Устойчивость широтно-импульсного стабилизатора в режиме прерывистых токов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5(075.8)

А. Н. Ловчиков

УСТОЙЧИВОСТЬ широтно-импульсного стабилизатора

В РЕЖИМЕ ПРЕРЫВИСТЫХ ТОКОВ*

На основе предложенного автором нового подхода к анализу и синтезу широтно-импульсных систем исследуется динамика широтно-импульсного стабилизатора напряжения в наиболее сложном режиме прерывистых токов.

Ключевые слова: широтно-импульсный стабилизатор, режим прерывистых токов.

В работе [1] предложен метод исследования, позволяющий успешно решать задачи анализа устойчивости и синтеза систем с широтно-импульсной модуляцией. Предложенная методика может быть распространена на случай, когда в широтно-импульсной системе имеется дополнительная существенная нелинейность.

Импульсный стабилизатор напряжения (ИСН) состоит из транзисторного ключа, управляемого широтно-импульсным модулятором (ШИМ), первичного источника напряжения Е и источника опорного напряжения иоп, ЬС-фильтра (г - активное сопротивление дросселя), сопротивления нагрузки Я и диода, включающегося в работу при закрытии транзисторного ключа (рис. 1). В процессе работы сопротивление нагрузки и напряжение источника изменяются. Система в этом случае может работать в двух режимах: при непрерывном и прерывистом изменении тока дросселя фильтра /2. Анализу устойчивости системы в первом случае посвящено достаточно большое количество работ, в частности [1], и методика решения этой задачи известна. Второй, более сложный случай, в литературе рассмотрен только с энергетических позиций. Динамические характеристики этого режима практически не исследованы.

и1 ь

питания. ШИП генерирует ЭДС ЕШИП, равную Е при открытом ключе и нулю при закрытом.

и

ь

и 2

—>

\ І2

Е |и оп =с Г

ш"" сі ^)<-шип <-05—

Я

с Я

Рис. 1

В данной статье на основе предложенного в [1] подхода к анализу устойчивости систем с широтноимпульсной модуляцией рассматривается устойчивость ИСН в режиме прерывистых токов дросселя /2.

Постановка задачи. Схему, изображенную на рис. 1, можно представить в виде гипотетической схемы (рис. 2), в которой широтно-импульсный преобразователь (ШИП) совмещает в себе действия ШИМ, транзисторного ключа и первичного источника

Рис. 2

В этой схеме (см. рис. 2) так же, как и в исходной, напряжение на входе фильтра при условии идеальности характеристик диода в режиме прерывистых токов дросселя и = Е, когда транзисторный ключ открыт; и = 0 при закрытом ключе и 12 ф 0; и = и2 при 12 = 0.

Используем далее схему рис. 2. Разложим напряжение ЕШИП в ряд Фурье, ограничившись членами ряда, определяющими постоянную составляющую и первую гармонику. При этом для упрощения выражений без потери достоверности получаемых результатов считаем, что ось ординат проходит посередине импульса. Тогда функция, характеризующая заданную последовательность импульсов, является четной и при разложении в ряд Фурье Ьк = 0 [2]. Следовательно, в нашем случае надо найти коэффициенты а0 и а\.

1 пТ -т/ 2

а0 = Т I ЕЛ = Е^

-т/ 2

пТ -т/ 2

2 Г ^ 2л , 2Е .

1 =— I Е сое—ґаґ =— єіп лу

Т Т тт

Т

-Т 2

Т

2Е •

п

где т - время открытого состояния ключа на периоде следования импульсов; Т - период следования импульсов; у = т/Т - относительная длительность импульса. Поскольку т в процессе работы стабилизатора изменяется во времени, то можно принять, что т(0 и у(0 являются функцией времени.

г

*Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках государственного задания (проект 7.55.16.2011).

ШИП

FM

Е„

Е

И

7p COSTObÍ

Wm(p)

Wi(p)

I2

/ ч

F[I2] F

/1 I2

W2(p)

U2

■Uc

Рис. 3

С учетом вышеизложенного система дифференциальных уравнений, описывающая процессы в стабилизаторе, примет вид

Д>(0 = Ey (0 + 2E sin(ny (O)cos {T t j -

- U2(t)-rh(t)-F[I2(f)], (1)

CU2 (t) = 12 (t) - YU2 (t),

y(t) = *(Úоп - Ú2 (t)),

где 7 = 1/R; k - коэффициент передачи модулятора, который в данном случае принят астатическим. На основании (1) строим структурную схему (рис. 3), где передаточные функции W1(p) = 1/(Lp + r),

W2(p) = 1/(Cp + 7), Wm(p) = k/p, нелинейная функция F[I2(t)] определяет нелинейность диодного типа с коэффициентами k1 в открытом состоянии диода, когда

2E

I2 > 0, и k2 - в закрытом, F[y] = — sin (ny(t)).

п

Задача исследования устойчивости системы заключается в определении условий возникновения автоколебаний при наличии постоянной составляющей и вынужденных колебаний ©в. Вынужденные высокочастотные колебания не оказывают воздействия на переменную у, так как значительно ослабляются фильтром и самим модулятором. Решение ищем в виде

I2 = I1 +121 +12*,

U 2 = U 20 + U 2! + U 2,,

Y = Y 0 +Y^

где 10,U°,у0 - постоянные составляющие; I21,U21,

y1 - переменные составляющие, характеризующие

автоколебательный режим; 12, ,U2, - переменные,

характеризующие вынужденные колебания в системе.

Метод решения. Так как частота автоколебаний много меньше частоты вынужденных колебаний, уравнение для определения вынужденных колебаний в системе принимает вид

Q (p )I2* + R (p )F [ I2 ] = R (p )f [y] c0s Юв? , (2)

где Q(p)= LCp1 +(LY + Cr) p +1 + rY, R (p) = Cp + 7 .

Решение (2) ищем в виде

/2„ = 4, sin (ov + ф),

где юв = 2л/Г; 4в - амплитуда вынужденных колебаний. Изобразим нелинейность F[/2] (рис. 4).

Нелинейность Е[/2] после гармонической линеаризации определится равенством

Е [/2 ] = Е0 [4 , /° +12! ] + д (, /2° + /2! ) /2.. (3)

Коэффициент д(Ав, /2° + /21) = 0, так как нелинейность Е[/2] однозначна. Обозначим /0 + /21 = /20. Выражения для Е0 и д имеют вид, представленный на рис. 4 [3].

г

120 arcsin j 1 - Al

Л

(4)

к, + к2 к, - к2

g = —1------------- +—---------------2

arcsin— + — J1 -:

20

Ав АЧ а2

В уравнение (2) подставляем второе слагаемое из (3), где д определяется из второго уравнения (4). Параметры Ав и ф вынужденного автоколебательного режима определяются из равенств

У

__________lR (>в )|2________

\Q (®в )+ q (20>4 )R АИв )2

(5)

Ф = - - arg [Q (jrnB) + R (jrnB) q (4,, AB ) +

+ arg [R ('Ив ) •

Выражения (5) определены с учетом

F [y]cos Ив t = F [у] sin (^>в t + nj =

= F [y]

AB

n

Sin I Ф------

П 1 ( 2y

cosФ| Ф— I-------------------------1

2) raB

12*.

нии; =

5Fj0

di

20

3F0 H-2 = —

■0 ,0 [y] dF[y]

I§0,F0[y]

/200, Р0[У]

Нелинейность Б^] можно представить через коэффициенты гармонической линеаризации относительно автоколебаний в системе.

Тогда

у = у0 +yj = у0 + Ay sin rat •

F0 [y] = Ф? (А,у0), Aj = qy(A,y0),

где параметры автоколебательного режима определяются формулами

2п

Ф10 (4 ’ Y0 ) = í V sin (4У0 + 4 sin ^))dV ,

1 2n 2f / \

qY (4, Y0) = П4“ í — sin (4 У0 + 4 sin v)) sin )d y

Проведя интегрирование в (8), получим

Ф

2E sin пу

J0 (А)

4E sin пу

пАу

■Jj (4)

где J0 (пАу), J1 (пАу) - функции Бесселя первого

рода соответственно нулевого и первого порядка.

С учетом (6) и (7) уравнение для определения параметров автоколебательного режима примет вид

N (p)+Ц2 qy (4 >y 0 ) = 0

(9)

где

В результате решения (5) можно определить зависимость Р°(/20, Ав) от Б[у], т. е. Р10 (20,Р[Y]), которая

в дальнейшем используется для определения автоколебательного режима и решения уравнения для постоянных составляющих. Для этого Р10 (20, Р [Y]) представим в виде

Р0 (/20, Р [Y]) = Ф0 (/200, Р0 [ Y]) + ) /21 + Ц2 А1, (6)

где /20, Р0 ^] - постоянные составляющие; А1 - амплитуда первой гармоники вынужденных автоколеба-

N (р) = Е + кр [1 + У ( + г ) +

+ к [ ЬУ + С ( + г )] р2 + кЬСр3.

Уравнение для постоянных составляющих.

EY0 - и0п (1 + гУ) - Ф0 [/20, Ф0 (А, Y0 )] = 0 . (10)

Из (9) определяются параметры автоколебательного режима.

LC

-E • к [ LY + C ( + г )]( ^2

(11)

Следует отметить, что вместо Р^ (/20, Р [Y]), решая (5) и (10) совместно, можно определить нелинейную зависимость Р20 (/20, Y). Тогда, применив к ней разложение в ряд Тейлора и ограничившись первыми

членами, можно наити

F20 (120, у) = Ф0 (10, у0 ) + П121 + П2Yi , (12)

f[у]=ф0(а,y0)+qy(4,у0)• (7) где п =

dF0

й/„

dF0

П2 =-

г0 у0 *2> у

10 у0

12 , у

В (7) предполагается, что решение задачи определения автоколебательного режима в системе ищется в виде

В этом случае уравнения, аналогичные (10) и (11) примут вид

Eу0 - Uоп (1 + rY)- Ф2 (/j, у0 ) = 0,

1 + Y (п + г)

= ■

LC

(13)

(14)

П2 = Е-к[ь7 + с( + г)]®К .

Преобразованием (12) проведена обычая линеаризация нелинейности Ру]. Это можно делать только при значении Y, близком к нулю или единице. Провести же аналитически гармоническую линеаризацию

^1° (120, Y) затруднительно. Кроме того, как показывают исследования, характеристика р8)( 120, Р [Y])

в широком диапазоне изменения 120 и Р [Y] близка

к линейной. Так что погрешность от преобразования (6) гораздо меньше, чем (12). Но при малых и больших значениях Y можно пользоваться уравнениями (12)—(14).

q

Нахождение граничных значений параметров фильтра, определяющих области устойчивости, производилось по уравнениям (11). Зависимости относительного значения постоянной времени выходного фильтра 4ЬС / Т приведены на рис. 5 и 6, где Т -период частоты преобразования, от относительного изменения напряжения на источнике иг/и1ном, где

и1ном = 1,5 -и1опт. Линии 1, отражающие границы устойчивости для режима непрерывных токов дросселя, определялись по линеаризованной системе уравнений (1), линии 2 по (11). Линии 3 отражают значения относительной постоянной времени фильтра, обеспечивающего заданный коэффициент пульсации.

Т Ф/т

\э

/ \ ■

1 2 у

4 1

С = 10-2Ф

С = 10-2Ф

E н

1,25

1,5

Рис. 5

1,75

Таким образом, графики показывают, что режим прерывистых токов дросселя фильтра расширяет область устойчивости. С возрастанием емкости выходного конденсатора и уменьшением сопротивления нагрузки увеличивается граничное значение постоянной времени фильтра. Однако даже при достаточно

большом значении С и номинальной нагрузке затруднительно обеспечить низкий уровень пульсации выходного напряжения и одновременно добиться устойчивости стабилизатора при астатическом управлении.

Тф/Т

Рис. 6

Библиографические ссылки

1. Ловчиков А. Н. Анализ и синтез широтноимпульсных систем // Информатика и системы управления : межвуз. сб. науч. тр. / отв. ред. А. Н. Ловчиков, Б. П. Соустин / Краснояр. гос. техн ун-т. Красноярск, 1997. С. 140—147.

2. Математические основы теории автоматического регулирования : в 2 т. Т. 2. / под. ред. Б. К. Чемоданова. М. : Высш. шк., 1977.

3. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М. : Наука,1988.

4

A. N. Lovchikov

STABILITY OF PULSE-WIDTH MODULATION STABILIZER IN MODE OF INTERMITTENT CURRENTS

In its article, on the basis of the offered by the author new approach to analysis and synthesis of pulse-duration systems, the dynamics of pulse-width modulation stabilizer of tension in the most complex run of pulsating currents is investigated.

Keywords: pulse-width modulation stabilizer, condition of intermittent currents.

© .Hobhhkob A. H., 2012