Устойчивость цилиндрического резервуара с жидкостью, нагруженного внешним давлением Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Раздел 2. Строительство

УДК 624.953

УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА С ЖИДКОСТЬЮ, НАГРУЖЕННОГО

ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ

Чемодуров В.Т., Леоненко Ю., Попов А.Г.

1 Академия строительства и архитектуры, ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского», 295493, Республика Крым, г.

Симферополь, улица Киевская, 181, chens_mu1@mail.ru

2Академия строительства и архитектуры, ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского», 295493, Республика Крым, г. Симферополь, улица Киевская, 181, uliakuzmina1992@gmail.com

3Академия строительства и архитектуры, ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского», 295493, Республика Крым, г.

Симферополь, улица Киевская, 181, agp-51 @mail.ru

Аннотация. В статье представлены результаты работы по созданию математической модели колебаний цилиндрической оболочки с жидкостью после воздействия на нее ударной волны воздушного взрыва. Для описания поведения оболочки в зависимости от длительности внешней нагрузки применены две модели: модель касательного модуля для импульсного воздействия и упругая модель для квазистатического. С помощью этих моделей для реально существующего резервуара определены уровни максимального давления и импульса, при которых для одной из форм изгибных деформаций произойдет потеря устойчивости. Также построены критические кривые устойчивости в плоскости максимальное давление - импульс давления.

Предмет исследования: предметом исследования является устойчивость цилиндрических резервуаров с жидкостью, подвергающихся воздействию ударной волны воздушного взрыва.

Материалы и методы: оценка устойчивости оболочки топливного бака осуществляется с помощью построения критических кривых. Для этого в качестве расчетной схемы резервуара выбрана гладкая цилиндрическая оболочка, несущая идеальную несжимаемую жидкость, нагруженная внешним давлением, которое прикладывается в виде треугольного импульса. Такой подход позволяет в качестве исходных уравнений применить известные уравнения движения гладкой цилиндрической оболочки. Наличие жидкости учитывается путем введения в исходные уравнения ее присоединенной массы.

Результаты: получены математические модели для определения кривых устойчивости для гладкой цилиндрической оболочки с жидкостью, нагруженной внешним нестационарным давлением в разных областях длительности действия нагрузки. С помощью этих моделей численным интегрированием была рассчитана критическая кривая устойчивости для реально существующего резервуара для хранения жидкого топлива.

Выводы: полученные в работе аналитические решения по построению кривых устойчивости могут быть применены для регулировки параметров исследуемых сооружений с целью расширения их области устойчивости.

Ключевые слова: устойчивость цилиндрической оболочки, критические кривые устойчивости, ударная волна воздушного взрыва, импульс давления, модель касательного модуля, упругая модель.

ВВЕДЕНИЕ

Анализ аварийности при эксплуатации цилиндрических емкостей с топливом показывает, что существует вероятность появления внештатных ситуаций, которые возникают при воздействии на эти сооружения внешних импульсных нагрузок. Следствием таких нагрузок является потеря устойчивости оболочек топливных баков.

Данная работа посвящена вопросам потери устойчивости цилиндрических оболочек с жидкостью при внешнем импульсном воздействии.

АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ

Существует ряд работ, например, [1-6], в которых рассмотрены вопросы устойчивости оболочек резервуаров. Новизной данной работы является то, что устойчивость топливных хранилищ на воздействие ударной волны воздушного взрыва будет оцениваться с помощью построения критических кривых устойчивости, которые будут получены путем численного интегрирования уравнений движения гладкой цилиндрической оболочки. Кроме того, в колебательном процессе будут учтена масса

топлива путем включения в исходные уравнения присоединенных масс жидкости. Присоединенные массы возникают при движении оболочки бака, заполненного жидкостью. Они увеличивают инерционность системы, что, несомненно, нужно учитывать в расчетах.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Экспериментально установлено, что характер потери устойчивости оболочки резервуара при

воздействии на нее ударной волны воздушного взрыва зависит от величины максимального давления и длительности действия нагрузки. В зависимости от этих параметров выделяют три области воздействий (Рис. 1):

- импульсное воздействие (нагрузка малой длительности);

- квазиимпульсное воздействие (нагрузка промежуточной длительности);

- квазистатическое воздействие (длительная нагрузка).

Рис. 1. Критическая кривая потери устойчивости оболочки в плоскости максимальное давление Pm - импульс давления

J и области нагрузок разной длительности

Fig. 1. Critical curve of stability loss of the shell in the maximum pressure plane Pm - impulse of pressure J and a loading area

of different duration

В работе оценивается возможность потери устойчивости цилиндрического резервуара при импульсной и квазистатической нагрузке. Из Рис. 1 видно, что квазиимпульсный участок занимает достаточно малый диапазон, поэтому в данной работе он не рассматривался.

Для описания поведения оболочки цилиндрического резервуара при импульсном воздействии была применена модель касательного модуля, а при квазиимпульсном - упругая модель деформаций.

Расчетной схемой резервуара при воздействии на него ударной волны воздушного взрыва является гладкая цилиндрическая оболочка. Поэтому в обоих расчетных случаях можно использовать известные уравнения движения

p = a-

гладкой цилиндрической оболочки. Жидкость в баке считаем идеальной и несжимаемой.

Моделирование нагрузки.

Рассматриваемая нагрузка на цилиндрическую оболочку - ударная волна воздушного взрыва. Основными характеристиками ударной воздушной волны, представляющими нагружение объектов, являются: р тах - максимальное давление в ударной волне, У - полный импульс давления и т - время действия взрывной нагрузки. Для оценки перечисленных параметров воздушной ударной волны существуют хорошо апробированные на практике эмпирические зависимости:

m 3 m2 m + b-+ c-

R

R

2

R

3

J = 570

3 2

m

R2

(1)

= 0,0013«*

гдеда- масса взрывчатого вещества в килограммах; R - расстояние от точки взрыва до объекта в метрах; коэффициентьш=0,08, Ь=0,26, с=0,69. Результат максимального давления в МПа.

Нагружение при взрыве носит импульсный характер, поскольку период собственных колебаний конструкции ^существенно больше времени действия взрывной нагрузки.

Изменение давления в ударной волне Рво времени /зависит от расстояния до точки подрыва

взрывчатого вещества и выражается экспоненциальной зависимостью. В таком случае площадь графика под экспонентной является импульсом. Для проведения расчетов устойчивости оболочки реальную экспоненту давления правомочно заменить треугольной формой (Рис. 2):

Рис. 2. Форма прикладываемой нагрузки, где P - давление в ударной волне, Pm - максимальной давление ударной волны, t - текущее время, т - полное время действия ударной волны, J - полный импульс давления

Fig. 2. The form of applied load, where P - pressure in the shock wave, Pm - the maximum pressure, t - current time, т - total

time of action of the shock wave, J - total impulse of pressure

В случае треугольной формы прикладываемой нагрузки зависимость между полным импульсом давления и максимальным давлением представляется следующей формулой:

I =

1

-P т 2 m

(2)

Наиболее опасным аварийным состоянием для сооружений рассматриваемого типа является случай воздействия ударной волны воздушного взрыва. Это воздействие является очень кратковременным по длительности, но со значительным пиком максимального давления. Поэтому основной расчетный случай описывается моделью касательного модуля.

Модель касательного модуля.

Экспериментально установлено, что при импульсном нагружении длина оболочки несущественно влияет на потерю устойчивости. Следовательно, в модели касательного модуля достаточно рассмотреть потерю устойчивости кольца без учета влияния жидкости.

Воспользуемся уравнением движения кольца, приведенным в [6]. При этом для удобства вычисления будем производить в безразмерной виде:

w +

д w

i h2 Et

12R2E дв4

Л д2

- + —

12R2 E E

д w а / \ а + — (1 + w) = p--

(

дв

E

E

я2 Л д w

u +---

н дв2

(3)

где w = ы/К , w = и Я - безразмерные перемещения;

' н н/

и(в, /) - радиальное перемещение оболочки (положительное при движении внутрь); и (6, /) - отклонение начальной формы оболочки от цилиндрической;

н

6 - угловая координата; Я- радиус оболочки; И- толщина оболочки;

Е- модуль упругости материала, из которого изготовлена оболочка; Е^ - касательный модуль упругости материала за пределом упругих деформаций; а - окружное мембранное напряжение; р = (я/ ЕИ )р' (6, /) - безразмерное давление. Безразмерное время определяется:

t = t

2

h

н

+

где р - плотность материала, из которого изготовлена оболочка;

Зададим форму динамического и начального прогибов, а также внешнее давление следующими зависимостями:

w (в)= I8 со$,(пв)

п = 1

ГО

w(6>, I) = w ()+ I w ()соз(п$)

п = 0

От

р(в, I) = р и)+ I р и)со$,(пв)

0п п = 0

где 8 - начальные отклонения оболочки от правильной геометрической формы; н

Обозначив к 7 (12 R2) = а , подставив ряды (4) в уравнение (3) получаем систему уравнений:

(4)

wn + (п2 - ^^2 Е1/Е - а!е\п = Рп + а/Е (п2 -18

wo +а/Е = Р0

(5)

(6)

Безразмерные перемещения w0 совпадают с кольцевой деформацией, поэтому их значения малы по сравнению с единицей, и в уравнении (6) ими можно пренебречь.

В начальный момент времени оболочка находится в покое, поэтому начальные условия принимаются нулевыми.

При достаточно больших деформациях коэффициент в выражении (5) при wn становится отрицательным. Следовательно, решение теряет

колебательный вид и имеет характер гиперболической функции. Поэтому появляется экспоненциальное возрастание решения, что можно считать указанием на возможность существования остаточных изгибных деформаций, т.е. на возможность потери устойчивости. Поэтому условие устойчивости определяется

положительным значением коэффициента перед прогибом шп в выражении (5), т.е.:

а п ' Е{/Е -а/Е > 0

(7)

Для определения значения касательного модуля Е1 используются данные диаграмм «напряжение -деформации». Отношение а / Е{ за пределами текучести линейно зависит от деформации. Поэтому в расчетах можно использовать выражения:

а \епри е<ет Е (е-£т )+^шПРие>е„

где е - текущая деформация;

ет =ат / Е - деформация начала текучести;

ат - предел текучести материала оболочки.

В этом случае выражения для касательного модуля имеет вид:

(8)

Е1 =

|Е при w0 < ет

7/\к-ет )+ет ]при W0 >8т

где к -/апугла наклона касательной к диаграмме «напряжение-деформация».

(9)

Изменить параметры ударной волны (сделать ее более «мягкой») возможно технологически, если покрыть оболочку легко обжимаемым материалом, например, резиной. Проходя через это покрытие

ударная волна трансформируется: снижается пик максимального давления, но время его действия увеличивается, сохраняя исходный импульс ударной волны.

В этом случае колебательный процесс цилиндрической оболочки становится более медленным. Это объясняет необходимость перехода к модели потери устойчивости на упругой стадии деформаций.

Упругая модель.

Будем считать, что оболочка имеет начальные неровности поверхности, совпадающие по форме с прогибами при потере устойчивости. Без этого

предположения процесс потери устойчивости при равномерной нагрузке не возникает. Сделанное допущение не меняет основных закономерностей исследуемого процесса, но существенно упрощает его теоретический анализ. Это позволяет воспользоваться уравнением движения гладкой цилиндрической оболочки с жидкостью в рамках линейной подстановки [7]:

D 8 E д u R 4

-V 8u +—2--— + p'- V 4

h R2 дх4 h

1 д 2 (u + u н )

R2 дв2

тп | д 4 + 1 р + — V 4u = 0

1 h I дл,2

[12(1 V)]

- цилиндрическая жесткость;

(10)

где О = Ек ц - коэффициент Пуассона; х - линейная координата;

тп - присоединенная масса жидкости при движении оболочки по формам потери устойчивости.

Согласно теории длинных волн:

тп =(Rln)pm

где рт - плотность жидкого наполнителя.

Формы динамического и начального прогибов зададим следующими зависимостями:

u(x,e, t') = u0 (t')+ £ un (t ')sin(kx)cos(ne)

n

ст

uff (х,в)= "£8н sin(kx)cos(ne)

(11)

где к = п / Ь, Ь - длина оболочки.

Внешнее давление р(/) в уравнении (10) выразим через радиальное обжатие оболочки (без учета осевых сил):

p (t ') = Ehu0j R2

Подставив ряды (11) в уравнение (9) и приравняв нулю коэффициенты в каждом члене, получаем:

anu n +(cn -bnu0 К = bnU0Sн

a0u0 + c0u0 = P'(t')

где коэффициенты при переменных прогибах оболочки имеют вид:

an = Р +

RPт nh

(

1 2 n k +--

R

22

b E 2

bn = R3 n

7 2 ^ n k +—

R

v /

22

Eh 2 12(1 )

í

1 2 ^ n

k +~7 R2

2 V

(12) (13)

+ E , 4 R2

n

ст

2

cn =

а0 = рИ + тп ЕИ

с0 =-

Я1

(15)

Коэффициент а0 в выражении (15) показан для

заполненного топливом бака с учетом

*

присоединенной массы жидкого наполнителя тт. Подробно влияние присоединенных масс жидкого наполнителя на колебания цилиндрической оболочки под действием динамической нагрузки изучены авторами в предыдущих исследованиях.

Согласно им:

т*т =(8/з)Рт (Ь 2 Я )2

Также как и в модели касательного модуля, условие устойчивости определяется

положительным значением коэффициента при wn в выражении (12), т.е.:

Сп - bnw0 > 0

(16)

В безразмерном виде, приняв за основные величины Е, р, Я упругая модель записывается следующим образом:

апЩп + (сп - ЬпЩ Vп = Ьп™0^-

Я

а0 Щ + с0 wo = Р()

где коэффициенты:

а„ = I 1 +

(1 + ЯР }2 Я2 + п2 >

Ьп = п2 (к2 Я2 + п2 )2

п Я 21211 -

к2 Я2 + п2 I + к 4 Я

4

' 4 г>4

Для использования упругой модели необходимо убедиться, что максимальные кольцевые напряжения не превышают предела текучести материала оболочки. Если такое условие не выполняется, то можно воспользоваться моделью касательного модуля.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИЗ АНАЛИЗ

Общая задача оценки устойчивости оболочки как для импульсной, так и для квазистатической нагрузки состоит в определении уровней максимального давления Рт и импульса J, при которых для какой-либо одной формы изгибных деформаций появится такой рост перемещений, что характерное условие устойчивости(7) оказывается нарушенным.

Исследование устойчивости оболочки проведено на примере вертикального стального цилиндрического резервуара со стационарной крышей для хранения дизельного топлива

емкостью

1000 м

И + тт

Я Р

И

К

Севастополе Республики Крым. Этот объект имеет следующие характеристики: Е = 2,1 • 105 МПа,

И = 0,006 м, /И = 0,3 , Я = 5,2 м, Р = 7800 кг / м3 ,

рт = 820 кг / м3, Ь = 12 м.

Оболочка этого резервуара подвергается действию ударной волны воздушного взрыва. Эта нагрузка прикладывается в виде треугольного импульса (раздел «Моделирование нагрузки» данной работы).

В результате численного интегрирования уравнений движения оболочки (5,6,12,13) находилась такая пара максимального давления Рт и импульса J (точки на Рис. 3), при которой коэффициенты при перемещениях в выражениях (5, 12) оказывались отрицательными для целого ряда значений форм изгибных движений п (т.е. условия устойчивости (7, 16) получались нарушенными). В результате, соединив полученные точки на графике, получили критическую кривую устойчивости для

расположенного в г.

2

0

0

исследуемого резервуара, которая показана на Рис. 3:

Рис. 3. Критические кривые потери устойчивости Fig. 3. Critical curves of stability loss

ВЫВОДЫ

В работе предложены математические модели для определения критических кривых потери устойчивости гладкой оболочки в плоскости максимальное давление - импульс в разных областях длительности действия нагрузки.

Численным интегрированием был рассчитан пример критической кривой для реально существующего вертикального стального цилиндрического резервуара для импульсной и квазистатической областей нагрузок.

Критическая кривая потери устойчивости в импульсной области нагрузок была рассчитана с использованием модели касательного модуля (верхняя часть кривой на Рис. 3).

Критическая кривая потери устойчивости для квазистатических нагрузок была рассчитана по упругой модели (нижняя кривая на Рис. 3).

Представленные в статье уравнения (5,6,12,13) для расчета и построения кривых устойчивости не поддаются аналитическому решению, однако их численное интегрирование дает достаточно точные решения, которые хорошо согласуются с результатами опытов, описанных во многих источниках, например, в [6].

Эти методики могут быть применены для любых сооружений, расчетную схему которых можно представить в виде гладкой цилиндрической оболочки. Из приведенных в расчетах формул видно, что эти кривые зависят от многих геометрических параметров рассматриваемого сооружения (толщина, диаметр, длина оболочки). Регулируя эти параметры (например, отношение радиуса к толщине или отношение длины к диаметру) можно добиться расширения области устойчивости рассматриваемых оболочек.

Также из описанного в работе следует, что снизить максимального давления в ударной волне возможно при использовании легко обжимаемого

покрытия, например, резины. Этот факт очень важен, так как цилиндрическая оболочка наиболее устойчива к внешнему давлению в области упругих деформаций.

Такие исследования помогут сделать проектирование сооружений рассматриваемого типа более надежным и эффективным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дидок Н.К., Кононов Ю.Н. Динамика и устойчивость колебаний цилиндрического резервуара с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2013 № 5 (177). С. 30 - 34.

2. Абросимов Н.А., Елесин А.В. Численный анализ динамического деформирования и потери устойчивости предварительно напряженных композитных цилиндрических оболочек // Проблемы прочности и пластичности. 2017 № 4 (79). С. 450-461.

3. Охлопков Н.Л., Соколов С.А. Бифуркация цилиндрической оболочки при сложном нагружении в момент потери устойчивости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010 № 1. С. 100-107.

4. Егоров Е.А., Федоряка Ю.В. Исследование вопросов устойчивости стальных вертикальных цилиндрических резервуаров // Металлические конструкции. 2006 № 1. С. 89-97.

5. Дубровин В.М., Бутина Т.А. Моделирование динамической устойчивости цилиндрической оболочки при циклическом осевом воздействии //Математическое моделирование и численные методы. 2016 № 3 (11). С. 24 - 32.

6. Anderson D.L, Lindberg H.E.Dynamic pulse buckling of cylindrical shells under transient lateral pressures //AIAA Journal. 1968 № 4 (6). pp. 589-598.

7. Перцев А.К., Платонов Е.Г. Динамика оболочек и пластин: нестационарные задачи. Л.: Судостроение. 1987. 316 с.

1. Didok N.K., Kononov Yu.N.Dynamic and stability of oscillations of cylindrical tank with ideal fuid and elastic bases //Izvestiya vysshix uchebnyx zavedenij. Severo-Kavkazskij region. Estestvennye nauki. 2013 № 5.pp. 30-34.(In Russian)

2. Abrosimov N.A, Yelesin A.V. Numerically analyzing dynamic deformation and loss of stability of prestressed composite cylindrical shells // Problemy prochnosti I plastichnosti. 2017 № 4 (79). pp. 450-461.(In Russian)

3. Okhlopkov N.L., Sokolov S.A.Bifurcation of the cylindrical shell under complicated loading in the moment of loss of stability // Izvestiya Tulskogo

gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. 2010 № 1. pp. 100-107. (In Russian)

4. Yegorov Ye.A,Fedoryaka Yu.V.Investigation of stability questions of steel vertical cylindrical tanks // Metallicheskie konstrukcii. 2006 № 1. pp. 8997. (In Russian)

5. Dubrovin V.M., Butina T.A. Simulation of dynamic stability of a cylindrical shell under cyclic axial impact // Matamaticheskoe modelirovanie i chislennye metody. 2016 № 3 (11). C. 24 - 32.

6. Anderson D.L, Lindberg H.E. Dynamic pulse buckling of cylindrical shells under transient lateral pressures //AIAA Journal. 1968 № 4 (6). pp. 589-598.

7. Pertsev A.K.,Platonov E.G.Dinamika obolochek i plastin: nesstaczionarnye zadachi [Dynamics of shells and plates: non-stationary ta

STABILITY IF CYLINDRICAL TANK WITH LIQUID LOADED BY EXTERNAL

PRESSURE

Chemodurov V.T. Leonenko Yuliya , Popov A.G.

ACAVernadskyCFU, 295493, Republic of Crimea, Simferopol, Kievskaya Street, 181, chens_mu1@mail.ru

2ACAVernadskyCFU, 295493, Republic of Crimea, Simferopol, Kievskaya Street, 181,

uliakuzmina1992@gmail.com

ACAVernadskyCFU, 295493, Republic of Crimea, Simferopol, Kievskaya Street, 181, agp-51@mail.ru

Summary. Working results on the creation of a mathematical model of cylindrical shell fluctuations with fluid after impacting on it by a shock wave of air explosion are presented in the article. Two models are applied to the description of behavior of a shell depending on duration of external loading: model of the tangent modulus for pulse influence and an elastic modulus for quasi-static. Levels of the maximum pressure and impulse at which for one of the forms of flexural deformations there will be loss of stability are determined by these models for a real-life tank. Critical curves of stability in the «maximum pressure-impulse of pressure» plane are also developed.

Subject: the subject of the study is the stability of cylindrical tanks with liquid exposed by the shock wave of air explosion.

Materials and methods: assessment of the stability of the fuel tank shell is calculated by construction critical curves. For this purpose, a smooth cylindrical shell, carrying an ideal incompressible fluid loaded with external pressure, which is applied in the form of a triangular impulse, was chosen as the settlement scheme of the reservoir. Such an approach allows applying the known equations of the movement of smooth cylindrical shell as the initial equations. The presence of a fluid is taken into account by introducing its attached mass into the initial equations.

Results: mathematical models for determining the stability curves for a smooth cylindrical shell with a liquid loaded with external unsteady pressure for loading areas of different duration are obtained. With the help of these models, a critical stability curve for a real-life liquid fuel storage tank was calculated by numerical integration.

Conclusions: the analytical solutions obtained in the work on the construction of stability curves can be applied to adjust the parameters of the structures under study in order to expand their stability area.

Key words: the stability of cylindrical shell, critical curves of stability, air explosion shock wave, impulse of pressure, the tangent modulus model, elastic modulus.