CC BY
11
HayKOBHH BicHHK .HbBiBCbKoro Ha^OHaibHoro ymBepcurery BeTepHHapHoi' MegnuUHH Ta 6i0TexH0H0riH iMem C.3. f^H^Koro Scientific Messenger of Lviv National University of Veterinary Medicine and Biotechnologies
doi: 10.15421/nvlvet8027
ISSN 2519-268X print ISSN 2518-1327 online
http://nvlvet.com.ua/
УДК 539.319
Рiвняння неоднородно'! теплопровiдностi та квазктатичноУ термопружностi стосовно робочих металево-скляних вузлiв у мехашзмах
харчових виробництв
В О. Волос1, Б.Р. Ц1ж1,2, Ю.Ю. Варивода1, В.М. Кобернюк1 Volosvalerij@gmail.com
1Львiвський нацюнальний утверситет ветеринарноймедицини та бютехнологш iMeni С.З. Гжицького,
вул. Пекарська, 50, Львiв, 79010, Украта;
2Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz, Chodkiewicza, 30, Bydgoszcz, 85-064, Poland
В робочих вузлах машин i мехатзмгв харчових виробництв часто зустргчаються неодноргднг металево-скляш спаг, яш nid час експлуатаци зазнають значних зовтштх температурних i силових навантажень. Тому досить актуальними е питання вивчення i аналгзу термонапруженого стану таких вузлгв з метою зменшення виникнення максимальних напру-жень i попередження руйнувань сптв. В роботах був проведений аналтичний розрахунок термонапруженого стану таких неоднорiдних структур на основi застосування апарату узагальнених функцш в математичтй фiзицi, використання влас-тивостей 1х алгебри, а також теори ттегральних перетворень. При цьому спочатку розглядалось стнчене цилтдричне тыо, яке мктить не нас^зне включення типу порожнистого цилтдра. Через торцевi та цилтдричну поверхт тма здшс-нюеться теплообмт iз навколишнж середовищем за законом Ньютона. Розглядувана система являе собою кусково-однорiдне тто, фiзико-механiчнi характеристики якого посттт в межах кожного елемента i описуються за допомогою асиметричних одиничних функцш цилтдричних координат. Вiдомо, що представляти фiзико-механiчнi характеристики можна як з допомогою асиметричних функцш, так i за допомогою симетричних функцш, що приводить до одного й того ж розв'язку. Проте, враховуючи, що при представлент фiзико-механiчних характеристик кусково-однорiдного тша за допомогою асиметричних одиничних функцш, в тому самому виглядi представляешься i будь-яка гх комбтащя, зроблено висновок про те, що зручтше представляти фiзико-механiчнi характеристики кусково-однорiдного тта за допомогою асиметричних одиничних функцш. Представляючи таким чином коефщент теnлоnровiдностi, питому теплоемтсть i густину розглядуваного кусково-однорiдного тма через асиметричн одиничн функци цилтдричних координат та викори-стовуючи конструкщю множення асиметричних одиничних i дельта-функцт Дiрака, виведено диференщальне рiвняння теnлоnровiдностi з коефщентами типу ступеневих функцш i дельта-функцт Дiрака. Далi виводяться рiвняння в nеремi-щеннях квазiстатичноl задачi термоnружностi для тта, що мктить ненас^зне порожнисте цилтдричне включення. При цьому враховуються коефщенти Ляме, а також температурний коефщент лтшного розширення-функци радiальноl i осьовог координат. В ц рiвняння у виглядi постшних цих невiдомих, входять граничн значення температури, а також об'емног деформацп. Як частковий, вiдмiчаешься випадок, коли система розглядаеться як тто одномiрноl кусково-однорiдноl структури, тобто, коли характеристики матерiалу залежать лише вiд радiальноl координати.
Вiдмiчено також випадок, коли коефщент Пуасона постшний, а температурний коефщент лтшного розширення i модуль nружностi - функци цилтдричних координат. В результатi записан диферен^алью рiвняння для цилтдричного тта для двовимiрноl та одновимiрноl неоднорiдноl структури. Вiдмiчаеться випадок тонкосттного включення (товщина стток порожнистого цилтдра набагато менша тж його серединий радiуса). В цьому випадку фiзико-механiчнi характеристики представлен за допомогою дельта-функцп Дiрака. Використовуючи ll властивостi, отриман рiвняння теплопро-вiдностi й термоnружностi для тма двовимiрноl неоднорiдноl структури з коефщентами у виглядi дельта-функцт Дiра-ка. Далi отриман рiвняння неоднорiдноl теnлоnровiдностi i квазктатичноl задачi термоnружностi iз ненаскрiзними од-ностороннти включеннями типу порожнистого цилтдра. При цьому розглядаеться безмежна пластина, одна iз поверхонь яко1 теnлоiзольована, а через тшу здтснюеться конвективний теплообмт iз зовтштм середовищем, температура якого -деяка функщя часу.
Citation:
Volos, V.A., Tsizh, B.R., Varyvoda, Y.Y., Kobernyuk, V.M. (2017). Application of inhomogeneous thermal conductivity equations and quasistatic thermo elasticity to the metal-glass components used in the mechanical food production. Scientific Messenger LNUVMB, 19(80), 128-134.
KrnKoei слова: безмежна пластинка, чужорiдне включення, Î3omponm тыо, rnodmpidHa mennonpoeidmcmb, казкта-тична задача mермoпружнoсmi, неoднoрiдний робочий вузол, металево-скляний спай, тонкосттне включення, узагальнеш функцп, одиничш асиметричш функцп, коефщенти mеплoпрoвiднoсmi i mеплoeмнoсmi, коефщенти зсуву i Ляме, гтотеза Юрхгофа-Лява, ненас^зне i нас^зне включення.
Уравнения неоднородной теплопроводности и квазистатической термоупругости применительно к рабочим метало-стекляным узлом
механизмов пищевых производств
В.А. Волос 1, Б.Р. Циж1,2, Ю.Ю. Варывода1, В.М. Кобернюк1 Volosvalerij@gmail.com
'Львовский национальный университет ветеринарной медицины и биотехнологий имени С.З. Гжицкого,
ул. Пекарская, 50, г. Львов, 79010, Украина;
2Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz, Chodkiewicza, 30, Bydgoszcz, 85-064, Poland;
В рабочих узлах машин и механизмов пищевых производств часто встречаются неоднородные металло-стеклянные спаи, которые во время эксплуатации подвергаются значительным внешним температурным и силовым нагрузкам. Поэтому достаточно актуальными являются вопросы изучения и анализа термонапряженного состояния таких узлов с целью уменьшения возникновения максимальных напряжений и предупреждения разрушений спаев. В работах был проведен аналитический расчет термонапряженного состояния таких неоднородных структур на основании применения аппарата обобщенных функций в математической физике, использование свойств их алгебры, а также теории интегральных преобразований. При этом сначала рассматривался конечное цилиндрическое тело, которое содержит не сквозное включения типа полого цилиндра. Через торцевые и цилиндрическую поверхности тела осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Рассматриваемая система представляет собой кусочно-однородное тело, физико-механические характеристики которого постоянны в пределах каждого элемента и описываются с помощью асимметричных единичных функций цилиндрических координат. Известно, что представлять физико-механические характеристики можно как с помощью асимметричных функций так и с помощью симметричных функций, что приводит к одному и тому же решению. Однако, учитывая, то что при представлении физико-механических характеристик кусочно-однородного тела с помощью асимметричных единичных функций в том же виде представляется и любая их комбинация, сделан вывод о том, что удобнее представлять физико-механический характеристик и кусочно-однородных тел с помощью асимметричных единичных функций. Представляя таким образом коэффициенты теплопроводности, удельной теплоемкости и плотность рассматриваемого кусочно-однородного тела через асимметричные единичные функции цилиндрических координат и используя конструкцию умножения асимметричных единичных и дельта-функций Дирака, выведено дифференциальное уравнение теплопроводности с коэффициентами типа ступенчатых функций и дельта-функций Дирака.
Затем выводятся уравнения в перемещениях квазистатической задачи термоупругости для тела, содержащего несквозное полое цилиндрическое включение. При этом учитываются коэффициенты Ляме, а также температурный коэффициент линейного расширения-функции радиальной и осевой координат. В эти уравнения в качестве постоянных этих неизвестных входят граничные значения температуры, производные по обеим координатам от перемещений, а также объемной деформации. Частичным отмечается случай, когда система рассматривается как тело одномерной кусочно-однородной структуры, то есть когда характеристики материала зависят только от радиальной координаты.
Отмечено также случай, когда коэффициент Пуассона постоянен, а температурный коэффициент линейного расширения и модуль упругости - функции цилиндрических координат. В результате записаны дифференциальные уравнения для цилиндрического тела для двумерной и одномерной неоднородной структуры. Отмечается случай тонкостенного включения (толщина стенок полого цилиндра гораздо меньше его срединного радиуса). В этом случае физико-механические характеристики представлены с помощью дельта-функции Дирака. Используя ее свойства, получены уравнения теплопроводности для тела двумерной неоднородной структуры с коэффициентами в виде дельта-функции Дирака. Далее получены уравнения неоднородной теплопроводности и квазистатической задачи термоупругости с несквозными односторонними включениями типа полого цилиндра. При этом рассматривается бесконечная пластина, одна из поверхностей которой теплоизолированная, а через другую осуществляется конвективный теплообмен с внешней средой, температура которого - некоторая функция времени.
Ключевые слова: бесконечная пластинка, инородное включение, изотропное тело, неоднородная теплопроводность, ка-зистатическая задача термоупругости, неоднородный рабочий узел, металло-стеклянный спай, тонкостенное включения, обобщенные функции, единичные асимметричные функции, коэффициенты теплопроводности и теплоемкости, коэффициенты сдвига и Ляме, гипотеза Кирхгофа-Лява, несквозны и сквозные включения.
Application of inhomogeneous thermal conductivity equations and quasistatic thermo elasticity to the metal-glass components used in the
mechanical food production
V.A. Volos1, B.R. Tsizh1,2 , Y.Y. Varyvoda1, V.M. Kobernyuk1 Volosvalerij@gmail.com
1Stepan Gzhytskyi National University of Veterinary Medicine and Biotechnologies Lviv, Pekarska Str., 50, Lviv, 79010, Ukraine;
2Kazimierz Wielki University in Bydgoszcz, Chodkiewicza, 30, Bydgoszcz, 85-064, Poland;
Inhomogeneous metal-glass junctions commonly used in the components of machinery and mechanisms of the food production are often exposed to external high temperature and heavy loading. Therefore further research and analysis of the thermo-stressed condition of such components with a purpose to decrease maximum tension and prevent damage, is deemed to be a quite applicable topic.In the studies an analytical calculation was made of the thermo stressed condition of such inhomogeneous structures based on the bapplication of generalized functions in mathematical physics, using their algebra solutions as well as integral transform theory. Firstly the finite cylindrical body is analyzed, containing blank type inclusions of a hollow cylinder. Heat transfer between an object and benvironment takes place through the end-face and cylinder surfaces baccording to the Newton's law. This system is piecewise -homogeneous body, physic-mathematical characteristics of which is constant within each element and is described using asymmetric single functions of cylindrical coordinates. It is known that presentation of physic- bmathematical characteristics is possible by application of asymmetric bfunctions as well as symmetric function which both lead to the same bresult. However considering that presentation of physic-mathematical bcharacteristics of piecewise - homogeneous bodies by means of basymmetric functions also allows presentation of its every bcombination, it is concluded that it is more convenient to present bphysic-mathematical characteristics ofpiecewise - homogeneous bodies bby means of asymmetric functions. As so, by presentation of the heat btransfer coefficient, thermal capacity and density of the analyzed bobject by means of asymmetric functions of cylindrical coordinates and by applying method of multiplying asymmetric single and Dirak delta-function, a thermal conductivity differential equation is formulatedwith stage function coefficients and Dirak delta-function.
Then equation is formulated in a transfer of quasi-static thermoelasticity function for an object containing blank type hollow-inclusions. It is taken into account that the Lame parameters, as wellas coefficients of linear thermal expansion - both are functions ofradial and axial coordinates. In these equations the parameters of thevariables are maximum temperature figures, derivatives in bothcoordinates from transfer, as well as from volumetric strain. Particular is the case when a system is considered as a piecewise -homogeneous body structure, when characteristics of material are dependant only on a radial coordinate.
A case is noted when Poisson-factor is fixed and coefficients of linear thermal expansion and elastic modulus are functions of cylindrical coordinates. As a result differential equations for cylindrical body of two-dimensional and one-dimensional inhomogeneous structure are formulated.
Different is a case of thin-walled inclusion (the thickness of the wall of hollow cylinder is much less than its median radius). In this case physic-mathematical characteristics are presented by Dirak delta-function. Using its characteristics formulated is thermal conductivity and thermo elasticity equation for body of two-dimensional binhomogeneous structure with coefficients in the form of Dirak delta- function.
Further formulated is an equation of inhomogeneous thermal conductivity and quasi-static task of thermo elasticity for plates bwith blind one-side inclusions of hollow cylinder type. By this, an infinite plate is analyzed, one of surfaces of which is thermo isolated, and through the second of which heat transfer with environment takes place, temperature of which is some function.
Key words: infinitive plate, foreign inclusions, isotropic body, inhomogeneous thermal conductivity, quasi-static task of thermo elasticity, inhomogeneous component, metal-glass junction, thin-walled inclusion, general functions, single asymmetric function, coefficient of thermal conductivity and heat capacity, the Lame parameters, the Kirchhoff-Love theory, blind and non-blind inclusions.
Вступ
Для проведения дослщжень рад1альних i кшьцевих температурных напружень у неодноршних пластинах, що мютять чужорвдш цилiндричнi включення, широко використано метод, який заснований на застосу-ванш узагальнених функцш для зображення фiзико-мехашчних i геометричних характеристик тш неодно-ршно! структур як единого цшого i який також дае можливосл розробляти проблеми термомехашки для тш дво- i тривимiрноl кусково-одноршно! структури. На основi цього методу в робот розглянуто вшнесене до цилшдричних координат г, ж потропне неодно-ршне тверде тшо, фiзико-механiчнi характеристики якого P(r, fri) - функцп вказаних координат. Поставивши у рiвняння балансу тепла компоненти вектора теплового потоку для визначення температурного поля неоднородного тша, приходимо до такого рiв-няння теилопровцщосп у цилшдричних координатах: 1 й г ., &t\ id /., bt\ д /„ &t\ , or '. ОГ' г- 0Ф 0Ф' 0! . 01- (1)
Тут Ф.г) С(Г. p(r, <p>zi - коефпцент те-плопровiдностi, питома теплоемнiсть i густина тша
вщюввдно, щ с г, (р, zr г) - густина джерел тепла, тобто шльшсть тепла, яка продукуеться в одиницi об'ему за одиницю часу всiма джерелами, а крапкою зверху иозначено операцпо диферешцювання по часу т.
Для знаходження залежносп мiж компонентами деформаци i перемщення використаемо сшвввдно-шення Дюгамеля-Неймана:
У формулах (2) позначено: в,
гг- ет
- компонента тензора деформаци, н, в, 6t -
компоненти
orj, — (T^jr- vrs ~ vi
зора напружень,
вектора перемщення,
_ т - компоненти тен-
&г г / д-3
Р - яР(ЗА + 2fi), e—t—ta - прирют температури тша, etftr, <р, г) - температурний коефщент лшшного розширення, г№ - початкова температура, при якш
напруження у тш вщсутне. Коефщенти Ляме А(г, <р, г)- ^^z) яи у випадку потропного неодно-рщного тша е функц1ями координат, виражаються через модуль Юнга Efr, коефщент Пуассона v (г, я) та модуль зсуву G(rtqr,x) таким чином:
J*_ —г - Е
(l+i^l-iv)" * ~ & ~
я-
Поставивши вираз для напруження (2) у р1вняння р1вноваги, приходимо до такого р1вняння у перемь щеннях
+ и 2 ди 1 дц Л ди dv
ц &г гг r'dqt ft&r&r грдф\гд<р &г г/ ldfisdto + ди\ + вал
¡1 ч9г дж/ ц &r f£ 9г
(3)
Якщо ж ф1зико-механ1чн1 характеристики - функци одше! координата - полярного радоуса Т. то за-мють (1), (2) буде
I, нарешп, у випадку одновим1рно! задач1 будемо мати
А сшвввдношення Дюгамеля-Неймана в цьому випадку запишуться таким чином:
Матерiали i методи дослвдження
Отримання залежностей рад1альних та шльцевих температурних напружень в неоднорщних пластинках, що м1стять чужорщт цил1ндричш включення, в1д полярного рад1уса грунтувалось на розробщ нових метод1в дослвджень, як1 зводились до такого:
- отримано р1вняння термопружносп неоднорщ-них пластин, ф1зико-мехашчш характеристики яких -функци цилтдричних координат;
- виведено р1вняння теплопроввдносп i термопружносп з коефiцiентами типу iмпульсних функцш для масивних тш i тонких пластин iз одностороннiми включениями типу порожнистого цилшдра;
- розроблено методику побудови розв'язшв задач теплопровшносп та термопружносп тш 1з плоско-паралельними границями, яш м1стять ненаскр1зш 1 наскр1зш тонкостшш включення. Методика заснована на застосуванш апарату узагальнених функцш 1 до-зволяе отримувати замкнут розв'язки, едиш для вае1 дшянки !х визначення. Дана оцшка точносп розв'язку задач1 для тш 1з тонкостшними включеннями;
- виконаш дослщження рад1альних 1 кшьцевих температурних напружень в неоднорвдному металево-скляному робочому вузл1, що складаеться 1з металево-го сплаву 47НХР та мщшстного скла С-93-1. При оптим1заци конструкцп такого неоднорвдного вузла з точки зору виникнення мшмальних рад1альних та шльцевих температурних напружень на меж «метал-скло» перед розробниками поставало завдання - або тдбирати склад 1 властивосп стекол тд наявний метал, або створювати новий сплав 1 нов1 стекла. При виготовленш неоднорвдних елеменпв таких робочих вузл1в широко використовуеться властивють термоуз-годженосп металево-скляних спа!в. При цьому ф1зи-ко-мехашчш характеристики компоненпв спаю тд-бираються близькими м1ж собою. Цим забезпечуеться потр1бна термомщшсть 1 вакуумна мщшсть сплав1в. Таке прагнення до термоузгодженосп спа!в викликае деяке пом'якшення неодноршностей !х властивостей, що робить неодноршшсть спаю слабшою. Це дозво-ляе використовувати при розрахунках температурних напружень гшотезу Юрхгофа-Лява, 1 якщо включення вщр1зняються складною конф1гуращею форми або значними геометричними розм1рами, за рахунок чого у ряд1 випадшв 1 виникае руйнування спа!в, то стае можливим оптим1зувати так! конструкцп залежно вш геометричних розм1р1в включення. У зв'язку з цим виникае необхвдшсть вивчення двовим1рних температурних напружень в тшах 1з плоско-паралельними границями, що м1стять чужоршш включення типу порожнистого цил1ндра.
Дослщження температурних напружень в таких тшах у лггератур1 були вщсутш.
Для вивчення р1внянь теплопровщносп пластинок, теплоф1зичш характеристики яких - функци цил1нд-ричних координат, розглянемо тонку неоднорщну пластинку товщиною 26, теплоф1зичш характеристики яко! е дов1льними функц1ями цил1ндричних координат.
Припускаемо, що температура по товщиш пластинки розподшяеться за лишним законом
t - т-ь-т\
о к
де Г = ^ [ йй, Г = 7 f ztdz (8)
-S —S
1нтегруючи (3) вщповвдно з (8) пiсля деяких пере-творень для визначення ¡нтсгральних характеристик Т i Т" отримуемо наступну взаемозв'язану систему ди-ференцiальних рiвнянь теплопровiдностi для неодно-р1дних пластин
Тут уведеш позначення:
а е-
-Я -в
л л
с (г,9) = | = -1
-в -в
в л
АГ(г,ф) = — 1СГг. Р) = — I 22Ср(?\
-г -в
1 ё 1 д1
1 ь± 2 ' ~~ &г3 ' г &г ' т1 д<рт
Умови теплообм1ну на щшндричнш поверхш пластинки I початкова умова шеля диференцповання по 2 вь
дповщно ! Т 1 Г ' запишуться у виглядг
дТ
дТ"
аV, *)—■+ % О - ТБ) = и, Л&Т, + % а' - = о ач
Г(г,т) = Г0«г, г), Г*(г, г, т) = Т* {г, г) првт= 0 , 1)
де Т3. Га* - штегральш характеристики температур
У випадку, якщо теплоф1зичш характеристики не залежать ввд координата <р. система (9) набувае вигляду:
8А&Т дЛ'дТ" „ „
МГ 4- А'ЬГ + —— + —— -а+(Т-ф-а_(Г- £) =СТ + СТ,
дг&г дг дг
дА*дТ* г/ 1 ^ „ 1
Л"ДГ* + ЗА'ДГ* + 3 ~ 3 [(СЕ+ + ^Л] Г - а+Е? + а. (Т— £+)] =
(12)
= 3 с*т + спг
Для однорщно1 1зотропно! пластинки 1з р1внянь (9) випкають вже рашше в1дом1 у л1тератур1 (Кате1ои and Eger, 1964) р1вняння
де Л = С = 2Ср'3 . г0 - —
Результати та \х обговорення
У статп наведеш розв'язки задач1 неоднорщно! теплопровщносп та термопружносп для пластин 1з не наскр1зними одностороншми включениями типу порожнистого цил1ндра для випадку, коли товщина стшки порожнистого цилшдра значно менша, шж рад1ус його серединно! поверхш та висоти. При цьому використана взаемозв'язана система р1внянь р1в-новаги в перемщеннях для неоднорщних пластин. Отримаш рiвияния мютять коефщентами характерис-тичну функцiю вiдрiзка радiальноl координати. Для випадку, якщо товщина включення значно менша за iншi його розмiри, шляхом граничного переходу ви-ведено незв'язану систему диференцiальних рiвиянь
термопружносп, яка мютить коефiцiентами дельта-функцш Ддрака та 11 першу i другу похiдну. При цьому рiвняння для визначення радiального перемщення е диференцiальним рiвняниям другого порядку, що мютить коефiцiентами дельта-функцш Дiрака i 11 першу похiдну, а рiвняння для визначення прогину -диференщальними рiвняниями четвертого порядку i мiстить коефiцiентами дельта-функцш Дiрака та двi 11 першi похiднi. Ввдшчено частковий випадок, коли висота включення одного порядку малосл з його товщиною. Записано загальш iнтеграли виведених рiвнянь. Розглянуто випадок наскрiзного тонкостшно-го цилiндричного включення. Отриманi рiвняння теплопровiдностi та термопружиостi пластин, що мютять тонкостiнне включення у виглядi к1льцевого
сектора. Припускаеться, що через поверхн кусково-одноршно! пластинки здшснюеться теплообмш 1з навколишшм середовищем за законом Ньютона, при-чому температури середовищ, як1 омивають щ поверхш, однаков1. Ф1зико-мехашчн1 характеристики пред-ставляються тут за допомогою дельта-функцп Ддрака по рад1альнш координат 1 характеристично! функцп ввдр1зка по кутовш координата Шсля перетворень отримано р1вняння теплопровшносп, що мютить кое-фщентами характеристичну функцш ввдр1зка 1 дель-та-функцш ввдр1зка та дельта-функцш Д1рака по кутовш координат^ дельта-функцш 1 11 першу похш-ну по ращальнш координап. Отримана також вшповь дна взаемозв'язана система р1внянь термопружносп у перемщеннях. Ввдшчено випадок, коли ф1зико-механ1чн1 характеристики розглядувано! системи е функщями лише кутово! координати.
Розглянуто неодноршний робочий вузол, який ви-готовлено з1 скла С95-3 та чужоршного металевого сплаву 47НХР. При спайщ металу з1 склом досягаеть-ся найбшына температура — 440°С. Початкова температура — 20°С. Отже, = 420':'С- Середне значення температурного коефщента лшшного роз-ширення в штервал1 температур 20 — 440 СС для скла С95-3 1 сплаву 47 НХР вшповвдно таш: ¿41> = 99-10Г7К-1- = ЮН-Ю"7«"1. Мехашчш характеристики для цих матер1ал1в Е,=6 8 ■ 1015 —•
= О,га; Еа = 17,12 ■ ^ V» = 0,3.
Розрахунки рад1альних агг та кшьцевих тем-пературних дослвджень у скл1 С95-3 та на поверхнях 2 — +5, 2 - ё - 2 — Э, 2 — -д при геометричних параметрах а = 4,5. КГ* и, й = 5,85 ■ 10": м-М=11,7 ■ Ю-3 м- Ш = 0,3 ■ 1ЕГа м проведет за формулами:
1 г За \ 1 / %
+ ¥МЧ'~ 26 К1* + Г
де
Г йи « 1
= [Сл + еч--ад],
Проаналповано залежносп рад1альних г?гг 1 шльцевих температурних напружень ви полярного
рад1уса в пластинщ, що мютить ненаскр1зне цилшд-ричне включення, подан 1 досладжен у вигляд1 гра-фшв на таких поверхнях пластинки:
1) на верхнш поверхш 2 — +3 пластинки;
2) на поверхш 2 = 3 — й, що проходить всере-диш пластинки, де закшчуеться чужоршне включення, 1 паралельно! 11 боковим поверхням;
3) на серединшй поверхш 2 = 0 пластинки;
4) на нижнш и поверхш 2--де включення
немае.
Розглянуто два випадки: вшьного опирання та ви-падок жорсткого защемлення пластинки на безмежно-сл.
Анал1з напружень проведений лише у скл1, оскшь-ки мщшсть скла значно нижча н1ж ввд мщносл металевого включення. 1з анатзу проведеного для випадку вшьного опирання випливае, що всередиш включення напруження на вс1х дослвджуваних поверхнях пластинки приймають постшн1 значення. За границями включення з1 збшьшенням полярного рад1уса вони менш-б1льш плавно на рпних ¡нтервалах зм1ни рад1у-са зменшуються, але шеля величини г = 1,0- 10"г м 1х зменшення практично припиняеться. Рад1альн1 температурш напруження на поверхнях % = +§, 2 = 6 — й, Ж = Ъ всередиш включення являються розтягуючими. При цьому максимального значення досягають напруження на поверхш 1 = +ё ,■;; 3 , У скл1, ззовн1 включення, в дшянш роз-
тягу е напруження, яи лежать на поверхш 2 = —6. причому максимального значення вони досягають на стику скла 1 включення. Для випадку жорсткого защемления максимальш стискукш напруження
4Д7- Ю7—^ досягаються на поверхш 7. = +Л, а
найменш1 на поверхш 2 = —А'
1з загального анал1зу граф1к1в випливае, що:
- максимально! величини температурш напруження досягають на поверхш спаю скла 1 металевого включення;
- як рад1альш, так 1 кшьцев1 напруження у скл1, всередиш цилшдричного включення, мають постшне, на однакових поверхнях р1вне м1ж собою значення;
- як рад1альш, так 1 к1льцев1 напруження пор1вняно швидко зменшуються до нуля 1з зб1льшенням полярного рад1уса, збурення напружень, викликане наявн1с-тю включення, зменшуються на в1дстан1 двох сере-динних рад1ус1в включення.
Висновки
1. Розроблена методика побудови розв'язшв задач теплопров1дност1 та термопружност1 тш 1з плоско-паралельними границями, що мютять ненаскр1зн1 1 наскр1зн1 цил1ндричш тонкост1нн1 включення. Методика заснована на представленн1 ф1зико-механ1чних характеристик кусково-одноршних т1л як единого ц1лого за допомого асиметричних одиничних функц1й вщр1зка 1 приведення 1з використанням штегральних перетворень 1 алгебри асиметричних узагальнених функц1й сформульованих задач до розв'язку звичай-них диференц1альних р1внянь з коефщентами типу 1мпульсних функц1й.
2. Отримано диференшальш р1вняння кваз1стати-чно! задач1 термопружност1 неоднор1дних пластин, ф1зико-мехашчш характеристики яких - функцИ' ци-л1ндричних координат. Розглянуто випадок, коли ф1зико-механ1чш характеристики не залежать вш кутово! координати.
3. Отримана взаемозв'язана система диференша-льних р1внянь з коефщентами типу ступеневих фун-кцш 1 дельта-функцй Ддрака теплопров1дност1 та тер-
MOnpyKHOCTi njaCTHH i3 HCHaCKpi3HHMH OgHOCTOpOHHi-mh BKjnoHeHHiiMH Tuny nopoKKHHCToro uujiiHgpa. npu-BegeHi nacTKOBi BunagKu: TOB^HHa CTiHKH BKjoneHHa Maja nopiBHHHO 3 noro cepeguHHHM pagiycoM; njacTHHa MiCTHTb HaCKpi3He BKjoneHHa y BHrjagi nopoKHHCToro HHjmgpa, BHCOTa aKoro gopiBHoe tob^hh njacTHHu; BHCOTa BKjOHeHHa ogHoro nopagKy MajOCTi 3 noro
TOB^HHOO.
4. no6ygoBaHO 3aMKHyTHH po3B'a3OK gBOBHMipHOi CTauioHapHoI 3agani TenjonpoBigHOCTi gja mapy i3 He-HaCKpi3HHM BKjOHeHHHM, eguHHH gja Bciei o6gacri noro BH3HaneHHa, kojh Ha KpyroBift nacTHHi BepxHbOi noBep-xHi mapy 3agaHi ctokh Tenja, ^o 3agaHi CTpu6Konogi6-ho, a HHKHa noro noBepxHa nigTpuMyeTbca npu 3agarnH TeMnepaTypi.
5. 3HaftgeHO 3aMKHyTHH po3B'a3OK 3agani Tenjonpo-BigHOCTi Ta KBa3icTaTHHHOi 3agani TepMonpyKHOCTi gja 6e3MeKHOi njacTHHKu 3 gBOCTopoHHiMH npunoBepxHe-bhmh BKjiOHeHHHMH y Burjagi ogHaKOBux nopoKHHCTux UHjmgpiB, po3TamoBaHux CHMeTpuHHO BigHOCHO cepe-
guHHOi njo^HHH y BunagKy goKagbHoro ii HarpiBaHHa
3OBHimHiM cepegoBH^eM.
EiS.iorpa^iHni iIOCII. lanim
Vladimirov, V.S. (1979). Obobshhennye funkcii v matematicheskoj fizike. M.: Nauka (in Russian).
Karslou, G., Eger, D. (1964). Teploprovodnost' tverdyh tel. M.: Nauka (in Russian).
Kech, V., Teodoresku, P. (1978). Vvedenie v teoriju obobshhjonnyh funkcij s prilozhenijami v tehnike. M.: Mir (in Russian).
Lomakin, V.A. (1976). Teorija uprugosti neodnorodnyh tel. M.: Izd-vo MGU (in Russian).
Ljubimov, M.L. (1968). Spai metalla so steklom. M.: Jenergija (in Russian).
Received 26.09.2017 Received in revised form 17.10.2017 Accepted 20.10.2017
