Устойчивость многошаговых методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.53.072

В.Н. Бирюков, А.М. Пилипенко

УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Асимптотическая устойчивость одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений однозначно определяется функцией роста Л(к), связывающей значения переменной на одном шаге х п + 1 = Л(к) хп при решении тестового уравнения 6хШ = - х, х(0) = х 0. Рассмотрим устойчивость многошаговых методов Адамса-Маултона третьего порядка (1) и Гира второго порядка (2) на примере решения указанного уравнения. Искусственный метод, при котором х 05 определяется точно [х 05 = ехр(- к /2)], а х 1 - многошаговым методом, можно рассматривать как одношаговый, состоящий из двух частичных шагов. Для искусственного метода, состоящего из трех частичных шагов, х 1/3 определяется точно, а х 2/3 и х 1 -многошаговым методом. Аналогично можно получить методы с 4-мя, 5-ю и т.д. частичными шагами. Очевидно, что свойства искусственного одношагового метода с ростом числа частичных шагов приближаются к свойствам исходных многошаговых методов. На рисунке 1 приведены зависимости локальных погрешностей соответствующих одношаговых методов А = | х 1 - х 1 ) | при разном числе частичных шагов.

А

10

10 - 1 -

10 - 3 -

10 - 5 -

10 -

10 - 1

1

10-

А 10-

10-

10-

10 2

10 1 10 2 103 10-1 1 10 1 к к Рисунок 1 - Зависимость локальной погрешности от шага одношагового метода

при разном числе частичных шагов. Слева использован метод 3-го порядка (1), справа - метод 2-го порядка (2)

103

Полученные зависимости позволяют сделать следующие выводы.

1. Несмотря на условную устойчивость метода (1), он может использоваться в безусловно устойчивых методах типа предиктор-корректор.

2. Степень ¿-устойчивости метода (2) находится между нулевым и первым порядком.

1

2

4

6

7

8