Уравнения вращательно-симметрического движения жидкости в лагранжевых координатах и инвариантные решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95+532

Уравнения вращательно-симметрического движения жидкости в лагранжевых координатах и инвариантные решения

Александр А.Родионов*

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок 50/44, Красноярск, 660036,

Россия

Получена 18.05.2009, окончательный вариант 25.07.2009, принята к печати 10.09.2009 Представлены групповые свойства уравнений вращательно-симметричного движения в лагранжевых координатах. Приведены примеры новых решений этих уравнений. Дана физическая интерпретация решений.

Ключевые слова: групповой анализ, алгебра Ли операторов, инвариантные решения.

Уравнения движения и основная алгебра Ли операторов в эйлеровых координатах

В пространстве переменных х = (х, у, г, Ъ) в обозначениях, принятых в гидродинамике, уравнения идеальной несжимаемой жидкости имеют форму

¿и 1 „

-77 + - VxP = 0, а1ужи = 0, (1)

аъ р

где и = (п1,п<2,из) — вектор скорости , р — давление (постоянная плотность р считается равной единице).

На основе метода группового анализа [1] наиболее широкая группа, допускаемая системой (1), была вычислена в работе [2]. Алгебра Ли основной группы для (1) может быть представлена в виде прямой суммы конечномерной алгебры Ьб и бесконечномерного идеала Ьто операторов:

Ь6 : XI = ди Х2 = х1дх* + и*ди* + 2рдр, Х3 = Ъдг - и1ди, - 2рдр,

Хг+о+1 = хгдх! - хдхх€ + игди - и0ди (г < з, г,з = 1, 2, 3),

Ьто : X0(/с) = /(ъ)др, X/) = /к(ъ)дх* + /к(1)диь - хк/к (ъ)дх*,

здесь к = 1, 2, 3, суммирования по индексу к нет.

Пусть г, в, г — цилиндрические координаты, и,ги,гю — проекции вектора скорости и на эти оси, р — давление. Движение является вращательно-симметричным, если в цилиндрической системе координат г, в, г функции и, V, т,р не зависят от в. Если же V = 0, то движение называется осесимметричным. Уравнения вращательно-симметричного движения идеальной жидкости имеют вид

аи V2 аV у/и ¿т

"77--+ рг =0,-77 + -=0,-77 + рг = 0,

аъ г аъ г аъ

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

ди и дт ¿ 8 8 8

дг г дх ' ¿Ь 81 дг дх Система (2) получается из общей трехмерной системы "редукцией" по группе поворотов вокруг оси Однако основная алгебра фактор-системы (каковой и является система (2)) может оказаться шире основной алгебры нередуцированной системы. Поэтому полную основную алгебру фактор-системы, вообще говоря, необходимо вычислять заново.

Теорема 1. Уравнения (2) допускают бесконечномерную группу преобразований. Базис алгебры Ли операторов имеет вид [3]

Х1 = дг, Х2 =Ьдг + гдг + хдг, Хз = -г^уд^ + Г~2 др,

Х4 = 2Ьдг + гдг + хдг — иди — уду — — 2рдр, (3)

Х5(/) = / (Ь)дг + /'(Ь)ди — / "(г)хдр, Хб(д) = я(Ь)др,

где /(Ь),д(Ь) € С— произвольные функции.

Отметим, что операторы Х\, Х^, Х4, Х§(/),Хб(д) из (3) "индуцированы" соответствующими операторами из основной алгебры трехмерных уравнений Эйлера, в то время как оператор Хз не имеет аналога. Оператор Хз связан с инвариантностью системы (2) относительно преобразований

£ ' = Ь, г' = г, х' = х, и' = и, у' = ±(у2 — 2аг-2)1/2, т' = т, р' = р + аг-2 (4)

с произвольным параметром а. Таким образом, алгебра операторов системы уравнений (2) вращательно-симметричного движения оказалась шире "индуцированной" из основной алгебры трехмерных уравнений Эйлера.

Замечание 1. Замечание касается физической интерпретации преобразований (4), определяемых оператором Хз. Изменение тангенциальной скорости V на V' = ±%/у2 — 2аг-2, согласно первому уравнению (2), приводит к изменению ускорения вдоль радиуса г (центростремительное ускорение). Равновесие жидкой частицы не будет нарушено, если изменения радиального ускорения будут компенсированы изменениями давления в жидкости. Преобразования (4) показывают, какие изменения тангенциальной скорости у и давления р допускаются.

Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции начального распределения момента импульса

Групповая классификация в общем случае

Введем лагранжевые координаты с помощью решения задачи Коши:

¿Ь = и(г,х,Ь), ¿Ь = т(г,х,Ь), г|г=о = п х|е=о = С. (5)

Тогда второе уравнение системы (2) интегрируется:

гу = пу0, (6)

где ) — значение V при Ь = 0. Равенство (6) выражает закон сохранения момента

импульса жидкой частицы относительно оси г во вращательно-симметричном движении. Система (2) в лагранжевых координатах сводится к системе трех неизвестных функций

( V Ы) А + + 0 ( V (п,С ) А + + 0 ( )

Гп I ГЫ--§— 1+ гпгы + Рп = 0, гс I ги--3— I + гсгы + рс = 0, г(гГ1 г^ - гсгГ1) = ц.

(7)

В уравнениях (7) для удобства записи введено обозначение V(п,С) = С)■

Лемма 1. Ядро алгебры Ли для системы (7) определяется бесконечномерным базисом операторов:

Ьо : Уг = ди 15Ы= дг(Ь)дх - д'((1)гдр , У6(д2) = д2(г)Зр , (8)

где дг(£),до(£) _ произвольные функции времени Ь.

Доказательство. Инфинитезимальный оператор для системы (7) будем искать в виде

У = мЧ + мЧ + И3д( + V1дг + »2дг + у3др ,

где мг, V1 (г = 1, 2, 3) — функции переменных Ь, ц, г, г,р. После продолжения оператора У на вторые производные из критерия инвариантности многообразия, задаваемого системой (7), У((7))|(7) = 0, получаем представления для координат оператора У:

Мг = Сг + С21, м2 = м2(п,С), м§ = М§(п,С),

V1 = С§г, V2 = С§г + дг(Ь), V3 = 2(С§ - Со)р + С4 - д'((Ь)г + до(Ь) (9)

с произвольными функциями дг, д2 € Сто; Сг, Со, С§, С4 — постоянные. Кроме того, функции м2, М§ являются решениями двух определяющих уравнений

(Пм2)п + (ПМ3)С = ЗСзП, М2Уп + = (4Сз - 2C2)V - 2С4. (10)

Здесь функция V определена в уравнениях (7).

При произвольной (нефиксированной) функции V(п,С) система (10) совместна, только если м2 = М§ = 0, С2 = С3 = С4 = 0. Обращаясь к координатам (9) оператора У, получим базис основной алгебры Ьо системы (7). Оператор У г определяет сдвиг по времени Ь, оператор Уб(дг) определяет сдвиг по оси г, зависящий от дг(Ь), и сдвиг давления р, зависящего от дг(Ь) и г, а оператор Ув(д2) определяет сдвиг, зависящий от д2(Ь). П

Далее решается задача групповой классификации по отношению к произвольному элементу — функции V (п, С)■

Лемма 2. Для системы уравнений (7) преобразования эквивалентности состоят из групповых преобразований, соответствующих ядру Ьо операторов (8), и из преобразований

П = а§а(п, С), _ = а,зв(п,С), _ = а-Ч, _ = а§г,

_ _ (11) _ = аз г, р = а§а2р + а4а3 2г 2, V = а3а2V (п,_) - 2а4

с произвольными параметрами а2 > 0, аз > 0, а4. Функции а, в удовлетворяют уравнению неразрывности апв^ - а^вп = п/а, в остальном они также произвольны.

Доказательство. Преобразования эквивалентности (не меняющие структуру уравнений (7)) находятся из определяющих уравнений при действии оператором Уэкв = У + аду на уравнения (7) и на требование дУ/дЬ = 0. Функция V выступает как независимая переменная. Тогда из определяющих уравнений (10) остается только первое уравнение, а координата а оператора Уэкв будет а = (4С3 — 2С2)У — 2С4. К базису операторов основной алгебры Ли Ьо (8) добавляются операторы

экв У 2

: Ьд1 — 2рдр — 2Уду, У3экв = пдп + Сдс + гдг + гдг + 2рдр + 4Уду,

У4экв = г-2др — 2ду, уэкв = п-1^ дг, — П-1^ дС,

где 1р(п, С) — произвольная гладкая функция. Преобразования эквивалентности, соответствующие ядру Ьо, определены в лемме 1.

Преобразования эквивалентности, соответствующие оператору У2экв, определяют растяжение по Ь, р, V, на операторе У3экв получаем растяжения по п, С,г, Р, V, оператор У4экв дает сдвиг для V и сдвиг, зависящий от г, для р. Индексы операторов соответствуют индексам параметров 0,2,0,3,0,4.

Докажем, что преобразования п = а(пХ), С = в(пХ) с условием являются преобразованиями эквивалентности для уравнений (7), если апвс — аСвп = п/а.

При переходе от переменных (п, С) к (С, С) производные преобразуются по правилу

д

дп

д

д

дп = ап дС + вп дС , я? = а< дС+ в< ^С .

д

Ж

д

дС

д

Уравнение неразрывности системы (7) после замены переменных преобразуется к виду г(гщг^—г^г^)(апвс —асвп) = а(апвс —асвп) или г(гщг^—г^гщ) = С. Таким образом, уравнение неразрывности инвариантно относительно данной замены.

Первое и второе уравнения системы (7) после замены переменных имеют следующий вид:

V(пХ) +

г и--5— ) + Zr|Ztt + р;

+ вп

г с; [г и

V (пХ)

+ z;Ztt + р;

0,

ас

, V(пХ) +

Г; [ги--3- + Z;Ztt + р;

+ в с

, V(п,С) +

гс г«--^ + zcztt + р;

0.

Умножим первое уравнение на в с, второе — на вп и вычтем из первого второе. В результате получим

V (пХ) ^

(ап вс — а^ вп)

Г;\ га--Г3— I + Zf|Ztt + р;

0.

Умножим второе уравнение на ап, первое — на ас и вычтем из второго первое:

(ап вс — ас вп)

, V(пХ) . + +

г; г и--3- + Zr|Ztt + р;

Для замены п = а(п, С), С = в(п, С) якобиан перехода отличен от нуля апвс — асвп = п/а = 0, следовательно, замена обратима. Функция V(п, С) преобразуется в некоторую функцию С), а структура уравнений сохранится. Значит, указанная замена переменных является преобразованием эквивалентности для уравнений (7). □

а

г

3

г

0

Теорема 2. Для системы уравнений (7) имеют место следующие случаи классификации по функции начального распределения момента импульса V(/, Z) [3] ■

1) если V(r,Z) — произвольная функция, то базис ядра Lo определяется операторами (8);

2) если V = 0 (или V = const), то происходит 'расширение основной алгебры Lo операторами

ndv + Сд^ + rdr + zdz + 2pdp, tdt — 2pdp, r-1(Vzdn — Vndz) (12)

с произвольной функцией ip(r, Z) G CTO;

3) при Vn = 0 или Vz = 0 : если представителем класса функций выбрать функцию V(r, Z) = Г, то базис ядра Lo расширяется операторами

tdt — 2/dn + 4Zdz — 2pdp, 2/dn — 5Zdz + rdr + zdz + 2pdp,

—2dv + (2Z/r) dz + (1/r2) dp, b(r)dz; если представителем выбрать функцию V(/, Z) = Z, то базис ядра Lo расширяется операторами

tdt + rdn — 2Zdz — 2pdp, —(//2) dv + 4Zdz + rdr + zdz + 2pdp,

—2dz + (1/r2) dp, (f (Z)/r) dn.

Доказательство. Случай, когда V(/, Z) - произвольная функция, рассмотрен в лемме 1. Условие V = 0 является классифицирующим, или в силу (11) V = const. В этом случае согласно (9), (10) получаем операторы (12).

Если Vn = 0 или Vz = 0, то система (10) интегрируется в квадратурах, содержащих одну произвольную функцию от V. Поэтому для заданной V (/, Z) выписывается базис операторов алгебры Ли, расширяющей Lo:

Y = tdt + м2 dn + V3dz — 2pdp, Y3 = м2 dn + + rdr + zdz + 2pdp,

Y4 = M2dn + M3dz + r2 dp, П(ф) = 1 фz(V)dn — 1 Фп(V)dz, (13)

ф(У) — произвольная гладкая функция. Функции м2, M3 находятся из (10), где надо положить C2 = 1, C3 = C4 =0 для Y2; C2 =0, C3 = 1, C4 = 0 для Y3; C2 = C3 = 0, C4 = 1 для Y4; C2 = C3 = C4 = 0 для оператора Y*. Например, если V = V(/), Vn = 0, то операторы (13) специализируются следующим образом:

4V

Y3 = VrBn +

Vn

3 rU,4.

Zdz + rdr + zdz +2pdp, (14)

Ъ = ^ - ^ + 2 Щ — ^ Ъ = -V2; + 2 \& + ^ Ъ = д(п)дс

с произвольной функцией д(п) € С

В лемме 2 показано, что замена переменных ц = а(п^), С = ) с требованием

апвс — а^вп = п/а = 0 является преобразованием эквивалентности для уравнений (7). Структура уравнений сохраняется, а функция V(п, Z) преобразуется в некоторую функцию V(п, Z). Сделаем замену вида п = а(пХ) = V(п, Z), ц = в(пХ). Функцию в найдем из требования V(Упв^ — V(вп) = п. Функция V(п, Z) преобразуется в функцию V(п , С) = С, которую можно считать представителем всех функций с условием У^! =0 или ^ = 0. Базисные операторы (14) тогда существенно упрощаются.

В качестве представителя можно было бы выбрать функцию V (п, С) = С, если сделать замену вида п = а(п, Z), ц = в(п, Z) = V(п, Z). п

Инвариантность начальных условий

Потребуем, чтобы наряду с инвариантностью уравнений (7) относительно допустимых групповых преобразований были инвариантны и начальные условия:

^о : г = п, % = С при Ь = 0. (15)

Лемма 3. Ядро алгебры Ли операторов для уравнений (7) и начальных условий (15) определяется бесконечномерным базисом операторов

¿0 : У50(д1)= д1(г)дг - д'1(Ь)гдр, У60(92) = 92(Ь)др, (16)

где 91(Ь), 92(1) ~ произвольные гладкие функции, 91(0) = 0.

Доказательство. Инфинитезимальный оператор У0 ищем в том же виде, как в лемме 1. Из критерия инвариантности многообразия, задаваемого (7) и (15), следует, что У0(^0)|_Ро = 0. Откуда находим координаты (9) и получаем следующее представление ин-финитезимального оператора:

У0 = С2Ьдг + Сзпдп + (С3( + 91(0)) дс + С3гдг + (С3г + 91(1)) дх+

+ {^2(Сз - С2)р + С± - 91'(Ь)г + 92^ др. (17)

Первое из определяющих уравнений в (10) будет выполнено тождественно, а классифицирующее уравнение примет вид

СзпУг; + (СзС + 91(0)) ус = (4Сз - 2С2)У - 2СА. (18)

Обозначения С^, г = 2, 3,4, 91 (Ь), 92(1) те же самые, что и в (9).

Предположение произвольности выбора функции У(п,С) реализуется в (18), если С2 = С3 = С4 = 91(0) = 0. Тем самым определяется базис ядра алгебры Ли допустимых операторов (16) для многообразия (7), (15). □

Лемма 4. Для системы (7), (15) преобразования эквивалентности состоят из групповых преобразований, соответствующих ядру операторов (16), и из преобразований

П = азп, ( = аз (£ + 01), Ь = а-1Ь, Г= азг,

г = аз(% + 01), р = аз,а2р + 04а-2г-2, У = аза2У(п,С) - 2а4 (19)

с произвольными постоянными а2 > 0, аз > 0, а4, а1.

Доказательство. Так же как и в лемме 2, преобразования эквивалентности, не меняющие структуру (7), (15), находятся из определяющих уравнений при действии оператором Уэкв = У0 + аду на (7), (15) и на требование дУ/дЬ = 0. Функция У выступает как независимая переменная. Из определяющих уравнений получаем а = (4Сз - 2С2)У - 2С4. К базису операторов алгебры Ли ¿0 (16) добавляются операторы

У2экв = Ьдг - 2рдр - 2Уду, Узэкв = пдп + (дс + гдг + хдх + 2рдр + 4Уду,

У4экв = г-2др - 2ду, УЭкв = дс + 9(Ь)дг - 9'' (Ь)гдр, (20)

где 9(Ь) — произвольная гладкая функция, 9(0) = 1.

Заметим, что для оператора У'экв из (20) с произвольной функцией д(£), д(0) = 1 найдется оператор У0(д1) из (16) с функцией д^) = 1 — д(£), д\(0) = 0. Поэтому оператор Уэкв из (20) можно заменить оператором У1экв = Уэкв + У5(д1) = + дх.

Преобразования эквивалентности, соответствующие ядру Ь0, аналогичны преобразованиям в лемме 1. Преобразования эквивалентности, соответствующие операторам У2Экв, УЭкв, У4кв, описаны в лемме 2. Оператор у9™ определяет сдвиг по переменным Z, При этом группа эквивалентностей (11) сужается, а именно, нужно положить а(п^) = п, ) =

Z + «1. Тогда п = азп, С = + а1), С = а3(г + 01), остальные переменные преобразуются по тому же самому закону (11). Индексы операторов соответствуют индексам групповых параметров 01,02,03,04.

Нетрудно проверить, что классифицирующее уравнение (18) будет инвариантным относительно преобразований эквивалентности (19), если коэффициенты С2,...,Сд (здесь С5 = д1(0)) преобразуются по закону:

С2 = C2a-4a-2, С4 = С4 — (4Сз — 2сз)о--4 о-2 04,

Сз = Сз0—40-2, С5 = (С5 — Cзal)a-3a-2. (21)

□

Введем обозначения

У0 = дс + Зг, У? = ^ — 2рдр , Уз0 = пдп + Zд( + тдг + хдг + 2рдр , У40 = т-2др . (22)

Теорема 3. Для системы уравнений (7) с учетом инвариантности начальных условий (15) имеют место следующие случаи классификации по функции начального распределения момента импульса V(п, Z)■'

1) если V(п, Z) - произвольная функция, то базис ядра Ь0 определяется операторами (16);

0 0

2) если V = 0 (или V = const), то происходит расширение алгебры L° операторами

vO v° ■

, y2 ,У3 ;

3) если V = ±1щ, то L° 'расширяется операторами У0, 4Y2° + 2У3° Т Yj0;

4) если V = , то L° 'расширяется операторами У° (4 — в)У2° + 2У°;

5) если V = e<Z + F(п), то L° расширяется операторами 2У° — £У°;

6) если V = e<Z + п, то L° расширяется операторами 3У2° + 2Уз°, —еУ4° + 2У°;

7) если V = F('q)exp(eZ), то L° расширяется операторами — еУ§ + 2У° ;

8) если V = (nZ)YG(Z/n), то L° расширяется операторами (2 — 7)У2° + У3°;

9) если V = eln\qZ| + H(Z/'п), то L° расширяется операторами 2У,° + У3° — еУ4,

где g 1 (t),g2(t),F(rq),G(Z/vi),H(Z/v) ~ произвольные функции, j = const; ß = const = 0; £ = {0; ±1}; операторы определены в (16) и (22) [3].

Доказательство. Случай, когда V(q, Z) - произвольная функция, приведен в лемме 3. Согласно преобразованиям эквивалентности (19) первая классифицирующая возможность рассматривается при V = 0 (или V = const). Тогда из (18) следует, что Cj = 0, а (17) определяет систему базисных операторов. Алгебра L° из (16) расширяется операторами У\, У2, Уз из (22).

Другая возможность возникает при V = const. Классификация уравнений (7) относительно функции V(п, Z) свелась к решению классифицирующего уравнения (18). Уравнение (18) решается перебором различных вариантов постоянных C2, C3, Cj, g 1 (0) с использованием преобразований эквивалентности (19) и преобразований коэффициентов (21). □

Инвариантные решения

Приведенные ниже решения являются новыми.

Пример 1. Рассмотрим оператор Уз из (14). Положим У = п4, тогда оператор Уз = пдп + Сд^ +гдг + хдх +2рдр определяет группу растяжений по всем переменным, кроме Ь. Базисные

П г г р

С п'п' п2

уравнений (7) можно искать в виде

I ' I I I

инварианты данного оператора Л = ^ Ь, —,—,—,— { показывают, что инвариантное решение

r = R(t,£)n, z = Z (t,£)n, P = P

n

где £ = z • Из V = n4 и обозначения V = 'r2vo2 найдем начальное распределение азимутальной скорости vo = n- Переходя к новым функциям в уравнениях (7), получаем фактор-систему

R^" - R?) + zZtt + 2P = 0, Re (Rtt - R^ + ZZtt + Pe = 0, £2RRZ - zeR) = Í.

Предположим, что Re = 0, то есть R = R(t), тогда

-£2R2zí =i, Zeztt + Pe = 0, R^Rtt - R^ + zz„ + 2P = 0. (23)

Продифференцируем последнее уравнение системы (23) по £ и, учитывая второе уравнение, исключим Pe• Получим уравнение ZZtte - ZeZtt = 0, которое после умножения на

i Ztt

-¡=2 легко интегрируется -— = t), p(t) - произвольная функция. Итак, Z2 Z

Ztt - v(t)Z = 0. (24)

Из первого уравнения системы (23) имеем Ze = --—2R-2(t), тогда

Z R-2(t) + C (t), (25)

где C(t) - произвольная функция. Подставим (25) в (24): ( -R-2 + C ) - — R-2 + C ) =

V£ Jtt \£ )

0. Так как ц = t), R = R(t), то это уравнение можно расщепить относительно переменной £:

(R-2)tt - ^(t)R-2 =0, Ctt - v(t)C = 0. (26)

В литературе часто встречаются уравнения вида (26) при различных функциях t) [4], например, уравнение Эйри с t) = t, уравнения с t) = tn, уравнения гидродинамики для стоксовых течений и другие. Рассмотрим простейший случай, когда ^ = -а2 < 0. Тогда уравнения системы (26) разрешаются в виде

R-2(t) = Di sin at + D2 cos at, C(t) = Ci sin at + C2 cos at, а = const, (27)

где Ci,C2,DuD2 - произвольные постоянные. Подстановка (27) в (25) дает

Z(t, £) = [üi + D^j sin at + [ü2 + Df) cos at.

Начальные условия r|t=o = r, z|t=o = я и представление r = R(t)r, z = Z(t, S)r определяют R(0) = 1, C(0) = 0, следовательно, C2 =0, D2 = 1.

Из последнего уравнения системы (23) находим функцию P(t,S) =

= ^ (—ZZtt — RRtt + R—2). После подстановки R(t), Z(t, S) получаем

а2 ( 1 \2

P(t, S) = — ( Ci sin at + +- (Di sin at + cos at ) ) +

2 V S )

a2 2 1 —2

+—— (Di sin at + cos at) + 2 (Di sin at + cos at) .

Возвращаясь к исходным переменным S = ^, имеем решение

r = п (Di sin at + cos at) 1/2 , z = (C1r sin at + Z (D1 sin at + cos at)), 2

a2 2

p = — (Cir sin at + +Z (Di sin at + cos at)) +

2 2 2 a2n2 2 Г2 — 2

+—2—(Di sin at + cos at) + — (Di sin at + cos at) .

Ясно, что решение разрушается в момент, когда (Di sin at + cos at) = 0. Это решение "взрывного" типа.

Возьмем ^(t) = 0. Тогда легко увидеть, что решением уравнений (7) являются функции

2

r = nR = ' z = nZ = Z (D1t+1)+C1tn, p = n2P = y

3

+ Dit + 1

4(Dit +1)3

Пример 2. В уравнениях (7) полагаем V = aZ + F(n), a = const. Решение системы будем искать на операторе ^2(dп + дС)--2dp^ . Базис инвариантов данного оператора будет

a r

таким: J = {t, ц, r, z — С, тг^уС + p}. Поэтому инвариантное решение ищем в виде

2r2

aZ

r = R(t,n), z = С + Z (t,n), p = P (t,n) —

2R2(t, n)'

Требование г = п, £ = £ при £ = 0 влечет Д(0, п) = п, ^(0, п) = 0 при £ = 0. После подстановки в уравнения системы (7) приходим к фактор-системе

Кп (Д" - + 2п2а + Рп =0, - =0, = п. (28)

Из третьего уравнения (28) находим R = у/п2 + у>(£). Из второго уравнения получаем

*=/,1\(п2 гш+^ ^(0,п)=0.

Из первого уравнения определяем

P = -

r ^ Rtt —Rn^j+ZnZw

dn + ^(t).

Здесь y>(t), h(n), ^(t) — произвольные функции.

Предположим, что (p(t) =0, тогда

^ at2 7 . . „ f F(п) a2t2 at f h'(п) т

R = п, Z = 4П2 + h(n)t, P = J-f-— — YJ ~f dn + *(t)

В физических переменных решение выглядит так:

at2 1 . . aZ f F(п) a2t2 at f h'(п) , , , s

r = п, z =Z + v + ^ p = —Ф + 1 — W - W + *(t)

Так как r = п, то возможна следующая интерпретация решения. Все цилиндрические поверхности все время состоят из одних и тех же частиц. Движение происходит вдоль

направления z с азимутальной скоростью v = — -JaZ + F(п)■ Цилиндрические поверхности

п

можно считать твердой стенкой.

Пример 3. Пусть V = aZ + F(п), a = const, как и в примере 2. Рассмотрим двухпара-

метрическую подгруппу на операторах ^2(дп + dZ)--2dp, dpj. Базис инвариантов будет

таким: J = {t, п, r, z — Z) ■

Поэтому здесь возможен поиск частично инвариантного решения в виде

r = R(t,v), z = Z + Z(t, п), p = P(t/пХ)

c требованием R(0, п) = п, Z(0, п) = 0.

Подстановка в основные уравнения движения жидкости, так же как в примере 2, приводит к интегрируемой системе уравнений. Получается решение, обобщающее решение примера 2, оно содержит дополнительную произвольную функцию времени.

Осесимметричное движение в лагранжевых координатах

Для осесимметричных движений азимутальная компонента вектора скорости v = 0. Пусть шi = uz — wr — единственная ненулевая компонента вектора завихренности. Положим ш = ш\/г и исключим из уравнений (1) давление p■ В результате получим систему

LVt + ишг + wшz =0, uz — wr = гш, ur +— u + wz =0. (29)

r

Если ввести лагранжевы координаты по формулам (5), то из первого уравнения системы (29) вытекает соотношение

ш = — = Z) = - (иоС — wov) = шо(п, Z), (30)

r п п

где uo,wo — значения u,w при t = 0. Используя закон сохранения (30), из системы (29) можно вывести два уравнения для новых неизвестных функций г(п, Z, t), z(-q, Z, t):

rvrzt — rXr'vt + zvz(t — z(zvt = пшо(п, Z), r(rvz( — r(zv)= п■ (31)

Для уравнений (31) также ставится задача групповой классификации относительно функции шо(пХ). Аналогично уравнениям вращательно-симметричного движения жидкости здесь можно сформулировать ряд утверждений группового анализа.

Теорема 4. Для системы уравнений (31) с учетом инвариантности начальных условий (15) имеют место следующие случаи классификации по функции начального распределения завихренности wo:

1) если wo(n,Z) — произвольная функция, то базис ядра Lo определяется операторами Z0(n) = n(t)dz, n(0) = 0, n(t) e

2) если wo = 0, то базис операторов будет таким:

Zo(n), Zi = дс + dz, Z2 = фп + Zdz + rßr + zdz, Z3(p) = ^(t)3t, где p(t) e — произвольная функция, ^(0) = 0;

3) если wo = const = 0 (или wo = 1), то базис состоит из операторов

Zo(n), Zi, Z2 + Z3(-t);

4) если wo (n,Z) = const, то возможны два случая, расширяющие базис операторов: при wo(n,Z) = $(n)eeZ базис операторов представим в виде

Zo(n), Zi + Z3(et);

при wo(n,Z) = F(n/Z)(nZ)Y в базис включаются операторы

Zo(n), Z2 + Z3(-(27 +1)t).

Здесь n(t), ^(t), Ф(п), F(Z/n) — произвольные гладкие функции, n(0) = 0, ^(0) =0; y = const; е = {0; ±1}.

Используем результат теоремы 4 для нахождения инвариантных решений системы (31). Пример 4. Положим wo(n,Z) = $(n)e°Z, где а = const. Решение уравнений ищем на операторе Zi + Z3(at) = dz + dz + atdt. Инвариантами оператора являются функции J = {r, z — Z, n, te-aZ}. Обозначим A = te-aZ, тогда инвариантное решение уравнений можно искать в виде

r = R(n, A), z = Z + Z(n,A),

причем R(n, 0) = n,Z(n, 0) = 0. Последнее требование следует из начальных условий (15). Подстановка в систему (31) приводит к фактор - системе

а [—Rn (Rx + ARxx) — Zr, (Zx + AZxx) + ARxRrix + AZxZvx] — Zvx = пФ(п),

R [Rn — aA (RnZx — RxZn)]. Уравнения все еще остаются достаточно сложными для интегрирования. Рассмотрим частный случай, когда а = 0. Тогда A = t, wo = Ф(п), уравнения упрощаются и легко интегрируются. Решение для уравнений (31) получается таким:

r = Vхn2 + p(t), z = Z — t J n&(n)dn + x(t),

где х(Ь) — произвольные гладкие функции, у>(0) = 0, х(0) = 0. Зная последнее, можно получить решение уравнений (2) в эйлеровых координатах для скорости и давления:

dr p (t)

u = — =-

dt 2r

dz Г _

0, w = — = — n^(n)dn + x'(t), n = V r2 — p(t),

P = —X''(t)z — ^ — ^n r + ^(t),

^(t) — произвольная функция.

Список литературы

[1] Л.В.Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.

[2] А.А.Бучнев, Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости, Динамика сплошной среды, Новосибирск, ИГ СОАН СССР, (1971), №7, 212214.

[3] В.К.Андреев, О.В.Капцов, В.В.Пухначев, А.А.Родионов, Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике, Новосибирск, Наука, 1994.

[4] В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин, Справочник: обыкновенные дифференциальные уравнения, М., Физматлит, 2001.

The Equations of the Rotationally-Symmetric Motions in Lagrangian Coordinates and the Invariant Solutions

Alexander A.Rodionov

The group properties for the systems of the equations of the rotationally-symmetric motions in Lagrangian coordinates are presented. Some new examples of the invariant solutions for these equations are considered. A physical interpretation of the solutions is given.

Keywords: group analysis, algebra Li of operators, invariant solution.