Устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.911/517.93 © Е. А. Панасенко

УСТОЙЧИВО ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ1 § 1. Динамические системы и дифференциальные включения

Пусть (Q, g*) — топологическая динамическая система, то есть Q — полное метрическое пространство с метрикой р, g* — однопараметрическая группа преобразований фазового пространства Q в себя, непрерывно зависящая от (t,w). Напомним [1, с. 156-206], что замкнутое множество M С Q называется положительно инвариантным (относительно потока g*), если g*M С M для всех t ^ 0. Далее, множество M называется устойчивым по Ляпунову, если M положительно инвариантно и для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для каждого w, удовлетворяющего неравенству p(w, M) ^ 5 при всех t ^ 0 имеет место неравенство p(g*w, M) ^ е. Кроме того, если M устойчиво по Ляпунову и найдется такое r > 0, что lim p(g*w, M) = 0 для любого w из r -окрестности множества M, то M называется асимп-

t^<X>

тотически устойчивым по Ляпунову (в этом случае M называют также аттрактором).

Для заданной топологической динамической системы (£, f *) и функции (ст, x) ^ F(ст, x), определённой на £ х Rn и принимающей значения в comp(Rn), где comp(Rn) —пространство непустых компактных подмножеств пространства Rn с метрикой Хаудорфа dist, рассмотрим семейство дифференциальных включений вида

x € F(f*ст, x), ст € £, t € R. (1)

Далее предполагается, что поток t ^ f*ст на £ локально липшицев по t; при каждом ст € £ функция t ^ F(f*ст, x) локально интегрируема по Лебегу и при любом фиксированном x ограничена в существенном на R, а функция x ^ F(ст, x) локально липшицева по x (равномерно по ст на ограниченных множествах в £ ).

Каждой паре (ст, X) € £xcomp(Rn) и любому t поставим в соответствие сечение S(t, ст, X) интегральной воронки «овыпукленного» включения

x € co F(f *ст, x) (2)

(напомним, что S(t, ст, X) это совокупность значений в момент времени t всех решений включения (2), когда начальное значение пробегает множество X). Нетрудно проверить, что на пространстве Q = £ х comp(Rn) с метрикой д = р + dist действует поток g*, определенный равенством t ^ g*w = (fV, S(t, w)). Построенная таким образом динамическая система (Q,g*) называется расширением динамической системы (£, f *).

Пусть задана непрерывная функция M : £ ^ cl(Rn), где cl(Rn) — множество всех непустых замкнутых подмножеств Rn. Построим расположенное в Q множество

M = {w = (a,X) € Q : X С M(ст)} (3)

и r-окрестность Mr = {w = (ст,X) € Q : X С Mr(ст)} этого множества (здесь Mr(ст) определяет открытую r-окрестность множества M(ст) в cl(Rn)). Из ранее сказанного следует, что устойчивость по Ляпунову множества (3) относительно включения (1) означает следующее: если X — произвольный компакт в M (ст), то S (t, ст, X) С M (f * ст) при всех t ^ 0 и любому е € (0, r) отвечает такое 5 > 0, что если X С Mг(ст), то S(t, ст, X) С M£(fV) при всех t ^ 0. Аналогичным образом, асимптотическая устойчивость по Ляпунову множества M относительно включения (1) означает устойчивость по Ляпунову и равенство lim d(S (t, ст, X ),M (f * ст)) = 0 при всех X достаточно близких (в метрике Хаусдорфа) к M (ст).

Здесь d(A, B) —полуотклонение множества A от множества B. хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 04-01-00324).

§2. Функции Ляпунова и теоремы об устойчивости

Одноточечные множества {ж} пространства comp(Rn) будем отождествлять с точками пространства Rn и, следовательно, обозначать строчными буквами и без фигурных скобок. Такая договоренность позволяет писать и = (а, ж) € Q вместо и = (а, {ж}) € Q, что упрощает запись и не приводит к разночтениям.

Пусть заданы положительное число r и непрерывная скалярная функция V(и), где и = (а, ж) € Mr. Будем говорить, что функция V определённо положительна (относительно множества M), если во-первых, V(и) ^ 0 для всех и € M и, во-вторых, для любого £ € (0, г) выполнено неравенство inf{V(и) : и € дМ£} > 0. Для заданного r > 0 и функ-

Ш

ции V: Mr ^ R, удовлетворяющей локальному условию Липшица, обобщенной производной функции и ^ V(и) в точке и = (а, ж) по направлению вектора q = (1,h) € R1+n (производной Ф. Кларка [2]) будем называть следующий (верхний) предел

тmi \ . 1 V(/¿а, у +

V (и; q) = lim sup ----------

y^-x, ¿^-+0

Далее, выражение Vf (и) = max V°(u; q) будем называть производной функции V в силу

h&F (ш)

включения (1). Обозначим Nr = {и = (а, ж) € Mr: и € M}.

Т еорема 1. Если существует локально липшицева определенно положительная функция V: Mr ^ R, производная которой в силу включения (1) при всех и € Nr удовлетворяет неравенству Vj°(u) ^ 0, то множество M, определенное равенством (3), устойчиво по Ляпунову относительно включения (1).

Будем говорить, что множество Sf = {и = (а, ж) € Nr : Vf (и) = 0} не содержит положительных полутраекторий включения (1), если для любого и € Sf, и каждого решения ж(^ и) включения (1) найдётся $ > 0, что VF°(g^и) < 0. Другими словами, Sf не содержит положительных полутраекторий включения (1), если для любого и € Sf всякое движение t ^ (/V, ж(£,и)), где ж(£,и) — решение включения (1), покидает Sf за конечное время.

Формилируемая ниже теорема распространяет известный результат Е. А. Барбашина и

H. Н. Красовского [3], [4, с. 19] на неавтономные дифференциальные включения.

Теорема 2. Если существует локально липшицева определённо положительная функция V : Mr ^ R, производная которой в силу включения (1) при всех и € Nr удовлетворяет неравенству VJF(u) ^ 0 и такая, что множество Sf не содержит положительных полутраекторий включения (1), то M асимптотически устойчиво по Ляпунову относительно включения (1).

Список литературы

I. Аносов Д. В., Арансон С.Х., Арнольд В. И., Бронштейн И. У., Гринес В.З., Ильяшен-ко Ю. С. Динамические системы-1. // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 1. М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1985. 244 с.

2. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука. 1988. 300 с.

3. Барбашин Е.А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом. // ДАН СССР. 1952. Т. 86. № 6.

4. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука. 1970. 240 с.

Панасенко Елена Александровна Тамбовский государственный ун-т,

Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Sh) - V(er, у) 5