CC BY
68
УДК 539.3
А.А. Мочалин
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОДНОРОДНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ОТ НЕРАВНОМЕРНОЙ РАДИАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
На базе полубезмоментной теории В.З. Власова рассматривается задача об устойчивости цилиндрической изотропной оболочки, переменной вдоль образующей толщины, при действии осесимметричного изменяющегося вдоль оси оболочки радиального давления. При одном соотношении изменения толщины и давления получено точное решение для нахождения одной из величин в законе изменения давления, при которой происходит потеря устойчивости оболочки.
Цилиндрическая оболочка, теория оболочек, устойчивость оболочек, радиальная нагрузка, критическое давление, толщина оболочка, теория упругости
A.A. Mochalin
STABILITY OF NON-UNIFORM CYLINDRICAL SHELL FROM UNEVEN RADIAL LOAD
The problem of stability of the cylindrical isotropic shell with thickness variation along the generatix under the varied along the axis symmetry in the presence of the ax-isymmetric radial loading is considered on the basis of the half-momentumless Vlasov theory. In the case of validity of certain changes between the values of thickness and radial loading the accurate solution for a certain parameter in the pressure variation law that corresponded to appearance of shell instability was produced.
Cylindrical shell, theory of shells, stability of shells, radial loading, critical pressure, shell thickness, the theory of elasticity
Исследования устойчивости оболочки от действия неравномерного давления, по-видимому, начинаются с работ Б.О. Элмроса [1] и В.И. Моссаковского [2]. Решения некоторых задач для неоднородных оболочек с переменной радиальной нагрузкой имеются в [3, 4]. Но в них решались задачи отдельно от влияния неоднородности оболочки и отдельно от действия переменной нагрузки. Рассмотрим задачу о получении зависимостей для расчета критического давления с учетом неоднородности оболочек и нагрузок.
В линейной теории цилиндрических оболочек широкое применение нашла полубезмоментная теория В.З. Власова [4], учитывающая особенности напряженного состояния оболочек, длина которых находится в пределах D < I < 8D, где D - диаметр оболочки, I её длина. В основе этой теории лежат две гипотезы: статическая и геометрическая, позволяющие существенно упростить уравнения, описывающие состояние устойчивости оболочки. Считается, что удлинение в окружном направлении и углы сдвига в срединной поверхности равны нулю, полагаются равными нулю перерезывающая сила и изгибающий момент в осевом направлении, а также крутящий момент.
Такого же результата, что и с помощью статической и геометрической гипотез В.З. Власова, можно достичь, как показал В.В. Новожилов [5], применяя менее сильный, но более глубокий и общий принцип, заключающийся в следующем. В длинной цилиндрической оболочке все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние, вдоль образующей цилиндрической оболочки изменяются значительно более плавно, чем в направлении направляющей. Поэтому производные
по продольной координате намного меньше, чем по окружной координате, и первыми по сравнению
со вторыми можно пренебречь.
Однако из-за наглядности и простоты выкладок будем использовать подход, предложенный
В.З. Власовым. Учитывая допущения этой теории, уравнение совместности деформаций запишется в виде
„а481 | 1д281 = д2Ж2 (!)
Rdy4+Rdy2 йх2' (1)
а уравнения равновесия после несложных преобразований можно записать одним уравнением вида
R ду4 + R ду2 + дх2 Р' (2)
dq1 dq2 d2qn
P = -“r + “r-R“rr'
dx dy dy2
где x - координата, откладываемая по образующей, y - координата, откладываемая по дуге поперечного круга цилиндра.
Соотношения упругости с учетом допущений полубезмоментной теории В.З.Власова запишутся в форме
"1 ( )*е1, М2 = Dw2.
Введем новые переменные . = х/£, 1 = у/3 (l - длина оболочки) и функцию Ф соотношениями
1 д7Ф 1 д2Ф 1 д=Ф
U = _Td^d02 ' V = Rd0^' W = RS0='
1 д4Ф £i = -гт
I2 дА2 д02 Eh д=Ф
_ 1 /д4Ф д6Ф \
*2 RD 1д04 + д06 ) ' (3)
D MдбФ д=Фр T1 = -"F д^2 д02 ' M2 = -R3 Md0? + 'd0Tj'
Подстановкой последних соотношений в уравнение (1) оно тождественно удовлетворяется, а подставляя их в уравнение (2), приходим к следующему уравнению:
5 N9]+п ф +1/о0 /УЙМ0 = 0 ■ <4>
Здесь
р* = _ 1 + ^ _ а_0^ , а п = _а_ ^ + ^ _ дифференциздьн^1й оператор В З. Власова.
Уравнением (4) будем пользоваться при исследовании устойчивости цилиндрических оболочек средней и большой длины. Его следует интегрировать при граничных условиях, зависящих от способа закрепления торцов оболочки.
2. Пусть оболочка находится под действием неравномерной радиальной нагрузки q = qо(1 + а^)-6. Компонента нагрузки qn в этом случае определится выражением qn = _qоR$2(1 + а^)-6, где параметр qо подлежит определению.
Выбирая функцию Ф в форме Ф = Х(^тк0, где к - число волн вдоль окружности оболочки при потере устойчивости, и задавая закон изменения толщины в виде И(2) = Ьо(1 + а£)-2, приходим к уравнению
[(1 + а£Г2 ^ _ ^=(1 + а£Г6Х = 0, (5)
где я== М^(02_1)_1!Г1(к!11^
д 1К3Л0 ( ) 12И6(1-{2) .
Это уравнение после введения новой переменной г = 1п(1 + а^) и новой функции *(2) соот-
г
ношением X = Ш(1 + а^) • е- 6 может быть приведено к дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами, которое записывается в форме
Ш(4) _ 10 ш(3) + 25 Ш(2) + ^ Ш' _ (Ц _ -^)Ш = 0 . (6)
3 6 54 ча4 1296 4 ’
Решение этого уравнения будем разыскивать в виде Ш = е<2. Результат подстановки приводит к следующему характеристическому уравнению:
(52 + а5 + с)(52 + Ь5 + ') = 0 ,
а величины а, Ь, с, ' определяются из следующих соотношений
10 25 89 145 Я4
а + Ь = —— , аЬ + с + ' = — , Ьс + 'а = — ,с' =
3 1 " 1 " 6 1 "" 54'““ 1296 а4'
Их значения таковы:
а = Ь = 5 с = 25а2^600а4 + 1296А4 ' = 25а2+7б00а4+129614
~ ~ 7 ~ 36а2 ' _ 36а2 '
Выражение для функции Х(£,) примет вид
= 2/ МС15¥п(^ • ^п(1 + а.)) + С2сох(5 • /п(1 + а.)) + С3 5т(5 • /п(1 + а.))
М + С4 со5*(5 • /п(1 + а.) )
где б =
(7)
\ + £4 С05*(0 • Ш(1 + а.) )
л/600а4 + 1296Л4 6а
Решение задачи проведем для двух видов граничных условий: жесткого закрепления и свободного опирания краёв оболочки.
В случае жесткого закрепления краёв граничные условия имеют вид [6]
и = 0, - = 0 при . = 0, . = 1
или ^(.) = 0, ~“р = 0 при . = 0, . = 1.
Если края оболочки свободно оперты, то следует удовлетворять условиям вида
и = 0, "1 = 0 при . = 0, . = 1
или *(.) = 0, ““рР = 0 при . = 0, . = 1.
Подчиняя общее решение уравнения граничным условиям и требуя совместности системы однородных уравнений, получаем соотношения для определения собственных значений в форме:
1 _ сох(5 /п(1 + а)) = 4.73 для жесткого закрепления и 5т(5 /п(1 + а)) = ± в случае свободного опирания краев.
т
Для очень длинных оболочек (у ^ 0) имеем независимо от способа закрепления краев величину параметра до в виде
_ ВЛ^2-1)
= К312(1-У2).
После минимизации по 0$ (0$ » 1 для оболочек средней длины) получаем формулу для вычисления критического давления
Ю = (*0/К)5/$ 7 (8)
к 9(1—У2)3/4 п ( 4.73 а\= 75 4
где величина р0 = Е;п(і+я)) _ 1б2 в случае жесткого закрепления, и
•о = Е гп°Г-1+а)) _ 1б2 а= - Для свободного опирания краёв.
Формулу (8) можно переписать для жесткого закрепления краев в форме
ч5 = 4.73Е К(«) (Ло/к)5/$ 9(1—^^, (9)
а для свободного опирания торцов соответственно в виде
„; = пЕад (*0/к)5/$ ^9(і—^ (Ю)
Значения коэффициента К(а) для некоторых значений а приведены в нижеследующей таблице.
a -0.5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5
K(a) 0,750 0,79S 0,S47 0,SSS 0,950 1 1,049 1,093 1,136 1,173 1,20
На основании полученных результатов можно сделать следующий вывод.
Значения критического давления неоднородной цилиндрической оболочки под действием неравномерного давления, изменяющегося по закону изменения жесткости, пропорциональны критическому давлению оболочки постоянной толщины с коэффициентом пропорциональности К(а), и при
увеличении отношения толщин на концах оболочки критическое давление уменьшается, а при его
“о
уменьшении критическое давление увеличивается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Элмрос Б.О. Выпучивание цилиндрической оболочки, подверженной действию неравномерного внешнего давления / Б.О. Элмрос // Прикладная механика: Тр. Амер. общества инженеров-механиков. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. № 4. С. 27-31.
2. Моссаковский В.И. Некоторые вопросы устойчивости цилиндрической оболочки под действием неравномерного давления / В.И. Моссаковский, Л.В. Андреев, В.А. Зюзин // I Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек: тез. докл. М.: Наука, 1965. С. 47-51.
3. Антоненко Э.В. Устойчивость цилиндрической оболочки переменной толщины при действии наружного давления / Э.В. Антоненко, Н.С. Хлопцева // Тр. XXI Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 7-13.
4. Власов В.З. Общая теория оболочек / В.З. Власов. М.: ГИТТЛ, 1949. 784 с.
5. Новожилов В.В. Теория тонких упругих оболочек / В.В. Новожилов. М.: Судпромгиз, 1962.
431 с.
6. Штейнберг М.В. Расчет круговых цилиндрических оболочек с толщиной переменной в направлении образующей / М.В. Штейнберг // Прикладная механика. 1965. Т. 1. № 7.
Мочалин Алексей Алексеевич -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Alexey A. Mochalin -
Ph. D., Associate Professor Department of Applied Mathematics and System Analysis
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 15.02.13, принята к опубликованию 20.02.13
ЗІ
