Усилитель с положительной обратной связью для демонстрации неравновесных фазовых переходов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.373.12 П. И. Домнин

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2006, вып. 3

УСИЛИТЕЛЬ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

Введение. При изучении некоторых разделов современной физики (например, физики элементарных частиц) студентам приходится встречаться с достаточно абстрактными и трудными для восприятия понятиями и концепциями, многие из которых кажутся вначале весьма туманными, а иногда даже далекими от реальности в том смысле, что для правильного их восприятия не находится простых аналогий в «обычной» физике, к которым можно было бы прибегнуть для непосредственного усвоения рассматриваемых идей на интуитивном уровне. В качестве примера возьмем достаточно сложную для понимания в указанном смысле концепцию спонтанного нарушения симметрии (СНС), широко используемую, например, в физике элементарных частиц, и покажем, что она в действительности имеет место и в «обычной» физике, удивляясь ее явному присутствию и проявлению в достаточно простых физических системах.

Физика богата аналогиями. Общепризнано, что физические системы, находящиеся далеко от состояния равновесия, проявляют свойства, во многом сходные с теми, которые имеют место в обычных равновесных фазовых переходах (ФП). Рассмотрим аналогию между (равновесными и неравновесными) ФП в физических системах различной природы с точки зрения нарушения СНС.

Концепция СНС впервые была выдвинута Л. Д. Ландау при объяснении роли симметрии в равновесных ФП второго рода, установленных в явлениях сверхтекучести и спонтанной намагниченности ферромагнетиков при понижении температуры ниже критической. Она позволяет определить состояния с пониженной симметрией, возникающие из состояний с более высокой симметрией при переходе контрольным параметром своего критического значения. Хотя эта теория неадекватно описывает динамику флуктуаций непосредственно вблизи критической точки перехода, она тем не менее приводит к правильным заключениям относительно связи симметрии исходного и конечного состояний. Хорошо известным примером СНС является понижение симметрии решетки титаната бария (переход от кубической к тетрагональной) при уменьшении его температуры ниже критической, которое сопровождается внезапным появлением макроскопической поляризации, уничтожающей изотропию системы. Другие критические явления, такие как ферромагнетизм, сверхпроводимость, сверхтекучесть, также сопровождаются СНС в температурных ФП.

Равновесные ФП. Равновесная фаза многочастичных систем обычно характеризуется хорошо определяемыми термодинамическими переменными, такими как температура, давление, напряжение и т. д. При изменении одной или нескольких из них физическая система может испытать ФП, т. е. переход от неупорядоченного состояния к упорядоченному, и наоборот. При этом в упорядоченном состоянии возникает новая макроскопическая (переменная) величина, называемая параметром порядка (ПП). Она равна нулю в симметричной фазе. Если ПП меняется непрерывным образом от нуля к конечной величине в окрестности ФП, то говорят о ФП второго рода. Если же ПП испытывает скачок, то имеет место ФП первого рода, как, например, в случае температурного перехода жидкость-твердое тело. Экспериментальные исследования поведе-

© П. И. Домнин, 2006

32

ния различных конденсированных систем, испытавших ФП второго рода, показали, что существует степенная зависимость между термодинамическими параметрами, определяющими состояние физической системы. Были введены так называемые критические индексы (КИ), количественно характеризующие такого рода зависимость и связанное с ними понятие скейлинга. Наиболее удивительным оказалось то, что значения КИ и соотношения между ними являются во многих случаях одними и теми же для систем самой разной физической природы, демонстрируя таким образом универсальность динамики их поведения при ФП второго рода. Было выявлено несколько классов этой универсальности, каждый из которых обладает своим набором КИ.

Часто такой ФП происходит при изменении температуры или давления. При этом фиксируются их критические значения, при которых система переходит от состояния беспорядка к порядку или наоборот. Появление в системе порядка, характеризуемого численно значением ПП, сопровождается, как правило, понижением симметрии системы. В соответствии с теорией Ландау, свободная энергия системы (например, ферромагнитной) F(T, ф) в окрестности критической температуры То может быть разложена в ряд

+ аф2 + ~фА + ..., (1)

где ф представляет ПП, /?(Г) остается больше нуля в окрестности ФП, а а(Т) меняет знак в окрестности То

а(Т) = а(Т - То) + ... .

Если ф является скаляром и не зависит от координат, то при отрицательных а вырождение по знаку ф у системы снимается. Таким образом, из полного набора из двух состояний, различающихся лишь знаками, реализуется только одно, при этом сам выбор определяется флуктуациями ПП, т. е. носит случайный характер. На рис. 1 представлены зависимости свободной энергии от температуры по обе стороны от То.

В соответствии с классификацией Эренфеста ФП второго рода называется переход, в котором вторая производная свободной энергии испытывает разрыв. При данном ФП условие стабильности фазы с параметром порядка ф выглядит так:

02Л „ (д2Р\

дь)ф °’ Ы2Л>0'

Следовательно, для температур ниже критической ф = 0, а выше критической ф принимает одно из двух значений ±(|о:|//?)1/2, меняясь непрерывно в области перехода. Максимум энергии на рис. 1 соответствует неустойчивому и неупорядоченному основному состоянию, а минимумы - перестроенному упорядоченному и устойчивому. Глубина этих минимумов определяет выигрыш в энергии в результате такой перестройки. Пока температура системы больше критической, ее средняя энергия будет выше ее значения, соответствующего центральному максимуму. В таком случае реализуется симметричное состояние с величиной ПП, равной нулю. Это значит, что рассматриваемая система проводит одинаковое время в каждом из двух состояний полного набора, соответствующего заданной свободной энергии. Однако достаточно малого внешнего воздействия, делающего один из минимумов чуть глубже другого, чтобы возникло СНС и реализовалось лишь одно состояние.

Неравновесные ФП. Понятие ФП и метастабильного состояния относилось первоначально к статическим условиям существования физических систем, но со временем

Р-Р0

Рис. 1. Зависимость свободной энергии от параметра порядка тр для Т > То (а) и Т < То (б).

получило более широкое толкование. Если исследуемая система может обмениваться с окружающей средой энергией или веществом (ее часто называют потоковой), то при изменении управляющего параметра (УП) линейная реакция системы на его изменение будет соответствовать множеству стационарных состояний, вместе образующих так называемую термодинамическую ветвь. Дальнейшее увеличение УП может привести к возбуждению нелинейностей в системе, так что термодинамическая ветвь при определенном значении УП, называемом критическим, становится нестабильной. .Дальнейшая эволюция системы может развиваться различными путями, и выбор того или иного пути определяется флуктуациями. В этом случае говорят, что система испытывает бифуркацию, а реализация ею того или иного состояния из совокупности возможных имеет случайный характер. Известно много примеров неравновесных ФП такого рода: возникновение конвективных ячеек в слое жидкости, подогреваемой снизу, переход от ламинарного течения жидкости к турбулентному, смена шумового излучения лазера когерентным, а затем импульсным режимом генерации излучения при увеличении мощности накачки, и др.

ФП в усилителе с обратной связью. В качестве системы, на примере которой можно применить и усвоить различные концепции и понятия, связанные с неравновесными ФП, рассмотрим обычный электронный усилитель с положительной регулируемой обратной связью (исследовать его работу можно с помощью доступных приборов, имеющихся в любой физической лаборатории). Анализ его работы показывает [1], что он демонстрирует режимы поведения при изменении УП (величина обратной связи), сильно напоминающие смену динамических режимов в потоковых системах конденсированных сред (магнитных, гидродинамических и т.д.) при соответствующих изменениях внешних условий.

Блок-схема с нагрузочными параметрами и принципиальная схема усилителя представлены на рис. 2, а его эффективный коэффициент усиления определяется по формуле

кей = ио/щ = К/{1 - а/3),

(2)

а

б

Рис. 2. Блок-схема с нагрузочными параметрами (а) и принципиальная схема электронного усилителя с обратной связью (б).

Объяснение в тексте.

где К - коэффициент усиления без обратной связи, Р > 0 - величина коэффициента обратной связи, а щ и щ - выходное и входное напряжения соответственно.

На рис. 3 изображены передаточные функции (выход-вход) электронного усилителя для различных значений /9. Из него видно, что при щ — 0 и для всех /3, удовлетворяющих условию К/З < 1, выход равен нулю. При К(3 > 1 ненулевые значения и0 становятся возможны, даже если щ = 0 (рис. 3, в). Знак выходного напряжения при этом выбирается системой случайным образом, так что переменную ио вполне можно воспринимать как ПП для рассматриваемой электронной системы, а (3 - как управляющий параметр. Таким образом, появление ненулевого стационарного значения ио ф О при отсутствии входного напряжения эквивалентно установлению порядка в системе так же, как это происходит в ферромагнетике при Т — То, Зависимость ПП, т. е.

г

в

и.

Рис. 3. Передаточные характеристики усилителя для различных значений /3 (а-в) и бифуркационная кривая зависимости выходного напряжения ио от (3 (г).

а - Р = 0; б - Р > 0, К/З < 1; в - КР > 1.

гіо, от /3, изображенная на рис. 3, г, представляет собой характерную бифуркационную кривую, что указывает на присутствие ФП второго рода. Коэффициент усиления К(щ) такого усилителя будет нелинейным образом зависеть от входного напряжения щ = щ — (Зьо- Полевые транзисторы фі и (^2 на рис. 2 образуют дифференциальный усилитель с коэффициентом усиления К{у[) — К0 [1 — (аг^)2] , где а и Ко— константы [2] . Аналоговый умножитель М вместе с делителем на сопротивлениях образуют цепь обратной связи, величина которой меняется плавно пилообразным напряжением ис.

В неравновесных ФП мы не всегда имеем величину, аналогичную свободной энергии і*1, но для некоторых простых систем (механических, электронных) можно ввести в рассмотрение потенциал IV, который играет ту же роль. Можно показать [2], что для изменения выходного напряжения усилителя от 0 до г>о, нужно затратить энергию

где х = /Зио — щ; а = (1 — К/3)/Ка/3\ Ь = щ/Ка/3.

Из (3) следует, что потенциальная функция для усилителя с обратной связью имеет тот же вид, что и выражение для свободной энергии Ландау (1) с учетом члена Ьх, характеризующего влияние внешнего поля, х играет роль ПП, т. е. ф, а и Ь образуют вместе вектор параметров, соответствующий вектору контрольных параметров а и (3

Измерения и результаты. При заданных контрольных параметрах система выбирает то значение х, которое минимизирует энергию F. Множество таких значений образует гиперплоскость с 5-образным изгибом в трехмерном пространстве х, а, Ь, представленную на рис. 4, I, а ее проекция на плоскость контрольных параметров на рис. 4, II имеет вид полукубической параболы, представляющей собой так называемую cusp-катастрофу [2]:

F(x,a, b) = ^х2 + jx4 + Ьх,

& т:

(3)

в (1).

Рис. 4■ Гиперплоскость для потенциала ^ (/) и ее проекция на плоскость контрольных параметров (II).

(а/З)3 + (Ь/2)2 = 0.

На экране двухлучевого осциллографа можно наблюдать бифуркационную кривую, т. е. выходное напряжение щ (рис. 5, а), полученную при отсутствии входного напряжения (щ = 0), а также динамику среднеквадратичных флуктуаций как функцию /3 (рис. 5, б). Ясно видно, что максимум критических флуктуаций приходится на область ФП. Подобные зависимости, но полученные при 0 и соответствующие траекториям 2 и 3 на рис. 4, представлены на рис. 5, е, г. Из рисунка видно, что в этом случае ФП отсутствует, но максимум флуктуаций наблюдается и приходится на точку перегиба кривой зависимости ПП от величины коэффициента обратной связи. Кривые на рис. 5, в, г во многом аналогичны тем, которые получаются при исследовании намагниченности ферромагнетика в присутствии внешнего магнитного поля, роль которого в данном случае играет напряжение на входе дифференциального усилителя. Если фиксировать величину коэффициента обратной связи и измерять выходное напряжение как функцию входного напряжения, можно наблюдать в данной системе явления гистерезиса (рис. 5, д, е). При этом оказывается, что ширина петли гистерезиса зависит от скорости сканирования входного напряжения, а наличие или отсутствие гистерезиса в системе будет зависеть от уровня шумов в ней (рис. 5, ж, з).

Заключение. Макроскопические значения какой-либо наблюдаемой величины обычно принято отождествлять с наиболее вероятными ее значениями, которые, если пренебречь флуктуациями, полагают равными ее средней. Но вблизи ФП мы имеем два наиболее вероятных «макроскопических» значения, ни одно из которых не соответствует среднему, и флуктуации между ними становятся существенными. В макроскопических уравнениях ничто не определяет, в каком направлении произойдет намаг-

5 В

- — Н (-

ш

\

\

1

V -1

5 В

5 В

ж з

5 В

5 В

Рис. 5. Характеристики усилителя.

а - наблюдаемая зависимость выходного напряжения при щ — О, как функция величины обратной связи; б - наблюдаемая зависимость среднеквадратичных значений флуктуаций ио от /3; в - наблюдаемая зависимость выходного напряжения ио от /3 для различных значений щ-, г - среднеквадратичные флуктуации и о в функции /3; д, е - петли гистерезиса, соответствующие траектории 4 на рис. 4 для малой и большой скоростей изменения параметра ио; ж, з - зависимость но от г^: ж -большой уровень шума, гистерезис присутствует, з - малый уровень шума, гистерезис отсутствует.

ничивание или какой знак будет иметь выходное напряжение усилителя. На примере простой электронной схемы усилителя с регулируемой обратной связью показано, как подобная система может быть использована для демонстрации различных концеп-38

ций, относящихся к неравновесным ФП. Получение кривой на рис. 4, которая является проекцией пространства возможных режимов поведения усилителя на плоскость параметров, свидетельствует о cusp-катастрофе [3], имеющей место в динамике многих диссипативных потоковых систем при достижении УП критических значений. В такой системе оказывается возможным изучать не только средние величины ПП, но и его флуктуации, измеряя их как функцию УП с максимумом в области ФП, а исследование режимов с внешним полем позволяет анализировать зависимость критических флуктуаций от отношения времени реакции усилителя и времени корреляции шумов. Таким образом, аналогия между динамическими режимами простого усилителя с ФП в конденсированных системах может быть прослежена не только при рассмотрении их статических состояний, но и в их кинетике. Подобная модель электронного усилителя с регулируемой обратной связью, не требуя специального оборудования, может быть легко реализована и предложена в рамках физического практикума для студентов младших курсов в качестве лабораторной работы, выполнение которой поможет им легче усвоить многие абстрактные понятия физики конденсированных сред.

Summary

Domnin P. I. An amplifier with positive feedback for demonstration nonequilibrium phase transitions.

The results of experimental study of dynamical behavior of electronic amplifier with positive feedback axe presented and interpreted in same detail as an illustration of nonequilibrium phase transitions. By changing control parameters of amplifier the second, first and zero-order transitions in it. Besides the studies of evolution of a mean order parameter value ins fluctuations have also been observed and their large growth near the second-order phase transition is shown. Due to its simplicity this amplifier could be easy used in the undergraduated laboratory of physics and the experiments with it could help students become familiar with various conception relating to phase transitions.

Литература

1. Neelakantan K., Venkataraman G. //Pramana. 1984. Vol. 22. P. 387-396. 2. Grey P. R., Meyer R. G. Analysis and design of integrated circuits. New York, 1977. 3. Gilmore R. Catastrophe theory for scientists and engineers. New York, 1981.

Статья поступила в редакцию 6 апреля 2006 г.