CC BY
19
БАНКОВСКОЕ ДЕЛО
УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЕ МОДЕЛИ РАБОТЫ КОММЕРЧЕСКИХ БАНКОВ НА РЫНКАХ КАПИТАЛА*
И.Ф. готовчиков,
кандидат технических наук
Ситуация перехода России от социалистического планового хозяйства к свободному рынку - это крутой поворот, который несет в себе целый набор проблем. Для современной российской экономики с ее затянувшимся упадком, неразберихой и сменяющими друг друга финансовыми кризисами классическая экономическая теория, построенная на равновесных моделях, оказалась бессильной. Иначе и не могло быть.
Характерными особенностями развивающихся рынков капитала (РК) является высокая неопределенность и проблематичность прогнозирования их динамики из-за влияния на нее большого числа самых разнообразных факторов, многие из которых неэкономического происхождения. Такие особенности РК обусловливают повышенный уровень риска операций. В связи с этим становится весьма актуальной проблема анализа происходящих на рынке случайных процессов и прогнозирования их характеристик. Так, например, анализ случайных процессов на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ) показал, что эти процессы являются фракталами со всеми вытекающими отсюда последствиями (см. ниже). В этих условиях обычный математический анализ таких процессов затруднен и требуются специальные методы. Например, при использовании для прогноза движений рынка процедур классического регрессионного анализа (КРА) последний необходимо модифицировать, что и будет подробно рассмотрено ниже.
В процессе работы регрессионной модели (РМ) по прогнозу движений рынка естественно
*При подготовке данной статьи автором использовано более 130 первоисточников.
появление различных политических, экономических и других заявлений и сообщений официальных и неофициальных лиц, которые практически всегда воздействуют на рынок в том или ином направлении. В этом случае оценки РМ принято корректировать, для чего с помощью РМ сначала оценивается первая реакция рынка на какое-то заявление, т.е. оценивается сила или степень воздействия на РК. При необходимости проводится вторая оценка РМ и только после выявления нового состояния РК и направления его движения принимаются решения.
В работе В.Ю. Додонова в качестве меры компенсации курсовых потерь используется метод усреднения. Суть метода заключается в том, что если рынок вдруг пошел в другую сторону и инвестор стал терпеть убытки, то в нижней точке падения курса необходимо приобрести дополнительный компенсирующий пакет акций и затем, дождавшись подъема курса до запланированной величины, продать основной и дополнительный пакеты акций. По мнению автора этой работы, таким путем можно компенсировать курсовые потери.
Однако не все так просто. Нужного курса можно ждать как угодно долго, а то и не дождаться его вообще, что не компенсирует, а увеличивает потери, и это особенно реально на развивающихся РК, подобных российскому. Все это значит, что внедрение на развивающихся РК современных математических методов является актуальным.
Напомним здесь, что при наличии в сложной системе подобной РК случайных факторов оптимизация работы такой системы с помощью любых математических методов возможна только « в среднем». Уместно привести здесь мнение крупного
специалиста США по РК К. Мея (С. May): «Если Вы оказываетесь правы в 53% случаев на протяжении длительного времени, значит, Вы делаете все как надо. Вы не должны быть правы всегда». Хотелось бы уточнить последнюю фразу К. Мея так: «Работая в условиях случайных процессов, Вы никогда не сможете быть правым всегда».
Российская экономика длительное время была плановой, и лишь недавно статус российской экономики был признан международным экономическим сообществом как рыночный. Это значит, что и российская экономическая наука находится в стадии становления. Поэтому разработка математических методов для этой экономики вообще и для РК в частности является актуальной. Ряд известных отечественных и зарубежных ученых уже доказали, что достоверные прогнозы движений РК возможны и являются мощным средством управления инвестиционным процессом.
Отметим здесь, что главными участниками, например, рассмотренного далее валютного рынка являются коммерческие банки (КБ), которые проводят основной объем валютных операций. В КБ держат счета другие участники рынка и осуществляют с ними конверсионные и депозитно-кре-дитные операции. КБ через операции с клиентами аккумулируют совокупные потребности рынка в валютных конверсиях, а также в привлечении/размещении средств и выходят с ними на другие КБ. Помимо удовлетворения заявок клиентов КБ могут проводить операции и самостоятельно за счет собственных средств. В конечном итоге валютный рынок представляет собой рынок межбанковских сделок.
Среди необходимых экономике и РК математических методов видное место занимает регрессионный анализ (РА), который позволяет осуществлять глубокое проникновение в суть происходящих на РК случайных процессов, в т. ч. прогнозировать очередные курсы валют и цены акций.
Основные предпосылки классического регрессионного анализа.
Краткая историческая справка
Сформировавшись как теория, РА стал быстро развиваться. Сначала его методы применялись в астрономии и геодезии, затем в химии и позднее неизбежно пришли в экономику. Возможность не беспокоиться в том или ином случае о выполнении предпосылок РА сначала была очень удобна, поскольку все силы можно было сосредоточить на содержательной интерпретации результатов. Вместе с тем расширение области практических при-
ложений все чаще заставляло задуматься о правомерности подхода, основанного на слепой вере в незыблемость выполнения предпосылок РА.
Наиболее распостраненными тогда были две точки зрения на этот счет. Первая - не обращать внимания на нарушение предпосылок и применять классическую процедуру РА, как будто ничего не случилось. Вторая - считать, что классическая процедура РА совершенна и если она нарушается, то надо «подогнать» к ней ситуацию с помощью преобразований.
Однако время от времени стали появляться задачи, которые явно противоречили предпосылкам РА. Под влиянием таких задач возникла идея о проверке выполнимости предпосылок РА. В этой ситуации довольно удачным оказался метод, основанный на анализе остатков, который стал прогрессировать в 1980-е годы после появления и внедрения средств вычислительной техники на базе ЭВМ.
Другая идея борьбы с нарушением предпосылок РА заключалась в преобразовании не исходных данных, а методов их обработки, которые были бы малочувствительны к нарушениям предпосылок РА. По предложению Дж. Бокса (см. ниже) такие методы стали называть робастными (от англ. robust). Однако и робастные методы, допуская нарушения некоторых предпосылок РА, все же требуют, чтобы эти нарушения находились в определенных пределах. Если же границы нарушений не определены, то применять робастные методы очень рискованно.
В принципе, можно разработать специальные методы, пригодные если не для всех, то, по крайней мере, для наиболее распространенных вариантов наблюдений. Отметим здесь, что такие специальные методы сначала появились в эконометри-ческих исследованиях. Появились и труды по авторегрессии (АР), которой в данной статье уделяется большое внимание.
Предпосылки классического регрессионного анализа
1. Ошибка оценки с помощью КРА является случайной величиной. Выходная оценка (отклик) КРА есть также случайная величина с распределением того же вида, что и ошибка оценки. Последнее является одним из главных свойств линейных методов оценки.
2. Математическое ожидание ошибки оценки КРА равно нулю.
3. Ошибки оценки КРА не коррелированы и имеют одинаковые дисперсии.
Условие некоррелированности ошибок оценки КРА часто не выполняется, что имеет особое значение для случайных временных рядов, где наблюдения в соседних временных интервалах статистически зависимы, что и имеет место на РК.
Условие равенства дисперсий ошибок оценки КРА часто называют условием однородности, или гомоскедастичности, наблюдений. Если это условие не выполняется, то наблюдения неоднородны, т.е. гетероскедастичны.
Однородность наблюдений означает, что интенсивность случайных возмущений не изменяется ни при изменении факторов, ни во времени, в течение которого делаются наблюдения. В случае анализа случайных временных рядов на РК это условие часто не выполняется, ибо и количество факторов, и сила их воздействия могут произвольно меняться, причем спектр факторов достаточно широк - от нестандартных действий участников рынка до интервенций центральных банков, политических, экономических, коммерческих и других факторов. Все это значит, что случайные временные ряды на РК могут быть неоднородными, т.е. гетероскедастичными.
4. Ошибка оценки КРА имеет распределение Гаусса. Хотя это распределение распостранено очень широко и ряд ученых не без оснований считают его предельным для многих явлений, все же отличия наблюдаемых распределений от распределения Гаусса не так уж и редки. Так, в данном изложении нас будет интересовать распределение случайных временных рядов на РК, которое при линейных методах оценки идентично распределению ошибки оценки КРА. Отличия распределений случайных временных рядов от распределения Гаусса показано зарубежными учеными («толстые хвосты» и остроконечность плотности вероятности, т.е. «лептоэксцесс») и материалами исследований автора этой статьи курсовых рядов валют на финансовом рынке (ФР) ММВБ (см. ниже).
5. Расширенная матрица регрессоров не случайна. Это означает, что элементы этой матрицы -известные числа, точно полученные исследователем. Предпосылка нарушается, если, например, факторы измеряются с ошибками, т.е. в этом случае матрица становится случайной. Нарушение этой предпосылки происходит и тогда, когда исследователь хочет распространить выводы на более широкий класс значений факторов, чем позволяют имеющиеся у него данные.
6. На значения параметров или коэффициентов РМ при КРА не накладывается никаких огра-
ничений, т.е. предварительно об их значениях ничего неизвестно и при вычислениях они могут быть какими угодно.
7. Ранг матрицы регрессоров равен числу коэффициентов в РМ. Напомним, что рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора.
Эта предпосылка необходима для реализации процедуры вычисления коэффициентов РМ. Очевидно, что эта предпосылка нарушается, если число коэффициентов РМ больше числа наблюдений или же между некоторыми столбцами матрицы регрессоров существует линейная зависимость.
Таким образом, КРА - это процедура оценивания регрессионных коэффициентов и статистический анализ РМ, когда выполняются все семь предпосылок. Как следует из изложенного, для временных рядов на РК описанные семь предпосылок КРА выполняются далеко не все и не всегда, поэтому требуется рассмотрение возможных путей применения в условиях РК модифицированных процедур КРА.
Анализ информации на реальном финансовом рынке
Для анализа информации на российском ФР были использованы публикуемые в СМИ статистические данные ММВБ о курсах 16 ведущих мировых валют к рублю за период с 01.12.2000 по 31.01.2003 за 336 торговых дней. Особое внимание было уделено двум курсам, т.е. курсу рубль/дол. США и рубль/евро.
Оценка показателя Херста
Показатель Херста (Hurst) Н, или, как еще говорят, статистика Херста R/S, указывает на наличие в рассматриваемом временном ряду смещения. На РК такое смещение генерируется участниками рынка, которые со смещением реагируют на текущую экономическую обстановку. Это смещение продолжается до тех пор, пока не появится новая случайная информация и не изменит это смещение по величине, направлению или и в том и другом плане. R/S анализ Херста дает нам две важнейшие характеристики временного ряда. Во-первых - среднюю длину цикла, необходимую для оценки инерции движения системы. Под средней величиной цикла системы понимается длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях. Во-вторых - показатель Херста устойчив,
содержит минимальные предположения об изучаемой системе, может классифицировать временные ряды, отличать случайный ряд от неслучайного, даже если этот ряд не является гауссовским.
Если показатель Херста Н отличается от 0,5, то это значит, что вероятностное распределение исследуемого временного ряда не является гауссовским. Если же 0 < Н < 1, то ряд является фракталом, поведение которого существенно отличается от случайных блужданий при Н = 0,5.
Таким образом, если Н не равен 0,5, то это значит, что наблюдения не являются независимыми. Каждое наблюдение в этом случае несет память о всех предшествующих событиях. И это не кратковременная память, которую называют «марковской». Это другая, долговременная память, и теоретически она сохраняется всегда. Последние события имеют больше влияния, чем события предыдущие. В долговременном масштабе система, которая дает статистику Херста, есть результат взаимодействия длинного потока связанных событий. То, что случается сегодня, влияет на будущее. То, где мы находимся сейчас, определяется тем, где мы были в прошлом, и поэтому время здесь - важнейший фактор.
Приложениями показателя Херста являются следующие положения.
Если Н = 0,5, то подтверждается гипотеза эффективного рынка (ГЭР или ЕМН - Efficient Market Hypothesis), т.е. вчерашние события не оказывают влияния сегодня, а сегодняшние события не влияют на будущие. События не коррелированы и уже использованы и обесценены рынком.
В противоположность этому при Н > 0,5 рынок является фрактальным и следует гипотезе фрактального рынка (ГФР или FMH - Fractal Market Hypothesis). Это противоречит ГЭР и всем количественным моделям, которые из нее выводятся.
Расчетами получено, что для 336 торговых дней на ММВБ и временного ряда курсов рубль/дол. США показатель Херста Н = 0,600.
Полная потеря начальных условий для указанного ряда составляет 113 торговых дней, т.е. цикл курсов рубль/дол. США равен 113 торговых дней.
Аналогичные данные получены и для временного ряда курсов рубль/евро. Показатель Херста Н = 0,610, а длина цикла составляет 90 торговых дней.
Полученные оценки показателя Херста свидетельствуют о том, что ФРна ММВБ является фрактальным и поэтому не следует случайным блужданиям (т. е. не имеет распределения Гаусса), а сле-
дует смещенным случайным блужданиям. Система ФР на ММВБ персистентна и циклична.
Оценки размерностей
Фрактальная размерность временного ряда при Н = 0,5 равна 1,5. Фрактальная размерность кривой линии равна 1,0, а фрактальная размерность геометрической плоскости равна 2,0. Это значит, что фрактальная размерность случайного блуждания лежит между кривой линией и плоскостью. Если 0,5 < Н < 1,0, то это будет соответствовать фрактальной размерности более близкой к кривой линии, что, по терминологии Херста, является персистентным временным рядом, дающим более гладкую, т.е. менее зазубренную линию, нежели случайное блуждание. Антиперсистентная величина 0 < Н < 0,5 дает более высокую фрактальную размерность и более прерывистую линию, чем случайное блуждание, т.е. характеризует систему, более подверженную переменам.
Расчетами получено, что для 336 торговых дней на ФР ММВБ фрактальная размерность временного ряда курсов валют равна О = 1,4, что означает, что ФР ММВБ является фрактальным.
Другой показатель фрактальной размерности для ФР ММВБ равен А = 1,66. Разница между этими показателями заключается в том, что Э есть фрактальная размерность временного следа, а А -это фрактальная размерность пространства вероятностей. Другими словами, О измеряет «зазубренность» временного ряда, а А - толщину «хвостов» в функции плотности вероятности. Изменение величины А очень сильно меняет характеристики временного ряда. Напомним здесь, что фрактальная размерность случайного блуждания в ГЭР А = 2.
Оценка корреляционного соотношения
Фрактальные временные ряды характеризуются долговременными корреляциями, они не следуют случайным блужданиям типа броуновское движение, и их вероятностное распределение не является гауссовским. Отметим, что описываемая здесь корреляционная мера фрактальных временных рядов не имеет отношения к автокорреляционной функции гауссовских случайных величин.
Если показатель Херста 0,5 < Н < 1,0, то такой фрактальный временной ряд является персистентным и в нем существует корреляция между событиями на временной оси. Вследствие этого вероятность двух событий, следующих друг за другом,
не равна 0,5 х 0,5. Показатель Херста описывает такую вероятность, при которой два последовательно происходящих события могут быть одинаковыми. Это не истинная вероятность, а это просто мера смещения.
Заметим здесь, что трендоустойчивость, или персистентность, временного ряда растет при приближении Н к 1,0, или 100% корреляции. Если же Н = 0,5, то всякая корреляция отсутствует, т.е. чем ближе Н к 0,5, тем ряд более зашумлен и тем менее выражен его тренд.
Персистентные ряды не только в изобилии встречаются в природе, но и свойственны РК. Это означает, что вероятностное распределение этих рядов не является гауссовским, а это, в свою очередь, означает, что многие количественные методы эффективного рынка теряют смысл и необходим поиск новых подходов к решениям задач РК.
Расчетами получено, что корреляционное соотношение для временных рядов курсов валют на ФР ММВБ С = 0,149-0,165.
Зарубежный опыт
Исследования зарубежных валют в части обменных курсов доллара США к японской йене, евро и английскому фунту также показали статистику Херста с высокими уровнями персистентно-сти. Примечательно, что вышеуказанные три валюты, так же как и валюты на ФР ММВБ, имеют показатель Херста Н = 0,600.
В качестве другого примера приведем изменение курса сингапурского доллара к доллару США за период с октября 1981 г. по октябрь 1990 г., который не показал статистику Херста (т.е. показал Н= = 0,5). Это означало, что этот курс являлся истинно случайной переменной. Выводом из этого является то, что правительство Сингапура и его Центральный банк хорошо выполняли свою работу, поэтому в результате их сознательных усилий все флюктуации обменного курса являлись следствием случайных во времени действий валютных трейдеров.
Краткие обобщающие выводы
Результаты проведенных исследований ФР ММВБ позволяют утверждать: а) несмотря на то, что современные математические методы позволяют решить задачу оптимизации функционирования ФР на основе эффективного прогноза курсов валют, тем не менее математическим методам оптимизации работы ФР внимания уделяется недостаточно;
б) полученные на ФР ММВБ статистики Херста для временных рядов курсов валют показывают, что эти ряды являются фракталами. Это значит, что распределение курсов валют на ФР ММВБ не является гауссовским, на котором основана ГЭР и все ее расчетные инструменты. В свою очередь, это требует разработки новых методов оптимизации работы ФР, в т.ч. модификации существующих классических методов математики, например, процедур РА;
в) временные ряды курсов валют на ФР ММВБ имеют долговременную корреляцию и циклы, что позволяет достоверно прогнозировать текущую экономическую обстановку, т.е. в данном случае количественный математический анализ имеет гораздо большую обоснованность;
г) чем больше показатель Херста Н превышает 0,5, тем выше персистентность ряда курсов валют, меньше шумов и более ясные тренды. Это значит, что при более высоких Н использование для прогноза фрактальных рядов математических моделей сопровождается меньшими рисками;
д) валютные интервенции ЦБ РФ существенно затрудняют регулирование курсов валют на ФР с помощью естественных рыночных сил;
е) теория фракталов еще молода, и пока еще она только по-новому осветила работу РК, но еще не создала возможности прогнозов. Поэтому разработка и внедрение в работу РК моделей прогнозов, например, на базе модификаций РА для РК являются актуальными.
Модификации процедур КРА для оптимизации работы РК
Авторегрессия
Теоретической основой методов авторегресса (АР) являются труды А. Н. Колмогорова, который доказал, что любое будущее значение несингулярной стационарной случайной последовательности может быть представлено линейной комбинацией ее предыдущих членов. Он показал, что ошибка прогноза в этом случае имеет предел и нашел выражение для этого предела.
АР не входит в класс обычныхлинейных множественных регрессий, так как в них предполагается, что переменные в правой части фиксированы и не случайны (см. предпосылку КРА N 5), а для АР - это случайные величины. Другими словами, вход уравнения АР явно не определен.
Существенным недостатком процесса оценивания коэффициентов взаимосвязанных уравне-
ний АР больших размеров является неидентичность оценок, что, в основном, связано с неоднократным обращением матриц. Если матрицы имеют большую размерность, то накопленные на каждом шаге итераций ошибки округления существенно сказываются на значениях получаемых оценок.
Анализ процесса прогноза с помощью уравнений АР на первый взгляд показывает, что детализация уравнения АР позволяет более точно описать и прогнозировать характеристики исследуемого случайного процесса. Однако увеличение числа переменных в уравнении АР может приводить к тому, что прогноз становится зависимым от еще большего числа условий, и, таким образом, уравнение АР дает все более многовариантную картину развития событий. Выбор же варианта прогноза остается за рамками уравнения АР.
Проведенные автором исследования показали, что для широкого класса случайных процессов оптимальным количеством членов предыстории процесса является 2-4. Дальнейшее увеличение предыстории процесса практически не приводит к увеличению точности прогноза, так как минимум среднеквадратического отклонения (СКО) ошибки прогноза, в основном, зависит от последних двух наблюдений.
На РК вследствие влияния внешних и внутренних сил образуются случайные временные ряды цен акций и курсов валют. Так как участникам рынка крайне важно знать будущие движения рынка, применение для этой цели прогнозирующих уравнений АР является целесообразным.
Линейные ограничения на коэффициенты РМ
При работе на РК любой аналитик в состоянии сформулировать имеющиеся ограничения как в виде уравнений, так и в виде неравенств. Например, каждый участник рынка имеет ограничения по средствам, по рискам и др. Выявленные ограничения накладываются на значения коэффициентов РМ. Задачи оценивания при наличии ограничений детально рассмотрены в работах Е.З. Де-миденко и С. 1ле\у.
Выбор наилучшей структуры модели
Исследователь, приступая к разработке РМ системы, использует свои знания о системе и формирует первый вариант РМ. При проверке адекватности РМ может случиться, что некоторые коэффициенты близки к нулю, т.е. соответствующие этим коэффициентам члены РМ можно отбросить. РМ ста-
нет более компактной и экономичной, и именно такая РМ считается наилучшей. Однако такое отбрасывание не должно привести к снижению прогностических свойств РМ или к потере ее адекватности.
Уменьшение числа коэффициентов и, следовательно, регрессоров увеличивает число степеней свободы при оценке дисперсии остатков, т.е. делает связанные с ней проверки более устойчивыми.
Данные о факторах и данные об откликах обычно имеют различный физический смысл и различные физические размерности. Это вызывает вычислительные неудобства, ибо иногда вынуждает работать то с очень большими, то с очень маленькими числами, и это влечет за собой значительные ошибки. Поэтому часто для снижения этого эффекта регрессоры и отклики центрируют и нормируют. Наблюдения и регрессоры называют центрированными, если из них вычтены их средние арифметические, или называются нормированными, если они разделены на их СКО. Одновременное центрирование и нормирование называется стандартизацией.
Среди других способов выбора наилучшей модели можно отметить применение частного коэффициента корреляции и частного F-критерия, статистику Маллоуза, проверку всех возможных регрессий, метод включения и исключения регрессоров, шаговую регрессию.
Наилучшие результаты при выборе структуры модели дает проверка всех возможных регрессий, однако в вычислительном плане это труднее всего, особенно при большом числе возможных регрессоров.
Метод исключения регрессоров считается лучше, чем метод их включения. Последний эквивалентен проверке всех возможных регрессий для всех подмножеств регрессоров, тогда как метод исключения совпадает с методом всех возможных регрессий. Как показано в работе A. Rencher, F. Pun, хотя методы включения и исключения должны бы давать одинаковые результаты, тем не менее они могут приводить к результатам, существенно отличающимся от результатов метода проверки всех возможных регрессий.
Шаговый РА объединяет достоинства методов включения и исключения. В комбинации с анализом остатков он очень полезен, и можно утверждать, что в настоящее время это самый распространенный метод определения структуры модели. Иногда шаговый РА может использоваться для получения РМ по числу наблюдений, которое меньше числа коэффициентов РМ. Это вполне возможно, поскольку члены включаются в РМ последо-
вательно один за другим, поэтому процедура синтеза РМ может закончиться раньше, чем возникает избыточность.
Интересное сравнение этих методов сделал Берк, который показал, что шаговый РА уступает по точности методу всех возможных регрессий, когда оценка его свойств осуществляется по тем же данным, по каким получена модель. Однако, когда сравнение проводится по дополнительно собранным данным, преимущество метода всех возможных регрессий резко падает.
Взвешивание информации
Во многих случаях не все наблюдения имеют для исследователя одинаковую ценность. Если, например, значение коэффициента РМ меняется во времени (т.е. объект нестационарен), то новые наблюдения могут быть ценнее старых. В этом случае оценивание взвешенной остаточной суммы квадратов можно осуществлять с помощью весов, характеризующих ценность информации в наблюдениях. Метод, в котором регрессионные коэффициенты оцениваются с учетом весов наблюдений, называется взвешенным методом наименьших квадратов (ВМНК).
Вычислительные проблемы при плохо обусловленной информационной матрице
• Плохая обусловленность информационной матрицы (ИМ) возникает тогда, когда эта матрица вырождена, т.е. ее определитель равен нулю или близок к нему. В этом случае нельзя вычислить коэффициенты РМ, поскольку матрица, обратная информационной, не существует. Явление мультиколлинеарности означает, что между столбцами матрицы регрессоров существует линейная зависимость, т.е. хотя бы один из этих столбцов можно выразить как линейную комбинацию остальных. Строгой мультиколлинеарностью называется такое явление, когда количество столбцов матрицы регрессоров, имеющих совпадающие направления, равно количеству нулевых собственных чисел этой матрицы.
Отрицательные последствия мультиколлинеарности:
неустойчивость оценок, ибо добавление или исключение даже очень малого количества информации (например, одного наблюдения) может приводить к очень сильному изменению оценок коэффициентов РМ и резкому снижению точности прогноза с помощью РМ;
имеется численная неустойчивость процедуры оценивания из-за ошибок машинного округления и их накопления; коэффициенты РМ оказываются сильно коррелированными между собой, что лишает смысла их интерпретацию; резко возрастают дисперсии оценок коэффициентов РМ.
Внешним признаком наличия мультиколлинеарности являются слишком большие значения элементов матрицы, обратной информационной, следствием чего являются и большие значения регрессионных коэффициентов. В этих случаях, как правило, и прогнозы, и остаточная сумма квадратов весьма не точны.
Мультиколлинеарность легко заметить, если работать не с исходными, а со стандартизированными регрессорами. Существует много других способов выявления мультиколлинеарности и борьбы с ней. Так, в работе А. Willen, D. Watts предлагается использовать области эффективной предсказуемости, которые определяются как области, в которых дисперсия ошибки прогноза не превышает удвоенной дисперсии исходных наблюдений.
• Решение системы нормальных уравнений по методу наименьших квадратов (МНК) для определения коэффициентов РМ - это один из множества существующих подходов к решению этой задачи в условиях мультиколлинеарности. К сожалению, и все другие методы в той или иной степени чувствительны к указанным условиям.
• Плохая обусловленность ИМ характерна для задач полиномиальной регрессии, особенно если факторы меняются с равным шагом, как это, например, происходит на PK, т.е. через один торговый день. В этом случае часто появляются корреляции как между факторами, так и между их комбинациями. Очень полезным здесь является предварительное центрирование независимых переменных. Отметим, что следует отличать предварительное центрирование независимых переменных и центрирование ИМ, описанное выше, когда существенного улучшения обусловленности ИМ не происходит.
• Идея регуляризации - это попытка преодолеть плохую обусловленность ИМ и заключается в том, что для стабилизации оценок коэффициентов РМ к ИМ добавляется некоторое малое положительное число. Эта идея обоснована в работах А. Н. Тихонова, Херла и ряда других авторов.
• Среди других оценок типа регуляризованных известны стабилизированные оценки, «сжатые» оценки Стейна и минимаксные линейные оценки.
• Кратко отметим, что для борьбы с последстви -ями плохо обусловленной ИМ могут использоваться варианты РА, основанные на собственных числах ИМ, т.е. на ее главных компонентах и характеристических корнях.
• Плохой обусловленности ИМ можно легко избежать, если воспользоваться планированием эксперимента. Все действия при этом направлены на максимизацию определителя ИМ, ибо и мультиколлинеарность, и плохая обусловленность ИМ всегда сочетаются с малым значением определителя ИМ.
Регрессионный анализ при неоднородных и коррелированных наблюдениях
• Неоднородность наблюдений может возникнуть естественно, когда, например, она обусловлена особенностями изучаемого явления. Так, например, при работе на РК кроме информации с РМ о будущих ценах и курсах, появляется информация в виде заявлений известных политических, экономических и других деятелей по какому-то вопросу. Как правило, эта информация влияет на РК, приводя к подъемам или спадам рынка. В то же время эта информация неоднородна с информацией с РМ и, кроме того, эта информация для ее учета требует «оцифровывания».
• Корреляция наблюдений также явление нередкое и может присутствовать на РК (см. выше). Если наблюдения упорядочены в последовательности, соответствующей их появлению во времени, то в этих случаях используется понятие «автокорреляция».
Способы получения наилучших оценок регрессионных коэффициентов при неоднородностях и корреляцией между наблюдениями на основе введения дополнительной положительно-определенной матрицы с последующим использованием обобщенного МНК приведены в работе Дж. Себера.
Простым и эффективным методом выявления различных неоднородностей является исследование графиков остатков, которые могут дать гораздо больше информации, чем формальная проверка значимости для различных нуль-гипотез. Неоднородность проявляется в дисперсиях случайных возмущений и в так называемых «выбросах», исследованию которых посвящено много работ.
Проверку неоднородности можно также осуществлять с помощью статистических критериев Бартлета, Кокрена и ряда других. Большинство критериев требует гауссовского распределения наблюдений и, следовательно, откликов. Наибольшую ценность для РК представляют работы, где предложены методы, нечувствительные к отклонениям от гауссовского распределения, которые порождаются, например, на ФР ММВБ фрактальным характером курсовых рядов валют (см. выше).
• Значительная неоднородность меняет процедуру КРА, хотя при умеренной неоднородности МНК еще сохраняет свои позиции. Представление о том, насколько неоднородность значительна, можно получить либо методом анализа остатков, либо с помощью приведенных выше статистических критериев. Если выявлена значительная неоднородность, то необходимо использовать ВМНК. Некоторые особенности в применении МНК существуют при наличии априорной информации о характере неоднородности, а также при отсутствии такой информации.
Кроме указанных подходов для оценки параметров РМ с неоднородностями можно использовать метод максимума правдоподобия и байесовский метод, а сравнение 4 подходов приведено в работе S. u R. Horn.
• Как и при выявлении неоднородности, выявление корреляции лучше осуществлять по графикам нормированных остатков, причем наиболее содержательными являются графики остатков, построенные во времени. Для случая РК это легко осуществимо, ибо графики остатков можно строить в зависимости от торговых дней, т.е. во времени. Другой способ анализа остатков основан на построении периодограмм.
В связи с серьезными трудностями оценивания, порождаемыми корреляциями, для их выявления разработано очень много критериев. Авторегрессионный анализ при наличии корреляции между наблюдениями, что имеет место на РК, осуществляется с особенностями, описанными в работах D. Pierce и др.
Регрессионный анализ при ошибках в независимых переменных
Ошибки могут быть как в факторах, так и в откликах РМ. Если это так, то процедуры КРА здесь не подходят и необходимо использовать модификации КРА, которые описаны в работах М. Кендалл, А. Стюарт и др.
РА при нарушении предпосылок о гауссовском законе распределения
Известно, что основная масса наблюдений в распределении Гаусса лежит в 3-сигмовых границах, т.е. говорят, что это распределение имеет короткие «хвосты». В значительной части реальных явлений это и другие свойства распределения Гаусса нарушаются. Так, например, на РК распределение наблюдений имеет длинные «хвосты» и остроконечность, что является «лептоэксцессом». Это же показано выше при анализе временных рядов курсов валют на ФР ММВБ.
Использование КРА при работе с такими распределениями крайне сложно. Для проверки соответствия имеющихся наблюдений гауссовскому распределению используется ряд известных и малоизвестных критериев согласия.
Перечисленные обстоятельства обусловили разработку регрессионных методов, которые были бы нечувствительны к нарушению предпосылки о гауссовском распределении. Как уже было коротко отмечено выше, понятие «устойчивые», или «ро-бастные», методы впервые ввел Дж. Бокс. Устойчивость методов имеет огромное значение, так как на практике введение предпосылок КРА всегда в той или иной мере является идеализацией реальных условий. Формально методы оценивания называют устойчивыми к нарушению предпосылки КРА о гауссовском характере распределения наблюдений, если основные свойства оценок - несмещенность, состоятельность и эффективность являются нечувствительными к нарушению этой предпосылки. В современной теории устойчивого оценивания разработано три основных класса оценок параметров РМ, которые устойчивы к нарушению предпосылки о гауссовском характере наблюдений. Первый класс - это М-оценки, второй класс - это Ь-оценки и третий класс - это Л-оценки.
Преобразование наблюдений в свободные от распределения формы
Интересный подход к преодолению нарушений основных предпосылок КРА (гауссовость, независимость и однородность наблюдений) предложен Боксом и Коксом. Этот подход основан на простой идее - найти такое преобразование наблюдений, чтобы выполнялись основные предпосылки КРА, а затем воспользоваться стандартными процедурами КРА.
Важный класс статистических методов оценивания и проверки гипотез - это свободные от распределений (т. е. непараметрические) методы.
Эти методы не требуют информации относительно вида функции распределения наблюдений, а оперируют более общими предположениями об этих распределениях. Здесь часто предполагается, что наблюдения - это независимые одинаково распределенные случайные величины с непрерывной функцией распределения неизвестного вида. К этому классу методов принадлежат критерии согласия Колмогорова-Смирнова, Хи-квадрат, Шапи-ро-Уилка, критерий серий для стационарности и случайности, ранговые критерии для сравнения математических ожиданий и дисперсий нескольких совокупностей (Уилкинсона, Фридмана,'Мозеса) и др. Методы, основанные на рангах наблюдений, образуют особый класс свободных от распределения методов.
И в заключение отметим, что большая часть результатов имеет асимптотический характер, что затрудняет их использование при малых выборках. Однако для РК с их обширной статистикой использование этих методов, несомненно, целесообразно. Методы не требуют информации о виде функции распределения и обладают высокой эффективностью для широкого класса распределений. Можно ожидать, что теория ранговых критериев, которая в настоящее время интенсивно развивается, приведет к созданию удобных для практического применения, высокоэффективных и свободных от распределений методов для решения на их основе задач РК.
Таким образом, можно утверждать, что: Россия является страной с развивающейся рыночной экономикой, которая требует для управления ею разработки и внедрения современных математических методов; анализ российского ФР показал, что в классической постановке методы РА непригодны для применения на ФР и требуется модификация или адаптация этих методов к условиям РК вообще и ФР в частности; рассмотрены модификации КРА, применение которых возможно в условиях РК. Предложен широкий подбор справочной литературы с комментариями по модификациям КРА, что может использоваться специалистами аналитических отделов для разработки моделей работы КБ на РК.
