Устные упражнения как одно из средств формирования математической культуры учащихся 5-9-х классов Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 34.08

П. А.-Ю. Батчаева УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ КАК ОДНО ИЗ СРЕДСТВ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ УЧАЩИХСЯ 5-9-х КЛАССОВ

Сегодня нас волнуют вопросы: можно ли построить школьное математическое образование так, чтобы оно, с одной стороны, было близко к жизни, а с другой - к науке. Нельзя ли изменить взгляд на математическое образование так, чтобы оно было нацелено на формирование математической культуры?

Анализ современного состояния методической мысли о детерминанте математического образования вызывает особый интерес работников образования: вносятся предложения по совершенствованию среднего математического образования. Значительно возрос интерес к проблеме формирования математической культуры. Об этом профессор Х. Ш. Шихалиев пишет: «Любые стандарты, относящиеся к математическому образованию, будут неполными, если в них не отражены требования к формированию математической культуры учащихся» [5, с. 13].

Все учащиеся должны получить в школе сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний и, кроме того, умение логически рассуждать и ясно излагать свои мысли, т. е. обладать математической культурой.

Образованность характеризуется грамотностью, доведенной до общественно и личностно необходимого максимума. Основной областью в международном исследовании PISA в 2003 г., к примеру, для оценки образовательных достижений была “математическая грамотность”.

Под математической грамотностью понимается способность учащихся:

- распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики;

- формулировать эти проблемы на языке математики;

- решать эти проблемы, используя математические знания и методы;

- анализировать использованные методы решения;

- интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;

- формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы.

Освоение школьниками учебных программ оценивается в исследованиях, проводимых международной комиссией. По ним результаты российских школьников устойчиво превышали средние международные показатели, а по результатам исследования PISA-2000 выявили значительные недостатки в умении наших учащихся применять полученные знания и навыки в жизненных ситуациях. Эти выводы подтверждаются и во всероссийских иссле-

дованиях качества образования, и в результатах единого государственного экзамена. К примеру, в 2003 г. около 70% российских учащихся участвовало в международном исследовании. Из них около 7% достигают высокого уровня математической грамотности, тогда как в лидирующих странах 22-28%. Чуть более 10% российских учащихся не достигают нижней границы математической грамотности. 15-летние российские школьники заняли 29-31 места среди 40 стран по состоянию математической грамотности (в 2000 г. - 21-25 места среди 32 стран) [2].

Сравнение результатов показывает, что за три прошедших года в состоянии математической грамотности существенных изменений не произошло. Таким образом, нельзя не обратить внимание на некоторое противоречие между целью математического образования и результатом. Поэтому обязательным фактом для современной средней школы становится зависимость стандартов математического образования от формирования математической культуры.

Методика организации и проведения ЕГЭ свидетельствует о том, что роль устных упражнений, способствующих быстрой ориентации в поисках правильного ответа на поставленный вопрос, неоценима. Значит, возникает проблема подготовки учащихся к ЕГЭ путем совершенствования методики проведения устных упражнений в процессе усвоения и закрепления материала. Такая проблема не нова, но ее актуальность в настоящее время усиливается увлечением детей компьютерными упражнениями и упражнениями на калькуляторах. В связи с этим возникшая проблема недостаточно раскрыта на сегодняшний день.

Устным упражнениям уделяли внимание и раньше, в частности вопросы составления и использования упражнений при обучении математике рассматриваются в работах Я. И. Груденова, Ю. М. Колягина, Е. И. Лященко, Ю. Н. Макарычева, К. С. Муравина, Г. И. Саранцева, С. Б. Суворовой, Ю. М. Колягина, В. Ф. Харьковской, В. Г. Гульчевской.

Рациональным образом построенная система устных упражнений может служить эффективным средством в развитии познавательной потребности и познавательной самостоятельности, в развитии мотивации к учению и устойчивого интереса к математике.

Устные упражнения позволяют отработать навыки такой работы и обоснованно определяются нами как форма реализации методов обучения.

В последние годы обозначилось противоречие между развивающей направленностью курса математики и способами организации вычислительной деятельности; противоречия в практике формирования вычислительных умений и навыков. Все более возрастающий объем информации по стандарту противостоит отработке навыков до автоматизма у учеников. Эти противоречия актуализируют направление исследования по совершенствованию методики проведения устных упражнений и позволяют сформулировать проблему исследования: какой должна быть методическая система

устных упражнений для формирования математической культуры учащихся 5-9-х классов.

Анализ психолого-педагогической, философской, специальной литературы, а также диссертационных исследований, позволил выявить двоякий подход к вопросу формирования математической культуры.

1. Вычислительная культура, алгоритмическая, логическая, графическая и культура речи - составляющие математической культуры. Математическая грамотность - ядро математической культуры.

2. Математический язык, математические способности и математическое мышление - три взаимосвязанных блока, способствующие формированию математической культуры.

Далее нами выявлены малоизученные аспекты исследуемой проблемы.

В последние десятилетия в средней школе все меньше и меньше внимания уделяется мотивировке изучения того или иного раздела математики, а иногда и развитию интереса к ней. На всех уровнях обучения учащиеся нуждаются в сведениях, которые увязывают их предыдущий опыт с новыми знаниями. Однако представляется эта связь довольно поверхностной, не выражающей основных характерных особенностей преемственности как «связи между явлениями в процессе развития, когда новое, снимая старое, сохраняет в себе некоторые его элементы...» [1].

Принцип преемственности в построении курса математики в учебниках математики выдержан. Остается не до конца разрешенной проблема организации повторения, которую требует преемственность. Наиболее эффективным средством, осуществляющим повторение, при котором непременно должно появляться новое, отмирать старое, несущественное в соответствии с логикой развития изучаемого понятия, могут служить правильно организованные устные упражнения.

При комплексном подходе к составлению устных упражнений можно достичь высокой математической грамотности. Всем известно, что грамотность - это порядок в мыслях, а, следовательно, и высокое качество знаний; это и основной аспект формирования математической культуры.

Для достижения поставленной цели следует учесть мотивы использования устных упражнений, выделить содержание, установить средства, формы и методы, а затем отследить результат, т. е. необходима методическая система устных упражнений.

Вопрос содержания устных упражнений решается в соответствии с определенными принципами. Помимо традиционных принципов нами были учтены те, которые отражают специфические особенности устных упражнений:

Принцип углубления содержания тем и полноты. Устные упражнения должны быть составлены в соответствии с программой школьного курса математики и адекватны системам задач по каждой изучаемой теме, поэтому необходимо учесть полноту и достаточность системы устных упражнений

в соответствии с поставленной целью (для восприятия учебного материала, для закрепления, для контроля).

Содержание учебных заданий программного материала должно рассматриваться углубленно за счет усиления тем устными упражнениями и отражением в них необходимых ключевых элементов изучаемого материала. Так, на примере нахождения дроби от числа и числа по его дроби, устные упражнения должны содержать все виды заданий на данную тему, включая и особенные случаи:

Умножение дробей: — • —: 11 3

Сравнение дробей: — и — .

6 5

І.М. 7.А. 2_.fr

3 16’ 21’ 15 ’

1

Нахождение значения выражений: — * 15;

Выполнение действий: — : 3: —: 5:

7 12

2 * 5 * -•6 + --6. 7 7

40:1;

6:|;

и*.

7 3

Решение уравнений: —х = 15 0,75х=1,5.

Вычислите 15% от числа 75.

Найдите число, 20% которого составляет 300.

Решение элементарных задач: Шаг мальчика — ли Какое расстояние он пройдет, сделав 1000 шагов? ' ^

Принцип однотипности. К каждому виду заданий надо подбирать по несколько упражнений, ориентируясь на уровни развития учащихся класса. Например, в задании: Разложите на множители можно предложить примеры однотипные, но в то же время рассчитанные на различный уровень знаний учеников:

1

1

а) ш2-п2; б) ш2-4п2; в)_т2--------п2;

4 4

а) ху2-у; б) 5ху-х2; в) 15ху2 + 12х2у;

а) а2-2аЬ+Ь2; б) 4а2 - 8аЬ+ Ь2; в) 16а2 - € аЬ+25Ь2.

Принцип контрпримеров. Контрпример - это любая задача, которая провоцирует учащихся на ошибку. Соблюдение этого принципа ведет к воспитанию положительной мотивации и вместе с тем способствуют более углубленному пониманию предлагаемого правила. Например, предлагаем задание:

1. Вычислите: а) 45 см2 -2 см2; б) 125 см2 -5 дм2.

2. а) Сколько надо выполнить заданий Ирине, если она справилась с четырьмя из 9? б) Сколько углов останется у квадрата, если отпилить один угол?

В каждом из заданий первые условия нацеливают на прямое нахождение ответа, а вторые предполагают понимание глубины предлагаемой задачи.

Принцип наблюдения и обобщения. Применение этого принципа предполагает включение некоторого ряда взаимосвязанных устных упражнений, когда хотят подчеркнуть какую-либо закономерность.

1 1_ Уловите закономерность: В каждом из предлагаемых примеров надо определить

2 4 разность чисел, где вычитаемое вдвое меньше уменьшаемого, а, следовательно,

получаемый результат будет таким же, как вычитаемое. Для простоты восприятия

3 6

^ ^ и наглядности можно воспользоваться кругом. Здесь же можно вспомнить

4 8 ’ аналогию с натуральными числами 10-5=5; 12-6=6; 6-3=3; 80-40=40;

]_1=. 126-63=63...

5 10’

1-1 = 7

6 ? '

Принцип творческой активности и самостоятельности. Известно, что учащиеся, владеющие твердыми навыками устного счета, быстрее осваивают технику алгебраических преобразований, лучше справляются с различными заданиями, составной частью которых являются вычисления, лучше соображают, активно включаются в поисковую работу. Устные упражнения способствуют выработке самостоятельности, усилению ее роли.

По пустыне медленно идет караван верблюдов. Всего их 40. Если пересчитать горбы этих верблюдов, то получится 57 горбов. Сколько в этом караване одногорбых верблюдов.

Здесь надо добиться от учеников догадки, что двугорбых верблюдов 57-40 =17. Если на каждый горб (одногорбых и двугорбых верблюдов) прикрепить флажок, а нам известно, что их в караване только 40, то 17 флажков становятся лишними, значить они должны быть вторыми горбами двугорбых верблюдов. Тогда найти число одногорбых будет просто: 40-17 = 23.

Принцип непрерывного повторения. Система устных упражнений должна содержать задания из предшествующих разделов. Цель их включения: во-первых, осуществлять систематическое повторение изученного, во-вторых, устранение отрицательного влияния однотипности упражнений (ослабление внимания, снижение интереса и т. п.).

Принцип от простого к сложному. Отражение в системе устных упражнений умственной комфортности, заключающейся в постепенном нарастании сложности в деятельности учащихся, - следующий важный принцип, само название которого говорит за себя. Отметим только, что недавно усвоенное и выполняемое письменно теперь может выполняться устно. Сначала идет отработка навыков устного счета при выполнении упражнений вида: Найти значение выражения: 252-152; 642-362. Затем знание формулы разности квадратов позволяет быстро находить произведение чисел, к при-

меру, 57 и 63, 42 и 38, 79 и 81. Например, 57 • 63 = (60-3)(60+3)=3600-9=3591] или выполнять задание типа: Можно ли, не находя значение выражения 6782-3222, утверждать, что оно кратно 1000?

Принцип цикличности, который нельзя рассматривать в отрыве от теории поэтапного формирования умственных действий.

После того, как ученики отрабатывают навык определения неизвестного компонента в начальной школе, работая с натуральными числами, по мере изучения нового материала учащиеся 5-6-х классов имеют дело как с натуральными числами, так и с целыми, обыкновенными и десятичными дробями.

х+2=7;

х-1,2=0,8;

5х+5=0;

3(х-2)=5;

х-5-5х=11;...;

(л/^-1)(л/^-13) = 0;

(х + 1)(2х-5) _

4~х -

В 7-9-х классах обобщаются и систематизируются сведения о действительных числах, закрепляются вычислительные навыки.

Принцип вариативности. Этот принцип реализуется двояко: с одной стороны, видоизменение формы подачи заданий; с другой - разные варианты получения результата.

Два муравья ползут навстречу друг другу по тропинке шириной 80 см. Через какое время они встретятся, если скорость одного из них 5 см/с, другого - 3 см/с?

Решение такой текстовой задачи предполагает знание понятия скорости сближения (5+3=8 (м/с)). Это понятие полезно выработать до решения задания, изображенного схематически:

Приведенный пример свидетельствует о разных формах подачи одного и того же материала.

Принцип легкости и комфортности - доступность учебной задачи для данного возраста (учет специфических особенностей) и формирование стойких познавательных интересов, т. к. сознательное усвоение предполагает не только работу ученика, но и непосредственное активное участие его воли, чувств, но и формирование определенного эмоционального отношения к процессу учения.

При изучении темы «Параллельные прямые» (6 класс) можно включить игровой момент «Хлопок на верный ответ».

■'1 Учащимся предлагаются задания и называются ответы. На правильный ответ они делают хлопок, на неправильный -д разводят руки.

1. Найдите объем параллелепипеда, если AD=8,5 см; АА=2 см; АВ= 2см [36 см3; 0,34м3]

2. Прямые АВ и СБ параллельны, перпендикулярны, равны.

3. Прямые АВ и АБ параллельны, перпендикулярны, равны.

4. Прямые АА1 и СБ параллельны, перпендикулярны, равны.

Текстовые задачи, простые и понятные по содержанию, вырабатывают

навыки внимательности и сообразительности:

Абонентская плата за телефон составляет двадцатую часть заработной платы мамы. Какова заработная плата мамы, если абонентская плата 105 рублей в месяц?

Принцип словарного запаса (региональный комфорт). На основе анализа методических исследований, учитывая особенности контингента учащихся и экономические условия региона, в котором они проживают, нами предложена полезная информация (экологического, краеведческого, исторического и экономического характера) в задачной форме. В 2002 г. после проливных дождей вода в реке Теберда поднялась в первый день на 0,8 м, во второй - на 1,2 м, а в третий день на 1,6 м. На сколько поднималась вода в среднем в один день? [на 1,2 м].

Принцип скользящего временного интервала. Следует составлять такие упражнения, чтобы их возможно было устно решить за значительно короткий промежуток времени. В зависимости от поставленной цели (настраивание на «математическую волну» в начале урока, логическая подготовка к восприятию нового материала, закрепление изученного, отработка определенного навыка и т. п.) время проведения устных упражнений может колебаться от 2 до 7 минут. Использование устных упражнений в нужный момент и в необходимом количестве достигается их достаточным наличием в сборнике и дает возможность фронтально получить результат за короткий промежуток времени.

В нашем исследовании показаны различные формы проведения устных упражнений: математические диктанты, устный счет, тесты, устные контрольные работы, тетради на печатной основе, игры и игровые моменты.

С помощью следующих методов возможно построение обучения:

- догматический (приобретение знаний в готовом виде);

- эвристический - усвоение знаний и умений путем рассуждений, требующих догадки, поиска, находчивости;

- исследовательский - добывание знаний и умений путем проведения наблюдений, сравнения, постановки опытов, измерения, путем самосто-

ятельного нахождения исходных данных и прогнозирования результатов работы.

К средствам, позволяющим вести эффективное обучение через систему устных упражнений, нами отнесены:

- графические пособия: диаграммы, графики, схемы, таблицы;

- различные технические средства: учебные кинофильмы, компьютер, кодоскоп, магнитофон;

- дидактический материал: карточки, перфокарты, тесты;

- различные заготовки для проведения игр: сигнальные карточки; плакаты с рисунками и др.;

- макеты геометрических тел, измерительные приборы, предметы реальной действительности.

Вопрос формирования математической культуры учащихся находится в тесной связи с вопросом усвоения знаний, поэтому следует его рассматривать с учетом умственной деятельности учащихся, их интеллекта и интеллектуальной компетентности.

Нами проведена работа по выявлению критериев сформированности математической культуры.

1. Умение действовать в соответствии с правилами и законами арифметических действий.

2. Знание алгоритмов решения уравнений и неравенств.

3. Знание различных способов решения систем уравнений и неравенств .

4. Прочность вычислительных навыков (правильность).

5. Рациональный подход к вычислениям и преобразованиям.

6. Скорость выполнения заданий.

7. Умение читать графики.

8. Умение переносить текст задачи на язык схем.

9. Умение выражать свои мысли и проводить рассуждения.

10. Умение аккуратно и рационально выполнять записи.

11. Умение сочетать словесные и символические записи.

12. Умение последовательно излагать материал.

13. Понимание сущности математических понятий, определений.

14. Умение сравнивать, анализировать, конкретизировать, обобщать.

В зависимости от числа знаний и умений, вырабатываемых системой устных упражнений, выявлены следующие уровни:

Низкий уровень (менее 6 знаний и умений) характеризуется механическим воспроизведением отдельных понятий, не улавливается связь между темами, мало используются законы арифметических действий. Учащиеся этой группы задачи решают медленно, отличаются большой утомляемостью, малой работоспособностью, у них быстро пропадает интерес и желание продолжить решение, они часто ошибаются в вычислениях, путают определения, не проявляют активности в решении задач и упражнений, не умеют пользоваться теоретическими знаниями, переносить текст задачи на язык схем, выявить свойства графиков по чертежу.

Средний уровень (6-7 знаний и умений). Учащиеся этой группы показывают относительно низкие результаты при выполнении заданий, связанных с проявлением интуиции, догадки, неточно воспроизводят и применяют теоретические знания. Они проявляют интерес к решению и получению ответа, но при этом самооценка результата отсутствует. Работу выполняли в среднем 25 минут.

Хороший уровень (8-9 знаний и умений). Учащимся этой группы свойственна относительно быстрая реакция, поспешность в решениях, из-за чего некоторые задания решены с ошибками. Они имеют алгоритмические навыки при выполнении упражнений, правильно используют законы арифметических действий и даже проявляют попытки проведения рассуждений. На решение затрачивают около 20 минут.

Высокий уровень(10-12 знаний и умений). Эта группа учащихся работает активно, проявляет отработанные навыки в вычислениях, переход от одних видов заданий к другим со знанием дела. Анализ чертежа и проведение обоснованно логических рассуждений для них не составляет особого труда. На решение затрачивают не более 15 минут.

Превосходный (13-14 знаний и умений). Рассуждения учащихся этой группы отличает самостоятельность и оригинальность. Они свободно владеют теоретическим материалом, анализируют чертежи, решают задачи, при этом проявляя высокую степень интуиции и сообразительности, к решению каждого задания подходят творчески. Задания выполняются рационально. На решение затрачивают 10—12 минут.

Результаты проведенных исследований подвергались статистической обработке выдвинутой гипотезы. Для наглядности представлен сравнительный рост качества выполнения заданий в экспериментальных и контрольных классах на начало эксперимента, через два месяца, через полгода и на конец эксперимента (в процентах).

■ контрольные классы

■ экспериментальные классы

Сравнительный рост качества выполняемых заданий

Обобщенные результаты педагогического эксперимента в определенных классах представлены в таблице.

Класс Число учащихся Всего элементов знаний и умений Воспроизведено элементов знаний и умений Не воспроизведено знаний и умений

КК 8А 24 336 268 66

ЭК Б 23 322 302 20

На начало эксп. через два мес. через полгода на конец эксп.

Как видно, наблюдается тенденция к повышению качества знаний учащихся в экспериментальных классах по сравнению с контрольными.

Воспользовавшись формулой нормированного отклонения, найдена вероятность достоверности полученной разности вероятностей Рк и Рэ и сделан вывод о достоверности

а= * 6,395.

а Sa 0,02194

По таблице Стьюдента получим а = 0,928.

Это означает, что во всех аналогичных случаях вероятность воспроизведения элементов знаний и умений учащимися, обучающимися по разработанной методике при систематическом использовании устных упражнений, будет больше, чем вероятность воспроизведения знаний и умений учащимися, в обучении которых эта методика не применялась. Достоверность этого вывода около 98%.

Таким образом, нами:

- доказана возможность формирования математической культуры на основе систематического использования устных упражнений;

- определены принципы построения и содержание устных упражнений, на базе которых осуществляется процесс формирования умственных действий и математической культуры;

- разработана методическая система устных упражнений, в которой центральной компонентой выделена умственная деятельность учащихся при выполнении устных упражнений;

- экспериментально доказана эффективность предложенной методики проведения устных упражнений, ее влияние на уровень математической культуры и качество математической подготовки.

Считаем, что дальнейшие разработки устных упражнений на материале данной местности и представление их с помощью современных средств усилят эффективность обучения математике.

Библиографический список

1. Большая Советская Энциклопедия. - М.; - 1995.

2. Краснянская, К. А. Сравнительная оценка математической грамотности 15-летних учащихся в рамках международного исследования [Текст] / К. А. Краснянская // Математика в школе. - 2005. - № 3 - С. 70-77.

3. Мазаник, Н. А. Устные упражнения в курсе математики средней школы. [Текст] / пособие для учителя. / Н. А. Мазаник - Минск. Народная асвета, 1966. - 127 с.

4. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст] / Г. И. Саранцев - М.: - 1995. - 239 с.

5. Шихалиев, Х. Ш. Больше внимания формированию математикой культуры учащихся [Текст] / Х. Ш. Шихалиев // Математика в школе - 1994. - № 2. - С. 13-14.

6. Мальцева, С. В. Аналитико-диагностическая деятельность общеобразовательного учреждения как фактор повышения успешности учебной деятельности школьника [Текст] / С. В. Мальцева // Сибирский педагогический журнал. -2008. - № 3. - С. 301-307.

7. Луконина, И. В. Психолого-педагогические условия принятия учебной задачи младшими школьниками [Текст] / И. В. Луконина // Сибирский педагогический журнал. - 2008. - № 3. - С. 308-315.

УДК 781 (07)

В. Ф. Третьяченко

КОНСТРУИРОВАНИЕ НОТНОГО УЧЕБНИКА В СВЕТЕ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ

Во второй половине ХХ в. в отечественном общем и музыкальном образовании происходят значительные перемены, обусловленные как развитием общественной жизни, так и педагогической науки и практики. В частности, в общем образовании широкое распространение получают инновационные модели обучения, рассматривающие реализацию и самореализацию личностного потенциала человека как основу его развития через образование. В то же время, массовую музыкальную педагогику, в частности, скрипичную, эти инновации затронули пока лишь в малой степени. И это вполне объяснимо: нововведения в педагогическую систему не могут быть изолированными, локальными. Изменение целевой направленности обучения неизбежно предполагает изменение методов и средств обучения, в том числе и материальных, то есть учебников.* Ведь они являются не только одним из основных источников знаний для обучающихся, но и выступают в качестве основного источника планирования учебного процесса для педагога: в массе своей учитель учит так, как ему подсказывает учебник.

Сегодня в практике отечественной скрипичной педагогики наиболее широко используются учебники, созданные в 50-80-х годах ХХ в.** Развивающие традиции русской скрипичной школы, использующие достижения физиологии, психологии, педагогики своего времени, они характеризу-

* Под обобщенным наименованием «нотный учебник» здесь подразумеваются различные виды нотных учебных пособий, обеспечивающие овладение конкретным учебным предметом, но отличающиеся степенью насыщенности художественными, образовательными, воспитательными и внетекстовыми структурными компонентами.

** Это, прежде всего, «Начальные уроки игры на скрипке» К. Родионова (1950), «Школа игры на скрипке» А. Григоряна (1957), «Скрипичный букварь» Т. Захарьиной (1959), «Юный скрипач» К. Фортунатова (1960), «Вверх по ступенькам» В. Якубовской (1974), «Я буду скрипачом» С. Шальмана (1984). Приведенные даты указывают на первое издание.