Моделирование задач оптимизации в условиях интервальной неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V.G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПГПУ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

УДК: 62-50:519.7/8

e-mail: [email protected]

Левин В. И. — Моделирование задач оптимизации в условиях интервальной неопределенности // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 589—595. — Рассмотрены существующие подходы к оптимизации систем в условиях неопределенности. Дана точная постановка задачи условной оптимизации при интервальной неопределенности параметров целевой функции и ограничений. В связи с этим изложена математическая теория сравнения интервалов. На ее основе сформулирован и обоснован метод детерминизации, позволяющий решить поставленную задачу путем ее сведения к двум полностью определенным задачам условной оптимизации того же типа.

Ключевые слова: оптимизация систем, неопределенность, детерминированная оптимизация, интервальная оптимизация, сведение интервальной задачи, сравнение интервалов

Levin V. I. — Modeling of Optimization Problems in condition of Indeterminacy // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 589—595. — Existing approaches to optimization of systems in the conditions of uncertainty are considered. For a conditional optimization problem at interval uncertainty of parameters of criterion function and restrictions the exact statement is given. In this connection the mathematical theory of comparison of intervals is stated. On its basis the determinization method is formulated and proved. This method allows to solve a problem by it reduction to the two same type completely certain problems of optimization.

Keywords: systems optimization, indeterminacy, determined optimization, interval optimization, reduction of interval problem, interval comparison

Задачи оптимизации имеют огромное прикладное значение: на их основе строятся методы оптимального проектирования самых разных систем - технических, экономических, социальных и т.д., обеспечивающие достижение наилучшего, в определенном смысле, результата работы создаваемой системы. В связи с этим к настоящему времени создано огромное число методов решения задач оптимизации, как универсальных, рассчитанных на применение к задачам различных классов, так и специализированных, позволяющих эффективно решать лишь отдельные узкие классы задач. [1-6]. Однако при всем различии созданных методов, все они обладают одним общим свойством - применимостью лишь к тем задачам оптимизации, в которых оптимизируемая функция известна точно (детерминирована). Между тем, встречающиеся на практике задачи оптимизации таковы, что их оптимизируемые функции известны не точно,

1. ВВЕДЕНИЕ

а с той или иной степенью неопределенности (недетерминированы). Это вызвано тем, что 1) многим реальным процессам свойственна естественная неопределенность; 2) параметры большинства систем из-за погрешности вычислений или измерений известны неточно; 3) параметры многих систем изменяются во времени.

В связи с этим возникает проблема оптимизации неполностью определенных (недетерминированных) функций. Эта проблема является более сложной, по сравнению с традиционной оптимизацией полностью определенных (детерминированных) функций, поскольку для ее решения дополнительно необходимо: 1) обобщить понятие экстремума функции; 2) выяснить условия существования экстремума функции, связанные с ее недетерминированностью; 3) разработать специальные методы поиска экстремума таких функций.

Существуют различные подходы к нахождению оптимума недетерминированных функций, различающиеся своими достоинствами и недостатками. Первый подход состоит в решении задачи оптимизации для определенных значений параметров оптимизируемой функции, взятых внутри заданных областей их неопределенности. Так, можно взять наихудшее сочетание значений параметров (пессимистический подход), их наилучшее сочетание (оптимистический подход) и др. Достоинство данного подхода - простота интерпретации полученного решения, недостаток - ориентировка на какое-то одно определенное сочетание значений параметров, которое на практике реализуется очень редко, что может обернуться неоправданной сложностью решения. Второй подход состоит в решении задачи оптимизации для усредненных значений параметров оптимизируемой функции, что предполагает задание вероятностных распределений параметров внутри заданных областей их неопределенности. Достоинство этого подхода - ориентировка получаемого решения хотя и на одно, но зато наиболее часто встречающееся сочетание значений параметров функции, недостаток - необходимость знания вероятностных распределений параметров функции, что далеко не всегда возможно. Третий подход идейно близок второму, но вместо вероятностных распределений параметров функции, являющихся объективными характеристиками значений этих параметров, используются нечеткие распределения параметров, получаемые экспертным путем, т. е. субъективно.

В наших работах [7-14] был предложен и детально описан применительно к различным оптимизационным задачам детерминизационный подход к нахождению оптимума неполностью определенных функций. Этот подход принципиально отличается от трех предыдущих тем, что оптимизация неполностью определенной функции проводится с учетом всего множества возможных значений недетерминированных параметров функции. Наш подход позволяет для любой функции, неопределенность которой выражается в том, что ее параметры известны лишь с точностью до интервалов возможных значений, свести нахождение оптимума этой функции к нахождению одноименных оптимумов двух полностью известных функций. Таким образом, для нахождения оптимума неполностью определенных функций становится возможно использовать многочисленные хорошо известные и эффективно работающие методы нахождения оптимума полностью определенных (детерминированных) функций. Еще одной причиной выбора именно неопределенности неопределенности было то, что интервальные оценки неизвестных параметров систем наиболее просты и доступны для получения. В этом основное достоинство предложенного метода оптимизации неполностью определенных функций - метода детерминизации.

В настоящей работе детерминизационный подход к оптимизации неполностью определенных (недетерминированных) функций обосновывается в самом общем виде, не зависящем от каких-либо особенностей оптимизируемых функций.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть задана произвольная непрерывная функция п переменных

У = ^ (ЖЬ...,Ж„), (1)

причем все параметры (коэффициенты) ее явного представления известны точно. Будем рассматривать функцию (1) в ограниченной области, определяемой системой ограничений

Ф*(ж 1,...,ж„) < bi, i = 1, m }. (2)

Тогда относительно функции (1) можно сформулировать полностью определенную задачу условной оптимизации

F(xi,...,xn) = max, при ФДж1,...,ж„) < bi, i = 1,m }. (3)

В современном математическом программировании разработано множество различных методов эффективного решения задач вида (3), ориентирующихся на тип функций F и Ф^ i = 1, m.

Пусть теперь параметры рк, к = 1,1 явного представления функции F нам известны не точно, а с точностью до интервалов возможных значений, т. е. имеют вид интервалов рк = [pfci,pfc2]. Пусть, далее, аналогичным образом неточно заданы параметры qs явного представления функций Фi в левых частях ограничений и параметры bi в их правых частях, т. е. qsi = [qsii, qsi2], s = 1,t, bi = [bii, bi2], i = 1, m. Тогда функции F и Ф^ i = 1,m, также становятся интервальными (т. е. принимающими вид интервалов F и Ф^ i = 1, m), определяемыми с точностью до интервалов возможных значений, равно как и параметры bi, i = 1,m (т. е. принимающие вид интервалов bi, i = 1, m). В итоге полностью определенная задача условной оптимизации (3) переходит в неполностью определенную - интервальную задачу условной оптимизации

F(xi,..., xn) = max, при Ф(ж1,...,ж„) < bi, i = 1,m }. (4)

Нужно разработать методику решения оптимизационной задачи (4).

3. МАТЕМАТИКА СРАВНЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ

В основе решения поставленной интервальной задачи условной оптимизации (4) лежит математическая теория сравнения интервалов.

Рассмотрим два интервала a = [ai,a2] и b = [bi, 62]. Попытаемся сравнить эти интервалы по величине, рассматривая их как интервальные числа. Первое, что приходит в голову, - сравнить интервалы a и b на основе отношений в парах вещественных чисел (ai,bj), где ai G a, bj G b. Однако такой подход ведет к провалу, поскольку в общем случае, при произвольных интервалах а и b, одни пары чисел (ai, bj) будут находиться в отношении ai > bj, а другие - в противоположном отношении: ai < bj. Единственное, что остается, - реализовать сравнение интервалов на теоретико-множественном уровне, рассматривая их как единое целое, не подлежащее дроблению на более мелкие части. Этот путь был реализован автором в 1990-е годы. Ниже приводится краткое изложение полученных результатов [15-18].

Операцию взятия максимума V и минимума Л двух произвольных интервалов a = [ai,a2] и b = [bi, b2] введем в виде следующих теоретико-множественных конструкций

a V b = {a V b|a G a, b G b}, a Л b = {a Л b|a G a, b G b}. (5)

Согласно (5), взятие максимума (минимума) двух интервалов a и b определяется как взятие максимума (минимума) двух точечных величин a и b, при условии, что конкретные значения этих величин пробегают все возможные значения соответственно из интервалов a и b. Теперь для того чтобы интервалы a и b можно было сравнить по величине, установив их отношение - a > b или a < b, необходимо, во-первых, чтобы введенные операции V, Л над этими интервалами существовали, во-вторых, чтобы эти две операции давали в результате один из операндов - a или b, и в-третьих, чтобы эти две операции были согласованы. Согласованность операций понимается в том смысле, что если большим (меньшим) является один из двух интервалов, то меньшим (большим) является другой из них. Сформулированное условие сравнимости двух интервалов по величине является, очевидно, не только необходимым, но и достаточным.

К счастью, нетрудно доказать, что условие согласованности операций V и Л над интервалами выполняется всегда, т. е. для любой пары интервалов (а, Ь). Очевидно также, что всегда выполняется условие существования операций взятия максимума V и минимума Л двух интервалов, причем результатом операции оказывается некоторый, вообще говоря, новый интервал. Таким образом, необходимым и достаточным условием сравнимости двух интервалов а и Ь оказывается условие, по которому операции а V Ь и а Л Ь должны иметь своим результатом один из интервалов - а или Ь. Последняя формулировка условия сравнимости интервалов открывает возможность получения его в конструктивной форме, пригодной для практического использования. Основной результат здесь формулируется следующим образом.

Теорема 1. Для того чтобы два интервала а = [а1, а2] и Ь = [Ь1, Ь2] были сравнимы по величине (отношению >) и находились в отношении а > Ь, необходимо и достаточно, чтобы границы этих интервалов подчинялись условиям

а1 > Ь1, а2 > Ь2, (6)

а для того чтобы они были сравнимы по величине (отношению <) и находились в отношении а < Ь, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

а1 < Ь1, а2 < Ь2. (7)

Теорема 1 показывает, что интервалы а и Ь сравнимы по отношению > и < (и находятся именно в этом отношении) только в случае, когда в таком же отношении находятся их одноименные границы а1 , Ь1 и а2 , Ь2 . Таким образом, интервалы а и Ь находятся в отношении а > Ь только когда а сдвинут обеими границами вправо относительно Ь и находятся в отношении а < Ь только когда а сдвинут обеими границами влево относительно Ь.

Значение теоремы 1 состоит в том, что она сводит сравнение двух интервалов и выбор большего (меньшего) из них к сравнению границ этих интервалов, являющихся обычными вещественными числами, тем самым разрешается проблема сравнения интервалов.

Теорема 2. Для того чтобы два интервала а = [а1, а2] и Ь = [Ь1, Ь2] были несравнимы по величине

(по отношению > и <), т. е. не находились в отношении а > Ь или а < Ь, необходимо и достаточно, чтобы

выполнялись условия

(а1 < Ь1, а2 > Ь2) или (Ь1 < а1, Ь2 > а2). (8)

Теорема 2 показывает, что интервалы а и Ь несравнимы по отношению > и < только в том случае, когда один из них полностью “накрывает” другой.

Значение теоремы 2 состоит в том, что она показывает существование определенных случаев несравнимости интервалов по отношениям > и <, в отличие от вещественных чисел, которые всегда сравнимы по указанным отношениям. Несравнимость величин некоторых интервалов есть естественный результат того, что интервальные числа, в отличие от точных вещественных чисел, задаются не точно, а с неопределенностью (известно, что число принимает значение в заданном интервале, но не уточняется, какое

именно это значение). На основе теорем 1 и 2 можно доказать нижеследующие положения.

Теорема 3. Для того чтобы в некоторой заданной системе интервалов а(1) = [а1(1), а2(1)], а(2) = [а1(2), а2(2)],..., существовал максимальный интервал (который находится со всеми остальными интервалами в отношении >), необходимо и достаточно, чтобы границы этого интервала были расположены относительно одноименных границ всех остальных интервалов согласно следующим условиям

а1(1) > а1(2), а1 (1) > а1(3), ... 1 (9)

а2(1) > а2(2), а2(1) > а2(3),... |

Условия (9) записаны для случая, когда максимальным является интервал а(1), что, очевидно, не ограничивает общности.

Теорема 4. Для того чтобы в некоторой заданной системе интервалов а(1) = [а1(1), а2(1)], а(2) = [а1(2), а2(2)],... существовал минимальный интервал (который находится со всеми остальными интервалами в отношении <), необходимо и достаточно, чтобы границы этого интервала были расположены относительно одноименных границ всех остальных интервалов согласно условиям

«1(1) < «1(2^ «1(1) < а1(3),..Л

«2(1) < а2(2), а2(1) < а2(3),... }

Аналогично теореме 3 условия (10) записаны для случая, когда минимальным является интервал а(1), что не ограничивает общности.

Теоремы 3 и 4 показывают, что некоторый интервал является максимальным (минимальным) среди множества имеющихся интервалов только в том случае, когда максимальны (минимальны) его нижняя граница - среди нижних границ всех интервалов - и верхняя граница - среди верхних границ всех интервалов.

4. ИДЕЯ РЕШЕНИЯ

В сформулированной интервальной задаче условной оптимизации (4) целевая функция ^(ж1, ...,!„),

функции Ф,(жь..., ж„), г = 1, п, в левых частях ограничений и параметры Ь*, г = 1, т, в их правых частях являются интервальными и поэтому могут быть записаны в виде интервалов

^(Ж1,...,Ж„) = [^1(Ж1,...,Ж„),^2(Ж1,...,Ж„)],

Ф*(жь ...,і„) = [Фіі(жі, ...,ж„), Фі2(хі, ...,Xn)], І = l,m, (11)

bi = [bii,bi2], i = l,m.

После этого задачу (4) можно переписать в явном интервальном виде

[Fi(xi, ...,ж„), F2(xi, ...,ж„)] = max, (12)

[Фіі(жі, ...,ж„), Фі2(жі, ...,ж„)] < [bji, bi2], i = 1,m,

который уже поддается решению. Действительно, согласно теореме 3 интервальное уравнение в (12) можно записать в виде эквивалентной пары обычных (детерминированных) уравнений

^і(жі,..., жп) = max, ґ2(жі,...,ж„) = max . (13)

Далее, по теореме 1 систему интервальных неравенств в (12) можно записать в виде системы обычных

(детерминированных) неравенств

Ф^(ж! ,...,!„) < bii, Фi2(жl, ...,xn) < bi2, i = 1, m. (14)

Соединяя пару уравнений оптимизации (13) с системой неравенств-ограничений (14) получим две детерминированные (полностью определенные) задачи условной оптимизации вида (3)

Fi(xi,..., xn) = max,

Фц(жь ...,ж„) < bii, i = 1, m, 1 (15)

Фi2(жl, ..., ж„) < bi2, i = 1, m, j

F2(xi,..., жп) = max,

Фц(жь ...,ж„) < bii, i = 1, m, 1 (16)

Фi2(жl, ..., ж„) < bi2, i = 1, m. j

Задачу (15) будем называть нижней граничной задачей исходной интервальной задачи (4), а задачу (16)

- ее верхней граничной задачей.

Из выполненного построения следует, что пара детерминированных задач условной оптимизации (15), (16), рассматриваемых в совокупности, эквивалентна исходной интервальной задаче условной оптимизации (4). Таким образом, для получения решения интервальной задачи условной оптимизации (4) надо решить ее нижнюю (15) и верхнюю (16) граничные задачи. В общем случае решения нижней и верхней граничных задач находятся в виде {Мн(ж), Fi,max}, {Мв(ж), F2,max}, где Мн(ж) и Мв(ж) - множества точек решений ж = (ж!, ...,жп) нижней и верхней граничной задачи, Fi,max и F2,max - полученные максимальные значения целевых функций этих задач. Решение интервальной задачи составляется из решений ее нижней и верхней граничных задач в виде

{ж* G Мн(ж) П Мв(ж), Fmax = [Fi,max, F2,max]}. (17)

Таким образом, в качестве точки решения ж* в (17) берется любая точка пересечения множеств точек решения нижней и верхней граничных задач, а в качестве максимального значения целевой функции Fmax

- интервал от максимального значения целевой функции нижней граничной задачи Fi,max до максимального значения целевой функции верхней граничной задачи F2,max.

Преимущество изложенного подхода к решению интервальной задачи условной оптимизации заключается в возможности использования для этого традиционных, хорошо разработанных методов решения детерминированных задач условной оптимизации. Основанный на этом подходе метод решения интервальной задачи условной оптимизации естественно назвать методом детерминизации, поскольку он сводит решение недетерминированной задачи оптимизации (4) к решению двух детерминированных задач оптимизации (15 и (16).

5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

Для решения интервальной задачи условной оптимизации (4) методом детерминизации нужно действовать по следующему алгоритму.

Ш!аг 1. Используя формулы интервальной математики, выражающие результаты элементарных преобразований интервалов [18]

[ai, a2 + [bi, b2] = [ai + bi, a2 + b2];

[ai, a2 - [bi, b2] = [ai - b2, a2 - bi];

I [kai,ka2], k> 0, k[aba2] = < (18)

I [ka2, kai], k < 0;

[ai, a2] • [bi, b2] = [min(ai • bj), max(ai • bj)];

i,j i,j

[ai, a2]/[bi, b2] = [ai, a2] • [1/b2, 1/bi],

записываем целевую функцию F и функции ограничений Фi задачи (4) в интервальной форме. Так же представляем параметры bi в ограничениях. Полученные представления имеют вид (11).

Ш!аг 2. Используя полученные на шаге 1 формулы, получаем нижнюю (15) и верхнюю (16) граничные задачи интервальной задачи.

Шаг 3. Используя подходящие известные методы решения детерминированных задач условной оптимизации, получаем решения нижней {Мн(ж), Fi,max} и верхней {Мв(ж), F2,max} граничных задач. Здесь обозначено Мн(ж) - множество точек решения ж = (ж1, ...,жп) нижней граничной задачи, в которых ее целевая функция Fi достигает своего максимума Fi,max, а Мв(ж) - множество точек решения верхней граничной задачи, где ее целевая функция F2 достигает максимума F2,max.

Ш!аг 4. Выбирая в качестве точки решения интервальной задачи (4) любую точку ж* из пересечения множеств Мн(ж) и Мв (ж) точек решения нижней и верхней граничных задач и беря в качестве нижней границы максимума Fmax интервальной целевой функции F задачи (4) максимум Fi,max целевой функции

нижней граничной задачи, а в качестве верхней границы максимума целевой функции Т задачи (4) -максимум Т2,тах целевой функции верхней граничной задачи, получаем все решение интервальной задачи (4) в виде (17).

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье показано, что проблема оптимизации неполностью определенных функций достаточно просто разрешима, если указанную неопределенность задавать в интервальной форме и использовать конструктивную теорию сравнения величин интервалов, сводящую это сравнение к сравнению одноименных границ интервалов. Тем самым нахождение оптимума неполностью определенной (недетерминированной) функции сводится к нахождению одноименного оптимума двух полностью определенных (детерминированных) функций. Такой подход (его естественно назвать детерминизацией) позволяет свести оптимизацию неполностью определенных функций к хорошо известным и эффективным методам оптимизации полностью определенных функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Юдин Д. Б, Гольдштейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Советское радио, 1964.

2. Вентцель Е. С. Введение в исследование операций. М.: Советское радио, 1964.

3. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967.

4. Корбут А. А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969.

5. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

6. Левин В. И. Структурно-логические методы исследования сложных систем. М.: Наука, 1987.

7. Левин В. И. Дискретная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7.

8. Левин В. И. Булево линейное программирование с интервальными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. 1994. № 7.

9. Левин В. И. Интервальное дискретное программирование // Кибернетика и системный анализ. 1994. № 6.

10. Левин В. И. Оптимизация расписаний в системах с неопределенными временами обработки. I, II // Автоматика и телемеханика. 1995. № 2-3.

11. Левин В. И. Задача трех станков с неопределенными временами обработки // Автоматика и телемеханика. 1996. № 1.

12. Левин В. И. Интервальная модель общей задачи линейного программирования. I, II // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. 1998. Т. 3. № 4; 1999. Т. 4. № 1.

13. Левин В. И. Нелинейная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Кибернетика и системный анализ. 1999. № 2.

14. Левин В. И. Антагонистические игры с интервальными параметрами // Кибернетика и системный анализ. 1999. № 3.

15. Левин В. И. О недетерминистской дискретной оптимизации // Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа: Изд-во Уфимского авиационного института, 1999.

16. Левин В. И. Математическая теория сравнения интервальных величин и ее применение в задачах измерения // Измерительная техника. 1998. № 5.

17. Левин В. И. Математическая теория сравнения интервальных величин и ее применение в задачах измерения, контроля и управления // Измерительная техника. 1998. № 9.

18. Левин В. И. Интервальная математика и исследование систем в условиях неопределенности. Пенза: Изд-во Пензенского технологического института, 1998.