптимизации типа (3), (4) является макроустойчивой.
5. МИКРОУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАДАЧИ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Снова обратимся к полностью определенной задаче условной оптимизации (3), (4) и опишем метод установления ее микроустойчивости. Задача типа (3), (4) по
1792
определению (см. «Постановка задачи») является микроустойчивой, если она обладает свойством макроустойчивости и, кроме того, существует пара решений (X,x") , где X = (x",...,Xn) - некоторое решение исходной полностью определенной задачи (3), (4), а x " = (x",..., x'n ) - какое-то решение производной от нее интервальной задачи условной оптимизации (5), (6), расстояние между которыми D(X, x") не превосходит заданной достаточно малой величины d . Из этого определения вытекает алгоритм проверки полностью определенной задачи условной оптимизации (3), (4) на микроустойчивость.
Шаг 1. С помощью 6-шагового алгоритма, изложенного в п. 4, проверяем задачу (3), (4) на макроустойчивость. В случае отрицательного результата (задача (3), (4) не макроустойчива) конец алгоритма, с выводом: задача (3), (4) не является микроустойчивой. При положительном результате проверки (задача (3), (4) макроустойчива) переход к шагу 2.
Шаг 2. Выбираем некоторую произвольную точку решения x' = (X",...,Xn) задачи (3), (4), найденную на шаге 1. После этого добавляем к ней какую-либо точку решения x" = (x",...,x'n) соответствующей интервальной задачи (5), (6), также найденную на шаге 1. В результате получаем пару решений (x ', X) указанных двух задач.
Шаг 3. Вычисляем величину расстояния D(X, x") между точками решения x ', X указанных двух задач, используя для этого формулу
D(X,x") = -\(x" -x")2 +... + (Xn - x'n)2 . (23)
Шаг 4. Проверяем выполнение неравенства, сравнивающего расстояние D(X, x" ) с некоторой изначально заданной достаточно малой величиной d :
D(x', x") < d. (24)
Если условие (24) выполнено, задача оптимизации (3), (4) объявляется микроустойчивой, и конец алгоритма. В противном случае совершается переход к шагу 2, в котором теперь к точке решения x' = (x",...,Xn) задачи (3), (4), найденной на шаге 1, добавляется какая-то другая точка решения x" = ( x" ,...,X'n ) задачи (5), (6) из числа найденных на шаге 1. В результате получаем новую пару решений ( x ', x " ) и т. д.
Итог. Если в результате работы алгоритма после некоторого достаточного числа шагов получена пара решений (x , x ) , удовлетворяющая неравенству (24), процедура останавливается, и задача (3), (4) объявляется микроустойчивой. В противном случае процедура также останавливается, но задача (3), (4) признается не обладающей свойством микроустойчивости.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье показано, что проблема оптимизации неполностью определенных функций не может ограни-
читься только отысканием точки оптимума и значения в ней нашей функции, но и должна включать в себя задачу определения устойчивости найденного оптимума. Последнее означает, что при небольшом варьировании параметров оптимизируемой функции ее оптимум должен по-прежнему существовать и находиться в точке, близкой к точке исходного оптимума. Для установления устойчивости оптимума неполностью определенных функций предложена специальная эффективная методика, основанная на аппарате интервальной математики. Несколько иные подходы к решению рассмотренной проблемы можно найти в [14-24].
ЛИТЕРАТУРА
1. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975. 616 с.
2. Левин В.И. Интервальное дискретное программирование // Кибернетика и системный анализ. 1994. № 6. С. 91-103.
3. Libura M. Integer Programming Problems with Inexact Objective Function // Control and Cybernetic. 1980. V. 9. № 4. P. 189-202.
4. Тимохин С.Г., Шапкин А.В. О задачах линейного программирования в условиях неточных данных // Экономика и математические методы. 1981. Т. 17. № 5. С. 955-963.
5. Рощин В.А., Семенова Н.В., Сергиенко И.В. Вопросы решения и исследования одного класса задач неточного целочисленного программирования // Кибернетика. 1989. № 2. С. 42-46.
6. Семенова Н.В. Решение одной задачи обобщенного целочисленного программирования // Кибернетика. 1984. № 5. С. 25-31.
7. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. М.: Изд-во МЭИ, 1989. 224 с.
8. Левин В.И. Интервальные методы оптимизации систем в условиях неопределенности. Пенза: Изд-во Пенз. технолог. ин-та, 1999. 95 с.
9. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 360 с.
10. Юдин Д.Б., Гольдштейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Сов. радио, 1964. 350 с.
11. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. 280 с.
12. Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем. М.: Наука, 1987. 304 с.
13. Левин В.И. Дискретная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7. С. 97106.
14. Левин В.И. Нелинейная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Кибернетика и системный анализ. 1999. № 2.
15. Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. № 11.
16. Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управления. М.: Наука, 2006.
17. Островский Г.М, Волин Ю.М. Технические системы в условиях неопределенности. Анализ гибкости и оптимизация. М.: Бином, 2008.
18. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В. Оптимизация технических систем. М.: Кнорус, 2012.
19. Tsoukias A., Vincke P. A Characterization of PQI Interval Orders // Discrete Applied Mathematics. 2003. № 127 (2).
20. Davydov D.V. Identification of Parameters of Linear Interval Controllable Systems with the Interval Observation // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2008. V. 47. № 6.
21. Ozturk M., Tsoukias A. Positive and Negative Reasons in the Interval Comparisons: Valued PQI Interval Orders // LAMSADE-CNRS: Universite Paris Dauphine. 2004.
22. Shashihin V.N. Solution of Interval Matrix Game // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2001. V. 40. № 5.
23. Levin V.I. Comparison of Interval Numbers and Optimization in Interval-Parameter Systems // Automation and Remote Control. 2004. V. 65. № 4.
24. Levin V.I. Optimization in Terms of Interval Uncertainty. The Determination Method // Automatic Control and Computer Sciences. 2012. V. 46. № 4.
Поступила в редакцию 23 июня 2014 г.
Levin V.I. STABILE SOLUTIONS OF OPTIMIZATION PROBLEMS IN CONDITION OF INTERVAL UNCERTAINTY
1793
A problem of the optimization of incompletely defined (non-deterministic) functions is considered. The parameters of such functions are intervals. It is shown that problem solution also requires touching of problem: finding optimum which has stability to variations of values of the function parameters. A method
for determining of the optimum function and its stability by methods of interval mathematics is presented.
Key words: system optimization; uncertainty; stability of optimum; variation of parameters; interval mathematics.
Левин Виталий Ильич, Пензенская государственная технологическая академия, г. Пенза, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, советник ректора по науке, заслуженный деятель науки РФ, e-mail: [email protected]
Levin Vitaly Ilich, Penza State Technological Academy, Penza, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Science Advisor of Rector, Honored Worker of Science of Russian Federation, e-mail: [email protected]
1794
