CC BY
83
УДК 62-752+62-755
УРАВНОВЕШИВАНИЕ АВТОБАЛАНСИРОМ РОТОРА В УПРУГО-ВЯЗКО ЗАКРЕПЛЕННОМ КОРПУСЕ, СОВЕРШАЮЩЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Филимонихин Геннадий Борисович,
д-р техн. наук, профессор кафедры деталей машин и прикладной механики факультета проектирования и эксплуатации машин Кировоградского национального технического университета, Украина, 25006, г. Кировоград, пр. Университетский, 8. E-mail: filimonikhin@yandex.ua
Гончаров Валерий Владимирович,
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики факультета проектирования и эксплуатации машин Кировоградского национального технического университета, Украина, 25006, г. Кировоград, пр. Университетский, 8. E-mail: matkora@yandex.ru
Актуальность работы обусловлена необходимостью исследования процесса уравновешивания автобалансирами ротора.
Цель работы: оценить переходные процессы при статическом уравновешивании автобалансиром со многими корректирующими грузами ротора, помещенного с возможностью вращения в тяжелый упруго-вязко закрепленный корпус, совершающий пространственное движение.
Методы исследования: тория устойчивости установившихся движений механических систем; математическая теория устойчивости движений по Ляпунову.
Результаты: Найдены условия наступления автобалансировки и установлено, что:
• корпус и ротор условно образуют составной, более массивный и длинный ротор, характеристики которого влияют на процесс автобалансировки;
• переходные процессы, характеризующие автобалансировку, делятся на: быстрые, при которых практически прекращаются движения корригирующих грузов относительно ротора и устанавливается движение ротора, соответствующее суммарному дисбалансу корректирующих грузов и дисбаланса ротора; медленные, при которых корригирующие грузы приходят в авто балансировочное положение, двигаясь относительно ротора;
• скорость протекания быстрых переходных процессов зависит от параметров закрепления корпуса, массо-инерционных характеристик составного ротора, скорости вращения, положения плоскости балансировки, сил вязкого сопротивления, действующих на корригирующие грузы, и не зависит от уравновешиваемого дисбаланса, количества и положений корригирующих грузов;
• скорость протекания медленных переходных процессов дополнительно зависит от уравновешиваемого дисбаланса, количества и положений корригирующих грузов, но не зависит от сил сопротивления опор.
Ключевые слова:
Ротор, дисбаланс, автобалансир, основное движение, устойчивость движения.
Введение
Роторы многих центробежных машин - стиральных, экстракторов, сепараторов, центрифуг, осевых вентиляторов и пр. - установлены в корпус с возможностью вращения, а уже корпус закреплен упруго-вязко и совершает неплоское движение. В этих машинах дисбаланс ротора меняется в процессе выполнения технологических операций, поэтому его целесообразно уравновешивать на ходу пассивными автобалансирами (АБ) [1-5].
Наиболее полный обзор литературы по пассивной автобалансировке роторов приведен в [5]. Учет этого обзора, более поздних публикаций и работ [6-18] показывает, что на сегодня практически нет работ, в которых аналитически исследуется процесс автобалансировки роторов, совершающих пространственное движение. В указанных работах определяются только условия наступления автобалансировки в виде критических скоростей, при переходе через которые наступает или исчезает автобалансировка. Эти скорости для двухшарового АБ определяются в [1-4, 6-13, 15-18] с применением
метода синхронизации динамических систем И.И. Блехмана [19], для АБ любого типа - с применением эмпирического критерия наступления ав-тоболансировки в [5] или энергетического критерия, использующего функцию Гамильтона, в [14]. При этом переходные процессы не исследуются.
Дифференциальные уравнения движения роторных машин с АБ почти не поддаются аналитическому исследованию ввиду существенной нелинейности и большому количеству степеней свободы системы. Такие уравнения позволяют аналитически исследовать АБ только с двумя корректирующими грузами (КГ) - шарами, роликами, маятниками.
С учетом вышеописанных проблем в работе [20] была предложена методика составления упрощенных дифференциальных уравнений движения роторных машин с АБ, учитывающая особенности таких механических систем - отношения малости параметров, малость отклонений продольной оси ротора от оси вращения и т. п. В соответствии с этой методикой составляются замкнутые уравне-
ния движения роторной машины с АБ относительно обобщенных координат, описывающих движение ротора и его дисбаланс, так как именно эти координаты описывают процесс автобалансировки и позволяют исследовать АБ со многими КГ. В работе [21] с применением указанной методики были аналитически исследованы переходные процессы, протекающие при статическом уравновешивании АБ со многими КГ ротора, помещенного с возможностью вращения в упруго-вязко закрепленный корпус с неподвижной точкой. Там же была предложена методика таких исследований, которая может быть стандартной при решении подобных задач.
В настоящей работе методика исследований, предложенная в работах [20, 21], применяется для аналитического исследования переходных процессов, протекающих при статическом уравновешивании АБ со многими КГ ротора, помещенного с возможностью вращения в упруго-вязко закрепленный корпус, совершающий пространственное движение.
Описание теоретико-механической модели
роторной машины
Осесимметричный ротор массы тг установлен в корпусе массы тс с возможностью вращения вокруг продольной оси (рис. 1). Центры масс ротора и массивного корпуса совпадают и находятся в точке О. Ротор вращается относительно корпуса с постоянной угловой скоростью со. Корпус удерживают пять упруго-вязких опор.
Движение машины описывается с использованием двух систем осей: Охуг - неподвижных; О^ц^ - подвижных, жестко связанных с ротором. В исходном положении, когда машина неподвижна и находится в положении статического равновесия, системы Охуг и О^ц^ совпадают. Ось Ог на-
правлена вдоль оси вращения ротора. В плоскости z=d находится статический дисбаланс s0, образованный точечной массой m0, находящейся на расстоянии r0 от продольной оси ротора. Ось Ox направлена в сторону начального направления вектора статического дисбаланса s0, а ось Oy направлена так, что тройка осей Oxyz правая. Свойства упруго-вязких опор характеризуют коэффициенты жесткости k, kz и вязкости b, bz.
Модель движения ротора с массивным корпусом и дисбалансом приведена на рис. 2. Вначале совершается поступательное перемещение ротора с корпусом на (x,y,z) вдоль координатных осей. В результате система осей Oxyz переходит в промежуточное положение Gxgygzg (рис. 2, а). Потом совершаются повороты ротора с корпусом вокруг точки G на углы Резаля а и в (рис. 2, б). В результате система осей Gxgygzg переходит в Guvw. Последним совершается поворот ротора вокруг продольной оси w=Zна угол cot (рис. 2, в). При этом система осей Guvw переходит в систему G^r/Z.
Относительно системы осей Ouvw тензоры инерции ротора и корпуса имеют вид
Jr = Diag(4,4, Cr), J = Diag(A, A, Cc).
В плоскости Z=d ротор уравновешивает АБ, состоящий из n одинаковых КГ (маятников, шаров или цилиндрических роликов). В маятниковом АБ на вал ротора насажено n математических маятников массы m и физической длины r. В шаровом либо роликовом АБ n шаров или цилиндрических роликов массой m катятся без скольжения по кольцевой дорожке, при этом расстояние от продольной оси ротора до центра шара либо продольной оси ролика равно r.
Как это принято в теории пассивных АБ [1-21], действием сил тяжести пренебрегаем и полагаем, что: радиусы КГ (шаров, роликов) намного меньше
Рис. 1. Ротор в массивном корпусе, установленном на упруго-вязких опорах Fig. 1. Rotor in massive bed fixed on visco-elastic columns
Рис. 2. Кинематика движения ротора и корпуса Fig. 2. Kinematics of rotor and bed motion
радиусов их беговых дорожек; при нахождении на одной дорожке КГ не мешают движению друг друга.
Положение массы дисбаланса или ¿-го КГ (¿=0,п) в плоскости С=Л будем определять абсолютными углами щ, отсчитываемыми между осью Оив и относительными радиус-векторами г массы дисбаланса или центров масс КГ (рис. 3, а), или относительными углами щ, отсчитываемыми между осью и относительными радиус-векторами г1 (рис. 3, б). Связи между абсолютными и относительными углами имеют вид эд=ю£+щ, /¿=0,п/.
'о а/а ^ г г0 ,-> Л
Рис. 3. Кинематика движения КГ и массы дисбаланса: а) абсолютные; б) относительные углы
Fig. 3. Kinematics of corrective weights and mass imbalance: a) absolute; b) relative angles
Относительному движению ¿-го шара или ролика (¿=0,п) препятствует ньютоновская сила вязкого сопротивления, модуль которой равен F {"¿"]=Ьгщ, где br - коэффициент сил вязкого сопротивления; Щ=т\ф ~ю\=гф ¿| - модуль относительной скорости КГ (скорости центра масс КГ относительно ротора); точка над величиной обозначает производную по времени. При повороте ¿-го маятника ( ¿=0,п) вокруг оси ротора на него действует момент сил вязкого сопротивления M¡"¿')=rbrui, где br - коэффициент момента сил вязкого сопротивления, приведенный к плечу r.
Составление упрощенных дифференциальных уравнений движения роторной машины в неподвижной системе координат
При составлении дифференциальных уравнений движения роторной машины используются уравнения Лагранжа II рода вида
d(дТ/ dq) / dt -dT / dq = -дП/ dq -дФ / dq,
q = (x, y, z,a )T, (1)
где T и П - соответственно кинетическая и потенциальная энергии системы; Ф - диссипативная функция Релея; q - вектор обобщенных координат, определяющих движение машины. Упрощающие предположения касаются отношений малости величин [20]:
| x|,| y|,| z | ,| a | ,| в1 << 1; |x | ,| j|,| ¿\,\á\,\p\<<1; mn << m , m ~ m .
r' c r
С использованием уравнений (1) получаем систему 5+n обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно обобщенных координат:
MZ + bzZ + kz = 0, (2)
Mx + bjx + kxx + bxl3P + kxl3P + su = 0, My + bxy + kxy - bxf¡a - kxl3a + sv = 0, A¡¡ + b в ¡ + k eP - Crrná + bxfíX + kx/}x + dsu = 0, - Aá - bp á - ka a - Crrn ¡ + bxey + key + dsv = 0, (3)
mK(p¡r + brr((¡>¡ -rn) = m(aDu sinщ - a^ cosщ ),
/ i = in/, (4)
Xn n
m¡ri cosVi, s, =Л-=1 mrsinщ -
соответственно проекции суммарного дисбаланса точечной массы и КГ на оси Ou, Ov; aDu=X+dв, aDv=y+dcx; M=mc+mr, A=AC+Ar, kx=2k, ke=k(zL2+zR2),
kxe=k(Zi+zR), bx=2b, be=b(zL2+zR2), bxe=b(zL+zR),
K=1+Krot); Krot)=2/5 - для шаров, Кгм)=1/2 - для цилиндрических роликов, Кгм)=0 - для маятников.
Из равенств (2)-(4) видно, что корпус, совершающий только часть движений ротора, «прибавляет» к соответствующим массо-инерционным характеристикам свои характеристики. При этом условно образуется составной ротор - более массивный и длинный, и именно его характеристики влияют на динамику системы. Поэтому даже ко-
роткии ротор в массивном корпусе может вести себя как длинныИ.
Система (2)-(4) распадается на две независимые подсистемы - уравнение (2) описывает затухающее движение машины вдоль оси z, остальные уравнения описывают процесс автобалансировки. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения (3), (4).
Основные движения роторной системы и дифференциальные уравнения для исследования их устойчивости
На основных движениях ротор уравновешен и вращается вокруг собственной продольной оси, поэтому обобщенные координаты ротора x, y, а, в и проекции суммарного дисбаланса su, sv равны нулю:
x = y = а = в = su = sv = 0. (5)
Устойчивость основных движений будем исследовать по этим обобщенным координатам. Система уравнений (3) незамкнута. Замыкаем ее минимальным количеством уравнений, являющихся комбинациями дифференциальных уравнений движения КГ (4).
Умножим каждое уравнение в (4) поочередно на sin^¡ и сложим, затем - на cos^¡ и сложим. Полученные уравнения в окрестности определенного установившегося движения линеаризуются и принимают вид
k(su + 2asv -ю\) + br(su + asv)/m = aDv (p sin 2a t + p2 cos 2a t) + +aDu (1 - p cos 2a t + psin2at) k(Sv - 2asu -a2sv) + br (sv - asu) / m = aDv (1 + p cos 2at - b2 sin 2a t) + _+aDu (p sin2at + p cos2at)
= -mnd
= mnd
/2,
/2, (6)
где р = П=1со82у>;)/и, р = ^^т2^)/и; щ,
/¿=1,п/ - угловое положение ¿-го КГ в установившемся движении.
Введем угол В и параметр р: оояВр^р, 8тВ=р2/р, р=^Р!+Р|. Сдвинем время: 2аí+В=2ат или ¿=т-В/(2а). Тогда уравнения (6) запишутся в виде
к(5'и + 2а5, - а\) + Ьг / т • (+ а^) =
= - ти^ /2 • [аДи (1 - ^ cos2ат) - а^,^ В1п2ют],
к(£„ - 2а5и - а2,?,) + Ьг / т • (- а5м) =
= ти^ / 2 • [айир sin2а-г - аД (1 + ^ ^2аг)]. (7)
Уравнения (3) не изменятся при переходе к новому времени, поэтому уравнения (7) замыкают их относительно неизвестных функций х, у, а, р, $„, ви.
Уравнения (3), (7) - это система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с периодическими коэффициентами. В нее входят 16 параметров М, А, Ст, кх, кр, Ьр, кхр, Ьхр, Ьх, а, й, т, п, к, Ьг, р.
Псевдо сворачивание, переход к подвижной системе координат и обезразмеривание системы дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения для исследования устойчивости основных движений в комплексном виде. В комплексных переменных Хг, Вг, Sгu:
Xг = х + гу, = р - г'а, = 5 + '5,
уравнения (3), (7) примут вид
А = мх г + Ьх X + кх Х2 + Ьх рВ + кх рВ + ^ = о,
А = о,
¿2 = аБ г + ьД + кд - гасг +
+ЬхрХг + кхрХ2 + = 0, Г2 = 0,
¿з =к^Х + Ьг / т • Д + /2 • [Xг + г - ^ + Д)^е2атг' ] = 0,
¿з = 0, (8)
где - оператор.
Приведение уравнений к автономному виду. В новых комплексных переменных Е=Хгеат, @г=Вгеат, Sг=Sгueiат система (8) приводится к автономному виду
¿1 = мдХ + ^ДН + кхН + ЬхрО,© г +
+кхр®г + ДЧ = 0, А = 0,
4 = ад2©. + ЬрД,©г + кр©г - 'аСгД,©г +
+ кхрН г + ^ДХ = 0, Г2 = 0,
¿3 = + Ьг / т • Эг +
+mnd/2 •
Д2Нz + dDf©z -=¡2- , JR2,-
2 2 = 0, Ьъ = 0. (9) - г + ¿Д2© г) _
Уравнения в безразмерном виде. При стандартном обезразмеривании уравнения (9) примут вид
¿1 = Д 24 + ъ^ +4 +
+кхр(ЬхД^ +ег)+д 2sz = 0, ¿1 = 0,
L2 = D2ez + (k:ez»x - ico С )Ddz + kBez +
Г'
+kOxpCb^xDIz +lz) + dD2Sz = 0, L2 = 0,
^ D 2(^z + dez) -
(10)
L = ,s"+ bbs' + m
- ^D2 (4 + d?0z), L3 = 0,
= 0,
(11)
где 4=ЕгМ/(тт), 0г=@г^АМ/(тг), в^Атт) - безразмерные комплексные обобщенные координаты; штрих обозначает производную по безразмерному
времени т=а0Р, ¿(•)=(^)'+1(5(^^_- оператор,
¡~х=Ьхао/кх, ао=УкТМ, ~хр=кхр/(ао2^АМ), й=й/^Ж, ~р=кр/^-Аа02), С=Ст/А, ¿5=а/а0, ~хр=Ьт/(тка0), т~=тп/(2кМ)<<1.
Из (5) и способа введения новых обобщенных координат следует, что на основных движениях
£ = £ = 0, в = в = 0, 5 = У = 0.
"г г "г г
Уравнения (10), (11) линейны и стационарны, поэтому устойчивость основных движений роторной системы можно исследовать по обобщенным комплексным координатам в,, в2, э,, И, с применением теории устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Заметим, что в уравнения входят девять независимых безразмерных параметров 3, С, т, со, кф Ьх, Ь, р.
Оценка величин безразмерных параметров
С, 3, С, т, ~х, кх(9, Ьх, Ь, р
Параметр 5 соответствует угловой скорости вращения ротора и теоретически может меняться в пределах от 0 до +<». Нужно определить такие области изменения 5, в пределах которых будут устойчивыми основные движения.
Для реальных роторных машин масса КГ намного меньше массы ротора с корпусом, поэтому т<<1. Параметр 3 равен отношению расстояния от центра масс составного ротора до плоскости дисбаланса к радиусу инерции составного ротора отноксительно его поперечной центральной оси, поэтому 5>0.
Параметр Т характеризует жесткость опор. Для реальных ркоторных машин он эквивалентен 1. Параметр кх(9 характеризует расположение опор относительно центра масс системы и может изменяться в пределах от -1 до 1. При почти симметричных опоркахкон эквивалентен 0.
Параметры ~х, Ь, соответственно, характеризуют силы вязкого сопротивления в опорах и силы сопротивления относительному движению КГ. Для реальных роторных машин т<<Ьх<<1, Ь~1.
Параметрыр и С подробно описаны в [21]: р зависит от расположения КГ в АБ и принимает значения в пределах от 0 до 1; С характеризует вид составного ротора (при С<1 ротор длинный, при С«1 - сферический, при С>1 - короткий). Будем считать, что С~1.
Окончательно имеем такие оценки величин безразмерных параметров:
сс е(0, +»), т << 1, ¿1 > 0, С, кв, Ь ~ 1, р е[0,1], т << Ъх << \ кхр е[-1;1] (кхр ~ 0).
Исследование устойчивости основных движений
и характера переходных процессов
Характеристическое уравнение системы (10), (11) имеет вид
А2(А + Ь)2 XX -1(1 + Ь)( ХУ + ХУ) • т +
+(1 - р2)УУ • т2 = 0,
(12)
где
X = (Л2-1 + 1ЪХЛ)\ - [с1Л2 - (¿а - кхв)(1 - 1ЪХЛ)]\ У = Л4Л1, Л = -сС + ¡X, Л1 = Л2(1 + а2) + ЛС5 - а1 + ах1ЪхК, = а ^2(Икхв + квв'
Заметим, что мнимые части корней характеристического уравнения определяют частоту колебаний в переходных процессах, а их продолжительность зависит от величин отрицательных действительных частей этих корней - чем они меньше, тем меньше продолжительность.
Разложение корней уравнения (12) по степеням малых параметров 0<т<<тх<<1 имеет вид
[(1 - С + а2)сс2 - ¿о2 - кв + 2Жхв]ё4
Я,2 =------^^-^-х
(сс2 - 1)[сс2(1 - С) - кв] - к
хв
1 ± р
т + 0(т2), Х34= -Ь + 0(т),
% = -¡(СО +Л50)) -
'(1+кв)( л|)2+ +сс С Л50)- 2(кв- к^)
Л58
I2Л(0)[( Л|)2-Л|8ас-в +Л +[(Л50))2- 1](2Л50)- Ссс)
+0% ^ (13)
где ЛреЯ - корни уравнения
(Л2 -1)(Л2 +ссСОЛ- кв) -к°хвр = 0. (14)
В случае симметричного расположения опор (ткхвт0) корни уравнения (14) находятся аналитически. При этом корни (13) принимают вид:
Х1,2 = -
(1 - С+¿о2)СС2 - а2 - кв о4 1 ± р
(сс2-1)[сС2(1 - С) - кв] < Ь Х34 =-Ь + О (т),
-т + О (т2) ,
1 - кя + Со С ~
Х5,6 = - ¡(СО + 1) - в +О°-) Ьх + 0Ф ,
2(1 - кр ±сО С) Х7,8= - ¡(сО С + ^1 Со 2 С2 + 4 кв) / 2 -
(1 + ко в) ко в
+ 0^Л
(°с0 (4СО С ± 3^1 со 2С2 + 4кв) Эти же корни в размерном виде
со4 М (а - сг+ ма>2 - кв- а2кх Х1,2 = --=-:-2-х
2\ кх (с2м - кх)[с2(а - Сг) - кв]
1 ± р 2 (т V ^ х—— т 2п + О Ь \
г
т Ьг М I тп К = —-Л— + 01 —
I М2 ) ■
I м I М Л
Х5,6 =- ' у + 11 +
Ьх с + (Акх - Мкв)/(4Мк~хСг) +01^
24Мкх с ± (Акх - Мкв)/ (^Мк^С) I,
С М !—-,-7
Я78= -1 ^ МС Ч® + 4к,А/С,2) -
2 А V кх (кхА/Сг2 + к,М/С,2)к, / кх Ьх и(4и ±Зд/®2+ 4к,А/С2) д/М^
■ + о I ■
I кхМ /
А9д5-
Анализ устойчивости.
Корни Язд2 имеют отрицательную действительную часть, а следовательно, соответствующие им частные решения асимптотически устойчивы при любых . Эти корни определяют быстрые переходные процессы, при которых практически прекращаются движения КГ относительно ротора и устанавливается движение ротора, соответствующее суммарному дисбалансу КГ и дисбаланса ротора. Скорость протекания быстрых переходных процессов зависит от параметров закрепления корпуса, массо-инерционных характеристик составного ротора, его скорости вращения, положения плоскости балансировки, сил вязкого сопротивления, действующих на КГ, и не зависит от уравновешиваемого дисбаланса, количества и положений КГ. Поэтому возможна отдельная оптимизация этих параметров роторной машины с целью скорейшего наступления ее автобалансировки.
Корни А(12 устойчивы при выполнении условия
{(с2- 1)[сс2(1 - С) - к,] - к, X
х[(1 - С + й2)сС2- й2- к,+ 2йкхв] > 0.
В размерном виде условие (15) имеет вид {(Ми2- кх)[с2(А - С,) - к,] - кхУ х
(15)
х[(А - С,+ Мй2)ю2- й\- к,+ 2йкх ,] > 0. (16)
Условие (16), с точностью до обозначений, получено и исследовано в роботе [5] при помощи эмпирического критерия наступления автобалансировки, и в роботе [14] - при помощи энергетического метода, основанного на применении функции Гамильтона. Условие (16) получено для многошарового, многомаятникового или многороликового АБ и ротора, заключенного в упруго-вязко закрепленный корпус, а условия в работах [5, 14] получены для любого типа АБ и ротора на упругих опорах.
Корни А^ соответствуют медленным переходным процессам - реакции КГ на движение ротора, установившееся после затухания быстрых переходных процессов. КГ медленно стремятся к автобалансировочному положению. При чрезмерном количестве КГ существует семья установившихся движений и КГ стремятся к одному из движений этой семьи. Скорость протекания медленных переходных процессов зависит уже и от уравновешиваемого дисбаланса, количества КГ и их текущих положений, но не зависит от сил сопротивления опор.
Полученные разложения корней позволяют оптимизировать параметры роторной машины из
условия наименьшего времени наступления автобалансировки.
Результаты работ [5,14] позволяют сделать следующие заключения об условиях наступления автобалансировки.
а) Для длинного составное о р отора (С<А): • если кх,ф0 или кх,=0, сот1=^кх/МФют2=^к,/(А-С) и ¿ф0, то машина имеет три разные резонансные частоты
Ссч1+Ссч2±,
К2Ч1-02+
+4кх2в /[М(А - Сг)]
•/2,
с2- ^кхй2- 2кх,й + к, / у1 А - С, + Мй2,
причем с1<с2<сз и автобалансировка наступает при ИЁ(с1,02)и(0„ю);
• если кх,=0, юсч1^юсч2 и ¿=0, то резонансная частота ш2 совпадает с при юсч1>юсч2 или с ш3 при шсч1<шсч2 и автобалансировка, соответственно, наступает на скоростях юеС^го) или юе(ю3,<»);
• если кх,=0 и юсч1=юсч2, то все три резонансные частоты совпадают - ю1,2,3=юс„1 и автобалансировка наступает на скоростях юеС^го).
Для обеспечения наступления автобалансировки на как можно меньших скоростях вращения ротора нужно уменьшать жесткость закрепления корпуса (кх,к,).
б) Для сферического составного ротора (СГ=А):
• если к,^кх,й, то машина имеет две разные резонансные скорости
®1->/(кх - кх2в / к в)/ М,
®2^(кхй2- 2кх,й + к,) /(Мй2),
причем ю!<ю2 и автобалансировка наступает на скоростях юб(ю1,ю2) (если ¿^0, то ю2^+да). При этом сферический ротор целесообразно уравновешивать в плоскости, проходящей через центр масс ротора и корпуса. если к,=кх,й, то резонансные скорости одинаковы (с1=с2) и область автобалансировки вырождается в точку.
в) Для короткого составного ротора (СГ>А): если ¿2>(С—А)/М, то у машины существует единственная резонансная частота
<1 - к, /(С, - А) +
П
К2Ч1 + к, /(С, - А)]2 --4кх2, /[М(С, - А)]
/2
и автобалансирвка наступает на скоростях юе(ю1,да);
если ¿2<(С—А)/М, то у машины появляется дополнительная резонансная частота
2- ^(кхй2- 2кх,й + к,) / (Мй2 - С, + А), со2 > с1
и автобалансировка наступает на скоростях юе(ю!,ю2).
ш1 -
Для обеспечения наступления автобалансировки на как можно меньших скоростях вращения ротора нужно уменьшать кх и увеличивать к,, кх,.
Выводы
1. Корпус и ротор ведут себя как условный составной ротор - более массивный и удлиненный, чем сам ротор, и характеристики этого составного ротора влияют на процесс автобалансировки.
2. Если составной ротор длинный, то у машины существуют три резонансные скорости вращения ротора и автобалансировка наступает между первой и второй и над третьей скоростью. Если составной ротор сферический или короткий, то у машины существует одна или две резонансные скорости вращения ротора. При этом в случае двух резонансных скоростей автобалансировка наступает между этими скоростями, а в случае одной резонансной скорости автобалансировка наступает над этой скоростью для короткого составного ротора, и никогда не наступает для сферического составного ротора.
3. Переходные процессы, характеризующие наступление автобалансировки, делятся на: быстрые, при которых прекращаются быстрые движения КГ относительно ротора и устанавливается устойчивое движение ротора, соответствующее текущему суммарному дисбалансу; медленные, при которых КГ приходят в автобалансировочное положение, медленно двигаясь относительно ротора.
4. Скорость протекания быстрых переходных процессов зависит от параметров закрепления корпуса, массо-инерционных характеристик составного ротора, скорости вращения ротора, положения плоскости балансировки, сил вязкого сопротивления, действующих на КГ, и не зависит от уравновешиваемого дисбаланса, количества и положений КГ.
5. Скорость протекания медленных переходных процессов дополнительно зависит от уравновешиваемого дисбаланса, количества и положений КГ, но не зависит от сил сопротивления опор.
Работа выполнена в соответствии с госбюджетной темой Министерства образования и науки Украины № 0105и001506, период выполнения 2012-2014 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Thearle E.L. Automatic dynamic balancers. P. 1. Leblanc balancers // Machine Design. - 1950. - V. 22. - № 9. - P. 119-124.
2. Thearle E.L. Automatic dynamic balancers. P. 2. Ring, pendulum and ball balancers // Machine Design. - 1950. - V. 22. - № 10. -P. 103-106.
3. Ларри Дж. Автоматическое балансирование вращающихся масс // Сб. переводов и обзоров периодической иностранной литературы. - 1955. - Т. 23. - № 5. - С. 14-19.
4. Гусаров А.А. Автобалансирующие устройства прямого действия. - М.: Наука, 2002. -119 с.
5. Фшмошхш Г.Б. Зрiвноваження i вiброзахист роторiв автобалансирами з твердими коригувальними вантажами. - Шрово-град: КНТУ, 2004. - 352 с.
6. Нестеренко В.П. Автоматическая балансировка роторов приборов и машин со многими степенями свободы. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1985. - 84 с.
7. Нестеренко В.П. Теория и практика устройств автоматической балансировки роторов: автореф дис. ... д-ра техн. наук. - Новосибирск, 1990. - 34 с.
8. Sperling L., Merten F., Duckstein H. Self-synchronization and automatic balancing in rotor dynamics // Int. J. Rotating Machinery. - 2000. - V. 6. - № 4. - P. 275-285.
9. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Two-plain automatic balancing // Machine Dynamics Problems. - 2001. - V. 25. - № 3/4. -P. 139-152.
10. Ryzhik B., Sperling L., Duckstein H. Display of the Sommerfeld-Effect in a Rigid Rotor One-plain Autobalancing Device // Advanced Problems in Mechanics: Proc. of XXX Summer School. -St. Peterburg, 2002. - P. 554-563.
11. Simulation of two-plain automatic balancing of a rigid rotor / L. Sperling, B. Ryzhik, Ch. Linz, H. Duckstein // Mathematics and Computers in Simulation. - 2002. - V. 58. - № 4-6, -P. 351-365.
12. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-Plain Auto-Balancing of Rigid Rotors // Technische Mechanik. - 2004. - V. 24. -№ 1. - P. 1-24.
13. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-Plain Auto-Balancing of Anisotropically Supported Rigid Rotors // Technische Mechanik. - 2004. - V. 24. - № 1. - P. 37-50.
14. Фшмошхша I.I. Застосування функцП Гам^ьтона до визна-чення умов зрiвноваження автобалансирами ротора, здй-снюючого просторовий рух // Збiрник наукових праць КНТУ. - 2007. - Вип. № 18. - С. 34-41.
15. Automatic two-plane balancing for rigid rotors / D.J. Rodrigues, A.R. Champneys, M.I. Friswell, R.E. Wilson // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2008. - V. 43. - Iss. 6. -P. 527-541.
16. Lu Chung-Jen, Wang Ming-Cheng, Huang Shih-Hsuan. Analytical study of the stability of a two-ball automatic balancer // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2009. - V. 23. -Iss. 3. - P. 884-896.
17. Bolton J.N. Single- and dual-plane automatic balancing of an ela-sticallymounted cylindrical rotor with considerations of coulomb friction and gravity: Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy in Engineering Mechanics. - Blacksburg, Virginia, 2010.- 317 p.
18. Two-plane automatic balancing: A symmetry breaking analysis / D.J. Rodrigues, A.R. Champneys, M.I. Friswell, R.E. Wilson // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2011. -V. 46.- Iss. 9. - P. 1139-1154.
19. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. - М.: Наука, 1971. - 896 с.
20. Фшмошхш Г.Б., Гончаров В.В. Методика складання диферен-щальних рiвнянь руху роторних систем з автобалансирами i ii застосування до системи ротор - масивний корпус - автобалансир // Збiрник наукових праць КНТУ. - 2009. - Вип. 22. -С. 357-363.
21. Филимонихин Г.Б., Гончаров В.В. Уравновешивание автобалансиром ротора в упруго-вязко закрепленном корпусе с неподвижной точкой // Известия Томского политехнического университета. - 2014. - Т. 324. - № 2. - С. 71-77.
Поступила 21.05.2014 г.
UDC 62-752+62-755
ROTOR BALANCING BY AUTO-BALANCER IN VISCO-ELASTIC FIXED BED BEING IN SPATIAL MOTION
Gennadiy B. Filimonikhin,
Dr. Sc., Kirovograd National Technical University, 8, University Avenue, Kirovograd, 25006, Ukraine. E-mail: filimonikhin@yandex.ua
Valery V. Goncharov,
Cand. Sc., Kirovograd National Technical University, 8, University Avenue, Kirovograd, 25006, Ukraine. E-mail: matkora@yandex.ru.
The relevance of the study is caused by the need to research rotor balancing by auto-balancers.
The main aim of the study is to evaluate the transients during static balancing rotor with many corrective weights by auto-balancer.
The rotor is placed in heavy visco-elastic fixed bed being in spatial motion; the rotor can spin there.
The methods used in the study: theory of stability of mechanical system steady motions; mathematical theory of motion stability by
Lyapunov.
The results: the authors have determined the conditions of auto-balance occurring and have found out that:
• bed and rotor form conventionally the composite rotor, more massive and long; its characteristics influence auto-balancing;
• transients that characterize auto-balancing are divided into: fast - when corrective weights motion relative to rotor stop and rotor motion corresponding to the total imbalance of corrective weights and rotor imbalance is set; slow - when corrective weights come in auto-balancing position moving relative to rotor;
• flow rate of the fast transients depends on bed fixing parameters, inertia characteristics of the composite rotor, rotation speed, balancing plane position, viscous resistance forces influencing the corrective weights; it does not depend on rotor imbalance, quantity and positions of corrective weights;
• flow rate of slow transients depends additionally on rotor imbalance, number and positions of corrective weights, but it does not depend on resistance forces of supports.
Key words:
Rotor, imbalance, auto-balancer, main motion, stability of motion.
It is the taxpayer-funded research of the Ministry of Education and Science of the Ukraine № 0105U001506,2012-2014.
REFERENCES
1. Thearle E.L. Automatic dynamic balancers. P. 1. Leblanc balancers. Machine Design, 1950, vol. 22, no 9, pp. 119-124.
2. Thearle E.L. Automatic dynamic balancers. P. 2. Ring, pendulum and ball balancers. Machine Design, 1950, vol. 22, no. 10, pp. 103-106.
3. Larri Dzh. Avtomaticheskoe balansirovanie vrashchay-ushchikhsya mass [Automatic balancing of rotating masses]. Sbornik perevodov i obzorov periodicheskoy inostrannoy literatury [Translations and reviews of periodic foreign literature]. Moscow, 1955, vol. 23, no 5, pp. 14-19.
4. Gusarov A.A. Avtobalansiruyushchie ustroystva pryamogo dey-stviya [Autobalancing direct action devices]. Moscow, Nauka Publ., 2002. 119 p.
5. Filimonikhin G.B. Zrivnovazhennya i vibrozakhyst rotoriv avto-balansirami z tverdymi koriguvalnymi vantazhami [Balancing and vibration protection of rotors by avtobalancers with solid corrective weights]. Kirovograd, KNTU Publ., 2004. 352 p.
6. Nesterenko V.P. Avtomaticheskaya balansirovka rotorov priborov i mashin so mnogimi stepenyami svobody [Automatic balancing of rotors of the devices and machines with many degrees of freedom]. Tomsk, Tomsk University Press, 1985. 84 p.
7. Nesterenko V.P. Teoriya ipraktika ustroystv avtomaticheskoy ba-lansirovki rotorov. Avtoreferat Dokt. Dis. [Theory and practice of devices of automatic rotors balancing. Dr. Diss. Abstract]. Novosibirsk, 1990. 34 p.
8. Sperling L., Merten F., Duckstein H. Self-synchronization and automatic balancing in rotor dynamics. Int. J. Rotating Machinery, 2000, vol. 6, no. 4, pp. 275-285.
9. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Two-plain automatic balancing. Machine Dynamics Problems, 2001, vol. 25, no. 3/4, pp. 139-152.
10. Ryzhik B., Sperling L., Duckstein H. Display of the Sommerfeld-Effect in a Rigid Rotor One-plain Autobalancing Device. Proc. of XXX Summer School «Advanced Problems in Mechanics». St. Peterburg, 2002. pp. 554-563.
11. Sperling L., Ryzhik B., Linz Ch., Duckstein H. Simulation of two-plain automatic balancing of a rigid rotor. Mathematics and Computers in Simulation, 2002, vol. 58, no. 4-6, pp. 351-365.
12. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-Plain Auto-Balancing of Rigid Rotors. Technische Mechanik, 2004, vol. 24, no. 1, pp. 1-24.
13. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-Plain Auto-Balancing of Anisotropically Supported Rigid Rotors. Technische Mechanik, 2004, vol. 24, no. 1, pp. 37-50.
14. Filimonikhina I.I. Zastosuvannya funktsii Gamiltona do viz-nachennya umov zrivnovazhennya avtobalansiramy rotora, zdi-ysnyuyuchogo prostorovy rukh [Applying Hamilton function to determine the conditions of rotor balancing by avtobalancers, making spatial movement]. Zbirnyk naukovykhprats KNTU, 2007, Iss. 18, pp. 34-41.
15. Rodrigues D.J., Champneys A.R., Friswell M.I., Wilson R.E. Automatic two-plane balancing for rigid rotors. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2008, vol. 43, Iss. 6, pp. 527-541.
16. Lu Chung-Jen, Wang Ming-Cheng, Huang Shih-Hsuan. Analytical study of the stability of a two-ball automatic balancer. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, vol. 23, Iss. 3, pp. 884-896.
17. Bolton J.N. Single- and dual-plane automatic balancing of an ela-sticallymounted cylindrical rotor with considerations of coulomb friction and gravity. Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy in Engineering Mechanics. Blacksburg, Virginia, 2010. 317 p.
18. Rodrigues D.J., Champneys A.R., Friswell M.I., Wilson R.E. Two-plane automatic balancing: A symmetry breaking analysis. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, vol. 46, Iss. 9, pp. 1139-1154.
19. Blekhman I.I. Sinkhronizatsiya dinamicheskikh sistem [The sync of dynamic systems]. Moscow, Nauka Publ., 1971.896 p.
20. Filimonikhin G.B., Goncharov V.V. Metodika skladannya dyfe-rentsialnykh rivnyan rukhu rotornykh sistem z avtobalansirami i
zastosuvannya do sistemy rotor - masyvny korpus - avtobalansir [Methodology of compiling differential equations of rotor system motion with avtobalancers and its application to rotor systems -a massive building - avtobalancer]. Zbirnik naukovykh prats KNTU, 2009, Iss. 22, pp. 357-363.
21. Filimonikhin G.B., Goncharov V.V. Uravnoveshivanie avtobalan-sirom rotora v uprugo-vyazko zakreplennom korpuse s nepo-dvizhnoy tochkoy [Rotor balancing in visco-elastic fixed casing with fixed point using autobalancer]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2014, vol. 324, no 2, pp. 71-77.
Received: 21 May 2014.
