CC BY
9
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 535.12.01
УСЛОЖНЕНИЕ СПЕКТРА РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ЗАРЯЖЕННЫХ НАНОЧАСТИЦАХ ПРИ УЧЕТЕ РАДИАЦИОННОЙ ОТДАЧИ
A.A. Власов
(.кафедра квантовой теории и физики высоких энергий)
Выявлены особенности рассеяния электромагнитных волн на заряженных нано-частидах с учетом жоррежтного выражения для силы радиационной отдачи. Эти особенности (изменение максимальной величины интенсивности, появление дополнительных пижов в спежтре и другие) могут быть использованы в частности в физиже ожолоземной плазмы и в физиже заряженных наночастид.
Проблема учета влияния собственного электромагнитного поля излучающего заряженного тела малых размеров (микро- или наночаетицы) на траекторию движения самого тела в рамках классической электродинамики Максвелла является актуальной и по сей день. Известно, что при попытке учета такого самодействия уравнения Максвелла из линейных становятся нелинейными, что существенно усложняет их анализ. В традиционном к этой проблеме подходе, восходящем к классическим работам Абрагама, Лоренца и Дирака, излучающее тело полагается точечным (дельта-образным), а получаемые на этом пути уравнения движения тела с учетом радиационной отдачи, после процедуры перенормировки расходящихся членов, имеют вид [1]:
ргМ = (2д2/Зс3)ёЧ/ш2 (1)
(здесь <2 — заряд пылинки, V — скорость ее движения).
Уравнения Абрагама-Лоренца-Дирака (1), если их рассматривать как точные, имеют много нефизических решений (среди которых обычно отмечаются саморазгон и предуекорение), из-за чего в литературе они часто подвергаются критике и предлагаются другие способы решения проблемы самодействия. Эти способы можно условно разделить на квантовые (рассматривая на квантово-полевом уровне взаимодействие излучающей электрически заряженной элементарной частицы с квантами собственного электромагнитного поля) и неквантовые (вводя тем или иным способом ненулевой размер источника поля).
В работах [2-5] автор последовательно развивает неквантовый подход к проблеме радиационной отдачи. В этом подходе для изучения явлений, связанных с радиационной отдачей движущихся заряженных классических (не квантовых) частиц малой протяженности, предлагается отказаться от традиционной модели «точечноети» Абрагама-Ло-
ренца-Дирака (и соответственно от вытекающего из нее традиционного уравнения движения «точечной» излучающей частицы с учетом радиационной отдачи) и рассматривать заряженные частицы малых, но конечных размеров (например, пылевую плазму, заряженные броуновские частицы, заряженные микро- и наночаетицы околоземной плазмы и т.п.), получая для них каждый раз свои (в общем виде зависящие от конкретного вида распределения заряда) уравнения движения с радиационной отдачей. Понятие малости размера микрочастицы устанавливается для каждой конкретной задачи свое исходя из характерных длин такой задачи. Тем не менее на этом пути, как показано в [2-5], расширяя область применимости известного в литературе метода Джексона [6] разложения силы самодействия в ряд по обратным степеням скорости света и оставляя только линейные члены по скорости и ее производным, можно вывести некоторые достаточно общие соотношения, которые приводят к новым уравнениям движения с учетом силы радиационной отдачи, из которых следует, что модели микрочастиц с конечными размерами оказываются свободными от недостатков традиционного подхода Лоренца и дают новые интересные результаты.
В результате для силы радиационной отдачи движущегося по траектории R = R(t) заряженного с плотностью р = p(t, г) тела получается простое выражение (в рамках линейного или квазирелятивистского приближения):
FrAt) =
d3 г dV p(t, г)p{t, г') х
х
д(д, (W) - R(t))/A) - (d2R(t')/dt2)/(Ac2 Д=|г-г'|, t' = t — А/с.
В частности, для равномерно заряженной по поверхности сферически симметричной диэлектрической пылинки, когда
р = p(t, г) = Q/(4vra2) 5(|r -R\-a)
приведенное выражение сильно упрощается:
FrAt) = (Q2/3ca2) [v(t - 2а/с) - v(t)] (3)
(здесь а — радиус пылинки) и уравнение движения такой пылинки под действием внешней силы F(t) в рассматриваемом приближении принимает вид
m dv(t)/dt = F{t) + FrM (t) =
= F(t) + (Q2/3ca2) [v(t - 2а/c) - v(t)]. (4)
Следствиями уравнения (4) являются [2-5]:
1) наличие эффекта классического (не квантового) туннелирования, т.е. эффективного понижения потенциального барьера взаимодействия и проникновения микрочастицы в «запретную» область;
2) уменьшение коэффициента диффузии движущейся под воздействием случайной внешней силы заряженной пылинки (т.е. броуновской частицы).
Эти эффекты, имеющие порядок малости (Q2/mc2)/a, возможно, сыграют свою роль в теории пылевой плазмы и теории возникновения пылевых структур, разрабатываемых, например, в [7].
В настоящей работе мы рассмотрим еще одну задачу для уравнения (4) — задачу о рассеянии плоской монохроматической электромагнитной волны Е = Eq exp(iwt—ikr) на линейном гармоническом осцилляторе с массой т, зарядом Q, коэффициентом «внешнего» трения 7 и собственной частотой wq с учетом радиационной отдачи в нерелятивистском (квазирелятивистском) приближении.
Такое рассеяние для точечной гармонически колеблющейся частицы с силой радиационной отдачи в форме Абрагама-Лоренца (1) давно известно и приведено во всех учебниках по классической электродинамике (см., напр., [1, 6]). Частное решение R = Rq exp(iwt) уравнения (при kR <С 1 )
m d2R(t)/dt2 + mjdR(t)/dt + mw$R(t) = = F(t)+FTad(t) = QE0 exp(iwt)+(2Q2/Зс3) d3R(t)/dt3
(5)
дает для величины Rq значение
R0 = QEq/гп-|ш| — w2 + wi^y + w3 i(2Q2/Зтс3)^
(6)
которое в итоге для усредненной по времени величины интенсивности рассеянного света в дипольном приближении </> = <(2Q2/3c3)(Re{d2R(t)/dt2})2> дает
</>= (Q4E2/3m2c3^ -f(w), (7)
f(w) = w4/{(wl-w2)2+ w2(1 + i)2}, i = w2 2Q2/Зтс3.
Функция f{w) — это известная кривая Лоренца с единственным максимумом « ш|/(7 + 7')2 (при wo ^ (7 + 7')2) в районе w я wq и шириной ~ (7 + 7') на полувысоте пика.
В случае заряженной диэлектрической наноча-етицы силу радиационной отдачи Абрагама-Лорен-ца (1) следует в уравнении (5) заменить на выражение (3). Соответственно при этом изменяется и ответ для усредненной интенсивности излучения. Несложные выкладки, аналогичные приведенным выше, дают для </> следующее выражение:
</> = (Q2Eq sin(x/2)/(х/2)) 2/3m2c3 ■ f(x), (8) f(x)=xY {(х2 - х2)2 + х2 (Г'2 + (Г + Г')2) -
- 2Г'(Г + Т')х2 cos х - 2Г'х(х| - х2) sin х},
х = (2 a/c)w, Г = (2а/с) j, V = 2Q2/Загпс2.
(При выводе (8) для подсчета силы F(t) = = J d3 rp(t, r)Eo exp(iwt — ikr) со стороны падающей волны мы воспользовались соответствующим выражением для плотности заряда p(t, г) на поверхности сферической диэлектрической пылинки и условием kR <С 1, что привело к следующему ответу для силы: QjEq ехр(гш^) sín(x/2)/(x/2). Это выражение для F(t) отличается от F(t) в (5) появлением форм-фактора sin(x/2)/(x/2).)
Кривая /(х) при Г' = 0 повторяет кривую Лоренца при 7' = 0, но в остальном от нее сильно отличается, соответственно отличаются и интенсивности рассеянного излучения, рассчитанные либо по (7), либо по (8).
Так, в окрестности лоренцева пика х и xq при 7 = 0 и малом Г' (т. е. в отсутствие «внешнего» трения в случае разреженного «пылевого газа») выражение для /(х) упрощается: /(х) и (sin(x/2)/(x/2))^2(r')^2, и в итоге интенсивность рассеянного света </> (8) обратно пропорциональна «электромагнитному» трению Г' и может быть (при указанных условиях) очень большой величиной в силу малости Г':
<¡> = (Q2E0)2/3m2c3-(Т'Г2- (9)
(Хотя формально при а —> 0 величина «собственного электромагнитного трения» и расходится: Г' —> оо, но для типичных заряженных наночастиц околоземной пыли с плотностью порядка нескольких г/см3 справедливо Г'« 10^12.)
Выражение (9) не зависит от частоты в отличие от максимума интенсивности в формуле (7).
Значение максимума интенсивности (9) отличается от максимума, рассчитанного по формуле (7) при 7 = 0 и малом 7', когда </> = (Q2Eq)2/Зт2с3 х х WqÍ^)^2 и отношение первого к последнему по порядку величин равно (а/cwq)2 = х|.
10 12 14 16
Далее, из (8) видно, что при х = хп = Ът (что для частиц размера нанометров соответствует частотам порядка 1017 с-1 или в энергетических единицах порядка 100 эВ) слагаемые в /(х), связанные с Г', пропадают, т.е. пропадает вклад в интенсивность от собственной силы радиационной отдачи в силу эффекта интерференции. Заметим, что на таких частотах вследствие зануления форм-фактора sin(x/2)/(x/2) исчезает и полная интенсивность рассеянного света.
Кроме того, из-за осциллирующих функций в знаменателе f(x) в спектре рассеяния появляются помимо основного, лоренцева пика, еще и другие дискретные пики. Положения этих дополнительных пиков определяются такими параметрами системы, как Г, Г7 и wq. Численный анализ показывает, что при Г = 0 положение дополнительных пиков близко (но не равно) положению максимумов форм-фактора (sin(x/2)/(x/2))2. Это можно понять, так как при выполнении неравенств х2 Xq , x^>F справедливо (Г = 0): /(х) « 1 -2r'(sinx/x).
Для сравнительного численного анализа интен-сивностей, рассчитанных по формулам (8) (/i) и (7) (/2), их удобно представить как функции от безразмерной частоты х, введенной выше, соответственно:
h = Jo 4(х sin(x/2))2/{ (х2 - X2)2 +
+ х2 (Г/2 + (Г + ГО2) - 2Г'(Г + г')х2 cos х -
— 2Ггх(хд — х2) sinxj, (10)
/2=/ОХ4/{(х02-Х2)2 + Х2(Г2 + (П2)}, (11)
где /0 = (Q2E0)2/3m2c3, Г" = Fx2/2, х = (2a/c)w, Г = (2а/Г7 = 2Q2/3amc2.
Сравнительные графики функций (10) и (11) при Г = 0, F = 1.0, Xq — 2.0 приведены на рисунке соответственно под номерами 1 и 2. Из рисунка видно увеличение интенсивности излучения и появление дополнительных пиков. Эти дополнительные пики, как и горб справа от лоренцева максимума, обязаны своим существованием осциллирующим функциям в /1.
Таким образом, экспериментальное исследование рассеяния электромагнитных волн позволит, во-первых, подтвердить изложенные выше соотношения, а во-вторых, по особенностям спектра рассеяния исследовать состав и структуру (распределение по зарядам и размерам) частиц заряженной пыли.
Работа выполнена при частичной поддержке программы «Ведущие научные школы России» (грант НШ-4476.2006.2).
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., 1973.
2. Власов А.А. Дополнительные главы классической электродинамики. Проблемы радиационной отдачи. М., 2002.
3. Власов АЛ. Ц Теор. и матем. физ. 2003. 134, № 2. С. 254.
4. Власов АЛ. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2003. № 2. С. 6.
5. Власов АЛ. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. № 2. С. 3 (Moscow University Phys. Bull. 2004. N 2. P. 1).
6. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М., 1965.
7. Фортов В.Е., Храпак А.Г., Якубов И.Т. Физика неидеальной плазмы. М., 2004.
Поступила в редакцию 15.02.06
