CC BY
0
УДК 662.237.5; 544.032; 538.953 DOI: 10.14529/mmph240209
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУР УДАРНО-ВОЛНОВОГО СЖАТИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛОВ
Ю.М. Ковалев, М.А. Шестаков
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: yum_kov@mail.ru
Аннотация. Проведен анализ уравнений состояния энергетических материалов, которые являются молекулярными кристаллами, с целью определения оптимального вида уравнения состояния, позволяющего определять температуры ударно-волнового сжатия данных материалов. Анализ холодной составляющей давления показал, что ее форма позволяет с высокой точностью воспроизводить известные экспериментальные данные для триаминотринитробензола (ТАТБ) и пентаэритриттетранитрата (ТЭНа). В силу того, что для энергетических материалов при ударно-волновом сжатии происходит инициирование детонации построить ударную адиабату в широком диапазоне давлений не представляется возможным, в представленной работе был апробирован алгоритм построения ударных адиабат по экспериментальным данным изотермического сжатия ТАТБ и ТЭНа. Сравнение экспериментальных и расчетных ударных адиабат для ТЭНа показало их совпадение с точностью погрешности эксперимента. В работе на примере ТАТБ и ТЭНа предлагается подход к определению температур ударно-волнового сжатия энергетических материалов путем расчета распространения в них стационарной ударной волны. Предлагаемый подход позволяет построить ударные адиабаты энергетических материалов и провести анализ влияния различных выражений для описания зависимости теплоемкости при постоянном объеме от температуры на величину температуры ударно-волнового сжатия энергетических материалов.
Ключевые слова: ударное сжатие; ударная адиабата; изотермическое сжатие; температура.
Введение
Исследования закономерностей энерговыделения в конденсированных энергетических веществах (ЭВ) под действием ударных волн проводятся с целью выяснения механизмов инициирования и развития реакции взрывчатого превращения, кинетика которого тесно связана с температурой ударно-волнового разогрева, получения информации, необходимой для прогнозирования ударно-волновых и детонационных процессов [1].
В настоящее время для получения детальной информации при анализе экспериментальных данных все чаще применяется подход, связанный с математическим моделированием механизмов инициирования и развития реакции взрывчатого превращения. Для получения достоверной информации в результате математического моделирования и проведения расчетов требуются надежные уравнения состояния ЭВ. Однако для ЭВ построить надежную ударную адиабату очень часто не представляется возможным. Это связано с возможностью развития в ЭВ детонационных процессов. Поэтому целью данного исследования является построение уравнений состояния кристаллических ЭВ ТАТБ и ТЭНа, позволяющих определять ударно-волновой разогрев кристаллических ТАТБ и ТЭНа.
Метод расчета температур ударного сжатия
Для расчета температур ударного сжатия рассмотрим распространение стационарной ударной в ТАТБ и ТЭНе. Система уравнений газовой динамики, описывающая распространение ударной волны, в лагранжевых переменных И, ^ имеет следующий вид:
о; (!)
а) ро\ди)
Ковалев Ю.М., Уравнения состояния для расчета температур
Шестаков М.А. ударно-волнового сжатия молекулярных кристаллов
- V -] = 0; (2)
а) ро {ди)
дЕ ) + Р ) = 0; (3)
д1 ) Ро {ди) и
где ро является начальной плотностью, и - скорость частиц, V - удельный объем, р - давление в направлении распространения и Е - внутренняя энергия. Данная система законов сохранения замыкается уравнениями состояния, которые имеют следующий вид [2, 3]:
МЯТуп (V) 3
р =-В{Хо) + рх, рх = рс + рм + -МЯупф)в0 IV, (4)
V о
Рс= -ЩМ' Е = ис + им + Е + Ет, (5)
дV дV
где М - количество деформационных колебаний, метод определения описан в работе [4], Я -универсальная газовая постоянная, поделенная на молекулярную массу ЭВ, Т - температура, ув - коэффициент Грюнайзена, хв) - функция Дебая, хв - безразмерная характеристическая температура Дебая, £/с - межмолекулярная (упругая) составляющая внутренней энергии, которая определяет энергию не валентных взаимодействий атомов между молекулами, им - внутримолекулярная составляющая внутренней энергии, определяющая энергию взаимодействия атомов внутри молекулы, Е - энергия нулевых колебаний, Е - тепловая составляющая внутренней энергии, Рх - «холодная» составляющая давления. Выражения для «холодных» составляющих, входящих в уравнения состояния (4) и (5), были определены в работах [2, 3] и имеют следующий вид:
Рс = 3Кт0 (х~(п+413) - х~(п+1)), (6)
3 кт
ис |Гх"(«+4/3) -х-(«+1)■
ро '
Ух =
Р0
1 -х"(и+113) - I х-
(п +113) п
(7)
где Кт0 = с2р0 - изотермический модуль объемного сжатия, ст - изотермическая скорость звука, р0 - начальная плотность, х = р01р . Часть холодного давления Рм является постоянной величиной и определяется из условия равенства давления величине р при нормальных условиях. Для апробации уравнений (6) и (7) были проведены расчеты значений изотермического сжатия храсч по известным экспериментальным значениям давления. Результаты расчетов для ТАТБ [4]
и ТЭНа [5] представлены в табл. 1 и 2 соответственно.
Таблица 1
№ х эксп. Рэксп., ГПа х расч. Ррасч., кг/м3
1 0,9581-0,9635 0,56 0,9683 2,0004
2 0,9466-0,9530 0,85 0,9551 2,0281
3 0,9355-0,9439 1,20 0,9410 2,0584
4 0,9227-0,9313 1,66 0,9249 2,0943
5 0,9104-0,9192 1,95 0,9158 2,1151
6 0,9003-0,9105 2,42 0,9026 2,1460
7 0,8776-0,8892 3,29 0,8818 2,1966
8 0,8509-0,8651 4,95 0,8506 2,2772
9 0,8038-0,8230 8,18 0,8077 2,3982
10 0,7946-0,8144 8,53 0,8039 2,4095
11 0,7833-0,8053 9,53 0,7938 2,4402
12 0,7749-0,7989 10,17 0,7879 2,4584
13 0,7581-0,7833 11,64 0,7753 2,4984
14 0,7427-0,7731 13,22 0,7633 2,5377
Таблица 2
№ x эксп. Рэксп., ГПа x расч. Ррасч., кг/м3
1 0,9414-0,9460 0,68 0,9466 1,8741
2 0,9150-0,9186 1,28 0,9153 1,9382
3 0,8729-0,8797 2,25 0,8789 2,0184
4 0,8565-0,8623 2,90 0,8601 2,0626
5 0,8389-0,8431 3,65 0,8420 2,1069
6 0,8164-0,8186 4,98 0,8161 2,1738
7 0,8149-0,8177 5,00 0,8157 2,1749
8 0,8021-0,8063 5,86 0,8019 2,2122
9 0,7786-0,7850 7,45 0,7805 2,2729
10 0,7701-0,7759 8,11 0,7728 2,2955
11 0,7647-0,7695 8,40 0,7696 2,3051
12 0,7586-0,7632 9,16 0,7617 2,3290
13 0,7502-0,7548 10,12 0,7525 2,3575
14 0,7481-0,7529 10,45 0,7495 2,3669
При определении величины храсч в расчетах давления по уравнению (6) были использованы значения Кт 0 = 15,14 ГПа для ТАТБ и Кт 0 =9,62 ГПа для ТЭНа и показатели степени п = 3,177 для ТАТБ и п = 3,432 для ТЭНа [2, 3]. Анализ табл. 1 и 2 показывает, что значения храсч попадает в погрешность эксперимента, представленную во втором столбце.
В силу того, что для большинства энергетических материалов не удается определить экспериментальную ударную адиабату, в работах [3] и [6] был предложен алгоритм пересчета экспериментальных данных по изотермическому сжатию на ударную адиабату. В результате была получена формула, которая имеет следующий вид:
х
аРт (х) + | Рт (х)йх + 6(1 - х)
Р3 (V) =-^-—-, а = Ро/(аКт 0), Ь = аКт ^ (8)
а - (1 - х)/2
Здесь Рт (х) , PS (х) - экспериментальные значения давления при изотермическом сжатии и
ударно-волновом сжатии соответственно. Как было показано в работе [3] экспериментальные
данные, представленные в работе [7], аппроксимируются зависимостью
Б = 2680 + 1,89м, (9)
что позволило определить давление в ударной волне для ТЭНа, представленное в табл. 3. _Таблица 3
№ x PT (x) , ГПа (эксп.) PS (x) , ГПа (эксп.) PS (x) , ГПа
1 0,9466 0,68 0,73 0,72
2 0,9153 1,28 1,53 1,36
3 0,8789 2,25 2,59 2,39
4 0,8601 2,90 3,29 3,08
5 0,8420 3,65 4,09 3,89
6 0,8161 4,98 5,51 5,32
7 0,8157 5,00 5,53 5,35
8 0,8019 5,86 6,45 6,29
9 0,7805 7,45 8,25 8,04
10 0,7728 8,11 8,76 8,77
11 0,7696 8,40 9,21 9,10
12 0,7617 9,16 9,93 9,95
13 0,7525 10,12 11,01 11,03
14 0,7495 10,45 11,39 11,40
Результаты, представленные в четвертом и пятом столбцах табл.3, показывают, что значения давления в ударной волне, распространяющейся в ТЭНе, рассчитанные по формулам (8) и (9),
Ковалев Ю.М., Шестаков М.А.
Уравнения состояния для расчета температур ударно-волнового сжатия молекулярных кристаллов
совпадают с точностью до 1-2 %. В работе [3] было показано, что давление ударно-волнового сжатия ТЭНа, полученное по алгоритму пересчета, предложенному в работе [6], ниже экспериментальных значений давления во фронте ударной волны [7].
Значения давления во фронте ударной волны ТАТБ, рассчитанные по алгоритму пересчета
[3] представлены в табл. 4.
_Таблица 4
№ X РТ (х) , ГПа (эксп.) Р8 (х), ГПа
1 0,9683 0,56 0,57
2 0,9551 0,85 0,87
3 0,9410 1,20 1,23
4 0,9249 1,66 1,70
5 0,9158 1,95 2,00
6 0,9026 2,42 2,48
7 0,8818 3,29 3,38
8 0,8506 4,95 5,10
9 0,8077 8,18 8,48
10 0,8039 8,53 8,85
11 0,7938 9,53 9,91
12 0,7879 10,17 10,59
13 0,7753 11,64 12,15
14 0,7633 13,22 13,85
Уравнение внутренней энергии (3) в результате простых преобразований можно представить следующим образом:
Су-1+(Р + Л + (д( "С+ Е<\) §:=о, р-акт т+р0,
д1 дУ 01
или же
дТ дУ
Су 0Т + рт 0У = о, (10)
где Ск - теплоемкость при постоянном объеме, а - коэффициент объемного расширения. Значения давлений ударно-волнового сжатия Р$(х) из табл. 3 и 4 определяются граничными условиями для системы дифференциальных уравнений (1), (2), (10).
Система уравнений (1), (2), (10) решалась методом Неймана-Рихтмайера. При проведении расчетов для теплоемкости при постоянном объеме были использованы два выражения - через частоты нормальных колебаний [8]:
Су = ЫЕВс (хп ) + Я £ /2еХр(^I . (11)
i=м+1 (ехр( х^) -1)
и через аппраксимационную зависимость [8, 9]:
Су / Сун = 1 - (1 - С0/Сун )ехр[-(Т - Т)/Тс ], (12)
где х1 - безразмерная характеристическая температура внутримолекулярных колебаний, Бс (хв) - функция теплоемкости Дебая, Сш = 3ИЯ, N - количество атомов в молекуле, С° - значение теплоемкости при постоянном объеме при начальной температуре, Тс - параметр, определенный в работе [9], для ряда органических соединений.
Контроль выполнения условий Гюгонио во фронте ударной волны осуществлялся путем сравнения значений изменения внутренней энергии, полученной в расчетах на ударной адиабате:
Щн = 0,5Р(1 - х)/р,
и уравнениями состояния:
(л 1 А
АЕ = 3КТ 0
, х"("+1/3) -1) --(х"И -1) |/Ро -(аКтоТо -Ро)(1 -х)/Ро + Е (п +1/3) п )
АЕт1 = Сун (Т - То) + Тс (Сш - С°)(ехр(-(Т - То)/Тс )-1),
3N
3N
AET2 = MR(T-To) + RT X Ero = RT0 £
Л Л" I 1 eXÜ( X ) 1 • * i- . -
x0 =0, / To.
г =м+1 ехр( X,) -1 "" '" " г Результаты расчетов температур ударно-волнового сжатия ТЭНа и ТАТБ для разных выражений теплоемкости при постоянном давлении приведены в табл. 5 и 6 соответственно.
Таблица 5
o
X
Ps, ГПа u, км/с Px T1, К T2, К
0,725 147,3 0,9468 313,2 313,5
1,360 254,3 0,9155 328,0 328,4
2,388 403,3 0,8790 351,6 352,4
3,081 492,5 0,8601 368,4 369,4
3,885 588,0 0,8419 388,9 390,1
5,325 743,3 0,8156 428,0 429,7
5,346 745,4 0,8153 428,6 430,3
6,286 838,3 0,8013 455,5 457,6
7,563 956,7 0,7850 493,7 496,2
8,039 998,8 0,7795 508,2 510,9
8,773 1061,7 0,7716 530,8 533,8
9,097 1088,9 0,7683 541,0 544,0
9,947 1158,5 0,7602 567,9 571,2
11,028 1243,6 0,7507 602,7 606,2
11,400 1272,1 0,7477 614,8 618,4
Таблица 6
■ Ps, ГПа '"U, км/с ■'■x Ti, К lt2, К
0,574 96,8 0,9684 301,4 301,4
0,871 142,1 0,9551 305,3 305,3
1,229 193,5 0,9410 309,9 310,0
1,700 256,7 0,9249 316,0 316,2
1,997 294,5 0,9159 320,1 320,3
2,480 353,0 0,9027 326,9 327,2
3,376 453,9 0,8818 340,8 341,3
5,095 627,1 0,8505 371,4 372,6
8,478 918,4 0,8073 443,2 446,4
8,847 947,3 0,8035 451,7 455,1
9,906 1028,1 0,7934 476,7 480,8
10,587 1078,3 0,7873 493,1 497,8
12,155 1189,4 0,7746 531,9 537,7
13,849 1303,5 0,7624 575,1 582,1
Результаты, представленные в табл. 5 и 6, показывают, что различие между температурами ударно-волнового сжатия ТЭНа и ТАТБ, рассчитанными по различным выражениям для теплоемкости, составляет не более четырех градусов. Поэтому при расчетах температур ударно-волнового сжатия энергетических материалов целесообразно использовать выражение (12), не привлекая сложные квантово-химические методы для расчета внутримолекулярных частот нормальных колебаний, входящих в выражение для теплоемкости при постоянном объеме (11).
Литература
1. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г.И. Канель, С.В. Разоренов, А.В. Уткин, В.Е. Фортов. - Москва: Янус-К, 1996. - 407 с.
2. Ковалев, Ю.М. Уравнения состояния для описания изотермического сжатия некоторых молекулярных кристаллов нитросоединений / Ю.М. Ковалев // Инженерно-физический журнал. -2020. - Т. 93, № 1. - С. 229-239.
Ковалев Ю.М., Уравнения состояния для расчета температур
Шестаков М.А. ударно-волнового сжатия молекулярных кристаллов
3. Ковалев, Ю.М. Уравнения состояния для расчета давлений ударно-волнового сжатия пен-таэритриттетранитрата (ТЭНа) / Ю.М. Ковалев, Е.В. Помыкалов // Инженерно-физический журнал. - 2023. - Т. 96, № 4. - С. 1053-1061.
4. Hydrostatic Compression Curve for Triamino - Trinitrobenzene Determined to 13,0 GPa with Powder X- Ray Diffraction / L.L. Stevens, N. Velisavljevic , D.E. Hooks, D.M. Dattelbaum // Propel-lants, Explos. Pyrotech. - 2008 - Vol. 33, no. 4. - P. 286-295.
5. Cady, H.H.The Crystal Structure of 1,3,5 - triamino - 2,4,6 - trinitrobenzene / H.H Cady, A C. Larson // Acta Cyst. - 1965. - Vol. 18. - P. 485-496.
6. Olinger, B. The isothermal linear and volume compression of pentaerythritol tetranitrate (PETN) t 10 GPa (100 kbar) and the calculated shock compression / B. Olinger, P.M. Halleck, H.H. Cady // J. Chem. Phys. - 1975. - Vol. 62, Iss. 11. - P. 4480 - 4483.
7. Marsh, S.P. Lasl Shock Hungoniot Data (Los Alamos Scientific Laboratory Series on Dynamic Material Properties) / S.P. Marsh. - University of California Press, 1980, Vol. 5.
8. Ковалев, Ю.М. Определение температурной зависимости теплоемкости для некоторых молекулярных кристаллов нитросоединений / Ю.М. Ковалев, В.Ф. Куропатенко // Инженерно-физический журнал. - 2018. - Т. 91, № 2. - С. 297-306.
9. Щетинин, В.Г. Расчет теплоемкости органических веществ в ударных и детонационных волнах / В.Г. Щетинин // Химическая физика. - 1999. - Т. 18, № 5 - С. 90-95.
Поступила в редакцию 26 февраля 2024 г.
Сведения об авторах
Ковалев Юрий Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра вычислительной механики, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, e-mail: yum_kov@mail.ru.
Шестаков Михаил Александрович - аспирант, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2024, vol. 16, no. 2, pp. 86-92
DOI: 10.14529/mmph240209
EQUATIONS OF STATE FOR CALCULATING SHOCK WAVE COMPRESSION TEMPERATURES OF MOLECULAR CRYSTAL
Yu. M. Kovalev, M.A. Shestakov
South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: yum_kov@mail.ru
Abstract. The paper analyzes the equations of state of energy-related materials, which are molecular crystals, to define the optimal equation of state for determining the shock wave compression temperatures of these materials. The analysis of the cold pressure component showed that its form allows reproducing the known experimental data for triaminotrinitrobenzene (TATB) and pentaerythritol tetranitrate (PETN) with high accuracy. No shock adiabat can be constructed in a wide range of pressures because detonation is initiated for energy-related materials during shock wave compression. The paper tests an algorithm for constructing shock adiabats using experimental data on TATB and PETN isothermal compression. A comparison of experimental and calculated shock adiabats for PETN showed their alignment with the accuracy of the experimental error. The paper uses the example of TATB and PETN to propose an approach for determining the shock wave compression temperatures of energy-related materials by calculating the propagation of a steady shock wave in them. The proposed approach allows constructing shock adiabats of energy-related materials and analyzing the influence of various expressions to describe the dependence of heat capacity at constant volume on temperature by the value of the shock wave compression temperature of energy-related materials.
Keywords: shock compression; shock adiabat; isothermal compression; temperature.
References
1. Kanel' G.I., Razorenov S.V., Utkin A.V., Fortov V.E. Udarno-volnovye yavleniya v kondensirovannykh sredakh (Shock-Wave Phenomena in Condensed Media). Moscow, Yanus-K, 1996, 407 p. (in Russ.).
2. Kovalev Y.M. Equations of State to Describe Isothermal Compression of Certain Molecular Nitro Compound Crystals. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2020, Vol. 93, no. 1, pp. 223-233. DOI: 10.1007/s10891-020-02112-9
3. Kovalev Yu.M., Pomykalov E.V. Equations of State for Calculating the Pressures of ShockWave Compression of Pentaerythritol Tetranitrate (PETN). Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2023, Vol. 96, no. 4, pp. 1052-1059. DOI 10.1007/s10891-023-02769-y.
4. Stevens L.L., Velisavljevic N., Hooks D.E., Dattelbaum D.M. Hydrostatic Compression Curve for Triamino - Trinitrobenzene Determined to 13,0 GPa with Powder X-Ray Diffraction. Propellants, Explos. Pyrotech. 2008, Vol 33, no. 4, pp. 286-295. DOI: 10.1002/prep.200700270.
5. Cady H.H., Larson A.C. The Crystal Structure of 1,3,5 - triamino - 2,4,6 - trinitrobenzene Acta Cyst., 1965, Vol. 18, pp. 485-496. DOI: 10.1107/S0365110X6500107X
6. Olinger B., Halleck P.M., Cady H.H. The Isothermal Linear and Volume Compression of Pentaerythritol Tetranitrate (PETN) t 10 GPa (100 kbar) and the Calculated Shock Compression. J. Chem. Phys., 1975, Vol. 62, Iss. 11, pp. 4480-4483. DOI: 10.1063/1.430355
7. Marsh S.P. Lasl Shock Hungoniot Data (Los Alamos Scientific Laboratory Series on Dynamic Material Properties), University of California Press, 1980, Vol. 5.
8. Kovalev Y.M., Kuropatenko V.F. Determination of the Temperature Dependence of Heat Capacity for Some Molecular Crystals of Nitro Compounds. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2018, Vol. 91, no. 2, pp. 278-287. DOI: 10.1007/s10891-018-1747-6
9. Shchetinin V.G. Calculation of the Heat Capacity of Organic Substances in Shock and Detonation Waves (Raschet teploemkosti organicheskikh veshchestv v udarnykh i detonatsionnykh volnakh). Khimicheskaya fizika, 1999, Vol. 18, no. 5, pp. 90-95. (in Russ.).
Received February 26, 2024
Information about the authors
Kovalev Yury Mikhailovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Computational Mechanics Department, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, e-mail: yum_kov@mail .ru.
Shestakov Mikhail Alekandrovich is Post-graduate Student, Department of Computational Mechanics, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation.
