Условия совместности на слабом разрыве в осесимметричном потоке невязкого газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ НА СЛАБОМ РАЗРЫВЕ В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ПОТОКЕ НЕВЯЗКОГО ГАЗА

П. С. Мостовых1, В. Н. Усков2

1. Балтийский государственный технический университет, ассистент, mostovykh@gmail.com

2. Балтийский государственный технический университет, д-р техн. наук, профессор, uskov41@mail.ru

Введение. Газодинамические разрывы (ГДР) представляют собой поверхности в потоках газа, по обеим сторонам которых газодинамические переменные имеют различные значения: /+ и /_. Примерами ГДР являются ударные волны, скачки уплотнения, контактные и тангенциальные разрывы. Мерой интенсивности ГДР может служить разность значений переменной по обе стороны его поверхности, [/] = /+ — /_, или отношение этих значений. Если разность [/] = 0, или отношение /+//_ = 1, но производные /+ и /_ по пространственным координатам qi (i = 1, 2, 3) или времени t по обе стороны поверхности существуют и имеют различные значения, то разрыв называется слабым. К таким разрывам относятся, например, первая и последняя характеристики волны Прандтля—Мейера или Римана, а также вырожденная ударная волна или скачок уплотнения в случае [/] ^ 0 (или /+//_ ^ 1). Мерой интенсивности слабого ГДР служит разность значений первой производной газодинамической переменной по обе стороны его поверхности: [/'] = /+ — /'_.

Задача о законе изменения величин [/'] вдоль поверхности слабых ГДР в сверхзвуковых потоках газа поставлена в книге [1]. Там указанная задача решена для плоского стационарного безвихревого изоэнтропического течения. В [2] показано, что величины [/'] удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с количеством переменных, на единицу меньшем числа независимых переменных задачи, и предложен общий метод получения таких уравнений для произвольных квазилинейных гиперболических систем уравнений.

В данной работе предложенный в [2] метод применен к уравнениям, описывающим сверхзвуковые осесимметричные течения невязкого нетеплопроводного совершенного газа. Получена система алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений для величин [/'] и ее решение в частном случае распространения слабого ГДР в однородном набегающем потоке.

1. Постановка задачи. Сверхзвуковое осесимметричное течение невязкого нетеплопроводного совершенного газа в области, не содержащей сильных ГДР, описывается системой уравнений (см. [3]):

ди дв 1

etg« - -к- = ~ sm в,

д£ дп у

дв ди cos a sin ад ln p о

ct8a ~я7 — ~Б---^-----------^=0’ W

д£ дп y дп

dlnpo _ 0 д£ ~ '

© В.Н.Усков, П. С.Мостовых, 2011

Здесь и, в, lnpо —функции переменных x (высота), у (радиус), x€ (—го; го), у € [0; го); в — угол между осью x и линией тока (рис. 1), pо —полное давление газа, функция Прандтля—Мейера и однозначно связана с углом Маха a и числом Маха M формулами

1 7Г 1 'У — 1

ш = arctg^ctga) - - + а, М=----------------, е = ——; (2)

у/е 2 sin a y + 1

Y — показатель адиабаты (отношение молярных теплоемкостей газа). Область значений определяемых функций ограничена промежутками ш G (0,(1/у/е — 1 )7г/2), а € (0,п/2), то есть имеет место строгое неравенство M > 1. Предполагается, что функции и, в, lnp о имеют конечные производные по £ и по п во всех внутренних точках потока (кроме оси симметрии), на границах поля течения допускается ди/д£ ^ +го (наличие центрированной волны разрежения) и не допускается ди/д£ ^ —го (формирование сильного ГДР). Производные д/д£, д/дп вычисляются по направлениям касательной £ и нормали п к линии тока; здесь £ и п — единичные векторы, £ сонаправлено вектору скорости потока газа V, направление поворота вектора £ к п совпадает с направлением поворота оси x к оси у, то есть £ хп = ex х ey.

Производные дв/д£ = в£, дв/дп = вп, ди/д£ = и^, ди/дп = ип обладают следующими свойствами:

— в£ представляет собой геометрическую кривизну линий тока;

— вп характеризует скорость изменения толщины трубки тока вдоль линии тока;

— и£ пропорциональна производной функции расхода вдоль линии тока;

— ип пропорциональна перепаду относительного давления д(p/pо)/дn в поперечном к линии тока направлении (p — статическое давление газа).

При у = 0 в осесимметричном течении правая часть первого уравнения представляет собой неопределенность вида 0/0. На основании правила Лопиталя получаем

предел lim((sinв)/у) = ву при условии, что ву конечна. Если ву бесконечна, то ра-

у^о

венство lim((sinв)/(уву)) = 1, вообще говоря, не выполняется (бесконечно большие

у^о

(sinв)/у и ву могут быть не эквивалентны).

Первое уравнение системы (1) выражает неразрывность потока; второе является записью уравнения импульсов в проекции на нормаль к линии тока и означает, что кривизна линий тока пропорциональна поперечному перепаду статического давления, а третье утверждает, что полное теплосодержание и энтропия в жидкой частице сохраняются.

Система (1) квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными относится к гиперболическому типу. Через каждую точку в полуплоскости x, у проходят три характеристики, на которых имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения (характеристические уравнения).

В соответствии с определением слабый ГДР — линия в меридиональной плоскости течения (в пространстве — поверхность вращения), обладающая следующими свойствами (рис. 1):

— газодинамические параметры непрерывны в ее окрестности и дифференцируемы вдоль нее;

— за исключением отдельных изолированных точек, по обеим сторонам от рассматриваемой линии существуют ограниченные (вообще говоря, не совпадающие с разных сторон) пределы производных всех порядков, какие потребуются, при стремлении к рассматриваемой линии;

— на рассматриваемой линии первые производные газодинамических параметров в направлении, перпендикулярном к ней, различны по обеим сторонам от нее.

В монографии [1] показано, что определенная таким образом линия с необходимостью является характеристикой системы дифференциальных уравнений, описывающих течение. В дальнейшем такие линии будем называть разрывными характеристиками, в отличие от остальных характеристик, на которых газодинамические параметры дифференцируемы в любом направлении.

Системе (1) соответствуют три семейства характеристик. Одним из них является семейство линий тока — для них характеристическим является третье уравнение системы. Два других семейства характеристик будем рассматривать как координатные линии некоторой криволинейной системы координат. Будем считать, что направление возрастания координаты вдоль характеристики образует острый угол со скоростью потока газа 'V. Через C+ обозначим семейство, образующее острый угол с положительной нормалью к линии тока, через C- —образующее тупой угол (рис. 1). Пусть v і — некоторая разрывная характеристика семейства C-. В данной работе выводятся уравнения, связывающие разности производных газодинамических параметров по сторонам v і в разных точках на ней. Для однородного набегающего потока получаемые уравнения могут быть проинтегрированы аналитически. Особый интерес представляет поведение решения при приближении у к нулю (при стремлении разрывной характеристики к оси симметрии).

2. Построение характеристик и характеристических уравнений. Построим характеристики и характеристические уравнения методом, предложенным в [І]. Образуем линейную комбинацию уравнений (1):

. . . ^ ^ Лі . cos а sin а п

\\uictga—\-2UJn+Л2&£ctga—\i&n-----sm6>+A2-----------(1пр0)п+Аз(тр0)£ = 0. (3)

У Y

Можно подобрать параметры Лі ,Л2, Аз так, чтобы эта комбинация содержала производные функций ш и О только по некоторой криволинейной координате q.

Выясним связь производных по координате ц и по направлениям £ и п. Для любой газодинамической функции ] в декартовых координатах х, у имеем

fq = fxXq + fvyq = grad/, —

дгN d~q)

где г = хех + уеу — радиус-вектор, проведенный из начала координат. Записывая скалярное произведение через проекции на ортогональные направления £ и п, получаем

(дг\ (дт\ д/ (дг -Л д/ (дг \

Л = <**Ш, (5^ + &*/). {ъ)щ-»ё{щ’е) + Ш [щ-п)

Обозначим проекции производной дг/дц на направления £ и п через £ч и пч:

дг -Л (дг

а? ) ' = №

Прямые индексы в обозначениях £ч и нч использованы, чтобы отличить введенные обозначения от обозначений производных.

Выражение для производной по криволинейной координате ц принимает вид

= 1е£ц + 1ипч. (5)

Определим параметры Ах, А2 и А3 в (3) и направление координаты ц так, чтобы выполнялись равенства

(б)

Aictga _ A2ctga _ А37 _ £q

—Л2 —Лі Л2 cos а sin а nq

Умножая (3) на lq или nq и используя (6), получаем:

Ai(c^q + LV„nq)ctga + \2(Oz£q + Onnq)ctga + X3((\npo)e£q + (\np0)„nq) = ^ sinG£q;

sin 2а ґп ^ л i n ^ ^ Лі .

27

(Т)

— A2 (cOe£q + W„Uq) — Al (Oi£q + Onnq) + A2 —----------((lnpo)e£q + (ln£>o)nnq) — ------ sin Onq.

Согласно (5), уравнения (7) содержат производные только по координате q:

\1LVqCtga + \20qctga + \3(\np0)q = — sin <9^;

л ^ .cos a sin а ,л , Ai . (8)

—*2U„ — л\в„ + A2-----------(mpo)q — — sin Onq.

Y У

Соотношения (6) и (8) дают пять линейных однородных алгебраических уравнений для определения Ai, A2 и A3 (при этом ш и О предполагаются решениями системы (1)). Из (6) следует, что Ai = TA2; тогда

nq ' і

lq 126

nqctga = ±£q; tga = ±-^. (9)

Получаем два различных (и отличных от направления линии тока) характеристических направления в каждой точке. Углы наклона характеристик к линиям тока задаются формулой (9).

Уравнения (9) определяют два семейства характеристик: С+ и С_. Обозначим меняющиеся вдоль них параметры q+ и q_ соответственно. Согласно определению п. 1,

вдоль C+: nq+ =tga£q+, q_ постоянно; (ю)

вдоль C_: nq_ = —tga£q_, q+ постоянно.

Характеристические уравнения (условия на характеристиках) получим, разделив первую формулу (8) на и ctga = 0:

„ „ cos a sin a tga .

вдоль С+ : О а - LUq Н--------------(lnpo)g+ Н------sin 0£q = 0;

Y У

. ; (ii)

cos a sin a tga

вдоль G_ : +u)q_---------------(mpo)n_---------smwq_ =0.

Y У

Построим уравнения для распределения разностей производных wq+ и Oq+ вдоль слабого ГДР v i семейства С_.

Рассмотрим точку на характеристике. Выпишем первые уравнения (10) и (11) в двух точках вблизи характеристики v i по обе стороны от нее, вычтем одно уравнение из другого и устремим эти точки к рассматриваемой точке на v 1. Используя непрерывность функций Ш и О всюду и непрерывность их производных вне v 1, получаем

два уравнения для разностей производных по q+ на v i:

[nq+] = tga [£q+] ,

(12а)

^ т г i cos a sin a i-, . n tga i- n

[®9+] _ [w?+] ---------------------------------------------------------------------------- [(lnPo)g+] + — sin© [£q+] = 0.

Поскольку выбор масштаба на характеристике семейства С+ по разные стороны слабого ГДР v i независим, можно выбрать его так, чтобы в некоторой точке разности [£q+] и [nq+] обратились в нуль. При этом масштаб на других характеристиках С+ уже окажется определенным однозначно, и, как показано ниже, эти величины будут отличными от нуля всюду, кроме, возможно, отдельных изолированных точек.

Третье уравнение получим из третьего уравнения (1). Производную по £ выразим через производные по q+ и q_:

п ч (lnP0)q+ nq- — (lnP0)q_ nq+ „

(^po)e =----------------------------- = o.

£q+ nq_ £q_ nq+

Произведя указанную процедуру, получим

[(lnPo)q+] nq_ — (lnpo)q_ Ц+] = 0. (12б)

Чтобы получить еще два уравнения для разностей первых производных, продифференцируем вторые уравнения (10) и (11) вне v 1 по q+:

д д 1

— Tbq_ tgOi — £q_ г Oiq^£q_ ,

dq+ dq+ cos2 a

д д сов а віп а д tgа . д

я— ч- я—^9---------------------------"я—(1п-Ро)д_----------------------------вшб»-—сч_ —

дд+ дд+ 7 дд+ у дд+

д ( сов а віп а

-(1"и)*-аі7(—;—

0 д (Ч®- ■ п

- £ч_ -— эт в

4 дд+ \ у

0. (13)

Выпишем производные дп4+ /дд— и дп4_/дд+, используя определение (4):

д ґ дг дп \ Ґ д2г

д^Пч+ = [д^: д.1Г- ) + \дд-дд+’

д ( дг дП N ( д2т

э^Пч-= д^)+{д^:^п

Вычтем одно из другого и учтем, что смешанные производные радиус-вектора г по координатам д+, д— не зависят от порядка дифференцирования:

д

д

дд+Пч- дд_Пч+

дг дП дд- ’ дд+

дг дП дд+ ’ дд-

(14а)

Аналогично,

-?-г --?-г

дд+ч- ад_ч+_

дг д£ дд_ ’ дд+

дг д£ дд+ ’ дд-

(14б)

Используем то, что производная единичного вектора по параметру всегда ортогональна ему, и ее величина равна производной угла между ним и фиксированным направлением в плоскости вектора (аналогично угловой скорости при движении точки по окружности). С учетом направлений векторов £ и П (рис. 1) справедливы соотношения

— -вп —--ее

дд~ 9 ’ дд~ 4 Подставляя эти выражения в (14) и учитывая (4), получаем

дд ~дд^Пц~ ~ ~дд~Пц+ =

дд ~дд^~ ~дд~^ч+ =пч-^9+ ~пч+&д--

(15)

Подставим формулы (15) в уравнения (13), воспользуемся формулами (10) и проведем для полученной пары уравнений такую же процедуру, как при выводе формул (12а). Получим дифференциальные уравнения для разностей производных по д+ на V і:

£

4

{ [^+] - [°Ч+] } +

9 К+]

дд-

+ (1 — ^2а) @q_ [£4+] + Ча

д [£4+]

0,

д[OqЛ д[шq+] сов а віп ад [(1п po)q+] п ,

Н----^----------------------^--------— - (1про)д_

дд

дд (-д<1+ V У

1

дд—

дд—

д сов а віп а _дд+ V 7

д (tgа

ЭШ &

~^Пву^~+П^- [09+] “ К+]09-| =°-

(16)

сов2 а

Решениями системы линейных алгебраических уравнений (12а), (12б) и обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (16) на слабом ГДР v і являются величины разностей значений производных газодинамических параметров [iq+ ], [nq+], [(lnPo)q+], [Oq+] и |wq+] на этом разрыве. Величина [aq+] может быть выражена через искомую [<^+], а \yq+] — через [iq+] и [n-q+]. В [2] уравнения типа (12а), (12б), (16) носят название транспортных.

3. Распространение разностей значений производных вдоль слабых ГДР в однородном потоке, параллельном оси симметрии. В однородном потоке, параллельном оси симметрии, О = 0, ш = шo и а = ao вплоть до v і (рис. 2), и во всем поле течения po = const, следовательно, формула (12б) дает [(lnpo)q+] = 0, и вторые уравнения (12а), (16) образуют замкнутую систему уравнений для разностей значений производных О и ш по сторонам слабого ГДР v і:

[0q+ ] - [LJq+-] = 0,

^ [е«+] + ^ k+] - V ^ [e.J ««е = о. (1?)

Ввиду однородности потока характеристика v і является прямолинейной. Масштаб координаты q_ на v і выберем совпадающим с масштабом осей x и y и будем отсчитывать координату q_ от точки O на оси симметрии, тогда v і — отрезок на отрицательной полуоси координаты q_, ее значение q_ = -y/sin ao, и £q_ = (дr/дq_, І) = (дr/дq_, ex) = cos ao. Подставим первое уравнение (17) во второе и перейдем к переменной y:

„ . д ^ ] sin ao п ]

та°ду [ -----~у— [ q+^ =

Его решение имеет вид

[Oq+ ]2 y = K"2 = const. (1S)

Рис. 2. Слабый ГДР в однородном набегающем потоке.

Из соотношений (17) и (18) следует, что разности первых производных функций О и ш растут при приближении к оси симметрии, как 1 / ^/у. Этот результат означает, что разности первых производных газодинамических параметров по д+ ведут себя аналогично амплитудным характеристикам в осесимметричных задачах линейной акустики. Этого можно было ожидать, поскольку линеаризованные в окрестности решения для однородного потока уравнения (1) имеют вид

ди дО О

С^ёа0 д-----7Г~ — —,

дх ду у

дО ди

с^“о д---= °,

дх ду

полностью совпадающий с уравнениями акустики.

Из первых уравнений (12а) и (16) имеем

і д

(К] - [е,+ ]) + 2tg«o К+] = о.

Выражение (2) однозначно связывает функции и и а; из него получаем связь скачков их производных на характеристике:

г п с!(У. г п ^ а0 + Є Г 1

^ •

В результате, с использованием первой формулы (17) и (18), имеем

Переход от переменной q_ к переменной y приводит к уравнению

д [ ] K

-2sma°— [£q+] - 1 "

’ ду 1 4+J (1 — s)y/у sin ско cos2 cko ’

интегрирование которого дает

Кл

К+] =-т:--------n : 2-------2—Vv + K2, if2=const. (19)

(1 — e)sm a0 cos2 a0

Определим производные газодинамических переменных вдоль линии тока за слабым ГДР v i. Параметры за этой характеристикой обозначены значком П Величины @q-, nq- и nq_ непрерывны и равны соответствующим величинам до v i; следовательно,

Oq_ = 0, £q_ = cos ао, nq_ = — sin ao.

Производные по q+ за v i даются формулами

®q+ = \®q+ ] , £q+ = £q+ + \£q+ ] ,

здесь £q+ = const, величина этой постоянной определяется масштабом координаты q+ до v i. Величины £q+ и nq+ связаны первой формулой (10).

Выразим производные функции О за V \ по и д+ через ее производные по £ и по п, используя (5):

О— = О£ £ц_ + ОпПч_ = Ое 008 ао — Ог, 8Іп ао = 0,

(20)

О д+ О£ £ц+ + Оппц+ О£ ^£я+ + >4+ 0^ёа0^ 2 О£ £ц+ •

Учитывая (18) и (19), последнюю формулу перепишем в виде

Кі/л/У

1

(21)

(1 — є) 8Іп2 а0 0082 а0

Здесь введена новая произвольная постоянная К = (£д+ +К2)/К. Для ее определения необходимо одно граничное условие.

Как было указано выше, параметр О£ представляет собой геометрическую кривизну линии тока. В точке А возникновения слабого ГДР кривизна линии тока 1/Ял определяется внешними параметрами. Примеры течений, в которых возникает слабый ГДР, показаны на рис. 3. На рис. 3, а, Ь показаны схемы течения по каналу, соответственно, с выпуклой и вогнутой стенкой. В обоих случаях выше по течению круга, проходящего через точку А, канал имеет форму кругового цилиндра. В точке А кривизна канала в меридианальной плоскости терпит разрыв: в цилиндрической части канала радиус кривизны бесконечен, а за разрывом принимает значение Ял. Величина Ял положительна для выпуклых стенок и отрицательна для вогнутых. В случаях а и Ь со стенки в поток падают, соответственно, волны разрежения и сжатия, первая характеристика V1 которых является слабым разрывом. Используя значение кривизны в точке А, определим постоянную К:

где у л —расстояние от точки А до оси симметрии. После преобразований получим

Подставляя К в (21), получаем выражение для О£ как функции у (в дальнейшем, для сокращения записи, величины размерности длины £, п, х, у и Ял будем относить к у л, сохранив для полученных безразмерных величин прежние обозначения):

Проведя для производных функции Прандтля—Мейера ш по обеим сторонам V1 выкладки, аналогичные соотношениям (19)—(22), получим, что эти производные совпадают с производными угла О. Поскольку до V1 все производные этих функций

К

О>£.

1

(22)

равны нулю (поток однороден), производные по q_ на v 1 непрерывны и, согласно (17), [uq+] — [Oq+], из (5) следует, что

№n — • (23)

Требование конечности и)£ внутри потока и ее отличия от —ж на его границе приводит к ограничениям, накладываемым на Ra:

2

Ra < -------- —;—т----------- — или Ra > 0.

(1 — e)sm а0 cos2 а0

При невыполнении этих условий характеристики семейства C_ пересекаются в точке с координатой у* — (2 + (1— e)Ra sin2 ао cos2 ао) /4, что означает образование сильного ГДР (скачка уплотнения) и выполнение (22), (23) только для y > у*.

На рис. 3, с представлена схема течения по каналу с выпуклым углом с вершиной в точке A. Эта точка A является центром центрированной волны разрежения. Близкая картина течения имеет место при недорасширенном режиме истечения газа из сопла. Отличие сводится к тому, что вместо твердой стенки вниз по потоку от точки A газ ограничивает поверхность тангенциального разрыва. Подставляя в (22) Ra — 0 и учитывая, что к этому значению мы подходим со стороны положительных Ra, получаем

(1 — е) sin2 а0 cos2 а0

О =

2 \/У (1 — \/у)

Обозначим через тш безразмерное расстояние от произвольной точки до центра центрированной волны разрежения и (до точки А). Тогда

1 • г л ^sm«0 ,

1 - У = гш sinа0; у/у = 1-------------Ь 0{гш).

Для кривизны линии тока за слабым ГДР имеем

- (1 — е) sin ао cos2 ао

=------------------------ь g'UJ-

Тш

Отметим, что для плоских центрированных волн разрежения (волн Прандтля— Мейера) кривизна линии тока дается аналогичной формулой,

— (1 — е^ша0 cos2 а0

0>£ = -------------------,

Тш

приведенной в [3], где она получена из уравнения линии тока:

Гш_ _ f COs(a/£(>i +^о)) \ 1/£

Г1 \ соб(^£(Ф + w0)) J ’

здесь ф — полярный угол с полюсом в точке A; ri и ф\ — некоторые константы.

4. Заключение. Построены уравнения для определения разностей первых производных газодинамических параметров по сторонам слабого разрыва. Полученные уравнения решены для случая распространения слабого ГДР в однородном набегающем потоке. Показано, что при приближении к оси симметрии производные газодинамических параметров неограниченно возрастают. Исследованию окрестности точки схождения (фокусировки) слабых ГДР на оси симметрии посвящена следующая статья авторов.

Литература

1. Courant R., Friedrichs K. O. Supersonic flow and shock waves. New York, 1948. (Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во ИЛ, 1950.)

2. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука,

1978.

3. Адрианов А. Л., Старых А. Л., Усков В. Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995.

Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.