Ускоренная ползучесть как предвестник фрикционной неустойчивости и проблема предсказания землетрясений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 550.343, 531.44

Ускоренная ползучесть как предвестник фрикционной неустойчивости и проблема предсказания землетрясений

В.Л. Попов, B. Grzemba, J. Starcevic, C. Fabry

Берлинский технический университет, Берлин, 10623, Германия

Землетрясения могут рассматриваться как результат трибологической неустойчивости в системе разломов земной коры. Аналогичные неустойчивости могут быть воспроизведены и подробно изучены в лабораторных условиях. В данной работе в качестве модели землетрясения изучается трибосистема с выраженным неустойчивым проскальзыванием. Измерение ее движения с разрешением 8 нм показывает, что в течение всей стадии «схватывания» на самом деле наблюдается медленная ползучесть, ускоряющаяся при приближении к точке неустойчивости. Это движение достаточно регулярно, чтобы служить основой для предсказания момента неустойчивости. Показано, что движение тела как на стадии медленного крипа, так и на стадии быстрого проскальзывания может быть хорошо описано с помощью закона трения Дитериха, учитывающего зависимость трения от скорости и внутренней переменной состояния, если его дополнить вкладом, связанным с локальной жесткостью контакта. В непосредственной близости от точки неустойчивости наблюдается универсальное поведение, позволяющее на основании наблюдения крипа с высокой точностью предсказать момент времени начала неустойчивого скольжения.

Ключевые слова: трение покоя, трение скольжения, ползучесть, неустойчивое проскальзывание, переменная состояния, предсказание землетрясений

Earthquakes can be considered as a result of tribological instability in a system of faults of the Earth crust. Similar instabilities can be reproduced and studied in detail in laboratory-scale experiments. In this work, the earthquake model under study is a tribosystem with pronounced unstable stick-slip. Measurement of the motion of the system with a resolution of 8 nm shows that slow creep accelerated as the instability point is approached is actually observed throughout the stick stage. This motion is regular enough to serve as a basis for prediction of the onset of instability. It is shown that the motion of a solid both at the stage of slow creep and at that of fast slip is well described by the Dieterich friction law, which takes into account the dependence of friction on rate and internal state variable, if we supplement it with the contribution of local contact rigidity. In the immediate vicinity of the instability point a universal behavior is observed making possible highly accurate prediction of the onset of unstable slip from creep observationds.

Keywords: static friction, sliding friction, creep, unstable slip, state variable, earthquake prediction

Accelerated creep as a precursor of friction instability and earthquake prediction

V.L. Popov, B. Grzemba, J. Starcevic and C. Fabry

Technische Universität Berlin, Berlin, 10623, Germany

1. Введение

сительно друга [1, 2]. На временной шкале в миллионы лет эти движения определяют структуру земной поверхности. На малых временных отрезках эти же движения служат причиной землетрясений. Модели землетрясений основаны на фундаментальном наблюдении, что землетрясения в подавляющем большинстве случаев происходят не в результате зарождения и распростра-

С учетом огромного экономического и социального ущерба, приносимого землетрясениями, их предсказание является важной задачей сейсмологических исследований. Известно, что земная кора состоит из тектонических плит, которые под действием конвективных потоков в верхней мантии медленно движутся друг отно-

© Попов В.Л., Grzemba B., Starcevic J., Fabry C., 2010

нения новых трещин в земной коре, а в результате проскальзывания по уже существующим разломам. Землетрясения, таким образом, являются в большей степени объектом исследования физики трения, чем механики разрушения.

Со времени появления работы [3] является общепринятым, что землетрясения представляют собой процессы неустойчивого проскальзывания. Характерной особенностью этих процессов считается то, что быстрое движение, сопровождающееся релаксацией накопившихся напряжений, начинается только по достижении напряжениями некоторого критического уровня. До этого момента система находится в равновесии, при этом какие-либо заметные признаки ее приближения к критическому состоянию отсутствуют. Эта особенность не исчезает и в более сложных моделях фрикционных не-устойчивостей, как, например, в моделях [4-8], в которых рассматриваются распределенные трибологичес-кие системы, каждый элемент которых обладает тем же свойством начинать движение только по достижении некоторого порога. Такие системы могут обладать сложной динамикой, проявляющей известные статистические свойства реальных землетрясений (закон Гутенберга-Рихтера [9-11] и законы Омори [11, 12]). Однако имеющиеся в ней корреляции носят чисто статистический характер и могут быть использованы только для апостериорного анализа, но не для предсказания конкретной неустойчивости в конкретном месте и конкретный момент времени. Пороговость реакции системы представляет собой основную физическую причину, по которой предсказание землетрясений является сложной проблемой. Учитывая эту особенность, ряд авторов считает, что предсказание землетрясений в принципе невозможно [13, 14].

Представление о развитии неустойчивости строго по достижении некоторого порога является, тем не менее, слишком упрощенным. Как в теории трения, так и в теории пластической деформации хорошо известно, что еще до достижения макроскопического предела устойчивости всегда наблюдается ползучесть, связанная как с микроструктурными концентраторами напряжений, так и с термоактивированными процессами деформации. Из теоретических соображений очевидно, что ползучесть должна резко ускоряться в непосредственной близости от порога. На этом основании многие известные исследователи механизмов и динамики землетрясений считают предсказание землетрясений возможным [1, 15-19]. Вопрос только в том, являются ли процессы медленной ползучести достаточно хорошо измеримыми и универсальными, чтобы служить основой для надежного предсказания момента неустойчивости.

Для экспериментального ответа на этот вопрос мы изучили простую модельную трибологическую систему, проявляющую ярко выраженное неустойчивое скольже-

ние (ранее она была описана и исследована в связи с исследованием возможности воздействовать на статистику землетрясений [20]). Оставляя в стороне вопрос о возможности переноса выводов данного исследования на реальные землетрясения, которые происходят в существенно более сложных системах, мы строго ограничиваемся задачей принципиальной возможности достаточно надежного предсказания момента неустойчивости в данной простой модельной системе. В случае положительного ответа на этот вопрос проведенное исследование послужило бы основой для дальнейшего обобщения и распространения на более сложные распределенные системы. Если же предсказание оказалось бы невозможным уже в простейшей лабораторной системе в строго контролируемых условиях, то это усилило бы позицию исследователей, отрицающих предсказуемость землетрясений.

2. Эксперимент

Исследуемая трибологическая система состояла из образца, перемещаемого вдоль опорной пластины с помощью мягкой пружины (рис. 1). Материалы образца и пластины варьировались, однако в данной статье приводятся результаты только для пары сталь-сталь. Координата тела измерялась с помощью лазерного виброметра с разрешением 8 нм. Движение образца имело ярко выраженный характер неустойчивого проскальзывания, пример которого приведен на рис. 2. Более высокое разрешение на стадии «схватывания» показывает, однако, что на протяжении всего периода «покоя» на самом деле имеет место медленное движение, ускоряющееся по мере приближения к точке неустойчивости (рис. 3). Обратим внимание, что на рис. 2 и 3 показан один и тот же отрезок времени, но масштабы по координате различаются в 1000 раз.

Рис. 1. Схема эксперимента

Рис. 2. Типичная зависимость координаты от времени для одиночного акта неустойчивого скольжения

Время,

Рис. 4. Серия следующих друг за другом неустойчивостей

Рис. 3. Тот же отрезок времени, что и на рис. 2, но с большим разрешением (в 1000 раз) по координате. Отчетливо видно, что большую часть стадии «покоя» образец движется, причем его движение носит закономерный характер и ускоряется при приближении к точке неус-

тоичивости

На рис. 4 приведена зависимость координаты от времени для серии следующих друг другом периодов покоя и неустойчивого проскальзывания, а на рис. 5 соответствующие зависимости скорости от времени1. С макроскопической точки зрения движение выглядит как серия периодов полного покоя и скольжения примерно по синусоидальному закону. В действительности, как было уже сказано, образец движется в течение всей стадии «схватывания», что хорошо видно на логарифмической вставке на рис. 6.

Вопрос, на который мы попытались найти ответ в настоящей статье, состоит в том, возможно ли описать всю динамику системы как на стадии крипа, так и при быстром проскальзывании одним и тем же законом трения? В случае положительного ответа на этот вопрос было бы возможно аппроксимировать медленную ползучесть на основе универсального закона трения с малым числом подгоночных параметров и на его основе рассчитать момент времени, в который начинается неустойчивое проскальзывание. В качестве закона трения мы подробно исследовали закон трения Дитериха [21],

1 Зависимость скорости от времени, полученная путем формального вычисления отношений Дх/Дt, имеет сильную шумовую компоненту из-за дискретности измерения координаты. Показанные на рис. 5 зависимости получены путем подавления высокочастотных флуктуаций скорости. Это достигалось усреднением по интервалам переменной длины (в зависимости от близости к моменту неустойчивости). Необходимость сглаживания экспериментальных данных является важным аспектом проблемы предсказания неустойчи-востей; ему будет посвящен отдельный параграф.

Рис. 5. Соответствующая рис. 4 зависимость скорости от времени

Рис. 6. Сглаженная зависимость скорости от времени для одиночного акта неустойчивого скольжения. На логарифмической вставке хорошо видно, что образец движется в течение всего времени наблюдения, как во время макроскопической стадии «схватывания», так и на стадии проскальзывания. Скорости на этих стадиях отличаются на 4 порядка величины. Пунктиром показана теоретическая зависимость, обсуждаемая в разделе 4

предложенный им именно в контексте описания динамики землетрясений.

3. Закон трения Дитериха

Уже Ш.О. Кулону было известно, что коэффициент трения покоя зависит от времени контакта, а сила трения скольжения зависит от скорости. Экспериментальные исследования Дж. Дитериха [21], подытоженные Э. Руиной [22] в концепции трения, зависящего от скорости и от переменной состояния, показали, что между этими эффектами имеется тесная внутренняя связь. В законе трения Дитериха коэффициент трения ц зависит от мгновенной скорости V и от переменной состояния 6:

#

ц = |Л0 - a ln

$

-+1

#

+ b ln

v'9

D

$

+i

(i)

причем для последней имеет место следующее кинетическое уравнение:

1 = 1 -

v | е D„

$

(2)

Постоянные а и Ь в уравнении (1), как правило, обе положительны и лежат в интервале от 10-2 до 10- ; Dc — характерная длина, имеющая в лабораторных условиях порядок величины 1-100 мкм; типичные значения V* имеют порядок величины 0.2 м/с. Слабая логарифмическая зависимость силы трения от скорости, описываемая уравнением (1), наблюдается как в макроскопических трибологических системах [21], так и на нано-уровне [23]. Физически она связана с экспоненциальной зависимостью скорости термически активированных процессов [24-27] и является поэтому универсальной. Логарифмическая зависимость от скорости найдена у горных пород, полимеров, стекла, бумаги, дерева и ряда металлов [28].

3.1. Основные свойства закона трения Дитериха

В этом разделе мы кратко напомним основные свойства закона трения, предложенного Дитерихом. В состоянии покоя для переменной состояния имеет место 6 = t. Переменная 6 может поэтому интерпретироваться как средний «возраст» микроконтактов с момента их образования. При движении с постоянной скоростью V и начальным условием 6(0) = 60 уравнение (2) имеет следующее решение:

D #

e(t) = D+

I v |

I v I

$ # exp

I v 11

Dc

$

(3)

Очевидно, что переменная состояния 6 релаксирует к новому равновесному значению на расстоянии Д. Величина Д может поэтому интерпретироваться как характерная длина скольжения, на которой происходит разрушение существующих микроконтактов и их замещение новыми микроконтактами. По окончании переходного процесса переменная состояния принимает значение 6(«>) = Д/V, что также находится в согласии с интерпретацией ее физического смысла как параметра, характеризующего продолжительность контакта: стационарное значение переменной 6 в этом случае действительно равно среднему времени контакта микрошероховатостей.

При стационарном скольжении для коэффициента трения имеет место:

(

ц = |х0 -(a-b)ln

\

- + 1

(4)

Если скорость скольжения изменяется с V] до v2, то

коэффициент трения изменяет свое значение с

# * $

Ц = |Х0 -(a-b)ln

- + 1

(5)

Рис. 7. Зависимость коэффициента трения для пары сталь-сталь от времени в эксперименте, в котором в некоторый момент времени скорость скольжения увеличивается с 10-3 до 10-2 м/с

ДО

Ц = |Х0 -(a-b)ln

-+1

(6)

Если а - Ь < 0, то стационарный коэффициент трения уменьшается при увеличении скорости скольжения, как например, на рис. 7, на котором представлены результаты измерения коэффициента трения в паре сталь-сталь на линейном трибометре, в котором скорость скольжения в некоторый момент времени внезапно увеличивается в 10 раз. Коэффициент трения испытывает при этом скачок

$

= (a - b)ln

(7)

В случае данных, представленных на рис. 7, а - Ь ~ = -0.02.

3.2. Ползучесть, предшествующая неустойчивому проскальзыванию

Выше мы видели, что на стадии «схватывания» на самом деле имеется медленное скольжение — «ползучесть». На этой стадии система движется настолько медленно, что процесс можно рассматривать квазистати-чески. Рассмотрим простейшую модель, в которой тело массы т приводится в движение посредством мягкой пружины с коэффициентом жесткости ^ «свободный» конец которой движется со скоростью v0, при условии, что между телом и подложкой действует сила трения, подчиняющаяся закону Дитериха. Уравнение движения для тела имеет вид:

k(хо + V - х) = Fn

#

Mfl'

-a ln

V*. + 1$

+ b ln

v e

Dc

$$

+1

Совместно с кинетическим уравнением

> = 1 -

$

D

(8)

(9)

для переменной состояния это уравнение полностью определяет движение системы на стадии ползучести. В общем случае оно может быть решено только численно. Однако имеются области, в которых могут быть получены аналитические оценки.

Так, если скорость скольжения много меньше скорости стационарного крипа: V << Дс/60 = v0, то уравнение (9) имеет решение 6 = ^ кроме того, координата тела в левой части уравнения (8) может считаться постоянной и равной ее начальному значению: х = х0. Из уравнения (8) получаем: V*

' ■ ' (10)

#

exp

+ b in

(,

a a

\

k v0t

$

aFn

-1

V! +1

* Дс +

При малых временах это есть экспоненциально растущая функция с характерным временем возрастания порядка

аР„

Ч

kv

(11)

0

Если бы уравнение (10) было справедливо до самого момента неустойчивости, то момент неустойчивости ^ск 0 определялся бы соотношением

(

ц0 + b in

v U

\

instab

D„

+1

k v0Uinstab = 0

Отсюда в первом приближении

Рп ^0

Ustick,0

kv0

В следующем приближении имеет место соотношение

f

stick,0

k v0

#

ц0 + b in

Fn ^0v k v0 Dc

$$

+ 1

(13)

J J

Отметим, что это время много больше т1. Вблизи точки неустойчивости функция (10) имеет следующую асимптотику:

\Х\=-^—. (14)

к ^ - 0

Коэффициент трения достигает максимального значе-

#

Ц. = |Х0 + b in

Fn^0v* k v0 Dc

$

+ 1

(15)

V /

и в начале неустойчивого скольжения резко уменьшается до Ц0, тем самым испытывая скачок на величину

#

Ац = -b in

Fnh)v k v0 Dc

$

+1

(16)

Как показано в [11], длина скачка определяется соот-\Ац\

ношением Ах 2Kb

-2F

21 г

#

Ах =

in

k

Fn^0v* k v0 Dc

и таким образом

$

+ 1

(17)

Длина скачка уменьшается со скоростью протяжки, что находится в согласии с экспериментальными данными.

В непосредственной близости к моменту неустойчивости скорость ползучести возрастает настолько, что она превышает скорость стационарной ползучести: V >> >> Д / 6 0 = V,). Уравнение (9) при этом принимает вид:

* " ДС '

V с У

Подстановка в уравнение (8) дает к

— (х0 + ^ - х) = Рп

e = e0e~x'Dc.

(18)

# , х ,, e0v* $

ц0 + a in— + b in-0-

v* D

* L +

bx D

(19)

Это уравнение может быть проинтегрировано в явном виде:

A J exp

0

#

ещ

a1 n

$

-t

dt = J expl -

V ** у

где постоянная

Bx

dx,

#

A = v exp

Ц0 - b e0v + k^L aF„

in-0-

a a D„

= Х

0

(20)

(21)

V /

есть не что иное как скорость х0 в момент времени ^0;

#

B=

$

Dc

(12) Решение уравнения (20) имеет вид:

х = -—in B

1 - Х0 BFn

k v0

# # exp

k v0 aFn

$ $ -1

t

(22)

(23)

/ У-1

Типичный характер ползучести, описываемой этим уравнением, представлен на рис. 8.

Время до достижения точки неустойчивости определяется из условия, что аргумент логарифмической функции в (23) обращается в нуль:

Рис. 8. Ускоренная ползучесть перед неустойчивым проскальзыванием согласно уравнению (23) с Х0ВРп/(ко0) = 1

aF„ , tc =—— ln

k v0

1 +

k v0 Xo BFn

(24)

Отметим, что оно имеет тот же порядок величины, что и характерное время возрастания скорости ползучести на стадии очень медленного крипа. Вблизи неустойчивости уравнение (23) имеет асимптотику

kv0 $

-a i—

B

X0 B

1+

X&0 BFn

(tc -t)

(25)

Скорость движения нарастает согласно

х=а & -г )-1. (26)

в

Характерный интервал времени, в течение которого имеет место эта универсальная зависимость, имеет порядок величины

а¥„

asympt

k v0

С учетом (12) имеет место соотношение

т.

asympt

stick,0

a

М0'

(27)

(28)

Это отношение дает представление о длительности интервала времени, предшествующего неустойчивости, на котором наблюдается ползучесть, удовлетворяющая универсальному степенному закону (26). Можно ожидать, что именно на этом интервале возможно надежное предсказание момента неустойчивости. При типичных значениях параметров отношение а/ц0 имеет порядок величины 10-2. Ожидаемое «время надежного предсказания» составляет поэтому ~1 % времени «схватывания».

4. Сравнение экспериментальных данных с теорией

В настоящей статье мы изучаем применимость закона трения Дитериха к трибологической паре сталь-сталь в интервале скоростей скольжения, охватывающих четыре-пять десятичных порядков величины. Особое внимание мы уделяем областям ускоренного крипа и быстрой динамики (проскальзывания). С точки зрения проблемы предсказания землетрясений важнейшим вопросом является определение точности и надежности закона трения Дитериха.

Для ответа на этот вопрос численно решалось уравнение движения тх = k ^^ - х) -

#

- F—

ц0 - a ln

s+1$

X

V 1 1 У

#

+ b ln

v 9

$$

+1

(29)

/у

совместно с уравнением (2). Здесь т — масса образца; k—жесткость пружины; V,) — скорость протяжки пружины; Рп — нормальная сила (эти четыре параметра

2 1

. а ' -1 -2 -3

(

2 1

» 0

'-1 -2 -3

Экспериментальные данные ' ... . ...\а_

— — Численное решение без учета ус

0 1

0.2 0.3

Время, с

0.4

Экспериментальные данные — — Численное решение с учетом ус -' ......\б_

0 1

0.2 0.3

Время, с

0.4

Рис. 9. Экспериментальная зависимость скорости от времени и теоретическая зависимость с параметрами, обеспечивающими наилучшее согласие в области ускоренного крипа и быстрого скольжения

определялись независимо). Уравнение (29) решалось численно для различных значений параметров а, Ь, Dc, ц0 и v*, и отклонение между численно определенной и экспериментально измеренной скоростью, определяемое как

8=1 (ln(Vnum)-ln(Vexp))2dt >

(30)

минимизировалось по методу скорейшего спуска.

Оптимизация по названному набору параметров показала, что закон трения Дитериха достаточно хорошо описывает ускоренный крип вблизи момента неустой-чивости1. Будучи оптимизирован по области ускоренного крипа и быстрого проскальзывания, он, однако, занижает скорость крипа в области очень малых скоростей ползучести (рис. 9). Мы предполагаем, что причиной этого отклонения является конечная контактная жесткость [11, 29], обусловленная либо упругостью самого образца, либо характерным пространственным масштабом микроскопического потенциала, обусловливающего трение2. В наших экспериментах сила пружины растет приблизительно линейно со временем, поэтому наличие конечной контактной жесткости должно приводить к дополнительному постоянному вкладу V в измеряемую скорость «скольжения». Для учета этого эффекта мы добавляли скорость V к скорости, полученной путем численного решения уравнений движения, и использовали ее в качестве дополнительного подгоночного параметра. Это позволило достигнуть очень

1 В качестве альтернативы мы использовали также закон Руины [22], но установили, что закон Дитериха намного лучше описывает эксперимент.

2 Как показано в [29], эти вклады макроскопически практически не различимы, поэтому их можно моделировать единой контактной жесткостью.

Таблица 1

Набор параметров закона трения (1) и (2), обеспечивающий наилучшее согласие с экспериментальными данными

Номер эксперимента v0, мм/с a b Dc, мкм v, м/с ^0 v* , м/с

1 7 4.0Ы0-3 4.75 • 10-3 0.90 8.48 • 10 6

2 2 4.15 -10-3 8.64-10-3 0.78 9.36-107 0.27 0.2

3 1 3.13-10-3 6.88-10-3 0.70 5.42-10-7

4 0.5 3.03 -10-3 6.20-10-3 0.58 3.21 -107

хорошего согласия между теоретической и экспериментальной зависимостью во всем интервале скоростей (охватывающем четыре-пять порядков величины) (нижний график на рис. 9).

Как видно из табл. 1, V в грубом приближении пропорциональна скорости протяжки, что подтверждает ее интерпретацию как скорости, связанной с контактной жесткостью. Характерный порядок этой скорости, все

3.0 3.5 4.0 4.5

Время, с

Рис. 10. Зависимость скорости стального образца относительно стальной подложки от времени для четырех скоростей протяжки: 7 (а), 2 (б), 1 (в), 0.5 мм/с (г). Параметры системы: т = 0.0982 кг, к = 11.3 Н/м, Рп =^/2mg = 1.36 Н. Сплошная линия — эксперимент, пунктирная — численное решение

92

же, чрезвычайно мал (от 10-5 до 10-7 м/с), и она не играет существенной роли в области ускоренного крипа, представляющей наибольший интерес в нашем исследовании. На рис. 10 представлены результаты для нескольких скоростей протяжки. Минимальное отклонение между теорией и экспериментом имеет место при параметрах, приведенных в табл. 1. Параметр ц0 не оказывает влияния на характер движения вблизи неустойчивости и определяет только характерное полное время до первой неустойчивости. Параметр V* не изменяется от эксперимента к эксперименту. Количество подгоночных параметров, таким образом, уменьшается до четырех. Полученные значения параметров закона Дитериха находятся в согласии с данными других авторов [21, 26, 28].

Отметим, что оптимальные значения параметров а, Ь и Dc имеют существенный разброс при различных скоростях протягивания и даже для разных актов неустойчивого проскальзывания при одной и той же скорости протягивания. Это не должно нас удивлять и не является свидетельством неверности теории. Такие флуктуации физически обоснованы, поскольку в течение всей стадии ползучести, вероятно, имеет место только одна конфигурация микроконтактов. Это очевидно из того факта, что полное смещение на этапе ползучести, до начала неустойчивости, имеет тот же порядок величины, что и Dc. Таким образом, на стадии ползучести не происходит самоусреднения параметров. Характерная величина их флуктуаций вполне согласуется с амплитудой флуктуаций коэффициента трения при стационарном скольжении, как, например, на рис. 7. Напротив, параметр V*, описывающий стадию быстрого скольжения, не проявляет флуктуаций, поскольку определяется усреднением по многим микроскопическим конфигурациям.

Наблюдение крипа, предшествующего неустойчивому проскальзыванию, может быть использовано для предсказания момента наступления неустойчивости. Проиллюстрируем это на примере ускоренного крипа, непосредственно предшествующего проскальзыванию. В этой области уравнение движения (8) совместно с уравнением (9) имеет аналитическое решение (26). Легко видеть, что в этой области отношение скорости V к ускорению V определяется соотношением

^ = гс -(31)

V

и непосредственно дает время до неустойчивости. Уравнение (31) есть линейная зависимость с наклоном -1, обращающаяся в нуль в момент скачка. Отметим, что линейная зависимость отношения v/V имеет место и при любой другой степенной зависимости скорости от интервала времени tc -г. Так, при V = const • (гс - г)-у VII} -г).

В действительности вычисление отношения V/V для экспериментальных данных представляет собой нетривиальную задачу ввиду наличия шума, обусловленного как дискретностью измерительной системы, так и физической неоднородностью скольжения. Для получения гладких зависимостей этого отношения от времени (на основании которых только и возможно предсказание момента неустойчивости) экспериментальные данные должны быть сначала сглажены. В следующем разделе мы обсуждаем возникающие в связи с этим проблемы.

5. Проблема сглаживания экспериментальных данных

В то время как зависимость координаты от времени на стадии ползучести, предшествующей неустойчивости, является закономерной и не имеет существенных особенностей, зависимость скорости от времени имеет уже заметную шумовую компоненту. В ускорении же шумовая компонента во много раз превышает его среднее значение. Для того чтобы можно было использовать уравнения, относящиеся к макроскопической картине движения, не содержащей шума (как например уравнение (31)), необходимо отфильтровать быстро осциллирующие компоненты скорости и ускорения, не имеющие отношения к регулярному процессу ускоренного крипа. Для этой цели необходимо производить сглаживание экспериментальных данных по некоторому интервалу времени, продолжительность которого, очевидно, должна уменьшаться по мере приближения к моменту неустойчивости. При этом возникает следующая дилемма: если интервал сглаживания слишком малый, то шумовая компонента делает зависимости скорости и особенно ускорения совершенно нерегулярными и делает невозможным их использование для предсказания момента неустойчивости. Если же выбрать интервал слишком большим, то усреднение значительно «деформирует» зависимости, что также приведет к ошибочной оценке тенденций изменения скорости и ускорения. Ответ на вопрос о «правильной» продолжительности дает следующее простое соображение: для выявления зависимостей типа (10) или (25) время усреднения должно быть меньше характерного времени изменения скорости и ускорения. Если бы сглаженная зависимость скорости от времени была известна, то характерное время изменения можно было бы оценить как отношение v/V. Надежное предсказание момента неустойчивости возможно только в том случае, если удастся найти такой интервал усреднения, что зависимость v/V будет достаточно гладкая и при этом во все моменты времени длина интервала усреднения меньше, чем v/V в этот же момент времени. Например, на рис. 10 приведена типичная экспериментальная зависимость отношения v/V от времени. Самосогласованное условие для выбо-

Рис. 11. Типичная экспериментальная зависимость отношения ь/Ь от времени

ра интервала усреднения состоит в этом эксперименте в том, чтобы интервал усреднения был в несколько раз меньше, чем характерное время =0.3 с. Это время начинает существенно и систематически уменьшаться только в непосредственной близости от скачка (на рис. 11 моменту неустойчивости соответствует минимум кривой у/у, достигаемый примерно при г = 3.7 с).

6. Универсальная ползучесть в непосредственной близости к моменту неустойчивости

На рис. 12 отношение ь/Ь приведено для отрезка времени, начинающегося примерно за 1.2 с до момента неустойчивости tc. Видно, что на последней стадии оно достаточно хорошо аппроксимируется линейной зависимостью с наклоном -1, как и следует из теоретической зависимости (31). Отметим, что в то время как далеко от момента неустойчивости зависимость отношения ь/Ь оказывается неуниверсальной, конечный участок всегда описывает универсальное поведение. Иллюстрацией универсального поведения являются данные, приведенные на рис. 13, на котором зависимости ь/Ь представлены как функции времени, остающегося до момента неустойчивости, для нескольких актов неустойчивого проскальзывания при одной и той же скорости протяжки. Они существенно различаются вдали от момента неустойчивости, но демонстрируют универсальное по-

Рис. 12. Последний участок типичной зависимости отношения ь/Ь от времени остающегося до неустойчивости. Участок, непосредственно предшествующий неустойчивости, представляет собой линейную зависимость, обращающуюся в нуль в момент неустойчивости

Рис. 13. Зависимость отношения ь/Ь как функция времени, остающегося до скачка, для нескольких последовательных неустойчивостей при одной и той же скорости протяжки Ь0 = 1 мм/с

2.0

Рис. 14. Зависимость отношения ь/Ь как функция времени, остающегося до скачка, для нескольких скоростей протяжки: 0.5 (1), 1 (2) и 2 мм/с (3)

ведение в непосредственной близости от момента скачка. То же самое имеет место и при различных скоростях протяжки (рис. 14).

На рис. 15 показан пример зависимости среднеквадратичной ошибки времени момента неустойчивости, определенного по отношению ь/Ь, как функция от времени, остающегося до неустойчивости. Относительная погрешность уменьшается при приближении к точке неустойчивости до значения порядка 10 % и в дальнейшем не превышает эту величину до самого момента неустойчивости.

7. Обсуждение результатов

В контексте нашей лабораторной модели будем говорить о «долгосрочном прогнозе», если речь идет о временах, сравнимых со временем схватывания, и о «краткосрочном прогнозе», если речь идет о временах, намного меньших времени схватывания. Наши измерения показали, что для исследуемой трибологической систе-

Рис. 15. Среднеквадратичная величина погрешности в определении времени до неустойчивости

мы кратковременный прогноз момента неустойчивости возможен с высокой точностью на основе универсальной ползучести, предшествующей моменту неустойчивости. Характерный временной интервал, на котором наблюдается это универсальное поведение, для трибо-логических систем, подчиняющихся закону Дитериха, составляет а/от времени схватывания, т.е. порядка 1 % от времени схватывания. Другими словами, кратковременный прогноз для рассматриваемых систем возможен в последний процент времени схватывания и не требует использования никаких подгоночных параметров. Вместе с тем, измеряемая регулярная ползучесть наблюдается как минимум в течение половины всего времени «схватывания». Этот факт открывает принципиальную возможность долгосрочного прогноза, который, однако, требует подбора оптимальных параметров, описывающих наблюдаемую ползучесть. Предсказание на этом этапе, ввиду неуниверсальности поведения, будет намного менее точным и будет давать только порядок величины времени, остающегося до «срыва».

Обсудим в заключение возможность переноса сделанных выводов на проблему предсказания землетрясений. Важнейшее отличие рассматриваемой лабораторной системы от реальных тектонических систем состоит в том, что в лабораторной модели мы имеем дело с системой, фактически обладающей одной степенью свободы, в то время как реальные системы являются распределенными [30]. Проблемы, возникающие при рассмотрении распределенных систем, проще всего обсудить опять же на примере лабораторной модели, в которой несколько тел, связанных между собой пружинами, находятся в контакте с подложкой и протягиваются вдоль нее с помощью внешнего суппорта, подобно теоретической модели [4]. Совершенно очевидно, что каждое из тел в отдельности находится при этом в

условиях, полностью аналогичным тем, которые имеют место в эксперименте с одним телом. Поэтому точное измерение координаты каждого из тел должно аналогично давать возможность оценить близость каждого из них к критическому состоянию. В частности, должна сохраниться возможность краткосрочного прогноза времени неустойчивости каждого отдельного тела на основании универсальной ползучести в последний процент времени схватывания.

Вместе с тем, очевидно, что только кратковременный прогноз для каждого из тел не достаточен для предсказания последствий неустойчивости отдельного тела. Приведет ли неустойчивое проскальзывание отдельного тела к неустойчивости окружающих его тел, а возможно и к неустойчивости всей системы, зависит от конкретного напряженного состояния в каждом из тел системы, которое, однако, не может быть оценено только на основании краткосрочного прогноза для индивидуального тела. Тем самым теряется большая часть ценности прогноза, поскольку к успешному прогнозу относится не только предсказание какой-либо неустойчивости, но и надежная оценка магнитуды акта неустойчивого проскальзывания в целом. Поэтому с точки зрения проведенных экспериментов очевидно, что необходимым условием для успешного прогноза как момента, так и магнитуды неустойчивости в распределенных системах, помимо краткосрочного прогноза локальных неустой-чивостей, является возможность достаточно хорошего долгосрочного прогноза локальных неустойчивостей. Эта проблематика будет нами исследована в лабораторных экспериментах в рамках планируемого проекта.

8. Заключение

Таким образом, мы показали, что в исследованных нами трибологических системах все движение образца как на стадии медленного крипа, так и при проскальзывании может быть хорошо описано законом трения Дитериха, дополненным членом, учитывающим контактную жесткость. Наблюдение крипа, предшествующего неустойчивости, делает возможным краткосрочное предсказание момента неустойчивости и, хотя и с меньшей точностью, долгосрочное предсказание. Для переноса этих выводов на реальные тектонические системы необходимо, прежде всего, исследовать более сложные распределенные лабораторные модели.

Работа выполнена при финансовой поддержке немецкой службы академических обменов (DAAD) и Европейского научного фонда (ESF).

Литература

1. Scholz C.H. The mechanics of earthquakes and faulting. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - 461 p.

2. Scholz C.H. Earthquakes and friction laws // Nature. - 1998. - V. 391. — No. 6662. - P. 37-42.

3. Brace W.F., Byerlee J.D. Stick-slip as a mechanism for earthquakes // Science. - 1966. - V. 153. - No. 3739. - P. 990-992.

4. Burridge R., Knopoff L. Model and theoretical seismicity // B. Seismol.

Soc. Am. - 1967. - V. 57. - P. 341-371.

5. Филиппов А.Э., Попов В.Л., Псахъе С.Г., Ружич В.В., Шилько Р.В. О возможности перевода динамики смещений в блочных средах в режим ползучести // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т. 32. - № 12. -С. 77-87.

6. Psakhie S.G., Ruzhich V.V., Shilko E.V., Popov V.L., Astafurov S.V. A new way to manage displacements in zones of active faults // Tribol. Int. - 2007. - V 40. - No. 6. - P. 995-1003.

7. Филиппов А.Э., Попов В.Л., Псахъе С.Г. Скоррелированные воздействия, оптимизирующие перевод динамики смещения блочных сред в режим ползучести // Письма в ЖТФ. - 2008. - Т. 34. -№ 16. - С. 22-30.

8. Filippov A.E., Popov V.L. Modified Burridge-Knopoff model with state dependent friction // Tribol. Int. - 2010. - V. 43. - No. 8. -P. 1392-1399.

9. Gutenberg B., Richter C.F. Seismicity of the Earth and associated phenomena. - Princeton: Princeton University Press, 1954. - 273 p.

10. Carlson J.M., Langer J.S. Properties of earthquakes generated by fault dynamics // Phys. Rev. Let. - 1989. - V. 62. - No. 22. - P. 26322635.

11. Popov V.L. Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications. - Berlin: Springer-Verlag, 2010. - 362 p.

12. Omori F. On the aftershocks of earthquakes // J. College Sci. Imp. Univ. Tokyo. - 1984. - V. 7. - P. 111-200.

13. Geller R.J., Jackson D.D., Kagan Y.Y., Mulargia F. Earthquakes cannot be predicted // Science. - 1997. - V. 275. - No. 5306. - P. 1616.

14. Geller R.J. Earthquake prediction: A critical review // Geophys. J. Int. - 1997. - V. 131. - No. 3. - P. 425-450.

15. Dietrich J.H., Kilgore B. Implications of fault constitutive properties for earthquake prediction // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1996. -V. 93. - No. 9. - P. 3787-3794.

16. Dieterich J.H. Earthquake nucleation on faults with rate- and state-dependent strength // Technophys. - 1992. - V. 211. - No. 1-4. -P. 115-134.

17. Mjachkin V.I., Brace W.F., Sobolev G.A., Dieterich J.H. Two models for earthquake forerunners // Pageoph. - 1975. - V. 113. - P. 169181.

18. Thurber C., Sessions R. Assessment of creep events as potential earthquake precursors: Application to the creeping section of the San Andreas fault, California // Pageoph. - 1998. - V. 152. - No. 4. -P. 685-705.

19. McGuire J.J., Boettcher M.S., Jordan T.H. Foreshock sequences and short-term earthquake predictability on East Pacific Rise transform faults // Nature. - 2005. - V. 437. - No. 7058. - P. 457-461.

20. Попов В.Л., Старчевич Я. Влияние вибрационного воздействия на статистику «землетрясений» в лабораторной модели // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т. 32. - № 14. - С. 65-72.

21. Dieterich J.H. Modeling of rock friction. 1. Experimental results and constitutive equations // J. Geophys. Res. - 1979. - V. 84. - No. B5. -P. 2161-2168.

22. Ruina A. Slip instability and state variable friction laws // J. Geophys. Res. - 1983. - V. 88. - No. B12. - P. 10359-10370.

23. Gnecco E., Bennewitz R., Gyalog T. et al. Velocity dependence of atomic friction // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - No. 6. - P. 11721175.

24. Persson B.N.J. Sliding friction. Physical principles and applications. -Springer, 2000. - 515 p.

25. Dudko O.K., Filippov A.E., Klafter J.J., Urbakh M. Dynamic force spectroscopy: A Fokker-Planck approach // Chem. Phys. Lett. - 2002. -V. 352. - No. 5-6. - P. 499-504.

26. Heslot F., Baumberger T., Perrin B. et al. Creep, stick-slip, and dry-friction dynamics: Experiments and a heuristic model // Phys. Rev. E. - 1994. - V. 49. - No. 6. - P. 4973-4988.

27. Muser M.H., Urbakh M., Robbins M.O. Statistical Mechanics of Static and Low-Velocity Kinetic Friction // Advances in Chemical Physics / Ed. by I. Prigogine, S.A. Rice. - 2003. - V. 126. - P. 187-272.

28. Marone C. Laboratory-derived friction laws and their application to seismic faulting // Ann. Rev. Earth Planet. Sci. - 1998. - V. 26. -P. 643-696.

29. Popov V.L., Starcevic J., Filippov A.E. Influence of ultrasonic inplane oscillations on static and sliding friction and intrinsic length scale of dry friction processes // Trib. Lett. - 2010. - V. 39. - No. 1. -P. 25-30.

30. Ben-Zion Y Collective behavior of earthquakes and faults: Continuum-discrete transitions, progressive evolutionary changes, and different dynamic regimes // Rev. Geophys. - 2008. - V. 46. - RG4006 (70 p.).

Поступила в редакцию 24.06.2010 г

Сведения об авторах

Попов Валентин Леонидович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. Берлинского технического университета, v.popov@tu-berlin.de Grzemba B., Dipl.-Ing., то Берлинского технического университета, birthe.grzemba@tu-berlin.de Starcevic J., Dr.-Ing., нс Берлинского технического университета, j.starcevic@tu-berlin.de Fabry C., студ. Берлинского технического университета, cagtay@fabry.at