CC BY
12УДК 539.376
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРУЕМЫХ КАНАЛОВ ПРИ ТЕЧЕНИИ ПО НИМ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ СРЕД СО СТЕПЕННЫМ
ЗАКОНОМ УПРОЧНЕНИЯ
В. С. Юшутин1
В статье рассматривается динамическая модель системы, состоящей из цилиндрического деформируемого сосуда и нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения, текущей внутри него. Течение и деформирование предполагаются осесимметрич-ными. Исследованы стационарные решения, а также их устойчивость относительно малых возмущений. В пространстве безразмерных параметров задачи выделены области устойчивости.
Ключевые слова: деформируемый канал, нелинейно-вязкая степенная среда, устойчивость.
A dynamical model of a power-law viscous flow past a deformable tube is considered. The problem is axisymmetric. Stationary solutions and their stability with respect to small perturbations are studied. The stability conditions are formulated in terms of nondimensional parameters.
Key words: deformable tube, power-law fluid, stability.
Течения идеальной и ньютоновской жидкостей внутри деформируемого канала исследовались, например, в работах [1—3]. Для описания поведения такой разнородной контактной системы и основных эффектов, возникающих в ней, были созданы пространственно одномерные модели, сочетающие как качественную достоверность, так и простоту аналитических решений. Устойчивость течений была исследована, например, в работах [4, 5]; ниже понятие устойчивости поясняется. В работе предлагается феноменологическая модель течения по каналу с деформируемыми стенками нелинейно-вязкой среды со степенным законом упрочнения или, кратко, нелинейно-вязкой степенной среды. Показывается, что нелинейная реология влияет на устойчивость системы.
Физические явления, описываемые подобными моделями, связаны в основном с пульсацией крови внутри сосудов и истечением воздуха из легких. Однако в силу молекулярной структуры кровь не является ньютоновской жидкостью, а обладает неньютоновскими вязкопластическими свойствами [6]. Поэтому исследование течения нелинейных сред представляется особенно важным.
Определяющие соотношения несжимаемой нелинейно-вязкой степенной среды имеют следующий вид:
= -pôij + 2 цу1-1уг], (1)
где р — давление, vu = yJWjWj — квадратичный инвариант тензора скоростей деформаций Vij, ц — динамическая вязкость, ôij — тензор напряжений. При n = 1 соотношения (1) моделируют ньютоновскую жидкость.
Вводится цилиндрическая система координат (r, ф, z), ось z которой связана с осью недеформирован-ного цилиндра радиуса Ro. Предполагается, что течение осесимметричное и Vф = 0. Деформирование канала происходит так, что каждое поперечное сечение S(z,t) канала остается круговым, а точки оболочки перемещаются только радиально (рис. 1). Положение оболочки канала задается функцией R(z, t) — радиусом сечения канала в точке z в момент времени t. Эта функция определяет поверхность вращения, деформирующуюся с течением времени.
1 Юшутин Владимир Станиславович — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, е-: vladimir.yushutin@gmail.com.
Рис. 1. Осесимметричное деформирование оболочки, связанной с цилиндрической системой координат
Дополнительно к размеру сосуда определим неизвестные инженерные характеристики задачи: расход через сечение 5(г, Ь) и среднее интегральное давление по сечению:
ФОМ) = [ Р{х, ¿) = 1 [ р(г, г, ¿)
Относительно введенных функций составим замкнутую систему уравнений. Проинтегрируем по произвольному сечению обе части уравнения движения, спроецированного на продольную ось, учитывая, что радиус канала мал по отношению к его длине, как и наклон его границы к оси симметрии. По обоим малым параметрам уравнение движения линеаризуется:
3<ЭСМ) , д ( (Ш + 1 , /X (Зп + 1Г2^<ЭСМГ , тгДСМ)2 дР(г,1) п
+ Я.. , 1 "Г" „ „«._«.-1 Г,Г., + „ Я.. — и>
dt dz \ (2n + l)nR(z,t)2J p nn nn-1R(z,t)3n-1 p dz
где p — плотность среды.
Уравнение несжимаемости преобразуется к интегральному виду без линеаризации:
dQ{z,t) + d(iiR2(z, t)) = Q dz dt
При получении (2) использовано важное предположение — гипотеза единого профиля. Профилем некоторого течения называем безразмерную функцию s(x,z,t) = vz(xR(z,t), z,t) -Щ^гф, т.е. продольную скорость, отнесенную к ее среднему значению по сечению. Для стационарного течения в жестком цилиндре профиль имеет вид s(x) = vz(xRo) = — , что при п = 1 соответствует параболе Пуазейля.
Гипотеза единого профиля говорит о том, что и при деформировании сосуда профиль в каждом сечении не меняется, т.е. продольное поле скоростей имеет вид vz(r, z, t) = s(r(z t))• Таким образом,
мы сосредоточимся на исследовании процесса массопереноса и продольного распределения давления.
Два уравнения (2) и (3) содержат три неизвестные функции. Описав кинематику течения, необходимо дополнительно связать силовые характеристики системы — давление жидкости и реакцию стенок сосуда. Простейшая модель имеет вид винклерова основания без массы [7]:
E h
/3(R(z,t)-Bo)=P(z,t)-Po, /3= %я (4)
(1 _ vs )R0
где в — радиальная жесткость оболочки, Es и vs — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки, hs — ее толщина, а Po — внешнее давление на оболочку.
Система уравнений (2)—(4) описывает течение нелинейно-вязкой степенной среды внутри деформируемого сосуда в интегральных терминах. Ее безразмерная стационарная постановка имеет вид
dy(x) y(x)4-3n
где
P Р^ f \Т> д PR30n+1TTnnn 2pq2(3n +1)
z = xR0, R{z) = y(x)R0, В =-з^-, x =
Важным следствием стационарного уравнения несжимаемости (3) является постоянство функции расхода, которая становится размерным параметром д. Безразмерный параметр В тем больше, чем больше жесткость трубки, и в известной мере обусловливает сопротивление сосуда давлению среды. Его характерные значения много больше единицы. Другой безразмерный параметр % увеличивается вместе с ростом расхода, но его характерные значения имеют порядок единицы. Такой выбор размерных комбинаций оправдывается удобством анализа результатов.
Задачу Коши (5) можно проинтегрировать:
/ у3п-3 у 3п—3 ,.3га+2 ,.3га+2 \
•^ИО-^)' в=1- (7)
Анализ решений (6), (7) показывает, что, во-первых, любое стационарное решение существует при длине канала, меньшей некоторой конечной величины, а во-вторых, существуют два режима течения: докритический (х < у°) и сверхкритический (х > у°). При докритическом течении реализуется обычная ситуация: ниже по течению давление в жидкости падает и канал сужается, образуя конфузор. Сверхкритическое решение отличается тем, что уже Щ^г- > 0, и оболочка имеет вид диффузора. Переход между
о
режимами осуществляется через значение х = у0, при котором стационарного решения не существует при любой длине канала.
Следует иметь в виду, что параметр уо = не может сильно отличаться от единицы, как и функция у(х), поскольку перемещения оболочки должны быть малы по сравнению с ее размерами. Более того, наклон образующей оболочки обязан быть малым, значит, решения (6), (7) верны в области больших значений параметра В.
Определив стационарные решения задачи, переходим к выяснению их устойчивости. Для этого возмутим стационарное решение специальным образом:
Я(г, г) = я (1 + , Е(г, г) = Ко (у(х) + . (8)
Линеаризация уравнений (2), (4) с учетом (8) относительно малых амплитуд а, Ъ приводит к закону дисперсии, связывающему частоту и и длину волны к:
Ки2 + Ьи + М = 0, (9)
где К = К(п, В, х, Уо, х), Ь = Ь(к, п, В, х, у0,х), М = М(к, п, В, х, у0,х) — комплексные функции, явный вид которых весьма громоздок. Зависимость их от продольной координаты мала.
Критерий неустойчивости системы с возмущениями (8) следующий: существует действительное к, такое, что мнимая часть (9) является положительной.
Долгое время считалось (см. [8, 9]), что такой вид неустойчивости при течении ньютоновской жидкости появляется всегда при сверхкритическом режиме, тогда как докритический является устойчивым. Развитие неустойчивости связывают с тем, что скорость течения жидкости превышает скорость распространения осесимметричных волн в пустой цилиндрической оболочке.
Из аналитических условий положительности 1т(и) следует, что только параметры х, п и уо влияют на устойчивость системы. Как уже отмечалось выше, значение уо мало отличается от единицы, поэтому положим у о = 1, хотя зависимость устойчивости от этого параметра может быть исследована.
На рис. 2, а отмечены зоны устойчивости в пространстве безразмерных параметров п и х. Видно, что при п = 1 неустойчивость наступает тогда и только тогда, когда х > 1, т.е. реализуется сверхкритический режим; то же самое происходит и для значений 0,04 <п< 3,3.
Однако есть две области безразмерных параметров, где условия устойчивости отличаются. Для границы одной области найдены две асимптоты: х = 1 и п = 25+12^" ~ 3,38. В этой неограниченной области параметров течение, несмотря на сверхкритический режим, является устойчивым.
Другая область ограничена и расположена рядом с началом координат (рис. 2, б). При этих значениях параметров течение становится неустойчивым, хотя остается докритическим.
Таким образом, показана зависимость условий устойчивости от показателя степенной среды п. Псевдопластическая модель с малым значением п описывает жесткопластическое поведение среды. В рамках этого приближения критические параметры устойчивости пластической среды и ньютоновской жидкости отличаются. У последней неустойчивость возникает только при х > 1, тогда как в пластическом случае существует дополнительная зона неустойчивости при х < 0,06 (рис. 2). Проверить этот результат можно, исследуя течения вязкопластических сред в каналах с деформируемыми стенками без нелинейно-вязкого приближения [10].
I
[ 11
О 2 4 6 8 X 0 0,02 0,04 0,06 0,08 X
Рис. 2. Области устойчивости (I) и неустойчивости (II) на плоскости параметров х и п (а). Подробный вид при малых значениях параметров (б)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Formaggia L, Lamponi D., Quarteroni A. One-dimensional models for blood flow in arteries //J. Eng. Math. 2003. 47, N 3-4. 251-276.
2. Conrad W.A. Pressure-flow relationship in collapsible tubes // IEEE Trans. Bio-Med. Eng. 1969. 16. 284-295.
3. Bertram C.D., Pedley T.J. A mathematical model of unsteady collapsible tube behaviour //J. Biotech. 1982. 15. 39-50.
4. Kamm R.D., Shapiro A.H. Unsteady flow in a collapsible tube subjected to external pressure or body forces // J. Fluid Mech. 1979. 95. 1-78.
5. Grotberg J.B., Davis S.H. Fluid-dynamic flapping of a collapsible channel: sound generation and flow limitation // J. Biotech. 1980. 13. 219-230.
6. Георгиевский Д.В. Об эффективном пределе текучести в определяющих соотношениях крови in vivo // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 5. 51-54.
7. Nobile F., Vergara C. An effective fluid-structure interaction formulation for vascular dynamics by generalized Robin conditions // SIAM J. Sci. Comp. 2008. 30, N 2. 731-763.
8. Brower R. W., Scholten C. Experimental evidence on the mechanism for the instability of flow in collapsible vessels // Med. and Biol. Eng. 1975. 13. 839-845.
9. Bonis M., Ribreau C. Etude de quelques proprietes de l'ecolement dans une conduite collabable // Houille blanche. 1978. 3, N 4. 165-173.
10. Юшутин В.С. Вязкопластические течения по каналам с переменным по длине сечением и деформируемыми стенками // Изв. РАН. Сер. физ. 2011. 75, № 1. 139-143.
Поступила в редакцию 14.09.2011
УДК 531.01
МАКСИМАЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИЯ ПО ГАМИЛЬТОНУ ДЛЯ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ
Л. С. Отраднова1
Рассматривается вариационный принцип Гамильтона для механических систем с односторонними связями. Показывается, что функционал действие достигает локального максимума на классе вариаций, лежащих внутри области, допустимой для движения. Приводится пример.
Ключевые слова: вариационный принцип Гамильтона, функционал действие, односторонние связи.
Hamilton's variational principle for mechanical systems with unilateral constraints is considered. It is shown that the action functional attains its local maximum on the class of variations lying inside the area allowed for the movement. An example is given.
Key words: Hamilton's variational principle, action functional, unilateral constraints.
Рассмотрим механическую систему с лагранжианом L(q,q,t), где q £ Rn — обобщенные координаты. Считаем, что на систему наложена односторонняя голономная связь g(q) ^ 0, где g(q) — гладкая функция обобщенных координат, и выполнено условие невырожденности: dg/dq = 0 на границе связи g(q) = 0. Пусть qo(t), ti ^ t ^ t2, — траектория системы, выходящая на границу односторонней связи один раз в момент r: ti ^ т ^ t2, т.е. g(qo(r)) =0 и g(qo(t)) < 0 при t = т. Для таких систем был получен вариационный принцип Гамильтона (см. [1]) в следующем виде. Вариации траектории берутся таким образом, чтобы окольные траектории имели одну точку выхода на границу связи и момент выхода гладко зависел от параметра вариации. Показано, что в этом случае вариация функционала действие равна нулю. В работе [2] установлено, что на классе вариаций общего вида вариация функционала действие неотрицательна.
1 Отраднова Лина Сергеевна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: otradnova.lina@gmail.com.
