CC BY
14
Устойчивость фрактальных свойств квазипериодических
многослойных структур
М.Г. Давыдова1,0, П. В. Короленко1,2,6, Ю.В. Рыжикова1,с
1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра оптики, спектроскопии и физики наносистем.
Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
2 Физический институт имени П. Н. Лебедева Российской академии наук.
Россия, 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 53.
E-mail: a m_davydova@inbox.ru, 6pvkorolenko@rambler.ru, c ryzhikovaju@physics.msu.ru Статья поступила 04.03.2016, подписана в печать 16.03.2016.
Выполнен анализ устойчивости фрактальных признаков в оптических спектрах квазипериодических многослойных систем при внесении в их структуру детерминированных изменений. Показано, что на скейлинг в характеристиках многослойных систем существенное влияние оказывает трансформация суммационного принципа их построения, переход к модели аппрок-симантов и изготовление слоев на основе метаматериалов.
Ключевые слова: квазипериодические многослойные структуры, фрактальные паттерны, скейлинг, аппроксиманты, метаматериалы.
УДК: 535.015. PACS: 68.65.Ac; 42.25.Hz.
Введение
Существует обширная литература (например, [13]), посвященная изучению свойств и возможностей практического использования разнообразных структур с фрактальными признаками. В частности, квазипериодические многослойные структуры (КМС) нашли применение при создании широкополосных отражателей [4], оптических переключателей [5], элементов рентгеновской оптики [6] и других устройств. Поскольку свойственная многим из них фрактальность в значительной степени определяет их оптические свойства, существует необходимость в определении степени влияния различных факторов на самоподобие их характеристик. Цель настоящей работы состоит в оценке влияния детерминированного изменения структуры КМС на стабильность фрактальных паттернов их оптических спектров. Предполагается, что такие изменения могут быть внесены в многослойную структуру путем трансформации суммационного принципа их построения [7], переходом к модели аппроксимантов [8, 9] и изготовлением ряда слоев на основе широко применяющихся метаматериалов [10-12].
Использование аппроксимантов позволяет технически упростить процедуру получения структур с заданным набором оптических свойств. Предварительные исследования [8, 9] указывают на перспективность применения аппроксимантов, занимающих промежуточное положение между апериодическими и периодическими системами, при совершенствовании и разработке новых средств оптической диагностики.
С использованием указанных приемов внесения детерминированных изменений в исследуемые структуры появляется возможность оказывать целе-
направленное воздействие на характеристики КМС. Так, во многих работах, выполненных ранее по близкой тематике, в качестве КМС использовались системы, построенные на базе числовой последовательности Фибоначчи, являющейся частным случаем более общей последовательности Штурма [13]. В настоящей работе для удобства сравнения результатов разных авторов применялись так называемые системы т-боначчи с различными значениями структурного параметра т [14, 15]. Эти системы являются родственными по отношению к системе Фибоначчи и отличаются от нее иным представлением, лежащим в их основе суммационного принципа. При т = 2 системы т -боначчи и Фибоначчи совпадают. Рассмотрим свойства системы т-боначчи подробнее.
1. Построение структур т -боначчи
Многослойные системы т -боначчи представлялись в виде структурных блоков Б1 = {А, В}, где I — уровень генерации, А и В — составляющие элементы, чередующиеся по определенному закону и соответствующие различным показателям преломления па и пВ. При этом изначально задавались т первых структурных блоков [14, 15]. Так, например, т = 2 соответствует заданию двух начальных блоков: 50 = В, 51 = А. При переходе к более высокому уровню генерации I > 1 использовались следующие правила замещения: А ^ АВ, В ^ А. Такая форма построения системы эквивалентна такой процедуре: 5/+1 = {5/5/_1} при I ^ 1. Для построения структуры с параметром т = 3 задавались три первых блока: 50 = В, 51 = А, Б2 = АВ. Последующие блоки таких систем формируются объединением элементов трех предшествующих уровней 5/+1 = {5/5/_15/_2} при I ^ 2. В общем случае, когда т ^ 3, с помо-
щью первых структурных блоков 50,5ь52,...,Бт можно сформировать систему т -боначчи, используя следующие правило: = ••• 5г_(т_[)} при
/ ^ т — 1.
В настоящей работе детерминированные изменения задаваемых структур семейства т-боначчи достигаются, в частности, переходом к моделям их аппроксимантов первого типа [8]. В этом случае аппроксиманты первичной последовательности Л/ = {5/}р представляют собой последовательность элементарных ячеек Б/. В роли таких ячеек могут выступать отдельные уровни генерации / используемой числовой последовательности. Порядок ап-проксиманта р определяется числом элементарных ячеек.
Тогда аппроксиманты при т = 2 имеют вид
Ло = {р, Л1 = {а}р, Л2 = { А&}р,
5о 51 52
Л3 = {АВА}Р, Л4 = {АВААБ,}^ Л5 = {АВААВАВА}Р, ..., Л/+1 = {ВД^}Р.
55
(1)
Аппроксиманты при т = 3 подчиняются соотношениям
Ло =
, Л1 = {А} , Л2 = { Ав} ,
5о 51 ^2
Л3 = {АВ£В)Р, Л4 = { АВАВАВАу, Л5 = { АВАВАВААВАВАВ|Р, ...,
Л/+1 = { ЗД^Я^}р. (2)
Подобным образом можно сформировать структуры последующих аппроксимантов семейства т -боначчи с т >3. При изменении структурного параметра т достигается трансформация первоначального принципа построения рассматриваемых структур.
2. Оптические свойства структур т-боначчи и их аппроксимантов
При внесении детерминированных изменений в исследуемые структуры, рассматривалась возможность замены части диэлектрических слоев на слои из метаматериалов. Считалось, что слои В выполнены из диэлектрика, а слои А — из материала, который в определенном спектральном интервале имеет отрицательный показатель преломления пА = —у/ёАрл, где диэлектрическая проницаемость £а и магнитная восприимчивость /а принимают одновременно отрицательные значения £а, ца <0. Отрицательность показателя преломления приводит к изменению направления фазовой
скорости и вызывает эффект фазовой компенсации, способный изменить структуру оптических спектров КМС [16].
Величины £а и /а слоев А зададим в дискретном виде, отражающем экспериментальные данные [17, 18]
52 102
£А(/к) = 1 + /А(/к) = 1 +
+ ■
0.92 — Ц 11.52 — /2' 32
(3)
0.9022 — /2'
где /к = 1.5(1 + 0.0033£ ) определяет частоту, измеряемую в ГГц, к = 0,..., Лтах, Лтах — целое число, ограничивающее частотный интервал.
Фазовые набеги в слоях КМС определяются выражением [10]
ф = ЭД^, (4)
' с
где ] — номер слоя, с — скорость света, ( — толщина слоев, Л|,£ — значение показателя преломления | -го слоя с учетом частоты излучения и выбранного закона чередования слоев А и В:
1 =
= \ £1 (/и)/(/и) для слоев А,
. п/.к
для слоев В,
знак «минус», стоящий перед корнем в последнем выражении, соответствует случаю, когда величины £] (/к) и /(/к) одновременно принимают отрицательные значения, во всех остальных случаях следует выбирать знак «плюс». Параметры окружающей среды принимались равными £ = 1, / = 1. Толщины слоев считались равными (А = 1.2 см и (В = 2.4 см.
Оптические характеристики (спектры пропускания и отражения) исследуемых многослойных систем рассчитывались на основе использования известного матричного метода [19] с учетом выполнения закона Френеля для метаматериалов [10]. Самоподобные свойства оптических характеристик систем т-боначчи анализировались путем сопоставления коэффициентов взаимной корреляции формы регистрируемых самоподобных образований (паттернов [20]) многослойных систем с диэлектрическими слоями и многослойных систем с метаматери-алами. При этом для более удобного выявления фрактальных паттернов использовалось приведенное логарифмическое представление спектральных зависимостей, основанное на определении величины г = — 1п(1 — К) [5], где Я — коэффициент отражения многослойной структуры, связанный с коэффициентом пропускания Т соотношением Я = 1 — Т.
Ранее нами было показано [21], что дисперсионные эффекты, описываемые формулами (3), могут оказывать значительное влияние как на положение, так и на форму фиксируемых фрактальных паттернов в спектрах систем Фибоначчи (т = 2 ). В настоящей работе указанное утверждение было проверено для случая т >2. На рис. 1 приведе-
Л
А
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
#»
I 1 • .1
л
I « > I I I
600
800
1000
1200
1400
г
30 20 10 0
т-1Ъ и ,
г 1 1 С6 ¡«1
5II I 6 1|'
I 1 I ■■
III ■■
I I "I
I ■ ■■
I ■ "I
• Л ■ *
• а\ 1 *
1 Я . 1 *
1 II .1 * 1 II .1 *
1 ■ I 11
ианМ 1ктА.
1800
¥
■I ■
ч \ ■
МСЛк .> I
-А.
о
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
4
Рис. 1. Трансформация формы паттернов в спектральных характеристиках КМС при т = 2 (а), 3 (б) и 4 (в) с учетом дисперсионных эффектов. Число слоев / = 64, а1а2, а2а3 , а4а5, а6а7, Ь1Ь2, Ь3Ь4, с1с2, с3с4,
С5С6 — паттерны. Сплошная линия: пВ = 1.5, штриховая: пВ = 1
ны спектральные характеристики систем т-боначчи с т = 2, 3, 4. При проведении расчетов считалось, что дисперсионные эффекты в слоях В являются пренебрежимо слабыми. Буквенными обозначениями а1а2, а2а3, а4а5, а6а7, Ь^, Ь3Ь4, Ь5Ь6, С1С2, с3с4, С5С6 выделены фиксируемые паттерны. Отметим, что сходные по форме паттерны могут фиксироваться и при других значениях £д([к) и ^(Д) в областях, соответствующих как отрицательному, так и положительному значениям показателя преломления. При проведении расчетов показатели преломления слоев В для областей, где показатели преломления слоев А принимают отрицательные или положительные значения, считались равными п1к = пВ = 1 (штриховая линия) или п^ = пВ = 1.5 (сплошная).
Из приведенных графиков видно, что увеличение т вызывает значительную трансформацию формы паттернов. Для количественной оценки этой трансформации были рассчитаны коэф-
фициенты взаимной корреляции между фиксируемыми паттернами а\а2 и Ь[Ь2, а6а7 и Ь5Ь6, Ь[Ь2 и С[С2, Ь5Ь6 и С5С6 в рассматриваемых спектральных характеристиках, сформированных для т = 2, 3 (рис. 1, а, б) и т = 3, 4 (рис. 1, б, в), которые принимают значения К = 0.6-0.8. В переходной области, разделяющей спектральные диапазоны, где показатель преломления слоев А принимает отрицательные и положительные значения, паттерным образованиям а4а5 и Ь3Ь4, Ь3Ь4 и с3с4 соответствуют коэффициенты взаимной корреляции К = 0.4-0.5. Наибольшее соответствие по форме достигается между парами паттернов а; а2 и а6а7, Ь\Ь2 и Ь5Ь6, с;с2 и С5С6, с;с2 и с3с4, при этом К = 0.8-0.95. Значительный разброс коэффициентов корреляции обусловлен, по всей вероятности, сложным сочетанием влияний эффектов дисперсии и фазовой компенсации [16].
Для того чтобы разделить оценку влияния указанных эффектов, часть расчетов была выполнена
Т 1.0
т 1.0
0 500 1000 1600" 2Ô00 2500 3000 *
■ I
500 1000 1500 2000 2500 3000 к
500 1000 ï50Cj 2j)00 2500 3000А:
2000 2500 3000А:
1 M
1 1
1 -
500 1000 1500 2000 2500 3000 *
Рис. 2. Спектральные характеристики КМС при т = 2 (а,г),3 (б, д), 4 (в, е) (число слоев / = 64) без учета дисперсии. Т — коэффициент пропускания (а-в); г — приведенный коэффициент отражения (г-е). Пунктиром обозначена зона расположения паттерных образований
с использованием упрощенной ступенчатой аппроксимации формулы (3). При этом считалось, что диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость слоев А по абсолютной величине равны \£а\ = 9, \/а\ = 1 и принимают отрицательные значения в области £ < 1500. Слои В характеризовались постоянным коэффициентом преломления П|,и = пВ = 1.5 во всей области частот. Для указанных параметров на рис. 2 представлены фрагменты спектральных зависимостей коэффициентов пропускания Т и параметра г систем т -боначчи, соответствующих т = 2, 3, 4.
Области паттерных образований выделены пунктирными линиями. Из рис. 2 видно, что левая
часть спектральных зависимостей, когда k < 1500, оказывается крайне чувствительной к проявлению эффекта фазовой компенсации, связанному с наличием слоев из метаматериала. C увеличением m, приводящим к выравниванию количества слоев A и B, из-за фазовой компенсации исчезает часть резонансных пиков и спектр становится близким к спектру периодических систем. Область k > 1500 соответствует классическому случаю многослойных структур с диэлектрическими слоями. В этой области анализируемые системы характеризуются наличием специфических паттерных образований, по которым можно произвести идентификацию их структуры. При этом коэффициент взаимной корреляции по форме между паттернами из одного частотного интервала, регистрируемыми в спектральных зависимостях структур семейства m-боначчи с m = 3 и m = 4 (рис. 2, д,е), достигает значения K = 0.9. Для систем с m ^ 5 рассчитанные для аналогичных областей коэффициенты K близки к единице.
Дополнительные исследования устойчивости пат-терных образований в спектрах пропускания многослойных структур m-боначчи к изменению их геометрической конфигурации, проводились с использованием моделей аппроксимантов первого типа [8, 9]. Рассмотрим особенности этой модели, считая, что m = 2. Выполненные расчеты указывают на то, что определяющим параметром, влияющим на структуру спектров аппроксимантов, является уровень генерации l. Это иллюстрирует рис. 3, где приведены паттерные образования в оптических характеристиках систем, сформированных с использованием формулы (1). Параметр p выбирался таким образом, чтобы число слоев J в рассматриваемых КМС было примерно одинаковым.
Ход графиков на рис. 3 демонстрирует проявление сходных по своей структуре устойчивых паттернов в области как с положительными, так и с отрицательными коэффициентами преломления для l > 4. При этом коэффициенты взаимной корреляции по форме фиксируемых паттерных образований из одного интервала последовательно сформированных аппроксимантов увеличиваются с ростом l от K = 0.65 до K = 0.97.
Расчеты, выполненные для систем с m > 2, позволяют распространить сделанные выше выводы на аппроксиманты других видов. Это следует из общего подхода геометрического построения таких систем. Таким образом, появляется возможность описания с единых позиций свойств широкого класса систем m -боначчи и их аппроксимантов.
Заключение
Показано, что детерминированные изменения структуры КМС и параметров ее слоев могут существенным образом повлиять на ее фрактальные свойства. Тем самым появляется возможность достаточно простыми средствами оказывать целенаправ-
_ _Л_Г\ /1 LiUV .A(WV
0 506 1000 15|)0 200i) 2500 ■ ■
A A/\ 1 /> 1 / 1 1 1 1 1 f HA V ■ Alka • Л A lAA б JLIL^
0 50ф 1000 15j)0 200J3 2500
A(\*f\ >/\aaff\ /1 Li jJ li. ..Л>1 J в ..A..
0 50i ) 1000 15Ö0 200p 2500
A„fW \ / VAAJ \ /1 ! f 1 1 1 (lit M \ 1 1 1 1 л M г uA..
0 506 1000 15{>0 200b 2500 ■
aaS\ /ЛлЛА/Л Л l(\J\J . . аАДл.
о
500
1000
1500
2000
2500
Рис. 3. Графическое сравнение спектров аппроксимантов А5 = ^5} (J = 232) (а), А6 = {56}18 (J = 234) (б), А7 = {57}11 (J = 231) (в), А8 = {58}7 (J = 238) (г) и системы Фибоначчи (J = 233) (д). Пунктирными линиями выделены зоны расположения паттерных образований
ленное влияние на характеристики КМС, адаптируя их к решению конкретной задачи.
Так, наличие в многослойных системах слоев из метаматериала может оказывать заметное влияние на проявление самоподобных свойств в оптических характеристиках структур m-боначчи и их аппроксимантов, а в некоторых случаях — под влиянием эффекта фазовой компенсации полностью их подавлять. Этот факт следует учитывать при фиксации фрактальных паттернов в спектральных характеристиках рассматриваемых систем с целью их идентификации и выявления дефектов структуры. В то же время корреляционный анализ указывает на определенную устойчивость формы регистрируемых паттернов в системах m-боначчи и их аппроксимантах.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-3200386 мол_а.
Список литературы
1. Марголин В.И., Аммон Л.Ю., Бабичев Д.А. и др. // Изв. Акад. инженерных наук им. А. М. Прохорова. 2015. № 1. С. 7.
2. Короленко П.В., Поздеева Е.В., Саенко О.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. № 5. С. 17.
3. Боголюбов А.Н., Петухов А.А., Шапкина Н.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2011. № 2. С. 20. (Bogolyubov A.N., Petukhov A.A., Shapkina N.E. // Moscow University Phys. Bull. 2011. 66, N 2. P. 122.)
4. Korolenko P.V., Mishin A.Y., Ryzhikova Yu.V. // Optik — Intern. J. for Light and Electron Optics. 2013. 124(19). P. 3946.
5. Короленко П.В., Мишин А.Ю., Рыжикова Ю.В. // Оптический журнал. 2012. 79, № 12. С. 11. (Korolenko P.V., Mishin A.Yu., Ryzhikova Yu.V. // J. of Optical Technology. 2012. 79, N 12. P. 754.
6. Пирожков А.С., Рагозин Е.Н. // Успехи физ. наук. 2015. 185, № 11. С. 1203. (Pirozhkov A.S., Rago-zin E.N. // Phys. Usp. 2015. 58, N 11. P. 1203.)
7. Albuquerque E.L., Cottam M.G. // Physics Reports. 2003. 376. P. 225.
8. Korolenko P.V., Logachev P.A., Ryzhikova Yu.V. // Physics of Wave Phenomena. 2015. 23, N 1. P. 46.
9. Короленко П.В., Мишин А.Ю., Рыжиков С.Б., Рыжикова Ю.В. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2015. 20, № 3. C. 17.
10. Веселаго В.Г. // Успехи физ. наук. 2003. 173, № 3. С. 790. (Veselago V.G. // Phys. Usp. 2003. 46. P. 764.)
11. Боголюбов А.Н., Мухартова Ю.В., Гао Ц. // Математическое моделирование. 2013. 25, № 2. С. 65. (Bogolyubov A.N., Mukhartova Yu.V., Gao Ts. // Mathematical models and computer simulations. 2013. 5, N 5. P. 416.)
12. Белокопытов Г.В., Журавлев А.В., Терехов Ю.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон.. 2012. № 3. C. 17. (Belokopytov G.V., Zhuravlev A.V., Terekhov Yu.E. // Moscow University Phys. Bull. 2012. 67. N 3. P. 255.)
13. Мучник А.А., Притыкин Ю.Л., Семенов А.Л. // Усп. матем. наук. 2009. 64, № 5. С. 21. (Muchnik A.A., Pritykin Y.L., Semenov A.L. // Russian Mathematical Surveys. 2009. 64, N 5. P. 805.
14. Furlan W.D., Ferrando V., Monsoriu Ju.A. // Proc. of SPIE. 2015. 9450. P. 945014-1-6.
15. Monsoriu J.A, Depine R.A., Martinez-Ricci S.E. et al. // Optics Letters. 2009. 34. N 20. P. 3172.
16. Maksimovic M., Jaksic Z. // Acta Phys. Pol. A. 2007. 112, N 5. P. 1049.
17. Daninthe H., Foteinopoulou S., Soukoulis C.M. // Photon. Nanostruct. Fundam. Appl. 2006. 4(3). P. 123.
18. Rao V.S.C.M., Gupta S.D. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. 6. P. 756.
19. Born M., Wolf E. Principles of optics. N.Y.: Cambridge University Press, 2001.
20. Korolenko P.V., Ryzhikov S.B., Ryzhikova Yu.V. // Physics of Wave Phenomena. 2013. 21, N 4. P. 256.
21. Davydova M.G., Korolenko P.V., Ryzhikov S.B., Ryzhikova Yu.V. // Physics of Wave Phenomena. 2016. 24, N 1. P. 17.
The stability of the fractal properties of quasi-periodic multilayered structures M.G. Davydovau, P.V. Korolenko1Äb, Yu.V. Ryzhikovau
1 Department of Optics, Spectroscopy, and Physics of Nanosystems, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
2 Lebedev Physics Institute, Russian Academy of Sciences. Moscow 119991, Russia. E-mail: a m_davydova@inbox.ru, b pvkorolenko@rambler.ru, c ryzhikovaju@physics.msu.ru.
The stability of fractal characteristics has been analyzed in the optical spectra of quasi-periodic multilayered systems with the deterministic changes therein. The transformation of the summation principle of their construction, the transition to the approximant model, and the preparation of metamaterial-based layers have been shown to exert a strong influence on the scaling of the parameters in multilayered systems.
Keywords: quasi-periodic multilayered structures, fractal patterns, scaling, approximants, metamaterials. PACS: 68.65.Ac; 42.25.Hz. Received 4 March 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2016. 71, No. 4. Pp. 395-399.
Сведения об авторах
1. Давыдова Мария Геннадьевна — студентка; тел.: (495) 939-57-40, e-mail: m_davydova@inbox.ru.
2. Короленко Павел Васильевич — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-57-40, e-mail: pvkorolenko@rambler.ru.
3. Рыжикова Юлия Владимировна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-57-40, e-mail: ryzhikovaju@physics.msu.ru.
