CC BY
43
А
нализ и синтез систем управления
УДК 62-501.52
0 ДОСТАТОЧНЫХ И НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В. П. Жуков
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва
Получены новые достаточные и необходимые условия асимптотической устойчивости состояний равновесия автономных динамических объектов, описываемых системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа Коши произвольного порядка. Применение специального класса функций (вместо функций Ляпунова) позволило получить обращение теоремы об асимптотической устойчивости, имеющее ясный геометрический смысл и наглядность.
ВВЕДЕНИЕ
Обращению теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости посвящено много работ. Подробно этот вопрос рассматривался в монографии [1], где приведена обширная литература. Из нее видно, что указанное обращение достигается путем построения для каждой асимптотически устойчивой системы весьма сложных функций, удовлетворяющих требованиям теоремы. В данной работе получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости для автономных систем, которые отличаются от рассматриваемых ранее тем, что в них вместо класса функций Ляпунова применяется класс функций, зависящих от параметра. Благодаря этому для любой асимптотически устойчивой системы удается указать весьма простую в смысле геометрической интерпретации непрерывную функцию, удовлетворяющую новым необходимым и достаточным условиям. Обращение теоремы об асимптотической устойчивости приобретает ясный геометрический смысл и большую наглядность, что может облегчить нахождение новых используемых функций. В данной работе в качестве иллюстрации предлагаемого подхода приводятся результаты для автономных асимптотически устойчивых систем. В дальнейшем предполагается развитие аналогичного подхода для исследования на асимптотическую устойчивость нелинейных неавтономных динамических систем.
1. ОПИСАНИЕ КЛАССА ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
В рассмотрение вместо функций Ляпунова вводится класс функций 2(х, е), зависящих от параметра е, что позволяет для каждой асимптотически устойчивой системы указать простую в смысле геометрической трактовки функцию /(х, е); для большого класса асимптотически устойчивых систем можно указать еще более простую функцию /(х). Подробно свойства этих простых функций будут рассмотрены при их построении в доказательстве необходимости условий сформулированной далее теоремы. Здесь же скажем, что геометрический смысл функции /(х, е) состоит в том, что она означает расстояние от данной точки х до границы некоторой окрестности асимптотически устойчивой точки равновесия (эта окрестность определяется параметром е), измеренное вдоль траектории; функция /(х) имеет смысл расстояния от данной точки х до точки равновесия, измеренного вдоль траектории (длина положительной полутраектории). Функции /(х) не могут применяться, например, в случае устойчивых фокусов (на фазовой плоскости), у которых длина положительных полутраекторий бесконечна (функция /(х) при этом не имеет смысла); в этом случае применима функция /(х, е).
Будем рассматривать непрерывные неотрицательные скалярные функции 2(х, е) векторного аргумента х, заданные в некоторой области с #, являющейся окрестностью точки равновесия х» = 0, и зависящие в общем
случае от скалярного параметра е е .+, где Я+ = [0, да) — положительная полуось вещественной числовой оси. Говоря иначе, рассматриваются семейства скалярных функций по параметру е (в случае, когда функция 2(х, е) = 2(х) не зависит от е, будем считать, что семейство состоит из одной этой функции). Класс рассматриваемых функций характеризуется следующими свойствами. При любом значении параметра е > 0 существует такое множество 5е с #2, содержащее точку х» = 0, что 2(х, е) = 0 при х е 5е. При этом, если функция 2явно зависит от е > 0, то множество 5е является компактной окрестностью точки х» = 0. В случае функции 2(х), не зависящей от е, множество 5е состоит лишь из точки х» = 0. Предполагается, что при е о 0 семейство 5е сходится к точке х» = 0 (&т5 = тах р(х, х) о 0 при е о 0, где р — расстоя-
е хЕ> ^ е5е ' 1
ние между точками х; и хр, т. е. для любого шара о с центром в этой точке существует такое число ео, что все множества 5е, соответствующие значениям е Р ео, принадлежат этому шару. При любом фиксированном е функция 2(х, е) является положительной при любом х е #2\5е. Предполагается, что при любом е > 0 производная 2(х, е) в силу системы (1) — см. § 2 — на множестве #Д5е непрерывна по х (соответственно, производная 2 (х) непрерывна вне точки х» = 0). Для этого функция 2(х, е) не обязательно должна быть непрерывно дифференцируемой на множестве #2\5е; соответствующим примером служит упомянутая выше функция /(х, е), для которой / (х, е) = —| Г(х)|, если точка х» = 0 асимптотически устойчива. Этих требований, налагаемых на производную 2 (х, е), достаточно для доказательства приведенной далее теоремы. Однако, учитывая ее применение для исследования конкретных систем, будем считать функции 2(х, е) непрерывно дифференцируемыми на #2\5е (подробнее об этом далее).
Зависящую от параметра е > 0 функцию 2(х, е) с указанными свойствами (включая сходимость множества 5е к точке х» = 0) будем называть 5е — определенно-положительной на множестве #2. Функции Ляпунова 2(х) являются, очевидно, частным случаем 5е — определенно-положительных функций.
Характер класса функций 2(х, е), используемых в теореме о достаточных и необходимых условиях асимптотической устойчивости (см. § 2), существенно зависит от характера множеств 5е, используемых при построении для любой асимптотически устойчивой точки системы (1) — см. далее — функции /(х, е), удовлетворяющей этой теореме и имеющей простой геометрический смысл. Удалось указать такие множества 5е, при которых для любой асимптотически устойчивой точки можно построить непрерывную функцию /(х, е), что позволило сформулировать приведенную в этой работе теорему в терминах класса непрерывных функций 2(х, е) (непрерывные функции /(х, е) и соответствующие им множества 5е будут описаны при доказательстве необходимости условий данной далее теоремы). При иных множест-
вах 5е функция /(х, е) для некоторых асимптотически устойчивых точек равновесия оказывается разрывной (разрывы имеют место при переходе с некоторой траектории на соседние к ней траектории, вдоль каждой траектории функция /(х, е) является гладкой и имеющей,
как увидим далее, производную / = —| Г (х)|, х е #2\5е; эти разрывные функции имеют такой же простой геометрический смысл, как и непрерывные). Вследствие этого теорему для этого случая пришлось бы сформулировать либо в терминах разрывных функций 2(х, е), которые являются гладкими вдоль траекторий и разрывными при переходе с одной траектории на другие, либо в терминах разрывных функций более общего типа, имеющих разрывы и на траекториях. Но это существенно усложняет применение теоремы для исследования конкретных систем (1). Исходя из высказанных соображений, рассматривается именно класс непрерывных параметрических функций 2(х, е).
При доказательстве достаточности условий приведенной далее теоремы вопрос о вычислении производной 2 (х, е) в силу системы (1) не возникает, так как доказательство опирается лишь на факт ее существования, гарантированный условиями теоремы. При доказательстве необходимости этих условий вопрос о вычислении этой производной возникает и разрешается, как увидим далее, весьма просто благодаря тому, что для каждой асимптотически устойчивой точки равновесия мы указываем функцию /(х, е) с производной в силу системы
(1) в виде / = —|Г(х)|, х е #2\5е, которая легко вычисляется. Применение достаточных условий теоремы для исследования конкретных систем вида (1) на асимптотическую устойчивость требует умения вычислять производную в силу системы от функций 2(х, е), выбираемых в качестве претендентов для удовлетворения условиям теоремы. В этом случае мы не можем считать, что 2(х,
е) = /(х, е) и / = —|Г(х)|, ибо это верно только, если заранее известно, что исследуемая точка равновесия асимптотически устойчива. Однако заранее это не известно. Поэтому при применении достаточных условий в такой неопределенной ситуации производную в силу
системы следует вычислять по общей формуле 2 (х, е) = = (grаd2(х, е), Г(х)), которая из-за необходимости вычисления градиента 2(х, е) требует гладкости функции 2(х, е) по х. Исходя из сказанного, будем требовать гладкости функций 2(х, е) на множестве #2\5е при каждом значении е > 0. На границе Г(5е) множества 5е эта функция может быть негладкой. Заметим, что при х е 1п15е
производная 2 (х, е) = 0 в силу того, что 2(х, е) = 0 при х е 5 .
е
2. ДОСТАТОЧНЫЕ И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассматривается автономный динамический объект, описываемый системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка
х = Цх), х е .", (1)
имеющей изолированную точку равновесия х» = 0.
Функция С(х) задана в некоторой области # с являющейся окрестностью точки х» = 0, непрерывна и обеспечивает единственность решения. Как правило, будем считать ее гладкой (класса С').
Теорема. Точка —авновесия х» = 0 системы (1) асими-тотически устойчива тогда и только тогда, если существует такая 5е — ои—еделенно-иоложительная функция 2(х, е), что и—и любом е > 0 ее иолная и—оизводная ио времени в силу системы (1) от—ицательна на множестве #2\5е.
Если функция 2(х, е) = 2(х) не зависит от параметра, то получаем формулировку обращенной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Справедливость такой формулировки доказана ранее в ряде работ обращением теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. При доказательстве приведенной теоремы доказана, в частности, справедливость достаточности условий обращенной теоремы Ляпунова, но необходимость условий этой теоремы не доказана, ибо при доказательстве необходимости условий ставилась цель получить для каждой асимптотически устойчивой системы (1) функцию 2 = /, характеризующуюся определенной геометрической интерпретацией, что для некоторых асимптотических устойчивых систем можно сделать, используя лишь функции /(х, е), явно зависящие от параметра е, к которым функция Ляпунова 2(х) не относится.
При доказательстве необходимости условий теоремы (см. § 4) указаны требования, при выполнении которых для асимптотически устойчивой точки равновесия системы (1) на любом компакте В с #п (#п — область притяжения точки равновесия) существует определенноположительная непрерывная функция /(х), имеющая на множестве В непрерывную по х производную в силу
системы / = —|Г(х)|, а также являющаяся на множестве В\(х» = 0) непрерывно дифференцируемой по х (функция Ляпунова типа /(х)). Эти требования выполняются в классе линейных систем с постоянными коэффициентами (см. доказательство теоремы в § 4). Поэтому получаем
Следствие. Для любой асимитотически устойчивом точки—авновесия линейной системы с иостоянными коэффициентами (1) на любом множестве В с #п существует неи—е—ывная функция Хяиунова тииа /(х), имеющая на множестве В неи—е—ывную ио х и—оизводную в силу системы (1) в виде / = —|Г(х)| и неи—е—ывно диффе—енци—уемая на множестве В\(х» = 0).
Таким образом, в случае исследования на асимптотическую устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами нет необходимости прибегать к поиску функций /(х, е), явно зависящих от параметра. В этом случае целесообразнее искать более простые функции Ляпунова типа /(х), характеризующиеся простым геометрическим смыслом.
3. ПРИМЕР
Рассмотрим конкретную нелинейную динамическую систему с асимптотически устойчивой точкой равновесия, для которой не существует функции Ляпунова типа
/(х), но существует функция /(х, е), зависящая от параметра. Пусть система описывается в полярных координатах дифференциальными уравнениями р = —ри, (Г = 1, где и — любое положительное число. Точка равновесия, соответствующая значению р = 0, является асимптотически устойчивым фокусом. За время > 0 функция / (р, е) получает отрицательное приращение
@/(р, е) = — */(р @9)2 + (@р)2 = — л/ (р@?)2 + (р”@Р)2 =
= —р@^ 1 + р2 (и - Х) = -@£^1 + р2(и - 1}, р”
где л/(р@9)2 + (@р)2 = |@/(р, е)|.
При и = 1 приращение @/(р, е) = @р. Интегрируя правую часть этого выражения от окружности радиуса р до окружности радиуса е, а левую от /(р, е) до 0, получаем
зависящую от параметра е функцию /(р, е) = л/2 (р — е). Если интегрировать правую часть от окружности радиуса р до точки р = 0, то получим функцию Ляпунова
/(р) = 72р. Заметим, что /(р) = Цт /(р, е).
ео 0
Если же и = 2, то @/(р, е) = @р V1 + 1/р2 и существует
1 ч П~~2 ГТ~~2 , , (1 + V1 +е2 )р
функция /(р, е) = л/1 + р — л/1 + е + 1п------ — ,
( 1 + V1 + р2 )е
0 /------2
но в силу расходимости интеграла Ы1 + 1/р @р не сур
ществует функции /(р) с конечными значениями, что видно также из того, что Цт /(р, е) = да. Таким образом,
ео 0
при и = 2 не существует функции Ляпунова типа /(р), но существует зависящая от параметра функция /(р, е). Оценки показывают, что этот же факт имеет место при и > 2. Этот факт связан с тем (как показано в доказательстве теоремы), что при и О 2 длина любой положительной полутраектории, лежащей в сколь угодно малой окрестности точки равновесия, имеет бесконечное значение.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
Достаточность. Покажем, что если условия теоремы выполнены, то точка х» = 0 асимптотически устойчива. Для этого сначала докажем обычную устойчивость этой точки, т. е. докажем, что при условиях теоремы для любой окрестности К с точки х» = 0 существует такая окрестность м с к этой точки, что любое решение х(р) уравнения (1), начинающееся в момент времени ?0 в м, не покинет окрестность к при любом
Р0 > Р'
Пусть к с — любая окрестность точки х» = 0. Искомое множество м с к построим с помощью следующего способа, который применим как в случае, когда теореме удовлетворяет функция 2(х, е), явно зависящая от параметра е, так и в случае, когда ей удовлетворяет не зависящая от этого параметра функция 2(х). Рассмотрим для обоих этих случаев множества 4а = {х: 2 Р а О 0}, где V = 2(х, е) в первом случае и 2 = 2(х) во втором случае. При любом фиксированном е > 0 в силу непрерывности функции 2 имеем: 4а о 5е при а о 0
(в случае функции 2(х) множество 8s состоит из точки х* = 0), т. е. для любого числа А > 0 существует такое число ад > 0, что при любом а P ад 4а с 8Ан, где 8Ан — А — окрестность
множества 8s, определяемая как 8s = хА(х), где А(х) — шар радиуса А с центром в точке х. Действительно, на компактном множестве сАн = 2/ 8Ан непрерывная положитель-
ная функция 2 достигает своей нижней грани inf 2 = СА > 0
х е САе
(# 12 с #2, 8s с #12). Возьмем для любого А > 0 положительное число аА < САн (например, аА = 0,5САн). Очевидно, что при любом а < аА 4а = {х: 2 P а} с 8s (точки х е 4а не могут лежать в множестве сА , так как inf 2 = СА > аА O а). Так
х е САе
как функции 2(х, H), 2(х) по условию являются непрерывными, то (по определению непрерывности этих функций в точке х„ = 0) для любого а > 0 существует такая окрестность /а этой точки, что при х е /а функция 2 < а. Но это означает, что множество 4а содержит окрестность /а и само является окрестностью точки х„ = 0.
Исходя из изложенного и учитывая, что при s о 0 множество 8н сходится к точке х„ = 0 и что множество K есть окрестность точки х„ = 0 (точка х„ = 0 входит в множество к с некоторым шаром), можно выбрать такие числа н(к) > 0 и а(к) > 0, чтобы множество 4а(к) = {х: 2 P а(к)} с к. Множество 4х(к), являющееся окрестностью точки х„ = 0, можно взять в качестве искомой окрестности M с к этой точки. Действительно, любое решение х(/, х0), начинающееся при t = t0 в множестве 4а(к), не может при t > t0 его покинуть, ибо по условию теоремы 2 P 0, и, следовательно, при t > t0 значения функции не могут возрастать и поэтому для них имеем 2 P а(к). Следовательно, этим значениям соответствуют решения х(/, х0) е 4а(к). Заметим, что в случае, когда теореме удовлетворяет функция 2(х, s), явно зависящая от s, в качестве множества можно взять множество 8s = {х: 2(х, s) = 0} с к — окрестность точки х„ = 0; в случае функции 2(х) этого сделать нельзя, так как при этом множеством 8s является точка х„ = 0, а не окрестность.
Так как м = 4^ с к, то из изложенного следует, что при любом х0 е м = Аа(к) решение х(/, х0) с к. Таким образом, обычная устойчивость точки х„ = 0 доказана.
Покажем, что для указанных решений х(/, х0) с к при условиях теоремы
lim х(/, х0) = 0, (2)
t ою 0
т. е. точка х„ = 0 асимптотически устойчива. Условие (2) означает, что соответствующая решению х(/, х0) изображающая точка сходится к точке х„ = 0 при t о 0, т. е. в некоторый момент времени t(M1) попадает в любой шар м1 с к с центром в точке х„ = 0 и при любом t > t(M1) остается в этом шаре. Покажем, что для любого выбранного шара м1 существует такой момент времени /(м1). Для доказательства воспользуемся, в частности, тем, что точка х„ = 0 обладает обычной устойчивостью. В соответствии с определением обычной устойчивости точки х„ = 0 для любого шара м1 существует такой открытый шар о с м1, что если точка х(/, х0) попадает в некоторый момент времени t(o) в шар о, то она при всех t > t(o) будет оставаться в шаре м1. Ясно, что если существует момент времени /(о1), то существует и момент времени t(M1); в частности за /(м1) можно принять t(o). Остается доказать, что момент времени /(о) существует, т. е. что при t о f х(/, х0) изменится от х(Р0)
до х(?(о), х0) е о. Для этого выберем значение е таким, чтобы соответствующее функции 2(х, е) множество 5е удовлетворяло условию 5е с о. Но тогда имеем
вирг 2(х, е) = с, < 0, = к\о.
х е
Действительно, непрерывная по условию отрицательная функция 2 (х, е) достигает на компактном множестве с сво-
°Г|
ей точной верхней грани. Теперь предположим, что момент времени Р(о) не существует, т. е. точка х(р, х0) никогда не войдет в шар о, оставаясь все время в множестве к \о (из множества к точка х(р, х0) выйти не может). Но это приводит к противоречию. Действительно, согласно формуле Лейбница— Ньютона, при сделанном предположении р .
2(х(р, х0), е) = 2(х0, е) + | 2(х(х, х0), е)@т Р 2(х0, е) + с£(г — ^
р0
Так как се < 0, то из приведенного соотношения видно, что при достаточно большом р значение функции 2(х(р, х0), е) становится любым отрицательным числом, чего не может быть, так как 2(х, е) О 0 при х е #2. Полученное противоречие доказывает, что точка х(р, х0) не может оставаться все время вне шара о, и, следовательно, существует момент времени р(о), когда она в этот шар войдет. Но тогда, согласно приведенным выше рассуждениям, выполняется соотношение (2); т. е. точка х(р, х0) асимптотически устойчива. Достаточность условий теоремы доказана.
Сделаем необходимое для дальнейшего замечание о характере асимптотической устойчивости в случае автономных систем (1). Пусть #п с # — область притяжения точки х» = 0, т. е. множество всех таких точек х0 е #, которым соответствуют решения х(р, х0)) такие, что Пт х(р, х0) = 0. Пусть множе-
0 р ою 0
ство А с #п. Точка х» = 0 называется асимптотически устойчивой равномерно по ?0 и х0 е А, если она асимптотически устойчива и для любой ее окрестности к можно указать такое число 0(к), что х(р, х0) е к при р 0 р0 + 7(к), каковы бы ни были ?0 и х0 е А. Из соответствующей леммы в работе [1] следует, что в случае автономных систем (1) асимптотическая устойчивость точки х» = 0 обязательно равномерна по ?0 и х0 е В, где В — любой компакт из #п (для неавтономных систем этот факт не имеет места; в этом случае для равномерности асимптотической устойчивости по р0 и х0 система должна удовлетворять дополнительным требованиям).
Необходимость. Пусть точка равновесия х» = 0 автономной системы (1) асимптотически устойчива. Тогда она будет также асимптотически устойчивой равномерно по ?0 и х0 в указанном выше смысле. Известно [1, 2], что в этом случае существует функция Ляпунова 2(х), удовлетворяющая условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, а, следовательно, и условиям сформулированной выше теоремы. Таким образом, указанные теоремы являются обратимыми. Поэтому при доказательстве необходимости условий теоремы речь будет идти не об обратимости вообще, а об обратимости на основе применения специального класса функций /(х, е), отличающихся от известных функций 2(х), обращающих теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости, весьма простой геометрической трактовкой и, следовательно, наглядностью, в чем заключается их достоинство. Как будет показано далее, для очень широкого класса асимптотически устойчивых систем (1), не включающего в себя лишь достаточно экзотические системы, функции /(х, е) могут не зависеть от параметра е и являться функциями Ляпунова 2(х) = /(х), обладая в то же время указанной геометрической наглядно-
стью. Уже один этот факт показывает полезность новых необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости. Простота и наглядность геометрической интерпретации функций /(х, s), /(х) достигается ценой того, что в упомянутых выше экзотических случаях, которые будут описаны далее, приходится использовать зависящие от параметра функции /(х, s). Именно этим объясняется, что теорема формулируется в общем вице в терминах функций 2(х, s), зависящих от параметра s. Заметим, что при s > 0 функции 2(х, s) и, в частности, функции /(х, s), не являясь знакоопределенными, не могут удовлетворять условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, сформулированной в терминах функций 2(х). Поэтому появление нового класса функций /(х, s) и /(х) не может быть связано с теоремой Ляпунова. Для этого нужны новые необходимые и достаточные условия, которые и даны приведенной выше теоремой, сформулированной в терминах функций 2(х, s) и указывающей для каждой асимптотически устойчивой системы именно функции /(х, s) или /(х) с отмеченными выше свойствами.
Приступим непосредственно к построению для асимптотически устойчивых точек равновесия систем вида (1) функций /(х, s) и /(х), удовлетворяющих теореме. На любом компакте В с #п (#п — область притяжения), являющемся окрестностью точки х„ = 0, для любой асимптотически устойчивой системы построим сначала функцию /(х, s), явно зависящую от параметра s. Сначала построим семейство {8J множеств 8s с В, на которых /(х, s) = 0. Каждое из этих множеств должно по условию быть замкнутой окрестностью точки х„ = 0, а при s о 0 множества семейства { 8J должны сходиться к точке х„ = 0. Кроме того, для целей построения непрерывной по х функции /(х, s) мы построим множества 8s такими, чтобы они имели гладкую границу Г(8е), а решение х(/, х0), соответствующее любой точке х0 е 8s, сходясь при t > t0 к точке х„ = 0, не покидало бы 8s (т. е. множество 8s состоит из положительных полутраекторий, целиком лежащих в 8s, и является поэтому инвариантным множеством), а все траектории, входящие в 8s, пересекали бы границу Г(8е) трансверсально (т. е. не касаясь этой границы). Такие множества 8s можно построить, например, следующим образом. На основе известных результатов об обращении теоремы Ляпунова асимптотическая устойчивость точки равновесия автономной системы (1) является равномерной по t0 и х0 е В с #п, и поэтому на любом компакте В с #п существует функция Ляпунова 2(х), удовлетворяющая этой теореме. Рассмотрим все множества 8s = {х: 2(х) P s} с В, где s — положительные числа. В силу свойств функций 2(х) (знакоопределенность, непрерывность) множества 8s при s о 0 сходятся к точке х„ = 0
(lim dim8s = 0; dim8s = max р(х(, х,)). Каждое из множеств
s ою , х, е 5g J
8s является замкнутой окрестностью точки х„ = 0 (это следует из непрерывности функции 2(х)). Гладкость границы Г(8е) множества 8s следует из теоремы о неявной функции [3], примененной к уравнению "(х) = 2(х) — s = 0, неявно задающему (и — 1)-мерную гиперповерхность Г(8е). Действительно, функция "(х) удовлетворяет всем условиям этой теоремы (она непрерывна вместе со своими частными производными 5"(х)/5х(., e = 1, ..., и и т. д.). Поэтому задаваемая этой функцией неявно гиперповерхность Г(8е) является гладкой в некоторой окрестности любой точки х е Г(8е). Гладкость границы Г(8е) нужна для того, чтобы имело смысл понятие трансверсальности траекторий к этой границе. Сама же трансверсальность следует из определенной отрицательности производной
в силу системы от функции Ляпунова (2 (х) < 0 при любом
х е В, кроме точки х„ = 0; очевидно, что supr 2(х) = с < 0, где
Ъ = Ве\5е). Действительно, если 2 (х) = ^гаё2(х), !"(х)) < 0 при х е Г(5е), то это означает, что траектория (следовательно, вектор / (х)) не может быть касательной к гиперповерхности Г(5е), т. е. ортогональной к градиенту 2(х), который, очевидно, ортогонален к ней.
Функцию /(х, е), заданную на любом компакте В с #п, определим при каждом значении е > 0 и соответствующем ему множестве 5е следующим образом. Любой точке х е В поставим в соответствие расстояние /(х, е) от этой точки х до множества 5е, измеренное вдоль траектории 7^ проходящей через точку х, и определяемое на всем множестве В как
/(х, е) = тт р(х, х1), (3)
х1 е5е П 7х
где р(х, х1) — расстояние от данной точки х е В до любой точки х1 е 5е п 7х, измеренное вдоль траектории 7х. В соответствии с этим определением /(х, е) = 0, если х е 5е, и /(х, е) > 0, если х е В\5е. Функция /(х, е) при е > 0 может быть выражена для х е В \5е следующим образом (далее решение х(р, х0) ради удобства будем обозначать х (р, х)):
^(х) .
/(х, е) = | /+(х (р, х))@р, (4)
0
где те(х) — время, за которое изображающая точка, соответствующая решению х (р, х), начиная движение при р = 0 из точки х е В, достигает границы Г(5е) множества 5е (если х £ 5е,
то те(х) > 0); /+(х (р, х)) — скорость увеличения длины отрицательной полутраектории в точке х (р, х).
Производная / определяется выражением /+(х (р, х)) =
~ Р 2
= |!"(х (р, х))|. Его легко получить, учитывая, что @/+ = ^ @х; ,
Ь = 1
и
@х(. = Дх)@р, ^ /Е = |/|2. Производную /+(х (р, х)) нужно от-г = 1
личать от производной / (х (р, х)) = — /+(х (р, х)) = —|1( х (р, х))|, которая является скоростью уменьшения длины той части положительной полутраектории, которая лежит между точкой
х (р, х) и границей Г(5е) множества 5е; эта длина задается формулой (4). Иначе говоря, /+(х (р, х)) является производной в силу системы от функции /(х, е), задаваемой выражением (4). Возвращаясь к прежнему обозначению, можно записать
/.(х, е) = —|Г(х)|. (5)
Отметим, что в выражении (4) интегрирование ведется
вдоль траектории решения х (р, х). Функция /(х, е) при любом е > 0 ограничена на множестве В. Это следует из оценки величины вирг /(х, е) на основе того, что точка х» = 0
х е В\5е
асимптотически устойчива равномерно по ?0 и х е В. Действительно, вирг /(х, е) Р 7(В) вирг |1"(х)| = с > 0, ибо кох е В\5е х е В\5е
нечны оба сомножителя (7(В) — время, за которое в силу равномерности по р0, х е В все точки х е В\5е перейдут в 5е при р о ю).
Для асимптотически устойчивых точек равновесия большого класса систем (1), удовлетворяющих определенным (описанным далее) требованиям, на любом компакте В с #п можно построить более простую (не зависящую от параметра)
CONTROL SCIENCES № З • 2005
функцию /(х) = р(х, х» = 0), которая получается из функции
(3) путем предельного перехода:
/(х) = р(х, х» = 0) = 1т тт р(х, х1) = Пт /(х, е), (6)
е о 0 х1 е 5е п 7х е о ю
где р(х, х» = 0) — расстояние от точки х до точки х» = 0 измеренное вдоль траектории 7Х (т. е. длина положительной полу-траектории). Этот предел всегда существует, ибо всегда существует предел положительной монотонной функции, которой является длина /(х, е) участка траектории; он может быть как конечным, так и бесконечным. Из выражения (6) следует, что функция /(х) является положительно определенной функцией (/(х» = 0) = 0, /(х) > 0 при х ф х» = 0). Учитывая формулу (4), получаем для любого х е В
ю те(х)
/(х) = 11{(х (р, х)|@р = Пт | |!"(х (р, х))|@р. (7)
0 еою 0
Этот несобственный интеграл сходится (конечен) не всегда. У некоторых систем (1) правая часть /(х) и соответствующий ей характер поведения траекторий в окрестности асимптотически устойчивой точки х» = 0 могут обусловливать расходимость этого интеграла. Для прояснения этого вопроса, запишем значение функции /(х) в любой фиксированной точке х е В иначе, а именно:
ю тЕ(х) ю
/(х) = ||Г(х(р, х))|@р = | |{(х(р, х))@ + | |{(х(р, х))@ =
0 0 те(х)
= /(х, е) + | кх (г, х))@. (8)
Те(х)
При этом значение е (соответственно множество 8е ) выбираем так, чтобы х е В \8е. Как показано выше, функция /(х, е) при любом е > 0 ограничена на любом компакте В с #п. Поэтому первый член /(х, е) в правой части приведенного выражения конечен. Число е можно взять любым (лишь бы х е В\8е). Устремим его к нулю. От этого значение интеграла (7) не меняется (он либо конечен, либо расходится). Поэтому, учитывая конечность функции /(х, е), интеграл (7) будет конечным (сходится), если при любом е > 0 конечен интеграл, являющийся вторым членом в правой части выражения (8). Если же он расходится, то расходится и интеграл (7). Этот второй член является длиной положительной полутраектории, начинающейся на границе Г(8е) множества 8е, т. е. расстоянием р(х е Г(8е), х» = 0), измеренным вдоль траектории. Поэтому интеграл (7) сходится (конечен) и соответственно функция /(х) ограничена на множестве В и удовлетворяет в этом отношении требованиям к классу функций 2(х, е) и 2(х), если выполняется условие, что при любом е > 0
вирг р(х е Г(8е), х» = 0) = се < ю
х еГ(8£)
(очевидно, се > 0). Из этого условия следует, что при любом е > 0 вирг/(х) = с < ю.
х е8е
Эти условия налагают требование на характер поведения траекторий в сколь угодно малой окрестности точки х» = 0, обеспечивающий, очевидно, сходимость интеграла (7) и ограниченность функции /(х) на множестве В. Для некоторых асимптотически устойчивых точек равновесия систем вида (1), которые мы назвали ранее экзотическими, эти условия не выполняются (например, для всех нелинейных фокусов, задаваемых на фазовой плоскости в полярных координатах системой уравнений р = —ри, (Г = 1, и О 2), соответственно тогда интеграл (7) расходится и функция /(х) не ограничена на
множестве В, ибо она при любом х (кроме точки х» = 0) принимает бесконечное значение (в точке х» = 0 она равна нулю). Работать с такими функциями в обычном смысле невозможно. В то же время функции /(х, е), явно зависящие от параметра, и для этих экзотических случаев при е > 0 являются ограниченными на множестве В с #п. Именно из-за этих случаев, желая указать для каждой асимптотически устойчивой точки равновесия геометрически просто интерпретируемую функцию (3), обеспечивающую обращение теоремы об асимптотической устойчивости и имеющую конечные на множестве В значения, приходится использовать функции /(х, е), зависящие от параметра и обнуляемые на множествах 8е, сходящихся к точке х» = 0. Соответственно поэтому приходится работать на классе функций 2(х, е), зависящих от параметра, и в этих терминах формулировать теорему.
Если для любого е > 0 вирг /(х, е) = с < ю и, кроме того,
х е8е Е
при е о 0 (следовательно, ё1т8н о 0)
Пт вирг/(х, е) = Пт се = 0, (9)
еою х е8£ еоюН
то функция /(х) непрерывна в точке х» = 0, ибо условие (9) эквивалентно определению такой непрерывности (V?, > 0 3 8е : х е е 8е ^ /(х) < се) Далее будет показано, при каких условиях функция /(х) непрерывна в каждой точке х е В. Заметим, что из выражения (6) следует, что всегда /(х» = 0) = 0, и, таким образом, функция /(х) является определенно-положительной. Заметим также, что нарушение условия (9) означает, очевидно, разрывность функции /(х) в точке х» = 0, ибо это условие является необходимым и достаточным условием непрерывности (как определение непрерывности).
Покажем теперь, что построенные функции /(х, е) и /(х) принадлежат классу функций 2(х, е), а также удовлетворяют условиям теоремы. Покажем сначала, что эти функции непрерывны на множестве В с #п. Непрерывность функции /(х, е) на В \8е следует из непрерывности по параметру х интеграла (4). Действительно, согласно теореме из курса математического анализа [3], обобщенной на векторный случай, интеграл
(4) будет непрерывно зависеть от векторного параметра х, если функция |1"( х (р, х))| непрерывна по совокупности переменных (р, х), а функция те(х) непрерывна по х. Первое имеет
место, так как правая часть системы (1) х) и, следовательно,
|1"( х)| непрерывно зависят от х по условию, а х непрерывно по совокупности переменных р, х согласно теореме о непрерывности решения по начальным условиям, примененной к
расширенной системе х = !"(х), (Г = 1. Непрерывность те(х) по х доказывается с помощью теоремы о неявной функции, которую мы применим к уже использовавшемуся ранее уравнению "(х) = 2(х) — е = 0, неявно задающему границу Г(8е) множества 8е. Вектор (точка) хг е Г(8е), удовлетворяющий этому уравнению, задает функциональную связь хг = ф(х, те(х)) между точкой х, лежащей на траектории, проходящей через точку хг, и временем пробега те(х) изображающей точки х (р, х) от точки х до точки хг. В итоге получаем уравнение "(ф(х, те(х))) = = 0, неявно задающее зависимость те(х). По теореме о неявной функции эта зависимость будет непрерывной, если 5"(х, те)/5те = 32(х, те)/5те ф 0.
Это условие выполняется, так как 52(х, те)/5те = 2 < 0
(производная 2 в силу системы по условию теоремы отрицательна на множестве В/8е). В итоге функция /(х, е), задаваемая интегралом (4), непрерывна по х на множестве В \8е. Непрерывность функции /(х, е) по х на границе Г(8е) следует из того, что, согласно формуле (3), /(х, е) { 0 на множестве 8е, а
при х е В\8Е непрерывная функция /(х, е) задается выражением (4), из которого видно, что по мере уменьшения до нуля числа А, задающего окрестность 8Ае множества 8Е и, следовательно, уменьшения до нуля величины вирг тЕ(х), до нуля
х е 8Ае\8е
уменьшается и величина вирг /(х, е). При этом имеет зна-
х е 8Ае\8е
чение, что траектории трансверсальны к границе Г(8е). Таким образом, функция /(х, е) непрерывна на границе Г(8е). Учитывая ее непрерывность на множествах 1Ш8Е и В\8Е, можно сделать вывод, что она непрерывна по х на множестве В.
Докажем теперь, что ограниченная на множестве В функция /(х), задаваемая сходящимся интегралом (7), непрерывна по х на множестве В. Так как функция /(х, е) непрерывна на множестве В\8Е и считается, что справедливо соотношение (9), то выполняется определение непрерывности функции /(х) в любой точке х е В\(х» = 0) (непрерывность в точке х» = 0 доказана ранее и следует из выражения (9)): для любого числа К > 0 существует такая окрестность 8 точки х, что при любом х1 е 8 /(х1) — /(х) < К. Действительно, в соответствии с (9) можно выбрать такую малую 8е — окрестность точки х» = 0, чтобы вирг /(х) < к/2. Кроме того, в силу непрерывности
х е8е
функции /(х, е) можно выбрать такую окрестность 8 точки х, чтобы /(х1, е) — /(х, е) < к/2 при любом х1 е 8. Тогда выполняется определение непрерывности функции /(х) на множестве В\(х» = 0).
Непрерывность на множестве В\8Е производных / (х, е) следует из выражения (5), так как по условию функция Г(х) непрерывна по х на множестве В\8Е. На границе Г(8е) производная / (х, е) терпит разрыв, так как / { 0 на множестве 1Ш8е.
Производная же / (х) непрерывна всюду на множестве В.
Перейдем к рассмотрению вопроса о непрерывной дифференцируемости (гладкости) по х ограниченных и непрерывных на множестве В\8е функций /(х, е) и /(х). Функция /(х, е), согласно формуле (4), является собственным интегралом, зависящим от х как от параметра. На основании теоремы о дифференцируемости такого интеграла по параметру [3, 4] функция /(х, е) является гладкой по х на множестве В \8е (т. е. ее частные производные 5//5х(. непрерывны по х; х(. — компоненты вектора х), если на множестве В \8е непрерывно дифференцируема по х скалярная функция тЕ(х), а также непрерывна по (р, х) векторная функция вгаёх|1(х(р, х))| (т. е. непрерывны по (р, х) все частные производные 5|Г( х (р, х)|/5х(, г = 1, -., и). Выполнение первого условия следует из выполнения условий теоремы о неявной функции, примененной к уже рассматривавшемуся ранее уравнению "(х, тЕ(х)) = 0. Выполнение второго условия вытекает из гладкости функции !(х) и теоремы о гладкой зависимости решения х от начальных условий х. Таким образом, построенная функция /(х, е) является гладкой по х на множестве В\8Е. Она не гладкая на границе Г(8е), ибо на множестве 1П:8Е все производные 5//5х(. { 0, а
на множестве В\ 8е функция |/(х, е)| = |(вгас!/(х, е), Г(х))| =
= |1(х)| достигает нижней грани тГ|/(х, е)| = Ш] ®(х))| = с > 0, вследствие чего на множестве В\ 8е inf|gгаd/| ф 0, а поэтому
хотя бы для одной производной 5//5х(. на множестве В\8е
теореме о дифференцируемости этого интеграла по параметру [3, 4], дающей достаточные условия, ограниченная и непрерывная на множестве В функция /(х) является гладкой по х на множестве В\(х» = 0), если: 1) непрерывны на множестве В \(х» = 0) по совокупности переменных (р, х) все частные производные 5|Г( х (р, х))|/5х(; 2) на множестве В\(х» = 0) существуют и сходятся равномерно по х все интегралы
| [5|1(х(р, х))|/5х(.]@р, г = 1, ..., и. Первое условие в силу глад-
0
кости функции !"(х) выполняется. Вопрос о том, каким условиям должна удовлетворять правая часть системы (1), чтобы выполнялось второе условие, рассматривать здесь не будем (остается открытым вопрос о гладкости в общем случае непрерывной функции /(х)). Заметим только, что в случае асимптотически устойчивых линейных систем с постоянными коэффициентами все данные выше условия выполняются, и функции /(х, е) и /(х) являются гладкими вне множеств 8е (в точке х» = 0 функция /(х) может быть негладкой). Выполнение этих условий на множестве В\(х» = 0) в линейном
случае связано с тем, что как решение х(р, х), так и линейная по х функция х (р, х)) мажорируются (покомпонентно) некоторой экспонентой е ар, а > 0, в силу чего выполняются условие (9), обеспечивающее непрерывность функции /(х) по х, и все условия, обеспечивающие ее гладкость на множестве В \(х» = 0). Именно из этого вытекает справедливость следствия, сформулированного ранее.
Необходимость условий теоремы доказана.
5. 0 НАХОЖДЕНИИ ФУНКЦИЙ 6 (х, е) и 6 (х)
Кратко рассмотрим вопрос нахождения функций /(х, е) и /(х). Пусть точка равновесия х» = 0 системы (1) исследуется на асимптотическую устойчивость. Если эта точка действительно асимптотически устойчива, хотя мы этого и не знаем, то соответствующая ей функция /(х, е), как видно из формулы (4), при заданных на /(х) условиях всегда существует; функция же /(х), как мы знаем, существует при этом не всегда. Если эти функции являются на множестве В\8е гладкими (В с #п — компакт), то они могут быть определены на множестве А\8е, где А с В — некоторая компактная окрестность точки х» = 0, с помощью уравнения
(gradV, f(x)) = —|f(x)|,
(ІО)
z О.
Согласно выражению (7) функция /(х) является несобственным интегралом, зависящим от параметра х. Согласно
являющегося линейным уравнением в частных производных относительно функции 2 Здесь в левой части стоит производная в силу системы (1) от функции 2 а в правой — функция от х, которая является производной в силу системы (1) от искомых функций /(х, е) или /(х), если исследуемая система (1) является асимптотически устойчивой. Если при любом dim5е решение 2 этого уравнения существует (оно может существовать и в случае, если точка х» = 0 не является асимптотически устойчивой; при этом 2 не будет 8е — определенно-положительна) и является 8е — определенно-положительной функцией, то оно является функцией /(х, е) или /(х), а точка х» = 0 асимптотически устойчива. Наоборот, если известно, что точка х» = 0 асимптотически устойчива, то решение 2 = /(х, е) уравнения (10) существует при лю-
бом dim8е и является 8е — определенно-положительной функцией.
При решении уравнения (10) на границе Г(8е) множества 8е должны быть заданы граничные условия: 2(х, е) = 0 или 2(х) = 0 при х е Г(8е). Сами же множества 8е должны подбираться так, чтобы траектории системы (1) были трансверсальны к границе Г(8е). В случае достаточно простых систем (1) решение уравнения (10) может быть получено аналитически, в более сложных случаях — численными методами. Приведем для иллюстрации применение описанного способа для аналитического нахождения функций /(х, е), /(х) для простого нелинейного скалярного уравнения Х = —хи, где и — любое нечетное целое положительное число. Здесь /(х) = = —хи, |/(х) = |хи|, gгаd2 = @2/@х. В соответствии с уравнением (10) функция Квне множества (8е) описывается
уравнением (@2/@х)(—Xя) = —|хи| или @2/@х = 1 при положительных значениях х, лежащих вне множества 8е, и @2/@х = —1 при отрицательных значениях х, лежащих вне множества 8е. Если ищем функцию 2(х), то граничным является условие: 2(х) = 0 при х» = 0. В итоге, интегрируя полученные выражения для @2/@х в соответствующих пределах, учитывающих граничные условия, получаем функцию 2(х) = |х|. Так как она определенно-положительна, то является функцией /(х) = |х|. Если же ищем функцию 2(х, е), зависящую от параметра е, то в качестве множеств 8е выбираем отрезки 8е = [—0,5е, +0,5е], а граничные условия имеют вид: 2(х, е) = 0 при х = —0,5е и х = 0,5е. На отрезках 8е функция 2(х, е) { 0 по определению функций 2(х, е). После интегрирования
выражений для производной @2/@х в соответствующих пределах получаем, что вне отрезков 8е функция 2(х, е) = = | х| —0,5е, так как @2/@х = 1 при х > 0,5е и @2/@х = —1 при х < —0,5е. Так как полученная функция 8е — определенно-положительна, то она является функцией /(х, е) = | х | — 0,5е.
Заметим, что вообще для любых нелинейных асимптотически устойчивых систем первого порядка X = /(х) уравнение (10) имеет вид (@//@х)/(х) = —|/(х)|, что дает (с учетом знака /(х) при х > 0 и х < 0): /(х) = |х | при любом х и /(х, е) = |х| — 0,5е при |х| > 0,5е. Функция /(х) является негладкой в точке х» = 0.
Ранее иным способом были получены функции /(р, е) = 72 (р — е) и /(р) = 72 р для асимптотически устойчивой точки равновесия системы р = —ри, (Г = 1. Этот результат может быть получен также как пример применения уравнения (10) для получения этих функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. ^—асовским 1. 1. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
2. Малкин 1. Г. Теория устойчивости движения: — М.: Наука, 1966.
3. Фохженголь^ Г.МОсновы математического анализа. Т. 2. — М.: Наука, І968.
4. [илов Г.£. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. — М.: Наука, 1972.
в Ґ095; 554-92-29 □
V МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ "КОГНИТИВНЫЙ АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ СИТУАЦИЙ"
Конференция состоится 18-20 октября 2005 г. в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (Москва, ул. Профсоюзная, 65)
Основные тематические направления конференции
• Основы и проблемы когнитивного подхода
• Когнитивные методы в управлении ситуациями
• Когнитивное моделирование развития социально-экономических ситуаций
• Рефлексивные методы и технологии в информационном управлении
• Экспертные методы получения знаний
• Информационные и когнитивные технологии в системах поддержки принятия решений
Для получения дополнительной информации обращайтесь в лабораторию когнитивного моделирования и управления развитием ситуаций к ученому секретарю Зинаиде Константиновне Авдеевой.
тел./факс (095) 334-78-00; e-mail. max@ipu.ru; http://ipu.web-soft.ru;
адрес. 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 65, Институт проблем управления РАН.
