Устойчивость в целом одной системы четырех уравнений в случае кратных корней Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

устойчивость в целом одной системы четырех уравнений в случае кратных корней

Е, Т. Софронов

Рассматривается система уравнений автоматического регулирования:

¿1 = Ж2 — f(x±), X = X — Ь\Х\ — cif(xi), Хз = X4 — &2Xl — C2f (xi), X^= —b%Xl — Csf(xi),

где bi, ci — постоянные, f(xi) — непрерывная функция, удовлетво-

f

для системы уравнений (1) выполняется обобщенные условия Рауса — Гурвица. В статьях [1,2] рассматривалась система уравнений (1) при различных предположениях относительно корней характеристического уравнения. В данной статье предполагается, что

f(x1)=px1+a(x1), при х\ —> О,

xi

Ьз + pc3 = b2+ pc2 = 0, c3 > 0, p2 —4Ь + pci) = 0. Тогда уравнение

А4 + pA3 + Ь + PCi)A2 + (b2 + pc2)A+b3+pc3 = 0

имеет два нулевых корня и Ai = А = 7 < 0- При таких условиях будем исследовать систему уравнений (1) на асимптотическую устойчивость в целом [3].

С помощью преобразования

yi = (y3 + 3y2)xi + Y + 2y)x2 + (7 + l)x3 + x4,

4 9

У2 = 7 xi+yjx2 + Yx3 + x4, y3=x3, yi = xA

© 2008 Софронов E. T.

приводим систему уравнений (1) к виду

У1=7У1+У2 - Аа(хг), т = 1У2 - Ва(хх),

(4)

Уз = У4 - с2а(х1), у± = -с^аХ),

где В = 73 + 72с1 + + с3, А = В + З72 + + с2.

Введем обозначения: = -^сз, ш2 = (7 + 1)сз, г = 72сз.

Теорема 1. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-внда, условия (2) и одна нз серий условий:

1)А<0, ш2В < 0, / = 72^-^>0;

2) А > 0, ш2В>0,1>0, ¡г + ^ш^

г, ^

-

~В +

А'7

>

3) А < 0, ^В > 0,

4) А >0, ш2В <0,

г + 7^2 > 0;

А

г + ^{—<-0\ю2 < 0. В

' В 4А ]

2 Ш Ш п

У ~В+4А1

Тогда для асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия

Ит

| Ж! | —

\а.(х1) | + J а(э) ¿в = <х>. о

Доказательство. Возьмем функцию

X!

V = \ (11У1 + ¿2у\ + у\) + г J сф) ¿в

(5)

(6)

и найдем производную по Ь, вычисленную в силу систем уравнений (1), (4). Ее можно представить в виде

V = 7кУ1+кУ1У2+712У2 - (АЬ+ш^угаХ) - (В12 + ш2)у2а(х1)-га2(х\)

(7)

с учетом тождества

-сзУ4 + г{х2 -рхг) + ШУ + Ш2У2 = 0.

(8)

Функция (7) отрицательна, если

/ = 721г12 - 1/2 >0, к > 0,

1г + + + ]рк{В12 + и2)2 - ^{Ак + )(В12 + > 0.

(9)

Во всех четырех случаях в качестве 1\, 12 возьмем выражения

, _ , _ Ы

Тогда в силу условий теоремы функция V отрицательна, а функция V определенно положительна. Если

j a(s) ds = ж,

о

то функция V бесконечно большая и, применяя теорему Барбашина — Красовского [3], докажем асимптотическую устойчивость в целом нулевого решения системы (1). Если

/a(s) ds < М < оо, lim |a(xi)| = оо,

\x11

0

то из тождества (8) следует ограниченность

\x2 — pxi \,

значит, для любой положительной полутраектории \xi(t) \ ограничена. Таким образом, любая положительная полутраектория ограничена, следовательно, нулевое решение системы уравнений (1) устойчиво в целом. Доказана достаточность условий (5).

Теперь докажем необходимость условий (5) от противного, т. е. пусть

\а(хг)\ < M, J a(s)ds < M< ж. (10)

Возьмем положительную полутраекторию с начальными данными

хЧ = 0, х% = с3 + (2М+ 1)72 + -¡-М(|В| + |7Л|) + М

м

1 + 7

1

В (11)

х х У У

ний системы (4) найдем оценки для \> \) а У4 из уравнения

¿У4

-сйа{х1)

¿хх х - рх1 - а(х\) при х - рх1 ^ 2М. Тогда имеем

Ыг)| < ^М\В1 \У1(г)\ < \мт + |7Л|),

п\ Т

Уа{Хл{-Ь)) > х^ -Отсюда, учитывая (8), (11), будем иметь

х2{г) - рх^г) > 2М+ 1

при всех г ^ ¿о- Тем самым

х ^ м + 1, х (^ ^^ щ г ^

Следовательно, существование такой полутраектории противоречит устойчивости в целом и показывает неверность нашего предположения (10). Теорема доказана полностью.

Теорема 2. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-впца, условия (2) н одна пз серий условий: 1)А = 0, ш2В<0,

I = и

т

. Ш2 и

1

> Ш

В

2) А = 0, ш2В > 0, 1 = Ь 1

> 0, 1\ > 0, 1г-~

В

1

>о,к> о,

[г 2 ^^2 _ > 0; В

1

3) А = 0, 7= -1, ВфО, 1 = Ь

£з__к

[\В\ 4

>о,к> О,

1с2 1 I-+ >0.

Тогда для асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (5).

Доказательство. Достаточность условий (5) докажем с помощью функции (6). При выполнении условий 1, 2 теоремы в качестве к

возьмем число \¡м2\/\В\. В случае 3 пусть

] - -

2" \В\~ |В[

Тогда в силу

п а(хЛ) п

г > 0, ——- > 0

Х\

функция V отрицательна, а сама функция V либо бесконечно большая, либо можем доказать ограниченность любой положительной полутраектории. Этим доказывается достаточность условий (5) теоремы. Необходимость условий (5) доказывается аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема 3. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-впца, условия (2) и одна из серий условий:

1) В = 0, А < 0;

2) В = 0, 12>А> 0;

3)А = 0, В = 0.

Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (5).

Доказательство. Докажем достаточность условий (5). Пусть рассматривается первая серия условий. Возьмем функцию V, определенную равенством (6), где к, к определяются так:

1 ^ ( 2, , 1 ^Л 1 2 ^ п

Тогда выполняются неравенства (9) и функция V отрицательна и обращается в нуль там, где нет целых полутраекторий.

Пусть выполняется вторая серия условий и = а 12 — достаточно большая постоянная. При таких условиях можно показать, что выполняется неравенство

1г + 7/2^1 + ^2-^(7^2 — 2с^х) > 0.

В силу выполнения последнего неравенства функция V отрицательна.

Если А = 0, В = 0, то в функции V, определенной равенством (6), возьмем

2 ( 2 2 Л

Ш 9 ШШ 7^9 Ш

«1 =--, 7"«2 > тах< -,---->.

7г [г г )

Тогда функция V будет отрицательной и обращается в нуль там, где нет целых положительных полутраекторий.

Во всех трех случаях либо функция V бесконечно большая, либо любая положительная полутраектория ограничена. Этим и доказывается достаточность условий теоремы.

Доказательство необходимости условий (5) теоремы проводится от противного. При выборе начальных данных полутраекторий в равен-АВ

АВ

= 0, У® = 0, Ух(г) = 0, У2(г) = 0. Таким образом, теорема 3 доказана полностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Софронов Е. Т. Об устойчивости в целом одной системы четырех уравнений в случае комплексных корней // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 93-97.

2. Софронов Е. Т. Асимптотическая устойчивость в целом в одном критическом случае // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 102-110.

3. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.

г. Якутск

9 декабря 2003 г.