Уравнения профиля зубьев кулачкового редуктора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.833.4.001.24

УРАВНЕНИЯ ПРОФИЛЯ ЗУБЬЕВ КУЛАЧКОВОГО РЕДУКТОРА

© 2003 г. С. О. Киреев, В.Н. Ковалев, Ю.В. Ершов

Планетарные роликовые редукторы с центроид-ным гипоциклоидальным зацеплением [1, 2] имеют ряд недостатков, одним из которых является то, что профиль зуба колеса, участвующего в зацеплении, имеет негладкое сопряжение кривых, образующих этот профиль, что приводит к необходимости ввода дополнительной сглаживающей переходной кривой. Еще одним существенным недостатком является то, что зацепление роликов с сепаратором оказывается однопарным. Следовательно, коэффициент перекрытия такого зацепления будет равен единице, что приводит к повышенному износу элементов зацепления. Из-за перечисленных недостатков использование данного типа механизмов ограничено. Например, такие механизмы не рекомендуется применять в силовых установках.

Для устранения указанных недостатков введем в рассматриваемые механизмы преобразования, связанные с формой профиля зубчатого колеса. Для увеличения коэффициента перекрытия в передаче необходимо увеличить число роликов, передающих движение с ведущего вала на ведомое звено. Это значит, что зацепление роликов с сепаратором должно быть беззазорным. При решении поставленной задачи для получения формы зуба колеса используем принцип построения профиля кулачкового механизма.

Кулачковые механизмы принадлежат к основным типам трехзвенных механизмов, т. е. являются трех-звенными механизмами с двумя низшими парами и одной высшей парой качения и скольжения. В таких механизмах в общем случае при проектировании высшей пары для одного из звеньев выбирают какую-либо простую форму элемента кинематической пары (круглый цилиндр, конус, плоскость, отрезок прямой линии и т. д.). Тогда для другого звена форма элемента кинематической пары получается из условий воспроизведения требуемого относительного движения звеньев пары.

Это условие реализуется при помощи метода остановки водила (метод Виллиса), который заключается в следующем. Исследуемому механизму сообщается дополнительное вращение с угловой скоростью, равной угловой скорости кулачка с обратным знаком. Относительное движение звеньев остается таким, каким оно было до остановки кулачка. Таким образом, после сообщения всем звеньям угловой скорости кулачка с обратным знаком последний останавливается, а остальные звенья двигаются с угловой скоростью кулачка в противоположном направлении.

Рассмотрим процесс образования поверхности кулачка. Теоретическая кривая профиля кулачка может быть получена при обращении движения рассматри-

ваемого исходного механизма [1], заторможенным звеном которого является кулачок, а выходным звеном соответственно будет сепаратор. Для получения теоретической кривой профиля кулачка заменим ролики материальными точками, расположенными в геометрических центрах роликов. В результате обращения движения, т.е. придания механизму угловой скорости ведомого звена (сепаратора), взятой с противоположным знаком, сепаратор остановится. Тогда сложное движение, состоящее из перемещения центров роликов в направляющих сепаратора и их переносного движения относительно оси вращения сепаратора сведется к возвратно-поступательному движению этих точек в направляющих сепаратора, а кулачок станет вращаться с обращенной угловой скоростью сепаратора. Точки, принадлежащие вращающемуся кулачку, которые соприкасаются с поступательно движущимися геометрическими центрами роликов, опишут кривую, образующую теоретический профиль кулачка. Причем при повороте входного звена на угол ф кулачок повернется на угол а, меньший угла поворота входного звена в передаточное число раз а = ф / ¡1.

Практический профиль кулачка образуется экви-дистантой теоретического профиля, отстоящей от него на величину радиуса ролика гр.

Для получения уравнений, описывающих кривую теоретического профиля кулачка рассмотрим рис. 1. Введем две правых декартовых системы координат: неподвижную ХОУ и подвижную Х1ОУ1, связанную с вращением кулачка в обращенном движении. Центры обоих систем координат совпадают с осями вращения входного звена (вала с эксцентриком) и кулачка. При повороте ведущего звена на угол ф подвижная система координат Х1ОУ1 повернется на угол а , в выбранном направлении (при совпадении направлений вращения ведущего звена и сепаратора угол а будет иметь положительное значение и будет отрицательным при их разных направлениях). Рассмотрим случай, когда направления вращения ведущего звена и сепаратора совпадают.

Геометрические центры роликов, расположенные в точках С1, С2 ...С„ , лежат на окружности радиуса г2 , центром которой является точка Оь Угол в между ними относительно центра вращения кулачка точки О равен отношению 2 п радиан к числу роликов п: в = 2 п / п .

Положение центра О1 окружности радиуса г2 относительно неподвижного центра вращения ведущего звена (и соответственно кулачка) точки О координируется углом поворота ведущего звена ф и величиной эксцентриситета е\.

/^4 \ 1 * Г // /Is ъ ч. у / уС.

x\y1 \ Л у? \

всГ^ Г / i

\ Хг /

Рис. 1. К расчету теоретического профиля кулачка

Приняв положительным направление вращения ведущего звена против часовой стрелки, определим величину перемещения центра первого ролика точки С в направляющей сепаратора относительно начала системы координат точки О при повороте входного вала на угол ф. Для этого введем обозначение этой величины радиус-вектором гс1. Для нахождения искомой зависимости рассмотрим треугольник ОО1С1. Тогда по теореме косинусов имеем следующее квадратное уравнение:

r2 - 2ex cos фгл + ex - r22 = 0.

Решая его относительно искомого радиус-вектора rc1 , получим следующее выражение:

rc1 = e1 cos ф + д/Г^ - e{ sin' ф .

(1)

Как видно из рис. 1, угол, координирующий положение радиус-вектора центра п-го ролика в неподвижной системе координат ХОY определяется зависимостью [(п - 1) в - ф]. Тогда, заменив этой зависимостью угол ф в выражении (1), значение радиус-вектора, координирующего центр п-го ролика можно найти из следующего соотношения:

= el соБ[(п - 1)р - ф] + д/г22 - e1 81п2[(п - 1)в - ф] . (2)

Зная зависимость для определения радиус-вектора п-го ролика, можно найти координаты центра п-го ролика в параметрической форме в подвижной системе координат Х1ОY1:

xn = rcn cos[(n - 1)ß];

Уп = rcn sin[(n - 1)ß] .

(3)

Определим уравнения, описывающие кривую теоретического профиля кулачка в неподвижной системе координат ХОY. Как указывалось выше, угол а, на который повернется кулачок, меньше угла поворота ведущего вала ф в п раз. Следовательно при повороте ведущего вала на угол ф подвижная система коорди-

нат XjOFj, связанная с обращенным движением кулачка, повернется на угол а. Точка, соответствующая теоретическому профилю кулачка в данном положении ведущего звена, определится положением радиус-вектора rcn в подвижной системе координат XjOYj относительно неподвижной системы координат XOY. Соответственно теоретическая кривая n-го кулачка опишется последовательными положениями радиус-вектора центра n-го ролика при повороте подвижной системы координат XjOYj от нуля до угла а, который соответствует одному обороту ведущего звена.

Для нахождения уравнений теоретического профиля кулачка применим метод преобразования координат [3]. Используя известные выражения этого метода, перейдем из подвижной системы координат XjOYj к неподвижной - XOY. Тогда уравнения кривой теоретического профиля кулачка получат следующий вид:

xt = xn cos а + yn sin а;

yt = xn sin а + yn cos а.

(4)

Полный теоретический профиль кулачка образуется суммарной кривой, состоящей из последовательности траекторий центров п роликов.

Для получения уравнений практического профиля кулачка, который образуется как эквидистанта теоретического профиля, отстоящая от него на расстоянии, равном радиусу ролика гр, рассмотрим рис. 2.

Рис. 2. К расчету практического профиля кулачка

Точка К эквидистанты лежит на нормали п - п к касательной теоретического профиля т-т в текущей точке К теоретического профиля. Касательная т-т образует с осью ОХ угол у. Тогда координаты точки К1 рабочего профиля кулачка, выраженные через координаты теоретической кривой, найдутся из следующих соотношений:

xk = xt + гр sin(180 - у) = xt + гр sin у ; Ук = yt + Гр cos(180 - у) = yt - Гр cos Y.

(5)

Значения siny и cosy определяются по формулам дифференциальной геометрии:

sin Y = y't x't )2 + (y't )2 ; cos Y = x't /д/(x't )2 + (y't )2 ,

где x' , у't — производные от системы уравнений (4) по параметру ф.

Из зависимостей (1) - (5) следует, что форма зуба кулачка зависит от трех параметров: эксцентриситета е1 , радиуса окружности центров роликов r2 и радиуса роликов rp. Для воспроизведения зубчатого колеса необходимо знать эти параметры, соотношения между ними а также обосновать эти величины.

Литература

1. Киреев С.О., Ковалева Н.И., Ершов Ю.В. Исследование структуры планетарной роликовой передачи с центроид-ным зацеплением // Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1999. № 2. С. 40 - 42.

2. Киреев С.О., Ковалева Н.И., Ершов Ю.В. Уравнения профилей зубьев центроидного цевочного зацепления планетарной роликовой передачи // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1999. № 4. С. 23 - 25.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1973.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ) 4 апреля 2003 г.

УДК 621.436.038

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦЕНТРОБЕЖНОЙ МУФТЫ С РЫЧАЖНЫМИ ГРУЗАМИ ДЛЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ УГЛА ОПЕРЕЖЕНИЯ ВПРЫСКИВАНИЯ

ТОПЛИВА ДИЗЕЛЯ

© 2003 г. В.А. Брагинец, А.Н. Кабельков, А.К. Меремкулов

Экспериментальные исследования рабочего процесса быстроходных дизелей показывают, что повышение мощностных и экономических показателей, а также улучшение теплового состояния и снижение токсичности выхлопных газов дизеля в значительной степени обусловливается оптимальным управлением топливо-подачей и, в частности, изменением угла опережения впрыскивания топлива, а также его стабильностью.

Для автоматического изменения угла опережения впрыскивания топлива в дизеле в зависимости от частоты вращения коленчатого вала на кафедре двигателей внутреннего сгорания ЮРГТУ (НПИ) разработана специальная конструкция муфты [1] с рычажными грузами и улучшенными динамическими показателями, схема которой приведена на рис. 1.

Муфта состоит из ведущей части 1, на которой посредством осей 2 установлены два рычажных груза 3, соединенных с червяками 5, входящими в зацепление с зубчатым колесом ведомой части 6. Крутящий момент от ведущей части муфты 1 передается валу топливного насоса посредством червячного зацепления, препятствующего воздействию периодической составляющей момента сопротивления вала топливного насоса на чувствительный элемент муфты (грузы). Тем самым улучшается стабильность регулирования угла опережения.

При установившемся режиме работы дизеля червяки 5 находятся в неподвижном положении, так как центробежная сила грузов 3 уравновешивается силой пружины 7 и осевой составляющей силы червячного зацепления. Увеличение частоты вращения коленчатого вала дизеля вызывает увеличение центробежной силы грузов, в результате чего инерционные массы 3, преодолевая усилия пружины, расходятся, и посредством червячного зацепления проворачивают ведомую полумуфту 6 относительно ведущей 1 в сторону увеличения угла опережения впрыскивания топлива, а при уменьшении числа оборотов угол опережения уменьшается.

Рис. 1. Схема конструкции муфты опережения с рычажными грузами

Рассмотрим математическую модель муфты на основе уравнений Лагранжа второго рода (рис. 2)

ф

2 1

///////////

Рис. 2. К математической модели муфты

( T л

dt

Эср i

dT ЭФ _ -

"i- "i.-. _ Q4>(

дПП дП

i _ 1,2,3,

Эфг- Эфг- ф' Эфг- Эфг-

\ У

где Т - кинетическая энергия системы

Т = 1 ^ + ( Jxф2 + Jy ^ - 2 Jxy ф 2ф1 ) + 1JЭ(Рз2 +

+M J ф2СО2 +ф21 О1О - ОС cos Ф20 + 2 ОС cos ф20ф2 +

\2 Л

+ ОС sin ф20фз — ОС sin фз0ф3з I 6 )

Ф - диссипативная функция

Ф _ 2 ОС2Ф 2 + ОС2^П Ф20фф 2 - ^ ОС2^П Ф20фф2 | Í

бф. - обобщенные силы:

Qфl = M Д0 + m Д (t),

бфз = 0

Qфз =- (Мно+Мн (t)); Пп - потенциальная энергия пружины

Пп = 4с1 I ^сш + 2 0C1 cos фзофЗ +

Ф20Ф2 - 6 ОС^т Ф20Ф21 ; Пз - потенциальная энергия деформации зубьев

Пз = с2 (ф1О1В + Ф2ОВ tg у -ФОВ)2;

В формулах использованы следующие обозначения: Ji - моменты инерции соответствующих элементов, М - масса инерционных грузов, Ф^ - угловые скорости звеньев, с - жесткость пружины, с2 - жесткость зубьев зубчатого зацепления, Ф20 - начальный угол, в - коэффициент демпфирования, СО, ООь ОВ,

ОВ - характерные размеры, Мд0, МН0 - постоянные составляющие моментов, Мд(0, МН(0 - переменные составляющие моментов, у - угол наклона шлица к оси муфты, Хст - статическое удлинение пружины.

Запишем систему дифференциальных уравнений в матричной форме:

м Ф + Ф Ф + н Ф = м0 + м(t)+ к,

где м, Ф, н - инерционная, диссипативная и матрица жесткости соотвественно:

a11 a12 0 " "0 0 0" "c11 c12 c13 "

M _ 021 a22 0 ,Ф _ 0 b22 0 , H _ c21 c22 c23

0 0 a33 _ 0 0 0 _c31 C32 c33 _

a11 = J1 +2M(O1O - OC cosф2o) +2Jy, a12= - 2Jxy,

Ú2i = - 2JXy, a22=2M CO2+2Jx, a33=J3;

n22= - ß OC22 sin^o ; c„=2c2 O1B2, c12=2c2 OXB-OB tgy,

c13= - 2c2 O1B2, c21=2c2 OB O1B tgy, c22=2c2 OB2 tg2y,

c23= - 2c2 OB O1B tgy, c31 = - 2c2 O1B2,

c32= - 2c2 O1BOB tgy, c33= 2c2 O1B2;

b11 = - 1/3O1O OC sinф20, b12= OC2 sin2ф20,

b13= 2O1O OC sinф20,

b24= - 2m(1/2 OC2 cos2ф20 - 1/6 OC2 sin^20), b25= - 2m( - 1/2 OiO OC sinф20+OC2 cosф20 s^20),

^26 =

b26= - 2m(O1O OC cosф20 - OC2 cos2ф20),

b27 = - 1/2 в 0C22+2/3 в 0C32P sinф20, b28= - 3/2 в0С22 sinф20,

b29= - 8c1(1/2 0C12 cos2ф20- 1/2 0C12 sinV0- 1/6 0C12 sin2ф20), b210= - 8cj( - 1/2 Хсш1 0C1 sinф20+1/2 0Cj2 cosф20 sinф20+

+ 0Ci2 sinф20 cosф20), b211 = - 2m(010 0C sinф20 - 0C2 cosф20 sinф20), b212= - 8с1(Асш 0C1 sinф2o);

Г П*

ф - вектор обобщенных координат ф = [ф1, ф2, ф3 J ; m0 - вектор постоянных воздействий М0 =

= |Мд0,0,- МН0J ; m(t) - вектор периодических воздействий m(t) = [Мд (t), 0, - Мн (t)J *; n - нелинейная вектор-функция.

В установившемся режиме работы муфты ф1 = const; ф1 = 0; ф2 = const; ф2у = 0, ф2у = 0 ;

ф3 = const; ф 3 = 0;

0B Л МД0

ф3 =ф1 +ф2 , Д = ^т.

Зависимость угла поворота груза от функциональных параметров рассчитывается по формуле

2

2mo)1 (010 - 0Ccos920 )0Csin920 - 0^^1920 - 2c201Btgy0B^зст

ф2 у = ^""2 2 ■

8с1(^сш 0C1cos920 + 0C1 sin ф20 ) - 2m 0)1(00 - 0Ccos920 )0Ccos920

Зависимость угла поворота груза ф2 от частоты вращения ю1:

1) при значениях жесткости пружины, равных 1500, 3000, 4000 и 6000 соответственно (рис. 3а);

2

2

2) при значениях массы груза, равных 0,65, 0,7, 0,75 и 0,8 соответственно (рис. 3б);

3) при значениях начального угла отклонения ф20 равных 0,4363, 0,5235, 0,6108 и 0,6981 радиан соответственно (рис. 3в).

Анализ полученных результатов показывает, что угол поворота ф2 уменьшается при увеличении жесткости пружины и увеличивается при увеличении массы грузов. Увеличение начального угла отклонения ф20 приводит к увеличению ф2.

Установившийся режим работы характеризуется равенством крутящего момента, развиваемого двигателем Мд0 и момента сопротивления насоса, приведенного к валу двигателя МН0.

'50 60 70 00 90 100 110

а

0 50 60 70 80 90 1Ó0 110 Ю;

б

В возмущенном режиме работы:

Ф1 :=Ф1 + Ф1; Ф1 := Ф1 + Ф1; Ф1 := Фь

Ф2 :=Ф2 +Ф2; Ф2 := Ф2; Ф2 :=Ф2;

Ф3 :=Ф3 +Ф3; <Ф3 := Ф3 +Ф3; ФР3 -Ф3.

Запишем систему дифференциальных уравнений возмущенного движения:

мф + Фф + Нф = n((, ф, ф) ,

(1)

«11 «12 0 " " 0 0 0" _c11 C12 C13

«21 «22 0 , Ф = ñ21 ñ22 0 , h = C21 C22 C23

0 0 «13 _ 0 0 0 31 32 C33 _

где м =

«и = аи -ьпф1-Ь12ф22у-^13(2; ^12 = «12; % =0;

«21 = «21; «22 = «22; «23 = 0;

«31 = 0; «32 = 0; ä33 = a33; ñn = 0; ñ12 = 0; ñ13 = 0;

ñ21 =-2b24Ф3уЮ1 - 2Ь25Ф2уЮ1 - 2Ь2бФ2уЮ1 - 2Ь211Ю1; ñ22 = ñ22; ñ23 =0; ññ31 =0;ñ32 =0; ñ33 =0;

ci 1 = ci

Cío = Cv

Ci? = c

13 21

у

Coi = Co

С22 = С22 - 9Ь24Ф2.ую2 - 2Ь25Ф2ую2 - Ь26ю2 -

- 3Ь29Ф2у - 2Ь210Ф2у ; С23 = С23; С31 = С31; С32 = С32; С33 = С33.

Систему дифференциальных уравнений (1) сводим к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка

x = ax + n(x,x),

(2)

где a =

м-1h

e

м-1Ф

x = [ф, ф]*, n = [o,m-1n]*.

Уравнения (2) используются для нахождения амплитудно-частотных характеристик периодических режимов, ответвляющихся от установившихся режимов работы муфты.

Литература

Рис. 3. Зависимость угла поворота груза от частоты вращения при разных значениях: а - жесткости пружины; б - массы груза; в - начального угла отклонения Ф20

1. А.с. № 1268777 (СССР). Муфта автоматического изменения угла опережения впрыска топлива / В.А. Брагинец, С.Ю. Молчанов // Б.И. 1986. № 41.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

15 мая 2003 г.

в