Устойчивость простейшей математической модели иммунологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 519.6

И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОСТЕЙШЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИММУНОЛОГИИ

Исследована устойчивость математической модели иммунологии, предложенной Г. И. Марчуком и описывающей реакцию организма на внешнее воздействие. Дано обобщение простейшей модели иммунологии, заключающееся в том, что ее параметры зависят от времени. Получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости модели.

Введение

В монографии Г. И. Марчука [1] предложен и исследован ряд моделей поведения иммунной системы при различных внешних воздействиях.

Базовая (или так называется простейшая) модель описывается системой дифференциальных уравнений

ёУ (Г)

&

ёС (I)

&

(Г)

= £(т)аУ(г-т)^(г-т)-цс(С(г)-С ), рС (Г) - (Ц у +цуУ (Г)) ^ (Г),

= о У (*) -Цтт(?), (1)

&

ёт &

где У(¿) - концентрация патогенных размножающихся антигенов; ^(^) - кон*

центрация антител; С(^) - концентрация плазматических клеток; С - постоянный уровень плазмаклеток в здоровом организме; т(^) - относительная характеристика пораженного органа; в - коэффициент размножения антигенов; у - коэффициент нейтрализации антигена антителом при их встрече; ^(т) - коэффициент восстановления деятельности организма; Цс - коэффициент, определяющий уменьшение числа плазматических клеток за счет старения; Цт - коэффициент пропорциональности, характеризующий обратную величину восстановления органа в е раз; Цу - коэффициент, обратно пропорциональный времени распада антител; т - время, в течение которого осуществляется формирование каскада плазматических клеток; а - коэффициент, учитывающий вероятность встреч антител с антигенами и определяющий скорость образования новых клеток; о - некоторая константа, своя для каждого заболевания; р - скорость производства антител одной плазматической клеткой; п - коэффициент, определяющий уменьшение числа антител за счет их реакции с антигенами.

Начальные значения в модели (1) определяются начальными условиями в момент времени ¿о. Предположим, что здоровый организм инфицирован в момент времени ¿о. Тогда, исходя из биологической постановки задачи, можно считать, что при ^ < ¿о вирусов в организме не было: У(^) = 0 при ^ < ¿о. Из вто-

рого из уравнений системы (1) следует, что концентрация антител при ^ < ¿о не влияет на решение системы (1) и оно зависит только от значения У (¿о).

Следовательно, систему (1) нужно исследовать при начальных значениях У(¿о) = Уо, Р(Ч)) = Ро, С(¿о) = Со, т(^) = то. (2)

Система (1) в зависимости от начальных условий имеет различные стационарные решения. Одним из них является стационарное решение, описывающее состояние здорового организма:

У (¿о) = о, С (о) = С*,Р (¿о) = Р * = рС */ц у ,т(о) = о. (3)

Другие стационарные решения зависят от начальных условий.

Устойчивость стационарного решения (3) методом линеаризации была исследована в [1]. Было показано [1, с. 68], что все малые возмущения ста*

ционарного решения (3) при выполнении условия р < уР с течением времени стремятся к нулю, т.е. стационарное решение асимптотически устойчиво.

Метод линеаризации обладает рядом существенных недостатков, подробно обсуждаемых в [2, с. 8о ]. Поэтому представляет значительный интерес исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений иммунологии более общими методами.

Ниже в качестве такого используется метод, основанный на исследовании логарифмических норм семейства специальным образом построенных линейных операторов [3]. На основе этого метода были предложены критерии устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [3], систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [4], двусторонние оценки решений систем нелинейных дифференциальных уравнений [5].

Исследование устойчивости будем проводить в пространстве Яп . Ниже используются обозначения Я (а, г ) = {2 е Яп :|2 - а|| < г}, £ (а, г) = {2 е Яп :|2 - а|| = г},

Яе К = КЯ = (К + К *)/2

Л( К) = Нш(|| I + НК\ - 1)И-1 .

к1о

Здесь Л(К) - логарифмическая норма оператора К; через I обозначен тождественный оператор.

Статья построена следующим образом. Во втором разделе исследуется устойчивость решений систем линейных дифференциальных уравнений при постоянных возмущениях. В третьем разделе исследуется устойчивость решения системы уравнений (1) при начальных условиях (3). В четвертом разделе исследуется устойчивость простейшей модели в предположении, что параметры системы зависят от времени.

1 Устойчивость решений дифференциальных уравнений при постоянных возмущениях

Рассмотрим систему линейных уравнений

&&Р- = Л(0, (4)

где А = (агу}, /,у = 1,2,..., п - постоянная матрица.

Пусть x — тривиальное решение системы уравнений (4). Исследуем его устойчивость.

Пусть система (4) испытывает постоянное возмущение Uq (t) с нормой,

не превышающей 5q : sup ||uq (t)|| < 5q .

te[0,~)

При этих возмущениях система уравнений (4) принимает вид

dX^-) = Ax(t) + Uq (t). (5)

dt

Исследуем устойчивость тривиального решения x(t) = 0 уравнения (4). Дадим начальному приближению возмущение x(0) Ф 0.

Решение уравнения (5) представимо в виде

t

x(t) = eAtx(0) + J eA(t—t)Uq (x)d т. (6)

0

Переходя в (6) к нормам, получаем

||x(t )|| < еЛ( A)t ||x(0)|| + J еЛ( A)(t—T) | Uq (t)|| d т. (7)

0

где Л(A) - логарифмическая норма матрицы A.

Пусть е(е > 0) - произвольное как угодно малое вещественное число. Усилим неравенство (7):

||x(t)|| < eA(A)t||x(0)|| + jeA(A)(t—т) (|„о(т)| + e||x(t)||)dT. (8)

0

Нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 1.1 [7]. Пусть и(t) - непрерывная функция, удовлетворяющая

t

при t > tQ неравенству 0< и (t)< 5+ J (n + Lu(t))dt, где 5, n, L - постоянные,

г0

5>0, n>0, L >0. Тогда имеет место неравенство

и(t) < L(eL(t—tQ) — l) + deL(t—tQ).

Умножим обе части неравенства (8) на e Л(A)t и введем вспомогательную функцию 9(t) = e—A(A)t ||x(t)||.

Тогда неравенство (8) можно представить в виде

t

9(t) < | |x(0)| + J (e—Л( A)T | |uq (t )|| + e9(x))d т. (9)

Здесь нужно рассматривать в отдельности два случая: 1) Л(А) < о;

2) Л(А) > о.

Рассмотрение начнем с первого случая, представляющего наибольший интерес:

г

ф(^) < | |х(о)|| +1 ( е-Л( А); 5о + еф(т)) ) т. (1о)

о

Применяя к (1о) лемму 1.1, имеем

е-Л( А^ 5,

ф(ґ )<■

0(егґ -1) + 1 |х(0)|| е

гґ

и, следовательно,

||х(ґ)||< ^Це* -1) + е(Л(А)+£)г||х(0)||:

(

= 50. г

гґ (гґ)2 (гґ)п

— + ^— + — + -1! 2!

= 5°

п!

„п-Ь п \

+ е

.(Л( Л)+г)|

ґ гґ г ґ

—і--------------1— • +--------------+ •

1! 2! п!

V

+ е

(Л( А)+г)ґ і

х(0)|| =

с(°)|.

Так как е - произвольное, как угодно малое число, то, переходя в предыдущем неравенстве к пределу при е^ о, имеем

||х(( )|| <5о? + еЛ( А)'||х(о)||.

Перейдем к рассмотрению второго случая, когда Л(А) > о:

(11)

ф(ґ) < | |х(0)|| +1 (5° + гф(т)) ) т.

(12)

Применяя к (12) лемму 1.1, имеем

50 / „гґ

ф(ґ)< -^(егґ -1) + ||х(0)||е

гґ

и, следовательно,

Я Л(А)ґ

||х(ґ)|| < 50е-( -1) + ||х(0)||е(Л(А)+г)ґ =

= еЛ( А)ґ 50

(ґ гґ2 гп-1ґп ^

----1--------+ • +--------------+ • •

1! 2! п!

V

+

+| х(0)|| е( Л( А)+г)ґ.

(13)

Переходя в неравенстве (13) к пределу при о, имеем

||х(г)|| < 5огеЛ(А)г + еЛ(А)г ||х(о)||. (14)

Из проведенного анализа следует, что решение системы уравнений (5) при г > о удовлетворяет неравенствам:

||х(Г)|| <5ог + еЛ(А)г ||х(о)| при Л(А) < о; (15)

||х(Г )|| < 5огеЛ( А) + еЛ( А)г ||х(о)|| при Л (А) > о. (16)

Пусть Л(А)<о. Исследуем функцию у(г) = 5оt + еЛ(А)/ ||х(о)|| при

г > о. Очевидно, у'(г) = 5о +Л(А)еЛ(А)г ||х(о)|, и, следовательно, функция у(г) при

5о + Л(А)|| х(о)|| < о (17)

убывает в интервале [о, 71), где 71 - корень уравнения

5о +Л(А)еЛ(А)г ||х(о)| = о.

Таким образом, при выполнении условия (17) траектория решения системы уравнений (5) не выходит из шара Я (,||х(о)||) в промежутке времени

[о,71].

Следовательно, при г = 71 получаем, что || х(71) ||<|| х(о) ||. Отсюда вытекают две возможности. Во-первых, при всех значениях г е [71, ^)

|| х(г) ||<|| х(о) || . Из этого неравенства следует устойчивость тривиального решения системы уравнений (4). Во-вторых, предположим, что существует мо-

1 1 мент времени 7 такой, что при г > 7 траектория решения системы уравнений (5) покидает шар Я(о,|| хо ||) . Покажем, что это невозможно. Действи-1

тельно, при г = 7 траектория решения системы уравнений (5) находится на

сфере ^(о,|| хо ||). Тогда, повторяя предыдущие рассуждения, убеждаемся,

1 1

что в промежутке времени [7 ,7 + 7=] траектория системы (5) не покидает указанный шар.

Повторяя по индукции эти рассуждения, приходим к следующему утверждению.

Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) ||х(о)||* о;

2) логарифмическая норма матрицы А отрицательна и

Л( А) <-а, а>о;

3) выполнено условие 5о - а||х(о)|| < о,

тогда траектория решения уравнения (5) при г > о не покидает шар Я (,|| х(о)||).

Пусть первое условие предыдущей теоремы не выполняется. Тогда справедливо следующее обобщение теоремы 1.1.

Теорема 1.2. Пусть выполнены следующие условия:

1)|| х(о)|| = о;

2) логарифмическая норма матрицы А отрицательна и Л(А) < -а, а >о;

3) существует такое положительное число в, что 5о - ав <о,

тогда траектория решения системы уравнений (2.2) не покидает шара Я(о,в).

2 Устойчивость простейшей модели иммунологии

Исследуем устойчивость стационарного решения (3) уравнения (1) без проведения линеаризации.

Введем новые функции:

х1(г ) = К (г) - К (го),У (го) = о; х2(г ) = С (г) - С (го);

х3(г ) = Р (г) - Р (го); х4(г ) = т(г) - т(го), т((о) = о. (18)

Тогда систему уравнений (1) при о < г < т можно представить в виде:

Шхх-(-) = (в- 7^ (го) - 1х3 (г ))х1 (г);

^ = -мл(();

ш

Шх3(г)

—— = -пур (го) х1 (г) + рх2 (г)- (м / + пух (г)) х3 (г);

Ша}() = ах^г) -Мтх4(г). (19)

Система (19) имеет тривиальное решение. Исследуем его устойчивость

в метрике пространства Я4 векторов х = (х1,..., х4) с нормой ||х|| = тах | х^ |.

1<к <4

Дадим вектору (х(г) = (х1((), х2((), х3((), х4(()), где х1(го) = ••• = х4(го) = о, начальное возмущение 5х = (5х1, ..., 5х4) с нормой ||5х|| < 5.

Воспользуемся критериями устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, предложенными в [3-5]. В работах [3, 4] показано, что

устойчивость решений системы уравнений (19) в пространстве Я4 зависит от знака логарифмической нормы матрицы А(() = {агу (()}, I, у = 1,2,3,4, где

а11(() = Ф-УР ((о) -Ух3(());

а22(() = -мс;

а31 (() = -пур ((о); а32 (() = Р; а33 (() = -(М / + ПУх! (());

а41(( )= а, а44(( ) = -Мт.

Остальные коэффициенты ау равны нулю.

Логарифмическая норма матрицы А(() будет отрицательной, если выполнены следующие условия: при любых 5х1, 5х3, о <5х1, 5х3 <5 справедливы неравенства

Следовательно, при выполнении условий (2о) система уравнений (19) имеет устойчивое тривиальное решение, а система уравнений (2) имеет устойчивое стационарное решение (3).

С биологической точки зрения это означает, что в период времени (е [(о,(о + т] в организме присутствуют антитела в количестве, не превышающем первоначального заражения: | V(() |< 5.

Для того чтобы система (19) имела асимптотически устойчивое тривиальное решение, достаточно, чтобы существовало такое х, х > о, что при

(е [(о,(о + т] логарифмическая норма матрицы А была бы не больше -%. Очевидно, это выполняется, если

Таким образом, при выполнении условий (2о) или (21) траектория х(() решения уравнения (19) не выходит из 5 окрестности нуля: х(() е Я (о, 5), где Я(о, 5) - шар радиуса 5 с центром в о. При выполнении условия (21) норма решения монотонно стремится к нулю.

Продолжим исследование устойчивости стационарного решения (3) уравнения (1) при (> (о + т.

Положим, (1 = (о + т. Так как при ( > (1 в модели начинают сказываться запаздывания, от уравнения (19) необходимо вернуться к уравнению (1). В уравнении (1) перейдем к новым переменным, определенным формулами (18). В результате приходим к системе уравнений

в<уР((о) + у5х3,Мс >о;

(М / + пу5х1) > о; | м/ +ПУ5х1|>| ПУ-Р((о)| +| Р2 к

Мт >о, Мт >| а |.

(2о)

в-ур ((о) -УФ3(() <-х;

-Мс < -х;

| пур ((о)| +| Р| -(М / + ПУФ1(()) < -х;

| а | -Мт <-Х.

(21)

Здесь ф1 ((), Ф3 (() - произвольные непрерывные функции, такие что тах(| Ф1(()|,| Ф3(()|) <5.

Шхх-(-) = (в- уР ((о) - ухэ (())х1 ((); ш

^ = -ЛУР ((о) х1 (() + рх2 (() - (М / + ЛУх1 (()) хэ (();

Шх4(() = ах^() - Мтх4((). (22)

ш(

Таким образом, задача свелась к исследованию устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Решение системы уравнений (19) при (= (1 является начальным приближением (х1 ((1), х2 ((1), х3 ((1), х4 (г^1)) системы уравнений (22). Выше было показано, что при выполнении условий теоремы 1.1 указанный начальный вектор находится внутри сферы радиуса 5 с центром в начале координат.

Исследование устойчивости системы уравнений (22) можно проводить двумя различными методами.

Во-первых, систему уравнений (22) можно представить следующим образом:

—7^ = (Р- УР ((о) - У^3 )х1(();

Шх2 (()

—2-----= -Мсх2(() + е2(();

ш

= -луР ((о) х1 (() + рх2 (() - (м / + пу^1 ) х3 (();

а( у

шх4(() = ах^() - Мт х4 ((), (23)

ш

где £2 (() = ^(т)а(х1 ((- т)х3 ((- т) + х1 ((- т)Р((о)) воспринимается как постоянное возмущение, причем | х1 (() |<5г-, 1 = 1,2,3,4, (о < (< (о +т.

Тогда | £2(() |<| %(т) || а | (^1^3 + ^((о)).

Систему уравнений (23) можно рассматривать как уравнение (5), у которого элементы матрицы А имеют вид

'в-уР((о)-у^3 о о о Л

о -Мс о о

А =

-щр((о) р -(М/ + лт^1) о ’

ч а о о -Мт ,

а вектор возмущения равен (о, £2 ((), о, о) .

Пусть логарифмическая норма матрицы А системы (23) Л(А) < —х , X >о, причем х удовлетворяет неравенству

5* -х5 <о, (24)

где 5* =| ^(т) || а| 52 + 5Р((о).

Тогда, согласно теореме 1.1, система уравнений (23) и, следовательно, система уравнений (1) устойчивы при ( > (1 = (о +т .

Теорема 2.1. Пусть при ґ є [ґд, ^ + т] выполнены условия (20), а при ґ є [ґ0 + т, ^) выполнены условия (24). Тогда стационарное решение уравнения (1) устойчиво.

В случае, если условие (24) не выполняется, к исследованию устойчивости системы (18) можно применить другой подход. Покажем, что если выполнена одна из приведенных ниже систем условий, то система уравнений (22) устойчива.

Первая система условий:

Р-ур(ґо) -у IСз1<° (-х); к1 £(т) || а|| Сз I +^2 I £(т) II аII Сі I +|РМ -Ме < 0 (-X);

1 лур(ґо)| +|р|-(м/ +лу|Сі|)<0 (-х);

| о| -\іт <0 (-х). (25)

Вторая система условий:

|^(т)||а||СіИСз| + |СіІ|Р(Ґ0)|-Ме <0 (-х);

| о | -Мт <0 (-X), (26)

где £ = (^1,^2,Сз,^4), II С ||<5 - произвольный вектор; 0 <кь ^ < 1,

к + к 2 =1.

Теорема 2.2. Пусть при ґє [ґ0,Ґ0 + т] выполнены условия (20), а при ґ є [ґ0 + т, ^) выполнены условия (25) или (26). Тогда стационарное решение уравнения (1) устойчиво (асимптотически устойчиво).

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть в момент времени Т траектория решения системы уравнений (22) покидает шар Я(0,5). Предположим вначале, что все компоненты вектора

х(Т ) = ( Хі(Т), Х2(Т), Хз(Т), Х4(Т))

отличны от нуля. Тогда систему уравнений (22) можно представить следующим образом:

= (в- уР (Ґ0) - ухз (Т)) Хі (ґ) - у( Хз (ґ) - Хз (Т)) Хі (ґ);

ш

= к1^(т)а Хі(Т -т) Хз (Т - т) Х1 (ґ) +

Шґ 1 х1(Т ) з 1

+к2^(т)а Хз(Т _Т) Хі (Т - т) Хз ( ґ) + Р ( ґ0)Хі(Т ^ Хі ( ґ) -Хз(Т) Хі(Т)

-МеХ2 ( ґ) - кі£(т)а Хі(Т _т) Хз (Т - т)(Хі ( ґ) - Хі (Т)) +

Хі(Т)

+кі^(т)а(хі (ґ - т)Хз ( ґ -т) - Хі (Т - т)Хз (Т -т)) -

-к2^(т)а Хз(Т _т) хі(Т - т)( Хз( ґ) - Хз(Т)) +

Хз(Т)

+к2^(т)а(хі (ґ - т)Хз (ґ - т) - Хі (Т - т)Хз (Т - т)) -

- Р (ґ0)Хі(Т -т) (Хі(ґ) - Хі(Т)) + Р (ґ0)( Хі(ґ-т) - Хі(Т-т));

Хі(Т)

Шхз(ґ)

—-— = -щР (ґ0) Хі (ґ) + рХ2 (ґ) - (м у + пухі (Т)) Хз (ґ) --Щ (Хі(ґ) - Хі(Т)) Хз(ґ);

ШХ4(ґ) = ОХі(ґ) - Мт Х4 (ґ), (27)

аґ

где кг- > 0, і = 1,2 , к + к2 =1.

Из рассуждений, приведенных в работах [з, 4], следует, что если для произвольного вектора £ = (£і, £2, £з, С4), II С ||<5 , выполнены условия

Р-ур(ґ0) -у | Сз |<0, (-х); кі | ад II аII Сз I +к2 I ад II аII Сі I -Ме <0, (-х);

|пур(ґ0)| +| р| -(м/ +пу| Сі |)<0, (-х);

I о | -Мт <0, (-х), (28)

то траектория решения системы (22) не выходит из шара Я(0,5).

Рассмотрим теперь случай, когда одна из компонент вектора х(ґ) обращается в ноль при ґ = Т. Не ограничивая общности, можно считать, что

этой компонентой является Х4 .

Предположим вначале, что Хі(Т) = 0, а Хз(Т) Ф 0 . Тогда систему уравнений (22) при ґ > Т можно представить в виде аХі(ґ) _

Шґ

= (в- УР(ґ0) - УХз (Т))Хі (ґ) - у(Хз (ґ) - Хз (Т))Хі (ґ);

*2« = (=( т)а Х,(Т-т) хз(ґ) +

аґ хз(т ) 1 з

, ^(т)аР(ґ0)Хі(Т -т)Х4 (ґ) __ ( ч

+-------------^-----------------МеХ2(ґ) -

Х4(Т )

-^(т)а Хз(Т ~т) хі (Т - т)(хз (ґ) - Хз (Т)) +

Хз(Т)

+5(»)а(Х1(,-т) хз(,-т) - Хі(Т-т) хз(Т-т) —)аР (>°> ^-Х)( Х40) - Х4(Т»

Х4(Т )

+^(т)аР(ґ0)Хі (ґ)(Хі (Т - т) - Хі (ґ - т));

Шхз (ґ)

Шґ

- -ПУР(ґ0)Хі (ґ) + рХ2 (ґ) - муХз(ґ) - путі (ґ)Хз (ґ);

аХ4(ґ) = охі (ґ) - МтХ4 (ґ). (29)

аґ

В матричном виде систему уравнений (29) можно записать в виде уравнения

где А = «■ }, і, j = 1, 2, з, 4 - матрица с элементами:

«11 = Р-уР(ґ0)-тхз(т); °і2 = °із = «14 = 0; «21 =0;

вектор Р (ґ ) = ( /і(ґ), У2(ґ), уз (ґ), У4(ґ)) состоит из элементов

+^(т)а( Хі (ґ - т) Хз (ґ - т) - Хі (Т - т) хз(Т - т)) -^(т)аР (ґ0) хі(Т - т)( Х4 (ґ) - Х4 (Т)) +

Х4(Т )

+^(т)аР(ґ0)(Хі (Т - т) - Хі (ґ - т));

Уз(ґ ) = -ЩХі(ґ) Хз(ґ);

У4 (ґ ) = 0.

Из рассуждений, приведенных в [3-5], следует, что если логарифмическая норма матрицы А отрицательна и Л(А) < Р((о), то траектория системы уравнений (22) не выходит из шара Я(о, 5).

Поскольку элементы матрицы А четко не определены, то для вычисления логарифмической нормы необходимо их мажорировать с тем, чтобы увеличить логарифмическую норму матрицы А.

Повторяя рассуждения, приведенные в работах [3-5], можно показать, что если выполнены условия

то траектория системы (22) не покидает шар Я(0,5).

^(т)аР(ґр)Хі(Т -т) ;

Х4(Т) ;

«зі ПУР(ґ0); аз2 = р ; азз---------Му ; аз4 = 0;

«41 = о ; а42 = а4з = 0 ; а44 = -Мт ;

У1(ґ) = -у(Хз(ґ) - Хз(Т));

У2 (ґ) = Ч(т)а Хз(Т^ хі (Т - т)(хз (ґ) - Хз (Т)) + Хз(Т)

р-уР (ґ0) -|у|5<0;

■М е + |^(т)||а|5+|^(т)||а||Р (ґ0)<0;

|пур(ґ0)| +|р|-му <0;

I о I -Мт <0,

(з0)

Случай, когдаХ1(Т) Ф о, а Х3(() = о, рассматривается аналогично.

Рассмотрим теперь случай, когда одновременно х^ (Т) = Х3 (Т) = о. При выполнении этого предположения имеется промежуток времени [Т, Т + ДТ ], в течение которого компоненты Х1 (() и Х3 (() по модулю меньше 5 . Следовательно, в течение этого периода вместо системы уравнений (22) можно ограничиться рассмотрением системы уравнений

dx2(t) =

= %(щ)а{х1 ((- т) Х3 ((-т) + Х1 ((- т) Р ((о)) - М) (();

dt

^4 (() = СХ! (() - ^ Х4 ((). (31)

dt

При этом второе и четвертое уравнения системы (29) запишем в следующем виде (это представление более удобно, нежели представление этих уравнений в системе (29)):

dx2(t) , ч

—— = -мсх2(() - /2((); dt

)

= СХ1(() -цмХ4((), (32)

dx4 (()

dt где /2 (() = ^(т)а( Х1 ((- т) Х3 ((- т) + Х1 ((- т) Р ((о)).

Повторяя предыдущие рассуждения, можно показать, что при выполнении условий

|^(т)||а|5+|Р((о)|-цс <о,

I О | -Мт <о (33)

траектория решения системы уравнений (22) не покидает шара Я(о, 5).

Так как в систему уравнений (22) функции Х2(() и Х4(() входят линейно, то в случае их обращения в ноль не требуется специального исследования.

Сравнивая условия (25), (26), (3о) и (33), убеждаемся, что условия (25), (26) являются более общими. Теорема доказана.

3 Устойчивость простейшей модели с коэффициентами, зависящими от времени

В этом разделе исследуется устойчивость решения простейшей модели, коэффициенты которой зависят от времени.

Рассмотрим систему уравнений

dV (()

dt

dC (()

= (в(() - у(() Р (()Г (();

dt

dF (()

= Ъ,(т)а(г)V((- т)Р((-т) -цс (()(С(() - С ); р(( )С (() - (ц / (() + п(( )V (()) Р (();

= о(( У (() -ц т (()т((). (34)

dt

dm(t)

В системе уравнений (34) коэффициенты в((), у((), цс ((), а(() имеют тот же смысл, что и в модели, описываемой уравнением (1). Отличие состоит в том, что в данном случае коэффициенты зависят от времени.

Систему (34) естественно рассматривать при различных начальных условиях.

Одним из начальных условий является состояние здорового организма. В этом случае, так же как и при рассмотрении системы (1), можно положить

V ((о) = о. Кроме того, естественно положить р(() = С0П81 = Ро, Ц / =001181 = |1/.

В результате получаем следующее стационарное решение:

V(() = о, С(() = С*, Р(() = Р*(() = РоСУ/, т((о) = о. (35)

Исследуем устойчивость системы (34) относительно стационарного решения (35).

Введем новые неизвестные функции, определяемые формулой (18). Тогда систему уравнений (34) можно при о < (< т представить в виде

= (в(() - У(()Р((о) - у(()Х3 (())Х1 (();

dt

dx2(t) ,. ,.

— = -цс (() Х2(();

dt

^ = -П (()у(() Р ((о) Х1 (() + Ро Х2(() - (Ц/ (() + п(( )у(() Х1 (()) Х3 (();

а%4}() = О(()Х1(() -Цт (()Х4 ((). (36)

dt

Как и в предыдущем разделе, будем исследовать устойчивость системы (36) в метрике пространства Я4 векторов х = (Х1,..., Х4) с нормой

|Х|| = тах | х^ |. Дадим вектору х(() = (х^((),..., Х4(()), где

1<£ <4

Х[((о) = о, / = 1,2,3,4, начальное возмущение 5х = (6x1 ,.., 6x4) с нормой

М <«.

Для формулировки критериев устойчивости решения систем вида (36) используем результаты [3-5].

Пусть £ = (^1 ,..., С4) - произвольный вектор с ||£|| < 5.

Тогда для устойчивости решения системы уравнений (36) достаточно, чтобы при любом произвольном векторе £ с нормой ||£|| <5 и для любого момента времени (е [(о,(о + т] выполнялись неравенства

в(() - у(() Р ((о) -|У3(()| 5 <о;

| ^(т) || а(() | 5+1 ^(т) || а(() || Р((о) | -Цс < о;

-Ц/ +1П(()У(()| 5+1 П(()У(()Р((о )| +1 Ро |< о;

-Цт (()+|о(()|<о. (37)

Для асимптотической устойчивости достаточно, чтобы существовало такое положительное число X, что выполняются условия

Р(()-у (() Р ((о)-|У3(( )| 5<-х;

| ^(т) || а(() | 5+1 ^(т) || а(() || Р((о) | -Цс(() < -х;

-ц°/ + |п (() у(()| 5+1 п(() у(() р ((о )| +1 Ро |< -х;

-Цт (()+ | О(( )|<-Х. (38)

При выполнении условий (37) или (38) траектория решения системы уравнений (34) остается внутри шара Я(о, 5), и, следовательно, начальные

значения для системы (34) при (> (о + т являются неопределенными, но находятся внутри шара В(о, 5).

Рассмотрим систему (34) при (> (о +т.

С этого момента начинает сказываться эффект запаздывания. Поэтому, воспользовавшись новыми неизвестными функциями, введенными формулой (18), приходим к системе уравнений

= (в(() - У(()Р((о) - У(()Х3 (())Х1 (();

dt

ё%2}() = ^(т)а(()(Х1 ((- т) Х3 ((-т) + Х1 ((- т) Р ((о)) - цс Х2 (();

dt

^х3(1 = -п(() у(() р ((о) Х1(() + Ро Х2(() -

dt

-(ц°г +п(( )у (() Х1(()) Х3 (();

= О(()Х1(() -Цт (()Х4 ((). (39)

dt

Выше уже отмечалось, что в течение промежутка времени [(о, (о +т] решение системы уравнений (39) не покидало шара Я(о, 5). Следовательно,

к моменту времени (= (о + т функции Х1 ((-т) и Х3 ((- т) принимают значе-

ния из Я(о, 5).

Пусть при (> (о + т выполняются условия:

Р(() - у(() Р ((о) - |у(()| 5<-х;

-Цс + | ^(т)а(()(5 + р((о )) |< -х;

-ц/ +1 п(() у(( )51 +1 п(( )у(() р ((о) | +1 Ро |< -х;

-Цт (()+ | О(()|<-Х, (4о)

где Ъ, > о.

Тогда из результатов работ [2-5] следует, что система уравнений (39) асимптотически устойчива.

Таким образом, при выполнении условий (38) и (4о) система уравнений

(34) асимптотически устойчива при всех (> (о.

С биологической точки зрения это означает, что организм полностью

подавил инородное вмешательство и его состояние не вышло за рамки первоначального возмущения.

Список литературы

1. Марчук, Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г. И. Марчук. - М. : Наука, 1991. - 3о4 с.

2. Пу, Т. Нелинейная экономическая динамика / Т. Пу. - Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2ооо. - 2о с.

3. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений / И. В. Бойков // ДАН СССР. - 199о. - Т. 314. - № 6. - С. 1298-13оо.

4. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с последействием / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34. -№ 8. - С. 1134-1138.

5. Бойков, И. В. Об одном критерии устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. -2оо6. - Т. 42. - № 1. - С. 3-1о.

6. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 197о. - 534 с.

7. Барбашин, Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. - М. : Наука, 1967. - 224 с.