Ускоренный численный метод приближённого вычисления значений логарифмической функции для решения задачи формирования систем квазиортогональных кодовых последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ускоренный численный метод приближённого вычисления значений логарифмической функции для решения задачи формирования систем квазиортогональных кодовых последовательностей

Предложен ускоренный численный метод приближeнного вычисления значений логарифмической функции для решения задачи формирования систем квазиортогональных кодовых последовательностей на основе метода функциональных преобразований еe псевдослучайных аргументов. Получаемые системы квазиортогональных кодовых последовательностей предлагается использовать для повышения структурной скрытности спутниковых радионавигационных систем, поэтому в качестве функции для метода функциональных преобразований наиболее применима логарифмическая функция, обеспечивающая получение требуемых корреляционных и статистических характеристик систем квазиортогональных кодовых последовательностей. Поскольку при использовании метода функциональных преобразований псевдослучайных аргументов допускается вычисление значений выбранной функции с точностью до целого значения, то возможно использовать предложенный ускоренный численный метод приближeнного вычисления значений выбранной функции путeм еe разложения в ряд Тейлора, в котором уменьшено количество слагаемых числового ряда. Предложенный ускоренный численный метод позволяет снизить необходимое количество арифметических операций для вычисления значений функции.

Ключевые слова: численный метод, системы кодовых последовательностей, функциональное преобразование, псевдослучайный аргумент, логарифмическая функция, число операций.

Жук А.П.,

к.т.н, профессор кафедры Организации и технологии зашиты информации, Институт информационных технологий и телекоммуникаций, ФГАОУ ВПО "Северо-Кавказский федеральный университет", alekszhuk@mail.ru

Орёл Д.В.,

ассистент кафедры Организации и технологии зашиты информации, Институт информационных технологий и телекоммуникаций,

ФГАОУ ВПО "Северо-Кавказский федеральный университет", kde.del@gmail.com

В настоящее время возрастает актуальность обеспечения защищённости информационного обмена в спутниковых радионавигационных системах (СРНС) между навигационными космическими аппаратами (НКА) и аппаратурой потребителей (АП) [1]. В качестве варианта решения этой задачи в [2] приведена методика повышения структурной скрытности НС СРНС на основе стохастического использования различных уникальных систем квазиортогональных кодовых последовательностей. В работе [3] предложен вариант получения необходимого количества систем квазиортогональных кодовых последовательностей на основе метода функциональных преобразований псевдослучайных аргументов. Реализация предложенного метода включает в себя следующие основные этапы:

1. Формирование ряда равномерно распределённых на интервазе (0,1) псевдослучайных десятичных чисел тс/.

2. Функциональное преобразование псевдослучайных чисел с помощью выбранной функции х, = С(/77с/) •

3. Преобразование полученных действительных значений функции г, с выбранным шагом с1 для получения натуральных значений длин серий элементов в формируемых двоичных кодовых последовательностях: '/ = >,/</[•

4. Получение двоичных последовательностей, в которых г определяет длину серии элементов одного знака:

= Н)'•(«»,_,+|где a\■■■aN - последовательность единичных элементов.

На рисунке 1 проиллюстрирована суть предложенного метода.

Рис. 1. Иллюстрация метода функциональных преобразований псевдослучайных аргументов

Как было отмечено в [4], кодовые последовательности обладают оптимальными корреляционными характеристиками в том случае, когда серии элементов в них подчиняются закону ^-распределённости. Такое распределение серий элементов достигается в полной мере при использовании функции вида .

' гпс!

При достаточно большом периоде генератора псевдослучайных чисел (ГПСЧ) можно получить большое число неповторяющихся кодовых последовательностей: при длине периода ГПСЧ, равному Ы, количество кодовых последовательностей, которое теоретически может быть получено при использовании одного функционального

преобразования составит Q к 2NП, где / — длина кодовых последовательностей. Поскольку расчётное время эксплуатация НКА не превышает 15 лет, достаточно обеспечить защищённость НС на указанный период. Необходимое количество кодовых последовательностей для обеспечения защищённости НС в течение 15 лет составляет а = 2,3652 -10'" [3]- При этом должно выполняться следующее неравенство: <2 > А,. Тогда при длине последовательностей 1= 10230 бит N > 1,2098 1016 .

ГПСЧ "Вихрь Мерсенна" имеет период N = (219937 -1)/з2 * 1,3486-106000, который многократно превосходит значение Аг и удовлетворяет приведённому неравенству. Поскольку это доказывает, что при использовании ГПСЧ "Вихрь Мерсенна" возможно с помощью лишь одной функции получить необходимое количество последовательностей для защиты НС в течение 15 лег, то вполне достаточно использовать единственную функцию

г = 1о§т—, поскольку она обеспечивает А-распределён-

гп<1

ность серий элементов в получаемых кодовых последовательностях. При этом выбор начального бита ГПСЧ в качестве секретного ключа позволит обеспечить высокую структурную скрытность кодовых последовательностей.

Метод получения систем двоичных квазиортогональных кодовых последовательностей на основе функциональных преобразований псевдослучайных аргументов предполагает вычисление значений функции с определённой точностью. Согласно стандарту ШЕЕ 754-2008 [5] в подавляющем большинстве современных устройств числовые данные обрабатываются в формате представления чисел с плавающей точкой и имеют определённый класс точности: половинную, одинарную, двойную или расширенную. Особенности представления чисел с различной точностью представлены в табл. 1.

Таблица 1

Особенности представления чисел с различной точностью

Точность Половинная (half-precision) Оли парная (single-precision) Двойная (double- precision) Двойная расширенная (doubleextended precision)

Характеристики

Размер слова (байты) 2 4 8 10

Число десятичных шаков 3 7 15 19

Наименьшее значение 5.9610 1 1.2-10 м 2.3-10 ** 3.4.IO

Наибольшее значение 65504 3,4*10” 1.7-I01" 1,М0"И

Поля S-E-F S-E-F S-E-F S-E-I-P

Размеры полей, бит 1-5-10 1-8-23 1-11-52 1-15-1-63

5 — знак, К — показатель степени, I — целая часть, Р — лробиая часть

Поскольку частота трансляции некоторых НС достигает 10,23 МГц, каждую секунду требуется формирование до 10 230 000 бит дальномерного кода. Для формирования двоичных последовательностей на основе предложенного метода с такой скоростью с использованием стандартных классов точности представления чисел требуются выполнять порядка I О4 — I О8 операций в секунду. В то же время известно [6], что бортовые ЭВМ НКА способны осуществлять до 2,1 хЮ6 операций в секунду. Таким образом, в некоторых случаях всех имеющихся вычислительных ресурсов бортовой ЭВМ будет недостаточ-

но для формирования кодовых последовательностей. Повышение производительности бортовой ЭВМ ограничивается допустимыми массогабаритными параметрами и максимальным возможным энергопотреблением. Учитывая, что бортовая ЭВМ НКА, помимо вычисления значений функции, должна выполнять и другие задачи, актуальность приобретает задача снижения требуемых вычислительных ресурсов для вычисления значений функции до нижней границы диапазона - 104 операций в секунду.

Целью настоящей работы является снижение максимального необходимого числа операций при нахождении значений логарифмической функции для получения возможности реализации в СРНС метода формирования увеличенного количества систем квазиортогональных кодовых последовательностей на основе функциональных преобразований псевдослучайных аргументов.

Известно, что чаще всего вычисления производятся с двойной точностью [8], которая обеспечивает относительную точность в 15 десятичных символов. В то же время в методе [3] получения систем квазиортогональных кодовых последовательностей результат функционального преобразования г при шаге дискретизации с! = I округляется в большую сторону до ближайшего целого. Тогда вычисление г допустимо производить с меньшей точностью, отбрасывая всю дробную часть числа и увеличивая на единицу его целую часть.

Как известно, в цифровой электронной вычислительной технике для вычисления значений различных функций применяется различные численные методы [9]. Численные методы позволяют вычислять приближённые значения функций: численным методом обычно решается некоторая другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев используемый численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе приводит к искомому решению. Примером этого может служить вычисление значений элементарной функции с помощью частичных сумм степенного ряда, в который разлагается эта функция. Однако реально предельный переход обычно не удаётся осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, даёт приближённое решение. Таким образом, осуществляется аппроксимация функции, позволяющая вычислить её значение с необходимой точностью. Точность вычисления значения функции, как известно, определяется количеством слагаемых при разложении функции в ряд.

Для приближения функций, у которых достаточно просто вычисляются старшие производные, широко используется ряд Тейлора. К таким функциям относятся и натуральный логарифм. Ряд Тейлора для функции натурального логарифма имеет вид:

1п(1 + х) = —-—+ 1! 2!

2х3

б.г’

(-1)и+|(л-1)!х"

3!

llfl.

21

4!

(-1) (л - l)! v"

(-i)ntV

(I)

у(-1)ях"+| у И + 1

для всех дг е (—1,1

Если аргументом .г функции и соответствующего ей функционального ряда является действительное число, то аргумент -V и в функции, и в числовом ряде можно заменить произвольной функцией О'(д) при условии, что функция во всей области определения выражается действительным числом. Это положение основывается на принципе суперпозиции, а такой метод образования новых функций и их разложений в ряд называется композиционным [10].

Ограничение значения переменной дге(-1,1] можно записать следующим образом: -1 < лг < 1. Тогда составной аргумент функции натурального логарифма должен находиться в интервале 0 < 1 + лг < 2 . Поскольку значения аргумента гпс! принимают значения 0 < тс! < 1 , то область возможных значений гпс! при замене аргумента функции полностью входит в область допустимых значений аргумента функции натурального логарифма (1 + лг).

Используя формулы преобразований логарифмов, получим следующее:

= ^ = = = (2) " гпс! 1п2 1п2 1п2 1п2

Произведём замену аргумента тс!=\ + .х. Выразим х:х = пн! -1 . Тогда выражение (2) будет выглядеть следующим образом:

* НУ*1**

г =-----------1п гпс! =------------1п(1 + лг) =------------) -——

1п2 1п2 1п2 п

>И)"+1(77К/- 1)"

п=\

(-1)л+1(1 -гпс!)п

1п2

П—1

Х(-|) (

п-

п=1

1п2

ряд Тейлора имеет вид:

I " (_1)»+|(, _ГП(!)"

Т = 1о§2

пн!

и=1

л- 1п2

(4)

Ьп+\ -

НУ^а-пк/)"*1

(5)

\£\>

(6)

(п + 1)-1п2

то для оценки минимального необходимого количества слагаемых необходимо решить следующее неравенство:

НУ’+'О-гго/)'1*1

(» +1)- 1п2

то есть найти такое наибольшее п относительно минимального и максимального значений аргумента тс!, при котором неравенство (6) верно.

Поскольку в неравенстве (6) значения обоих частей приведены по модулю, а значение точности всегда будет выражаться положительным числом, то знак последнего отбрасываемого члена можно не учитывать:

(1 -гпс/)п+'

е>~.-----—. (7)

(п +1)- 1п2

Поскольку 1п2 - число, перенесём его в левую часть неравенства:

е1п2>

(I -тс/)" П + ]

(8)

(3)

Разложение логарифмической функции г = ---- в

' гпс!

Количество слагаемых п определяется в зависимости от необходимой точности вычисления значения функции. Чем большая точность требуется, тем большее количество слагаемых необходимо для вычисления значения функции.

Согласно второму следствию из теоремы Лейбница остаток сходящегося знакочередующегося ряда

ос п

/?„ = 5 - 5„ , где 5 = V А, , .9,, = V А; , будет по модулю

Ы 1=1

меньше первого отброшенного слагаемого: |Лп|<|б„+||. В

свою очередь для нахождения суммы числового ряда с определённой точностью е первое отбрасываемое слагаемое А„+1 должно быть по модулю меньше значения е : И >к+|| • Это позволяет сделать заключение о том, что нахождение неполной суммы слагаемых числового ряда

П

5„ = Л, без учёта всех последующих слагаемых, начи-

1*1

ная с лл+), позволит вычислить значение функции с точностью £ .

Поскольку первое отброшенное слагаемое равно

Как было упомянуто в [7] скорость сходимости ряда £>(д-)=1п(1 + .г) меняется на его круге сходимости: при значениях X из центра круга сходимости ряд сходится быстро, в то время как при значениях X, близких к границам круга сходимости ряд сходится медленнее. Для определения минимального необходимого числа слагаемых числового ряда необходимо решить неравенство (8) относительно п. Поскольку не известно способов выражения п из неравенства (8), решить его возможно аналитическим или графическим путём.

Учитывая, что граничные значения не включаются в промежуток (0,1), а минимальная разница между соседними псевдослучайными числами составляет 101 для формирования кодовых последовательностей длиной 10230 бит, то минимальное и максимальное значения

аргумента будут соответственно равны гпс/тт = 10-4 и

г«с/тах =0.9999 .

Почленное вычитание логарифмических рядов позволяет переходить к другим видам функций и их разложений. Существует альтернативный способ представления аргумента логарифмической функции, при использовании которого, как отмечается в [11], минимально необходимое количество слагаемых для нахождения значения функции с заданной точностью при минимальном значении аргумента существенно меньше, чем при рассмотренном выше способе. С учетом свойства логарифмической функции:

1п—= 1п(1 + л-)- 1п(| - лг).

1 - х

(9)

Функция 1п(| -*) можег быть разложена в ряд Тейлора следующим образом:

2*3 6х4 (и-1)!дг"

' 2! 3! 4!

и!

х

п

В свою очередь функция 1п(1+дг) раскладывается в ряд Тейлора согласно выражению (1). Тогда разложение

функции 1п——— в ряд Тейлора примет вид:

I-х

I + х _ х2+х3 .V4 +

п"ПТ”л~Т+1 Г+’

2 3 4

.V X X

• + х +-----------+------+-----------------------

2 3 4

= 21 + X

л: х .г

х +— + — + — + • 3 5 7

1п

I + Л' п V Л‘ 1 “1 С -7

-------= 2- > —, п — 1,3,5,7,...

I - л* ^ п я=1

(10)

I

1п2

у / = _2_ у/ ^ п 1п2 ^ п

(П)

п=I

п=\

Неравенство |е|>|й„+1| будет выглядеть следующим образом:

N

1п2 л+1

Значения д: при различных гпс/ представлены в табл. 2.

Таблица 2

Значения .V при различных значениях гп<1

тс1 0,9999 0,5 0,0001

X 9999 10001 -0,9998 1 3 -0,3333 1 19999 -0,00005

числового ряда требуется при нахождении значения функции при максимальном значении аргумента.

Таблица 3

Число слагаемых числового ряда для вычисления значения логарифмической функции с различной точностью

Представленный числовой ряд (10) имеет круг сходимости при дс е (—1,1), тогда аргумент функции лежит в

пределах 0 < ———- < оо, В свою очередь в этот диапазон I -дг

полностью входит область допустимых значений аргумента функции г = 1о^->------: о < пн] < I.

' гпс/

Числовой ряд на основе функции , так же как и

1-х

ряд на основе функции 1п(1+х), будет иметь различную скорость сходимости на различных участках круга сходимости. Исследования [10] показывают, что в некоторых случаях использование такого разложения в ряд существенно сокращает количество слагаемых числового ряда, сумму которых необходимо найти для вычисления значения функции.

Произведём замену аргумента: гпс! = ——. Тогда:

1 -дг

1 1 л 1 . I + дг

г =----- ■ 1п гпа =------1п - =

1п2 1п2 1-х

Точность Тип замены аргумента Значение аргумента тс!

КГ4 0,5 0,9999

10"15 гпи = 1 + х 225 768 44 3

гпс/ = — 1-х 3 29 119 523

10'3 гпс! = 1 + х 1 270 7 1

, 1 + х та = 1-х 1 5 1 953

1 гпс/ = 1 + X 1 1 1

, 1 +х та = 1-х 1 1 1

(12)

При уменьшении точности уменьшается и число слагаемых числового ряда для вычисления функции. Использование второго способа разложения функции в ряд

. 1+Х гг

с представлением аргумента в виде тс/ =--------- в боль-

1-х

шинстве случаев позволяет сократить минимальное необходимое число слагаемых для вычисления значения функции по сравнению с первым способом разложения функции в ряд при представлении аргумента в виде гтI = 1 + .V . Для вычисления значения функции с точностью до единицы требуется найти всего одно слагаемое числового ряда при любом представлении аргумента.

Таким образом, при практической реализации метода формирования систем квазиортогональных кодовых последовательностей на основе преобразования г = ^->-------

гпс]

требуется найти первое слагаемое числового ряда Тейлора, которое является первой производной функции г На основе выражения:

I 1 ^(-|)"+|(1-/™/)"

(13)

п=1

первое слагаемое ряда Тейлора будет иметь следующий вид:

_(|)_\-rnd

Поскольку обе части неравенства рассматриваются по модулю, то знак в правой его части не влияет на результат, его можно опустить. По этой же причине можно опустить и знак аргумента ДГ, поэтому допустимо использовать модуль X .

В таблице 3 представлены результаты исследований числа слаг аемых числового ряда, сумму которых необходимо найти для вычисления значения функции с обозначенной точностью.

Как видно из табл. 3, при первом способе представления аргумента в виде гпс/ = I + х максимальное число слагаемых требуется для нахождения значения функции при наименьшем возможном значении аргумента. Наоборот, при втором рассмотренном способе представления аргу-, 1 +х

мента в виде гпс! =---- максимальное число слагаемых

1-х

1п2

(14)

Тогда вычисление значения функции с точностью до целого значения можно представить в следующем виде:

I -гпс!

(15)

г = |°ё2—7 = гпс/

1п 2

Уменьшение минимального необходимого числа слагаемых числового ряда для вычисления значения функции приведёт к снижению количества выполняемых арифметических операций и увеличению скорости вычисления этого значения. Выражение (15) представляет собой ускоренный метод вычисления значений функции

г = 1о§-> —-—. В выражении (15) вычисление логарифма " тс/

заменено на элементарные операции вычитания, деления и округления до целого, поэтому оно может быть поло-

жено в основу работы блока вычисления значения функционального преобразования.

Рассчитаем повышение скорости вычисления АУ значения функции с точностью до единицы относительно скорости вычисления значения функции с половинной точностью при формировании одной кодовой последовательности длиной 10230 бит. Для этого необходимо вычислить разность между числом арифметических операций, необходимых для вычисления значений функции при обоих классах точности при одном и том же значении аргумента: ДК, = К„ - Кед , где ДК; = Кп - Ксй - разность между числом слагаемых числового ряда, необходимых для вычисления значения функции с половинной точностью (К„ ) и с точностью до единицы (Кс<) ) при

одинаковом значении аргумента. Необходимо вычислить такие разности для гребуемого количества аргументов. Найдём повышение скорости вычисления с точностью до первого знака после запятой, в таком случае будет достаточно найти разности для 33 значений аргумента, равномерно распределённых по области определения: / = 33 . Тогда повышение скорости вычисления можно найти как среднее арифметическое между найденными разностями дК, на основе следующей формулы:

ДК = -І^----------------

(16)

Значение аргумента Точность Значение Точность Значение Точность

1<Г3 1 \0У 1 10° 1

Число слагаемых Число слагаемых Число слагаемых

0,0001 1270 1 0,3437 11 1 0,6875 4 1

0,0312 88 1 0,375 11 1 0,7187 4 1

0,0625 52 1 0,4062 9 1 0,75 4 1

0,0937 37 1 0,4375 8 I 0,7812 3 1

0,125 29 1 0,4687 8 1 0,8125 3 1

0,1562 24 1 0,5 7 I 0,8437 3 1

0,1875 20 1 0,5312 7 1 0,875 3 1

0,2187 17 1 0,5625 6 1 0,9062 2 1

0,25 15 1 0,5937 6 1 0,9375 2 1

0,2812 14 1 0,625 5 1 0,9687 1 1

0,3125 12 1 0,6562 5 1 0,9999 I 1

во арифметических операций для формирования кодовой последовательности длиной 10230 элементов составляет порядка 104 операций в секунду.

На основе опорных точек из таблицы 4 методом наименьших квадратов с помощью полинома 20 степени была построена аппроксимирующая функция © для

класса половинной точности, е = 10 3. Она представлена на рис. 3.

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

I

Поскольку график зависимости числа слагаемых числового ряда от значения аргумента © при использовании класса половинной точности г = 10_3 является нелинейным, то необходимо осуществить аппроксимацию зависимости © методом наименьших квадратов [9]. В табл. 4 приведены 33 опорные точки, представляющие собой число слагаемых числового ряда для вычисления значения функции при равномерно распределённых значениях аргумента на области определения с точностями е = 10"3 и е = 10° = I.

Таблица 4

Число слагаемых для вычисления значения логарифмической функции с различной точностью для 33 значений аргумента

Как видно из табл. 4, при точности е = КГ3 число слагаемых ряда Тейлора постепенно уменьшается при увеличении значения аргумента. При точности е = I число слагаемых ряда Тейлора, необходимое для вычисления значения функции, равно одному при любом значении аргумента. При одном слагаемом ряда Тейлора количест-

0 0,1 0.2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 I

Рис. 3. Опорные точки, характеризующие число слагаемых ряда Тейлора для вычисления значения функции т

и аппроксимированная функция 0 для точности £ = 10-3

Затем было выбрано 5263 точки, равномерно распределённых на интервале [0,0001 ;0,9999] с шагом 0,00019. Такое число аргументов близко к количеству серий элементов в кодовой последовательности длиной 10230 бит. Для выбранных аргументов были найдены значения К„

аппроксимирующей функции © . На основе найденных значений Кп по формуле (16) был вычислен коэффициент увеличения скорости вычислений значений функции с точностью до единицы относительно скорости вычисления значения функции с половинной точностью при формировании одной кодовой последовательности: ДК = 23,95. Некоторые данные, показывающие увеличение скорости вычислений значений функции, приведены в таблице 4. Так, например, при значении аргумента гпс!=0,1562 число арифметических операций при понижении точности вычисления сократилось в 24 раза, поскольку количество слагаемых числового ряда, необходимых для вычисления значения функции сократилось с 24 до 1.

Выводы

1. При практической реализации метода получения систем квазиортогональных кодовых последовательностей на основе функциональных преобразований псевдослучайных аргументов необходимо производить вычисления значений функции г = 1о§-> —!—, обеспечивающей к-

~ пи!

распределённость серий элементов в последовательностях,

2. Нахождение значений логарифмической функции . 1

г = 1о§7-- при помощи численного метода разложения в

" гпе1

ряд Тейлора при использовании стандартных классов точности представления двоичных чисел требует выполнения порядка I О4 -108 операций в секунду, в то время,

как бортовые ЭВМ НКА способны осуществлять до 2,1 хЮ6 операций в секунду. В связи с этим возникает необходимость снижения количества арифметических операций, требуемого для вычисления значений функции, до нижней границы диапазона - 104 операций в секунду.

3. В методе получения систем квазиортогональных кодовых последовательностей на основе функциональных преобразований псевдослучайных аргументов значения функции используются как длины серий элементов и округляются до целых значений, поэтому точность вычисления значений функции может быть уменьшена.

4. Вычисление значения функции г = 1<^->---- с точ-

ГП(/

ностью до целого числа можно приблизить использованием всего одного слагаемого числового ряда Тейлора на всём интервале области определения функции и перейти к выражению, в котором производятся элементарные операции вычитания, деления и округления вверх.

5. Предложенный ускоренный численный метод вычисления значений логарифмической функции

г = 1о§2—позволяет сократить минимальное необходи-гпс1

мое число арифметических операций для вычисления значений функции. Скорость вычисления повышается более чем в 23 раза по сравнению с вычислением значений функции с половинной точностью, при этом достаточно совершения порядка 104 операций в секунду.

Литература

1. Global Navigation Space Systems: reliance and vulnerabilities // Report of The Royal Academy of Engineering. - London: March, 2011. -48 p.

2. Жук А.П.. Орёл Д.В. Разработка методики повышения структурной скрытности сигналов спутниковых радионавигационных систем // Вестник Ставропольского государственного университета. Научный журнал «Вестник СГУ», 2010. №70(5). С.44-52.

3. Жук А.П.. Фомин J1.A., Романько Д.В.. Орёл Д.В. Использование класса особых сигналов для передачи информации в радиосистемах с кодовым разделением каналов // Нейрокомпьютеры Разработка и применение, №1, 2010. С. 40-45.

4. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. - М.: Радио и связь, 1992.-152 с.

5. IEEE Computer Society (August 29, 2008), IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE.

6. Onboard computers, onboard software and satellite operations. / Jens Eickhoff. - Springer, 2012. - 277 p.

7. Урличич Ю.М.. Субботин В.А., Ступак Г.Г., Дворкин В.В., Поваляев А.А.. Карутин С.Н. Инновация: ГЛОНАСС. Стратегия развития. // Спутниковая навигация и КВНО. Обзор по материалам СМИ. №2. - М.: ЦНИИмаш, 2011.-С. 18-23.

8. David Monniaux (May 2008). "The pitfalls of verifying floating-point computations". ACM Transactions on Programming Languages and Systems 30 (3): article №12.

9. Волков E.A. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.

10. Алексеева Е.Е. Разложение в степенной ряд логарифмических функций. // Современные научные достижения. Математика. - Белгород: Руснаучкнига, 2012.

11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 810 с.

The accelerated numerical method of approximate calculation logarithmic function values for the task solution of generation quasiorthogonal code sets

Zhuk A.P., Oryol D.V.

Abstract

In the work the accelerated numerical method of approximate calculation of logarithmic function values for the task solution of generation quasiorthogonal code sequence sets on the basis of functional transformations of pseudorandom arguments method is offered. Formed quasiorthogonal code sequence sets are offered to be used for increase of structural secrecy of satellite radio navigation systems therefore as function for a method of functional transformations the logarithmic function providing obtaining demanded correlation and statistical characteristics of quasiorthogonal code sequence sets is most applicable. As when using a functional transformations of pseudorandom arguments method for calculation of the chosen function values within the accuracy of whole value is allowed, it is possible to use the offered accelerated numerical method of approximate calculation of chosen function values by its decomposition in a Taylor row in which the quantity of items in a numerical row is reduced. The offered accelerated numerical method allows to reduce necessary number of arithmetic operations for calculation of function values.

Keywords: numerical method, code sets, functional transformation, pseudorandom argument, logarithmic function, number of operations