Устойчивость моделей противовирусного и противобактериального иммунного ответа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева

УСТОЙЧИВОСТЬ МОДЕЛЕЙ ПРОТИВОВИРУСНОГО И ПРОТИВОБАКТЕРИАЛЬНОГО ИММУННОГО ОТВЕТА

Исследуется устойчивость математических моделей противовирусного и противобактериального иммунного ответов. Рассмотрены модели, параметры которых зависят от времени и описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений со многими запаздываниями.

Получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.

1 Устойчивость математической модели противовирусного иммунного ответа

В данном разделе исследуется устойчивость модели противовирусного иммунного ответа, предложенной Г. И. Марчуком [1]. Эта модель описывается системой уравнений

Л/ =

Л

ЛМу

уСу + пЪсеСуЕ - Уу—Еу/ - УумМу/ - Уус(С - Су - т)у/;

уМУМУ/ - аММУ;

ЛНЕ=ъНЕ >

Л

= ъН )

Л

Л

^(т)рН) Му (t - т(НЕ )) Не (t -т<—)) -МуНЕ -ЪрНе ]МуН—Е + а(Н)(НЕ - Не );

^(т)р^Му ^ - ТВ)Нв ^ - Н)-МуНв

-Ъ(рНв вМуНвВ + а(В)(НВ - Нв);

—— = ър) [^(т)рЕМу (t -те )НЕ (t - тЕ )Е(t -ТЕ )-МуНеЕ]-Л г

-ЪЕССУЕ + аЕ (Е - —);

—— = ъ(,В) [^(т)рв[у [ -ТВ )НВ (- ТВ )В(t -ТВ )-МуНВВ] + аВ (В - В);

м г

—— = ъР—)^(т)ррМу(t -Хр)Нв(t - Тр)в(t -Тр) + ар(р - р); ш г

— = р_рР - УЕУУ/Е - а;

ёСУ _

&

ёт

°У/ (С - СУ - т) - ЬСЕСУЕ - ЬтСУ;

_ ЬСЕСУЕ + ЬтСУ-атт (1)

&

где У^(V) - количество свободно циркулирующих в организме вирусов; Му (V) - количество стимулированных (антигенпрезентирующих) макрофагов; Не (V) - количество Г-лимфоцитов-помощников клеточного иммунитета;

Нв (V) - количество Г-лимфоцитов-помощников гуморального иммунитета; Е(V) - количество Г-клеток-эффекторов (киллеров), (количество антител); В(^) - количество В-лимфоцитов; Р(^) - количество плазматических клеток; Су (V) - количество зараженных вирусами клеток органа-мишени; т(^) - нефункционирующая часть пораженного вирусами органа-мишени. Здесь V, псе ,

Туе , 1ум , Уус , 1ж, ам, ьН , рН, ьНе , аН, рН, ,

рЕ, ЬЕС, аЕ, Ьв , Ьр, рВ, аВ, ар, рР, УРУ, ар, a, ЬСЕ, ат - пара-

метры, характеризующие динамику процессов, протекающих в организме. Описание этих параметров дано в работе [1].

В качестве начальных значений естественно взять состояние здорового организма, не зараженного вирусом:

У/(¿о)_0, Му(¿о)_0, Не(*о)_ Не, Нв(^)_нВ, Е(^)_ Е*, В(*о)_ В*;

*

Р('о)_ Р*, Р(^) _ Рр—, Су (^) _ о, т(^о) _ о. (2)

а р

*

Обозначим через т первое по времени запаздывание среди запаздыва-

ЕВ Е * Е

ний Тн , Тн , Те , Тв , Т р. Пусть это будет Тн (Т1 _ Тн ).

Прежде всего исследуем устойчивость системы уравнений (1) в проме-

*

жутке времени Vе [^,^о +Т1 ]. Для простоты обозначений положим ¿о _о. Введем новые функции Х1(V),..., Хю(^), определяемые формулами

*1(*)_ У/(*), х2({)_Mv(V), *з(*)_Не(V)-НЕ;

хЛ(1)_ Нр(V) -Нв, Хз(?)_ Е(V) - Е*;

х6( 0_ В(V) - В*, ху( 0_ Р( О -Р*; х8( 0_ р( V) - р(о), Х9(0_ Cv ( 0, Х1о(0_ т(0. (3)

*

Тогда в течение промежутка времени ^е [о,Т1] систему уравнений (1) можно представить следующим образом:

&Хл ( V) *

—1— _ (-УУЕр(о) - 1УЕС - УУЕХ8 ( 1:) + УУСХ9 ( ^) + УУСХЮ( ^)) Х1( ^) +

&

&

аХз(і) _

+(у + пЬСЕх5(ґ) + пЪсеЕ )Хд(ґ); = 1муХ\ (-) Х2 (і) - амХ2 (і );

йх-Ж) _

ЪНре (Х5(і) + Е*) + ЪНе(Хз(і) + НЕ)

х-( і) -а ННхз( і);

&

—4^-)_ -(Х4 (0 + Нв )(ЪН + ЪрВ (Х6( О + В ))Х2 (О -аНХ4( і);

&

&

_ -(Х5 ( -) + Е )ЪР Х2 ( -)(Х3 ( -) + НЕ ) + ЪЕСХ9 ( -)) - аЕХ5 ( -);

&Х5(-) _ ( ^ Т7*^ие

Шх6(Л В *

—— = -Ьр (Х6 ( О + В )Х2 ( оХ4 ( О - аВХ6 ( О; ш

^= -арх7(0;

ш

—= рР х7 ( О - УРУ (х8(О + Р(0)) Х1( О - аРх8 ( 0;

ш

Шхо ( ^) * *

—— = ах!(0(С -х9(о -хю(0) -Ьсвхд(0(х5(О + Е ) -Ьотх9( О; ш

Шх1°( ^ = Ьсех9( 0(х5 ( О + Е*) + Ьтх9 ( О - аотхю( 0. (4)

ш

Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений (4). Пусть X (0) = ( х1(0),..., хю(0)) - начальное значение системы уравнений (4) и пусть ||Х(0)|| <5о. Пусть £ = (^1 ,. ., Сю) - вектор, норма которого удовлетворяет неравенству ||£|| < 60.

Одним из критериев устойчивости тривиального решения системы уравнений (4) является следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия

-1уее(0) -1уес + (1 Уте I+21 Уус I +1 пЬсе I +1 пЬсе IIЕ 1)60+1у 1<0;

Уму62 -ам <0;

I ЬНрЕ I (60 +1Е*!)+1ЬЕ I (60 +1НЕ I)-аЕн < 0;

(60 +1НЕ !)(!ЬН I +1ьНв I (60 +1 В* I))-аН <0;

(60 +1Е |)(| ЬЕ I (60 +1НЕ !)+1 Ьес I -ае < 0;

р

"р

|ъВ|(8с + |В* |)8а-ав <0;

-ар <0;

I рр I +1 уру | (5о+1Р (0) I)-а р < 0; |о|(|С*|+2бо)+|6С£|(6о + Е*) - Ьт <0;

1 ЬСЕ |(50 + Е )+ | Ьт | -ат < 0 (5)

*

Тогда тривиальное решение системы уравнений (4) устойчиво при 0 < t < т^. Замечание. Если в правой части условий (5) заменить нуль на -X , где X >0, то тривиальное решение системы уравнений (4) экспоненциально устойчиво.

Доказательство. Доказательство проведем от противного.

Пусть в момент времени Т (0 < Т <т^) траектория решения системы уравнений (4) покидает шар Л(0,5), проходя через точку

х (Т) = (X} (Т),..., Хю(Т)). Тогда систему уравнений (4) можно представить в следующем виде:

иХл (t) * * * *

—1— = (-УуЕ (Е (0) + С + х8 (Т)) + УуС ( х9 (Т) + х10 (Т)) Х1 () + ш

+(У + Пьсе (Х*(Т) + Е ))х9^) - (УУЕ(х8^) - х8(Т)) + УуС(x9(t) - х8(Т)) + +УУС (Xlо(t) - х*0 (Т)х} (t);

—1°(_) = (ЬСР (х5 (Т) + Е ) + Ьт )х9 () - атх10() + ш

+ЬСР (х5 (t) - х* (Т))х9 (t). (6)

Систему уравнений (6) удобно представить в виде

^ = Лх^) + Р Ц, x(t)), (7)

где Л = {Оу }, /, 7 = 1,2,...,10,

°11 = (-УУЕ (Е (0) + С^х8(Т)) + УУС (х8(Т) + х10(Т)),...,

°10,10 = -ат,

¡1 (t, хЦ)) = (Ууе (х8 (t) - х8 (Т)) + Уус (х9 (t) - х* (Т)) +

+УУС (Xlо(t) - х*о(Т))х1 (t),..., /lо(t,х^)) = Ьср(х5(t) - х*(Т)).

1 1

Так как значения х1 (Т),..., хю(Т) не определены, то для оценки логарифмической нормы матрицы Л ее элементы нужно мажорировать. Учиты-

вая используемую в работе нормировку пространства х|| = тах | х^ |),

1<г<10

элементы матрицы Л мажорируем следующим образом:

°11 = (-1уее(0)-1уес +(| Ууе | +2| Уус |)5о),..., °10,ю = -ат.

Очевидно, логарифмическая норма матрицы Л = {®у }, ¿,7 = 1,2, ...,10, не меньше логарифмической нормы матрицы Л.

Условия отрицательности логарифмической нормы матрицы Л определяются неравенствами (5). Следовательно, при выполнении этих неравенств логарифмическая норма матрицы Л отрицательна.

Нетрудно видеть, что для любого как угодно малого е(е > 0) существует промежуток времени [Т, Т + ДТ(е)], в течение которого

Ц^, х(0)|| <е|х(0||. (8)

Из условий (5) и (8) и результатов работ [2-4] следует, что траектория системы уравнений (3) в момент времени Т не покидает шара Л(0,5о). Сле-

1

довательно, при t е [0, Т1] траектория системы уравнений (3) находится в шаре Д(0,5о).

Продолжим исследование устойчивости системы уравнений (1) при

* Е ЕВ

t > т = тн. Пусть Тн < Тн < Те < Тв < Тр. Будем для определенности счи-

ЕВ В *

тать, что Тн < Тн и, положив Тн = Т2, исследуем устойчивость решения

* *

системы уравнений (1) в промежутке времени t е [Т1, Т2]. В предположении, что выполнены условия теоремы 1.1, траектория решения системы уравнений (1) в течение промежутка времени [^, Т1] остается в шаре Л(0,5о). Поэтому будем исследовать устойчивость решения системы уравнений (1) при начальных значениях, расположенных в шаре Л(0,5о).

Введем функции х^) - хю((), определяемые равенствами (3).

* *

В результате в промежутке времени [Т1, Т2] приходим к следующей системе уравнений:

Шхл (t) *

—1— = (-1уее(0) - 1уес - 1уех8 ^) + Уусх9 ^) + 1усх10(())х1^) + ш

+(у + пЬсех5 ^) + пЬсеЕ* ) х9 (t);

ё%2}() = Уму х1 ^) х2 (t) - амх2 ^); ш

^(т)р(Е) х2 (t - т{н))(хз (t -т{н)) + И*Е) - х2 ^)(хз (t) + И*Е) -Ь(рнЕ) х2 (t)(хз (t) + н*Е)(х5 ^) + Е*) - а^з (t);

= -(х4 (t) + нЕ )(ЬЕ + Ьр (хб (t) + В*))х2 (t) - анх4 (t);

ш

&хЗ(- ) = ь( Е ) & Н

dx5(t) _

&

---(х5 (t) + Е )ЬР х2 ()(х3 () + НЕ ) + ЬЕСх9 ()) - аЕх5 (t);

—= -Ьр (х6(-) + В )х2()(х4^) + Нв) -авх6(-); dt

&х7(-) _

Л--------а Рх7(-);

= рРх7(-) -УРУ (х8(-) + Е(0))х1(-) -аРх8(-);

&х9(-) _ &-

&х8(-) _

&-

= ахі (-)(С* - х9 (-) - хіо(-)) - Ьсех9 (-)(х5 (-) + Е*) - Ьотх9 (-);

Щх10(() *

10-----= Ьсех9(()(х5(() + Е ) + Ьтх9^) - атхю^). (9)

ш

Одним из критериев устойчивости решения системы (9) является следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть выполнены следующие условия:

-Ууее(0)-Ууес +(| Ууе | +2 7ус | +| пЬсе | +| пЬсе || Е |)5о +|у |<0;

Уму5о -ам <0;

| ^(т)У рн)|(5о + не) + (5о +| нЕ |) +

|ьНЕ)

+1 Ь(рНе) || бо + Е || 5о + НЕ | -аНЕ) < 0;

(8о +1НЕ |)(| ЬН | +1 ЬНв | (бо +1 В* |) -аН < 0;

р

(бо +1Е |)(| ЬЕ | бо +1ЬРЕ || НЕ |)+1 Ьес | (бо +1Е |) - ае < о;

| ьр | (бо + в )(бо + Нв) -ав < о;

-аР <о;

| рР | + | УРУ | (бо + | Е(о) |) - аР < о;

|а| (|С* | +2бо)+1Ьсе | (бо + Е*)-ьт <о;

| ЬСЕ |(бо + Е )+ | Ьт | -ат < °- (1о)

* *

Тогда система уравнений (1) устойчива в промежутке времени [т, т^]-Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть в мо-

* *

мент времени Т (Ті < Т < Т2) траектория решения системы уравнений (1)

* * *

покидает шар Л(о, бо), проходя через точку х =(х1(Т),..., хю(Т)).

Положим для определенности, что | х*(Т) |= бо- Представим систему уравнений (8) в следующем виде:

&хл ( -) *

—1— = (-1УЕР(о) - ІУЕС - 1УЕх8 (-) + УУСх9 (-) + УуСхЮ(-))х1(-) +

Л-

+(у + пЬсех5 (-) + пЬсеЕ* ) х9 (-);

&х2(-) =

&-

= 1мух1 (-) х2 (-) - амх2 (-);

&хзР=ьн )^(т)рН х2х2(ТН) хз(- - тН )) х2(-)+

+ЬН )^(т)рННЕ ^ х2(-) -

х2(Т )

~ЬН х2 (-)(х3(-) + НЕ) - ЬР Е )(х5(-) + Е )х2(-)(х3(-) + НЕ) - аЕЕ хз (-)-

-ЬНЕ)^(т)рН Хі{( хз(- -тН)(х2(-) - х2(Т)) -

х2(Т )

-ЬНЕ)^(т)рНн* Хі{( ~Т,))) (х2(-) - х2(Т)); х2(Т )

&х4(-) = -(х4(-) + нв)(ьН + ЬрНв (х6(-) + в*))х2(-) - аНх4(-);

Л-

&х С (-) *77 *

- = -(х5 (-) + Е )ьр х2 (-)(хз (-) + Н* ) + ЬЕСх9 (-)) - аЕх5(-);

6( )= -ЬР(х6(-) + В )х2(-)(х4(-) + НВ)-аВх6(-);

&-

&-

&х8(-) _ &-

&^ = -арх7(-),

Л-

= Ррх7 (-) - уРУ (х8 (-) + Р*)х1 (-) - арх8 (-);

Щхо (t) * *

—— = ох1(()(С - хэ(() - хю(()) - ЬСЕх9(()(х5(() + Е ) - Ьтхэ(0;

ш

ёх10() = Ьсех9(()(°5(() + р*) + Ьтх9(() - атхю((). (11)

ш

Применяя к системе (11) рассуждения, приведенные в [2-4], убеждаемся, что при выполнении условий (9) решение системы уравнений (1) устойчи-

* *

во в промежутке времени [Т1, Т2].

* *

Продолжая этот процесс, в моменты времени Т3 = Те , Т4 = Тв ,

* * *

Т5 = тр, Т3 <Т4 <Т5 подключаем к исследованию устойчивости решения

системы уравнений (1) уравнения, в которые входят слагаемые с запазды-

ванием.

Так как каждый шаг этого процесса подобен только что рассмотренному, не будем останавливаться на их отдельном рассмотрении и не будем формулировать соответствующие теоремы.

Предполагая, что в течение времени (е [(о,Т5] траектория системы (1) не покидает шар Л(0,5о), исследуем устойчивость этой системы при (е ^^).

*

При (>Т5 необходимо исследовать систему (1) в общем виде в предположении, что начальные значения принадлежат шару Л(0,5о). Сделав замену (3), приходим к системе уравнений

—Г“) = (-УУЕ (р (0) + С + х8(()) + УУС ( х9(() + х10(())) х1(() + ш

+(у + пЬсех5 (() + пЬсеЕ* )х9 (();

• = Уму х1 (() х2 (() - амх2 (();

шх3(( ) = Ь( Е)

& Ь!

ш

^(т)р(н )х2 (( - Тн )(х3 (( -Т(тЕ)) + нЕЕ ) - х2 (()(х3 (() + н*Е) -Ьр^)х2 (()(х3 (() + нЕ)(х5 (() + Е*) - ан)х3 (();

^(т)ря )х2(( -тн)(х4(( -тн ) + нВ) -х2(()(х4(() + нВ)

-ьР^) х2 (()(х4 (() + нВ)(х6 (() + В*) - а(^) х4 (();

шх5(() = Ь(Е)

ш Ьр

^(т)рЕх2(( -ТЕ )(х3(( -тЕ ) + нЕ )(х5(( -тЕ ) + Е ) -

*2 (()(х3 (() + н*Е)(х5 (() + Е*) -Ьесх9 (()(х5 (() + Е*) - аЕх5 (();

^(т)рВх2(( -Тв )(х4(( -Тв ) + нВ)(хб(( -Тв ) + В*) -*2 (()(х4 (() + нВ)(хб(() + В*)] - авхб(();

шхб(() = Ь( В)

ш Ьр

шхп (() (Р) * *

—7— = Ь{р )^(т)рРх2((-тР)(х6((-тР) + В )(х4((-тР) + ВР)-аРх7((); ш

йх8 (() *

—------= рр (х7 (() + Р ) - УРУ х1(()(х8 (() + р(0)) - аР (х8(() + Р(0));

ш

шха (() * *

• = ах1(()(С - х9(() - хю(()) - Ьсех9 (()(х5(() + Е ) - Ьтх9(();

ш(

шх1о(() = Ьсех9 (()(х5 (() + Е*) + Ьтх9 (() - атхю((). (11а)

ш

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.3. Пусть при (е [“о,Т5] траектория решения системы уравнений (1) не покидает шара Л(0,5) и пусть выполнены следующие условия:

-Ууе (Р(0) + С )+| Ууе | 50 + 21 7ус | 50 + | у + пЬСЕЕ | + | пЬСЕ | 50 < 0 (-Х);

| Уму 15о-ам <0 (-х);

| ЬИ^(т)рИ) | 50 + | ЬИ^(т)рИ) | ИЕ | + | ЬИ | 50 +

+1 Ь^нЕ | +1 ьРЕ | 52 +1 ьРеиЕ | 5о +

+ |ЬИpEE^5о\ + |ЬИpEИlíEE^|<0 (-х);

| Ьн)^(т)рнВ) | 5о +1 ЬнЕ)^(т)рнВ) | нВ | +

+ | ЬЕ )|5о +|ЬнЕ) нВ | +1 Ьрв | 52 +

И ^ и* И ^ и* И т~» * и« е>

+1ЬрВВ |5о+|ЬpBИв|5о+|ЬpBBИв\-аBи <0 (-х);

| Ь(рЕ)^(т)ре | 52 +1 ЬрЕ)^(т)реИЕ 15о +1 Ьр^(т)реЕ* 15о +1 Ьр^(т)реИЕе* | + +1 Ьес | 5о +1 Ьсе || Е* | +1 В(рЕ') | (52 +5о(| иЕ | +1Е* |)+1ИЕ || Е |)-а е <0 (-х);

| ЬР)^(т)рв | 52 +1 ЬрВ)^(т)рвВ* 15о +1 ЬрВ)^(т)рвИВ 15о +1Ь(в^(т)рвИВВ* | + +1ЬВ | (52 + 5о(| ИВ | +1 В* |)+1ИВв* |)) - а в < 0 (-%);

| ЬРР)^(т)рр 152 +1 Ь^Р)^(т)ррВ* | 5о +

+1 Ь(рр)£э(т)ррВ*р5о | +1 Ь{Р^(т)ррВ*В* | -ар < 0 (-%);

| рРР | +| рР | +| УРУ | 50 +| УРУР(0) | -аР < 0 (-х);

|аС | +2|а15о+|ьсе 15о -ьсее -Ьт <0 (-х);

| ЬСЕ | 50 + | ЬСЕЕ | + | Ьт | -ат <0 (-х). (12)

Тогда система уравнений (1) устойчива (асимптотически устойчива) при (> “о.

Доказательство теоремы подобно доказательству теорем 1.1, 1.2, но технически сложнее.

Замечание. Условия (5), (9), (12) являются лишь достаточными. Критерии неустойчивости решения системы уравнений (1) могут быть сформулированы на основе результатов работы [4].

Естественно исследовать устойчивость решения системы уравнений (1) в предположении, что некоторые параметры системы зависят от времени. Это

исследование проводится по аналогии с рассуждениями, приведенными в статьях [2-4].

В результате приходим к критериям вида (5), (9), (12), у которых ряд коэффициентов зависит от времени. При этом условия вида (5) должны вы*

полняться при всех (е [“о,Т1], условия вида (9) должны выполняться при * * * всех (е [Т1, Т2], а условия вида (12) должны выполняться при всех (е [Т5, ^).

2 Устойчивость математической модели противобактериального иммунного ответа

В этом разделе исследуется устойчивость математической модели противобактериального иммунного ответа, предложенного Г. И. Марчуком [1].

Математическая модель противобактериального иммунного ответа описывается в [1] системой уравнений

аК

—— = РК - уКММКК - УКЕРК; а(

к

■ = Умкмкк - аММК;

—ИВ = ь( В) — И

—

^(т)р(В )МК (1 - тНВ)) Нв (1- т(НВ))-мкНв

-ЬР В)МкНвв + аи (Ив - ив );

— Ь(рВ') [^(т)рвМК [ -ТВ )ив (1 - ТВ )В(1 -ТВ )-МкнВВ] + аВ (В - в);

—— = Ъ(р \(т)ррмк (1 -Тр)Нв (1 -тр)В(ґ -Тр) + ар(Р - Р);

—— = ррр - цЕурккр - арР;

—1

—т ^ /пч

— = ск -атт, (13)

—1

где к (1) - количество патогенных бактерий в органе-мишени; Мк (1) - количество стимулированных макрофагов лимфоидной ткани органа-мишени; Ир (1) - количество Г-клеток-помощников данной специфичности; В(1) -количество В-лимфоцитов данной специфичности; Р(1) - количество плазматических клеток, вырабатывающих антитела данной специфичности; Р (1) -количество специфических антител; т(1) - доля пораженных клеток органа-мишени.

В качестве начального приближения возьмем состояние здорового организма:

к(0) = 0, Мк(0) = 0, Ир(0) = Ир, В(0) = В*, Р(0) = Р*;

*

р(0) = р* = Рр—, т(0) = 0; а р

Мк (Т)ИВ (() = 0, -т^ < (<0;

Мк(“)Ив(“)В(() = 0, -т<(<0, т = тах(тв,Тр). (14)

В отсутствие бактерий (К = 0) система уравнений (13) имеет стационарное решение

*

Ф ^ ^ О Г~' Р

Мк =0,Ив =Ив , В = В ,Р = Р ,/ = ^^,т = 0. (15)

а р

Здесь в, уКМ, укс, уМК, аМ,..., ат - параметры, характеризующие динамику процессов, протекающих в организме. Описание этих параметров дано в работе [1].

Так как исследование устойчивости стационарного решения системы уравнений (13) проводится по аналогии с исследованием устойчивости стационарного решения системы уравнений (1), то остановимся лишь на принципиальных моментах.

Будем исследовать устойчивость стационарного решения системы уравнений (15). Для этого введем новые неизвестные функции:

Х1 (() = К((), Х2 (() = Мк (“) - Мк (0), Х3 (() = Ив (() - Ив (0), Х4 (() = В(() - В(0);

Х5(() = Р(() - Р(0), х6(() = р(() - р(0), Ху(() = т(() - т(0). (16)

*В

Обозначим через т минимальную из задержек Ти , Тв , Тр.

*

В результате замены (16) в промежутке времени [0, т ] приходим к следующей системе уравнений:

—%і(ґ) _

= (Р- У км Х2(1) - Ук—Х6 (1) - Ук—Р (0)) Х1(1);

—

—Х2(1) = умкХі (1) Х2 (1) - ам Х2 (1);

—

—хх3(1 = -Ъ(ИВ') Х2 (1)(Хз (1) + Ир) - Ъ(рВ) Х2 (1)(Хз (1) + Ир)(Х4 (1) + В*) - аиХз (1); —

—%4}() = Ъ<р3)Х2 (1)(Хз (1) + Ир)(Х4(1) + В*) - аВХ4 (1);

—

——1) = -аРХ5(0;

—

= рРХ5 (0 + рРр(0) -ПЕУ—кХ1( 1)(Х6 ( 0 + р(0)) - аРХ6 ( 1);

—Хб( 1) =

—

—Х7( 0 = сХі ( 1) -атХП( і). (17)

—

Исследование устойчивости системы уравнений (17) будем проводить в

пространстве р7 с нормой ||х|| = тах | хг- |.

1<г<7

Исследуем устойчивость системы уравнений (17) при возмущениях на-

система уравнений (17) устойчива (экспоненциально устойчива) в промежут-

*

ке времени [0, т ].

Предположим, что условия (18) выполнены. Тогда траектория решения системы уравнений (17) не покидает шара р(0,5о) в течение промежутка

*

времени (е [0, т ].

* (В)

Положим для определенности тВ = т < Ти < Тр .

*В

Тогда в промежутке времени (е [т , Ти ] система уравнений (13) заменой (16) преобразуется к виду

= -И Х2 (()(Хз (() + И*В) - Ъ{рВ) Х2 (()(Хз (() + И*В)(Х4 (() + В*) - а и Х3 (“);

чальных условий х0 (() = (х0((),..., х7 (()) таких, что х0 <6о.

(18)

1 ) = (Р- УкмХ2(() -УкрХ6(() - Укрр(0))Х1((); а(

ё%2}() = 1мкХ1 (“) Х2 (“) - ам Х2 ((); а(

—“Т“) = ьр ^(т)РИИХ2 (( -ТВ )(Х3(( -тВ ) + И_В )(Х4(( -тВ ) + В ) -

а( Ь

-Х2(()(Хз(() + ИВ)(Х4(() + В ) -аВХ4(();

—= РрХ5(() + Ррр(0) -Л_ЕУрКХ1(()(Х6(() + р(0)) -арХ6((); а(

Сформулируем условия, при которых траектория системы уравнений

(19) не покидает шара р(0,5о). Пусть £ о = (С0,---, С7) - произвольный элемент, принадлежащий сфере S (0,5о).

Пусть выполнены следующие условия:

Р - Укрр (0) +(| У км 1 +1 Укр |)5о < 0 (-Х); -ам +| Умк | 5о < 0 (-Х);

| ьИВ) | (8о +1ИВ |)-1 ьр) | (8о +1ИВ |)(8о +1 В* |) - а и <0 (-х);

| ьр | (| ^(т)|| РИ | (8о+1 ИВ |))(8о+1 В* |) + (8о+1 иВ |)(8о+1 В* |)) - а в <0 (-х); -ар <0 (-х);

| ррр(0) | + | ЬЕУрк | (50 + | р(0) |)+ | Рр | -ар < 0 (-х);

| о | -ат <0 (-х). (20)

Тогда из результатов работ [2-4] следует, что при выполнении условий

(20) траектория решения системы уравнений (19) не покидает шара р(0,5).

Аналогичным образом устойчивость решения исследуется в течение

* * * * * в *

промежутков времени [т , Т1 ],[Т1, Т2], Т1 = Ти , Т2 = тр .

Предположим, что выполнены условия, из которых следует, что траектория решения системы уравнений (13) не покидает 5о окрестность точки

(0, иВ, В*, р\ ррР*/ар,0).

*

Исследуем устойчивость решения системы уравнений (13) при ( ^Т2. Воспользовавшись заменой (16), представим систему уравнений (13) в следующем виде:

(ОХл ( () *

—^- = Ф-УкМХ2(()-УкрХ6(()-Укрр )х1((); а(

ёХ2}() = УмкХ1 (“) Х2 (“) - ам Х2 ((); а(

= Ьн )^(т)рИ/Х2 ((- тВ)Х3(( - тВ) +

+Ь('н) ^(т)рИи*в Х2(( -т(^)) -ЬяХ2(() Х3(() --Ь^В)Х2 (()ИВ - ЬРИв )Х2 (()Х3 (()Х4 (() -

-Ь{р В)Х2(()Х3(()В* -ЬРИВ)Х2(“)И*вХ4(“) -

-Ьр В)Х2(()ИВВ -анХ3(();

аХ4(() = ЬР,В) ^(т) Х2 (( -Тв ) Х3(( -Тв ) Х4(( -Тв ) +

а( г

+ЬРВ) £(т) Х2 (( -Тв ) Х3(( - Ть ) В* +

+ЬрВ)^(т)Х2 (( - Тв )Х4(( - Тв )ИВ +

+ЬрВ)£(т)Х2 ((- Тв )В*ИВ - ЬРВ)Х2 (()Х3 (()Х4 (() --ЬрВ)Х2(()Х3(()В* -Ь^Х2(“)Х4(Г)ИВВ -Ь^Х2(“)В*нВ - авХ4(();

) = ЬР,Р)^(т)р рХ2 ((- Тр) Х3 ((- Тр) Х4 ((-Тр) +

+ЬрР)^( т)р рХ2(( -Тр) Х3(( -Тр) В* +

+ЬрР)^(т)ррХ2 ((- Тр)ИВХ4 ((- Тр) +

+ЬрР)^(т)ррХ2 ((- тр)ИВв* - арХ5 (();

Ох6 (“)

—-— = РрХ5(() + Ррр (0) - Ле УркХ1(() Х6(() - Ле Уркр (0) Х1(() - а рХ6((); а(

йХп}() = 0Х1(() - ат Х7 ((). (21)

а(

Устойчивость тривиального решения системы уравнений (21) определяется следующим утверждением.

*

Теорема 2.1. Пусть при (е[“о, “2] траектория решения системы уравнений (21) не покидает шара Я(0,5о). Тогда условия

Р - Укрр(0)+| Укм 15о+| Укр 15о < 0 (-х);

| Умк | 50 - ат <0 (-х);

| Ь# )^(т)рИ | 50 + | Ь# ^(т)РЬ1ИВ | + | ЬИ | 50 +

+1 ЬВнВ | +1 Ь(рИв) 152+1 Ьр^)В* 15о+1 ЬрИв)ИВ 15о +

+ | Ь^,Ив)ИВв* | -аи <0 (-х);

| ЬрВ)^(т) | 52 +1 Ь(В^(т)В* | 5о +1 ЬрВ)£(т)иВ | 5о +

+1 Ьрв)^(т)В*ИВ | +1 ЬрВ) | 52 +1 Ьрв)В* | 5о +

+1 Ьрв)ИВ 15о+1 Ьрв)В*ИВ | -ав <0 (-х);

| Ьрр)^(т)рр | 52 +1 Ьрр)^(т)ррВ* | 5о +

+1 Ьрр)^(т)ррИВ | 5о +1 Ь(рр^(т)ррИВв* | -ар <0 (-х);

| Рр | + | ррр(0)| + | ПЕУрк | 50 + | ПЕУркр | -ар <0 (-х);

| о | -ат <0 (-х) (22)

достаточны для устойчивости (асимптотической устойчивости) тривиального

*

решения системы уравнений (21) при (е [Т2,тс). Доказательство подобно доказательству теоремы 1.3 и поэтому опускается.

Список литературы

1. Марчук, Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г. И. Марчук. - М. : Наука, 1991. - 304 с.

2. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений / И. В. Бойков // ДАН СССР. - 1990. - Т. 314. - № 6. - С. 1298-300.

3. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с последействием / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34. -№ 8. - С. 1134-1138.

4. Бойков, И. В. Об одном критерии устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. -2006. - Т. 42. - № 1. - С. 3-10.