Слабо неустойчивые множества неавтономных дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.935

СЛАБО НЕУСТОЙЧИВЫЕ МНОЖЕСТВА НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ © Е.А. Панасенко

Ключевые слова: неавтономное дифференциальное включение; метрика Хаусдорфа-Бебутова; неустойчивое множество; функция Ляпунова; обобщенная производная Кларка.

В работе изучаются условия, при которых заданное множество является слабо неустойчивым относительно решений неавтономного дифференциального включения с выпуклой, замкнутой, необязательно ограниченной правой частью.

Пусть М” — стандартное n-мерное евклидово пространство со скалярным произведением {x, у) и нормой \x\ = л/{x, x), g(x,M) = min \x — y\ — расстояние от точки x Е М”

yEM

до замкнутого множества M в М”. Для r > 0 через Or(xo) = {x Е М” : \x — xo\ ^ r} обозначим замкнутый шар в пространстве М” радиус a r с центром в xo; Or = Or (0).

Пространство непустых компактных подмножеств в М” обозначпм comp(М”). Подпространство всех непустых замкнутых (необязательно ограниченных) выпуклых подмножеств в М” — через clcv^”). Пространство comp^”) будем рассматривать с метрикой Хаусдор-фа dist(F,G) = max{d(F, G),d(G,F)}, где d(F,G) = max g(f,G) и d(G,F) = max g(g,F).

fEF gEG

Пространство clcv^”) снабдим метрикой Хаусдорфа-Бебутова Dist [1, 2j:

Dist(F, G) = supmin{dist(Fr, Gr), 1/r},

r>0

Fr = Ff)Or (fo), Gr = Gf|Or (go),

где fo Е F и go Е G — ближайшие к нулю пространства М” точки множеств F и G

Dist :

Dist(F, G) = max{D(F, G),D(F, G)}, где

D(F, G) = sup mini d(Fr ,Gr), 1/r\, D(G,F) = sup mini d(Gr ,Fr), 1/r|

r>o r>o

FG

множеств F,G Е clcv^”) имеет место соотношение

Dist(F, G) < 2 (\fo\ + \go\ + V\fo\2 + 4 + V\go\2 + 4 < ^.

Напомним также, что пространство comp^”) является полным в метрике dist, а пространство йст(М”) является полным в метрике Dist.

Рассмотрим дифференциальное включение

x Е F(t, x), (1)

где F : М1+” ^ йст(М”). Под решением включения (1) на интервале J С М будем понимать решение Каратеодори, а именно, всякую абсолютно непрерывную функцию р : J ^ М” такую, что включение ф(£) Е F(t, p(t)) выполнено при почти всех t Е J.

Полунепрерывность и непрерывность многозначной функции Г : М1+га ^ с1су(Мга) будем рассматривать в метрике Хаусдорфа-Бебутова, а именно: Г назовем полунепрерывной сверху в точке (¿о,хо), если для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всех (¿, х) Е Ое(¿о,Жо) полуотклонение Д(Г(¿, х),Г(^, хо)) не превосходит е. Если Г полунепрерывна сверху в каждой точке (¿о,хо) открытого множества С С М1+га, то она называется полунепрерывной сверху на множестве С. Аналогично вводятся понятия полунепре-рывности и непрерывности Г в метрике Dist.

Далее, пусть задана функция М : М ^ сошр(Мга). Для каждого положительного г обозначим Мг(¿) = М(¿) + Ог, М+Т(¿) = Мг(¿)\М(¿). В работах [1, 3] сформулированы условия, при которых множество М(¿) обладает устойчивостью в том или ином смысле относительно решений включения (1). Обратимся к понятию слабой равномерной неустойчивости множества М(¿) относительно дифференциального включения.

Определение. Множество М (¿) будем называть слабо равномерно неустойчивым относительно включения (1) , если существует такое е > 0, что для любого 5 Е (0,е) и каждого ¿о найдутся решение I ^ ^(¿) включения (1), удовлетворяющее условию

ф(Ьо) Е (¿о), и момент времени = ¿*(^>) > ¿о такие, что ^(¿*) Е М£(£*).

Пусть теперь для некоторого г > 0 задана функция V : М х Мг (¿) ^ М типа Ляпунова, т. е. пусть V локально лппшпцева и принимает нулевые значения при (¿, х) Е М х М(¿). Через V o(t, х; д) обозначим обобщенную производную Кларк а [4] функции V по направлению д Е М™ в точке (¿, х), а через Ьа(V) = {(¿,х) Е М х (¿) : V(¿,х) = а} — поверхность уровня функции V, где а неотрицательно и близко к нулю.

Условие А. Для всякого решения ^(¿) включения (1), удовлетворяющего при

/*£+$

больших t условию ^(¿) Е М+Т(¿), найдется такое $ > 0, что Иш / Vo(s,^>(s); д)б,в < 0

г

для всех д Е Г(в,ф(в)).

Если выполнено условие А, то множество Ьа(V) не содержит положительных по-лутраекторпй включения (1), т. е. для любой начальной точки (¿о,хо) Е Ьа^) и каждого решения ^(¿) включения (1), ^(¿о) = хо, найдется такое т = т(¿о,р) > 0, что V(¿о + т, ^(¿о + т)) = а. Обратное неверно.

Теорема. Пусть функция I ^ М(¿) Е сошр(М™) ограничена и равномерно непрерывна на М, а функция Г : М х Мг (¿) ^ с1су(М™) полунепрерывна сверху

и sup Г(¿,х)\ < то для некоторого г > 0. Пусть далее существует огранпчен-

(*,х)екхмг (г)

ная по I равномерно относительно х локально липшицева функция Ляпунова V, не являющаяся в произвольной окрестности множества М(¿) знакоотрицательной. Тогда, если Vo(t,x; д) ^ 0 для всех (¿,х) Е М х (¿), д Е Г(¿, х), и выполнено условие А, то мно-

жество М(¿) слабо неустойчиво относительно включения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Панасенко Е. А., Тонкое Е. Л. Распространение теорем Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского об устойчивости на управляемые динамические системы // Труды Ин-та Матем. и Механ. УрО РАН. 2009. Т. 15. № 3. С. 185-201.

2. Панасенко Е. А., Родина Л. П., Тонкое Е. Л. Асимптотически устойчивые статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Труды Ин-та Матем. и Механ. УрО РАН. 2010. Т. 16. № 5. С. 135-142.

3. Панасенко Е. А., Тонкое Е. Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2008. Т. 262. С. 202-221.

4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-97503, № 11-01-00645), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/9359, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы».

Panasenko Е.А. Weakly unstable sets for nonautonomous differential inclusions. In the work there are considered the conditions of weak instability of the given set with respect to solutions of nonautonomous differential inclusion with convex-, closed-, and not necessarily bounded-valued right-hand side.

Key words: nonautonomous differential inclusion; Hausdorff-Bebutov metric; unstable set; Lyapunov function; generalized Clarke derivative.

Панасенко Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель директора института математики, физики и информатики по научной работе, e-mail: [email protected].

УДК 370, 372.8, 374

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ ПРЕПОДАВАНИЯ В СИСТЕМЕ ШКОЛА-ВУЗ © И.В. Петрова, О.В. Исаева

Ключевые слова: преемственность; образовательный процесс; образование; методика обучения и воспитания.

В статье представлены аспекты проблемы преемственности в образовательном процессе в условиях системы взаимодействия «школа-вуз». Представлен авторский опыт организации работы в условиях региона.

Этап перехода школа—вуз является наиболее значимым периодом в становлении личности выпускника и его познавательном развитии. Он связан с включением молодых людей в новый для них институт социализации. Успешная адаптация первокурсников к жизни и учебе в вузе является залогом дальнейшего развития каждого студента как человека, гражданина, будущего специалиста. Этим определяется практический и теоретический интерес к изучению разнообразных и противоречивых проблем адаптации первокурсников (в особенности из сельской местности) к вузовскому обучению.

Одной из главных задач вуза является быстро реагировать на изменения и создавать единое образовательное пространство, сохраняя преемственность в образовательном процессе.

Опыт работы показал, что решению проблемы осуществления преемственности преподавания учебных дисциплин естественно-математического цикла в системе школа—вуз может способствовать профильное обучение математике и физике в лицеях при университетах. Таким лицеем является «Политехнический лицей-интернат ГОУ ВПО ТГТУ», воспитанниками которого являются сельские дети. В лицее разработана единая система обучения предметам естественно-математического цикла. Работая и на младших курсах университета и в 10-11 классах лицея-интерната, можно прогнозировать познавательные трудности, с