Уравнения холодной столкновительной плазмы в гидродинамическом приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.59:533.95

Е. Р. Егорова

УРАВНЕНИЯ ХОЛОДНОЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассмотрена модель двух жидкостей двухкомпонентной изотропной холодной плазмы в однородном магнитном поле с холодными ионами и электронами с учетом столкновений. Получены уравнения в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси абсцисс, и дисперсионное соотношение для уравнений в безразмерной форме.

E-mail: pm-99-1@mail.ru

Ключевые слова: динамика плазмы, двухжидкостная модель, гидродинамическое приближение.

Для исследования динамики плазмы часто применяют гидродинамические модели, в которых электроны и ионы описываются как две проводящие жидкости (двухжидкостная модель), связанные друг с другом электромагнитными полями и диссипацией.

К первым работам, посвященным изучению плоскопараллельных волновых движений в гидродинамической модели изотропной бес-столкновительной квазинейтральной плазмы в однородном магнитном поле, по-видимому, следует отнести работы Монтгомери [1], Саффма-на [2], Келлога [3], Какутани [4], в которых рассматриваются частные решения уравнений переноса в пределе бесстолкновительной холодной плазмы, у которой давление газа мало в сравнении с магнитным давлением. В этих уравнениях сохранена инерция электронов, что приводит к наличию дисперсии. При этом неучет силы трения между ионами и электронами накладывает ограничения — плазма должна быть разреженной. Попытки описать не отдельные решения, а целые классы решений уравнений холодной плазмы были предприняты с использованием стандартного упрощения одномерных уравнений (которые еще сложны для общего исследования) методом многих масштабов. Гарднер и Морикава [5] показали, что указанный вид волн описывается уравнениями Кортевега-де-Вриза (КдВ). Затем Березин и Карпман [6] установили, что аналогично можно сформулировать уравнения для наклонного распространения волн. При помощи разновидности метода многих масштабов Какутани и другие [7], а также Какутани и Оно [8] получили уравнение КдВ и обобщенное уравнение КдВ пятого порядка для длинных магнитозвуковых волн в окрестности состояния покоя. В результате был сделан вывод о том, что классические уединенные волны — солитоны — в холодной бесстолкновительной плазме существуют для всех углов наклона 0 <9 ^ п/2 невозмущенного магнитного поля к направлению распространения волны. Для 9 < 9c

(9С — некоторое критическое значение угла 9) солитоны соответствуют волне разрежения, а при п/2 ^ 9 > 0С — волне сжатия. Исследования полной системы уравнений (см., например, монографию Ильичева [9]) показали, что солитоны для 9 < 9С не существуют, в этом диапазоне углов наклона они замещаются обобщенно-уединенными волнами. В работе Ильичева [10], в которой проанализирована полная система уравнений холодной бесстолкновительной плазмы, найдены семейства уединенных волновых пакетов, которые ответвляются от состояния покоя в результате 1:1-резонанса.

Плазма магнитосферы Земли является хорошим примером холодной бесстолкновительной квазинейтральной плазмы (см. напри-

Для изучения процессов в холодной неразреженной плазме необходимо учитывать влияние диссипативных факторов, таких как сила трения между электронами и ионами. В рамках гидродинамической модели двух жидкостей в холодной плазме не учитывается тепловое движение электронов и ионов, а также другие диссипативные факторы, кроме силы трения между ионами и электронами, которая связывает электронную и ионную жидкости.

За время те электроны теряют свое упорядоченную скорость уе — у относительно ионов, следовательно, они теряют (а ионы приобретают) импульс те(уе — Уг) на каждый электрон. Это значит, что на электроны

ТОе Пе / \

действует сила трения порядка-(уе — у); равная ей, но противо-

те

положно направленная сила, действует на ионы [11].

В настоящей работе из уравнений двухжидкостной гидродинамики холодной плазмы с учетом столкновений электронов с ионами получены уравнения распространения плоских волн. При этом предполагается, что плазма является нерелятивистской. В полученных уравнениях в частных производных (по времени и направлению распространения фронта волны) дисперсия связана с инерцией электронов, а диссипация — с силой трения между ионами и электронами. Эта система уравнений с учетом всех упомянутых эффектов, насколько известно автору, получена впервые. Кроме того, получено и проанализировано дисперсионное соотношение для плоских волн.

Уравнения для гидромагнитных волн. Движение столкнови-тельной двухкомпонентной изотропной плазмы может быть описано системой самосогласованных уравнений движения частиц совместно с уравнениями Максвелла [12]:

мер, [10]).

1 дЕ 4пе

(1)

— 1 dB rotE + = 0;

c dt

divB = 0; divE = 4ne(U¡ — U); du'

+ div(U¡V¡) = 0;

d(l)v¡ f— 1 —Л me _

mi—-=— = e E + -(v¡ x B) +--(ve — v¡);

dt

c

Te

OUe dt

+ div(n¡ve) = 0;

d(e)Ve

me-^ = — e (E + 1 (Ve x B ) ) — — (Ve — v¡).

dt c Te

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Уравнения (1)-(4) — это уравнения Максвелла, характеризующие электромагнитное поле, где E — вектор напряженности электрического поля, B — вектор магнитной индукции. Уравнения (5)-(8) — уравнения переноса простой холодной плазмы; уравнения (5) и (6) — уравнение неразрывности и уравнение движения для ионов, в которых П — плотность числа частиц ионов, m¿ — масса иона; v — вектор скорости иона, те — время установления равновесного распределения скоростей между электронами. Уравнения (7) и (8) — соответствующие уравнения для электронов, в которых Пе — плотность электронов; me — масса электрона; ve — вектор скорости электронов.

Для того чтобы выразить систему уравнений (1)-(8) в безразмерной

форме, введем характерные величины: L — линейный пространствен-

_ 1

ный масштаб, VA = |B0| [4пп0 (me + m¿)] 2 — альфвеновская скорость, где B0 — вектор магнитной индукции невозмущенного магнитного поля, n0 — невозмущенная плотность частиц с размерностью длины, а также скорости частиц, величины магнитного и электрического полей и плотности частиц, соответственно v = щ/Va, ve = ve/V а, B = B/ |B0|, E = E/ IB0I, П = щ/п0, Пе = Пе/П0.

При переходе к безразмерным переменным для операторов дифференцирования вводится параметр ш0 — характерная частота явления VAL-1, а операторы дифференцирования меняются следующим образом (сохраним те же обозначения для обезразмеренных операторов градиента, дивергенции и ротора):

grad ^ L 1 grad; div ^ L 1 div; rot ^ L 1 rot; = ;

-i

-i.

d

д

dt

'dt1

d(e) d(e) (d ~dt£= ^ = ШЛ dt + Ve ^ grad

d(г) d(г) (д Л

1Г = ^ = ^ + • ^ •

Предположим, что альфвеновская скорость УА настолько меньше скорости света с, что величина (Л-1 + Л-1) (Уа/о)2 пренебрежимо мала; характерная частота явления много меньше лангмюровской частоты шр = 4пи0е2/те.

При выполнении этих двух условий плазму в дальнейшем можно считать квазинейтральной, т.е.

пе ~ пг = п.

После исключения из преобразованных уравнений (1)-(8) величин уе и Е, получим замкнутую систему уравнений для ионной жидкости (в пределе квазинейтральной плазмы) в виде

дп

0 = + ^у(пу); (9)

= Л-1 ^ (п-1 го1В) + Ле"1п"1 гоШ gradvг—

— (Лг-1 + Л-1) (п-1 го1В) gгad(n-1 гоШ) + п-1 го1В х В; (10)

-В „ 1 1 „

— = — Л--1 го^^т1 + го^у х В) — е го1п-1 гоШ, (11)

где величины Лг и Ле — безразмерные параметры дисперсии; Де = ше/ш0 — отношение циклотронной частоты электронов ше к характерной частоте (электронное число Рейнольдса); Лг = — ионное число Рейнольдса;

е = Л-1 + Л-1 • (12)

ШеТе

В итоге из уравнений (9)-(12) для плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох, получим систему уравнений следующего вида:

dn du

dt dx'

du_ _n-1 d (By2 + Bz2) _ dt = 2 dx '

dv dBy D_i d /_i dBz

dt П Bx dx dt \ dx

du dBz i d / _i dBy

_ = + r-1 dt -T^h (13)

dBy ß dv ß du d du _1 d2By

dt x dx y dx г dx dt dx2

— = Вх— — В— Л-1—— + еп-1-2В* & Х -X * -X 1 -X & -X2 '

где ВХ, Ву, В* — пространственные компоненты В = В/1Во|; и, V, ш — пространственные компоненты щ = щ/Уа.

Дисперсионное соотношение. Рассмотрим решение системы (13) при условии, что ее детерминант обращается в нуль, что приводит к дисперсионному уравнению, связывающему волновое число к с рабочей частотой ы, и характеризующему распространение волн в дисперсных средах.

Рассмотрим решение уравнений (13) в виде бегущей плоской гармонической волны

/п\ /по\ /1\

u

и ш

By

\BZ /

Uo

Uo

шо Boyo

BZyo

gi(kx-w t) +

0

0 0

sin 9 0

Полагая, что

n = Su +1, u = Su, v = Sv, ш = Su, By = sin 9 + SBy, Bz = SBz,

получаем решение системы уравнений (13) в виде бегущей плоской волны

/ Su \ ( По \

Su Sv Su SBy V SBz y

uo

Uo

шо Boyo

VB0/

kx-wt)

Дисперсионное уравнение позволяет найти функции и(к) и к (и), которые представляют собой многозначные аналитические функции. Число ветвей этих функций определяется наивысшими степенями к и и в дисперсионном уравнении.

Дисперсионное соотношение имеет вид

и4(Ле"1Л"1 k2 + 1)2 + u3i(2R~1R~1ek4 + 2ек2)--w2(R"2k4 cos2 9+R~2k4 cos2 9+R~1R~1k4 sin2 9+k2(cos2 9+1)+e2k4)-

- uiek4(cos2 9 + 1) + k4 cos2 9 = 0. (14)

В пределе холодной плазмы дисперсионная кривая имеет две ветви — альфвеновскую и магнитозвуковую. Взаимное расположение этих

e

Ветви дисперсионного соотношения для действительной (а) и мнимой (б) частей решения (14):

1 — альфвеновская ветвь, 2 — магнитозвуковая ветвь

ветвей при в = 0, Я-1 = Я = 0,0234352, е = 0,01 показано на рисунке. Можно представить семейство дисперсионных кривых, варьируя значения углов в, коэффициентов Я-1, Я и е.

Выводы. Впервые выведены уравнения, описывающие плоские волны в гидродинамическом приближении в столкновительной холодной плазме, т.е. плазме, у которой тепловое давление мало в сравнении с магнитным давлением. При этом функция распределения величин, характеризующих процессы в плазме, мало отличается от максвел-ловской (на величину, пропорциональную малым градиентам). Уравнения переноса не содержит давлений и тензора вязких напряжений [13], а трение между ионами и электронами обусловлено различием скоростей этих частиц. Уравнения выведены в общих предположениях: плазма является нерелятивистской (отношение альфвеновской скорости к скорости света мало) и характерная частота рассматриваемых явлений много меньше лангмюровской частоты. При этом не отбрасываются члены, учитывающие инерцию электронов, так что результирующие уравнения наряду с диссипацией за счет трения учитывают и дисперсию. Учет силы трения позволяет не накладывать никаких ограничений на электронное "время между столкновениями" (время существенного обмена энергией между электронами). Получено и проанализировано дисперсионное уравнение задачи, исследованы зависимости мнимой и вещественной частоты от угла между невозмущенным магнитным полем и направлением распространения волны, параметров дисперсии и диссипации.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 08-01-00125.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Montgomery D. Nonlinear Alfven waves in a cold ionized gas // Phys. Fluids.

- 1959. -V. 2. - P. 585-588.

2. S a f f m a n P. G. On hydromagnetic waves of finite amplitude in a cold plasma // J. Fluid Mech. - 1961. - V. 11. - P. 552-556.

3. K e 11 o g P. G. Solitary waves in cold collisionless plasma // Phys. Fluids. - 1964.

- V.7. - P. 1555-1571.

4. Kakutani T. Non-linear hydromagnetic waves propagating along the magnetic field in a cold collision-free plasma // J. Phys. Soc. Japan. - 1966. - V. 21. - P. 385398.

5. G a r d n e r C. S., M o r i k a w a G. K. // Courant Institute of Mathematical Sciences Report No.NYO 9082, 1960.

6. Березин Ю. А., Карпман В. И. Советская физика // ЖЭТФ. - 1964. -Т. 46. - С. 1880-1896.

7. K a k u t a n i T., O n o H., T a n i u t i T., W e i C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. II. Application to hydromagnetic waves in cold plasma // J. Phys. Soc. Japan. - 1968. - V. 24. - P. 941-945.

8. K a k u t a n i T., O n o H. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collisionfree plasma // J. Phys. Soc. Japan. - 1969. - V. 26. - P. 1305-1318.

9. И л ь и ч е в А. Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. - М.: Физма-тлит, 2003. - С. 131-166.

10. И л ь и ч е в А. Т. Уединенные волны-пакеты в холодной плазме // Изв. РАН. -МЖГ. - 1996. -№ 5. - С. 154-161.

11. Кингсепп А. С. Нелинейные волны в электронной магнитной гидродинамике // В сб. Нелинейные волны; Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, В.И. Неоркина. - Нижний Новгород. - 2002. - С. 329-342.

12. К а д о м ц е в Б. Б. Коллективные явления в плазме. - М.: Наука, 1976. - С. 2535.

13. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // В сб. Вопросы теории плазмы; Под ред. М.А.Леонтовича. - М.: Госатомиздат, 1963. - С. 183-272.

Статья поступила в редакцию 22.10.2008

Елена Револьевна Егорова родилась в 1982 г. В 2006 г. окончила Институт математики и информатики Якутского государственного университета. Аспирант ЯГУ им. М.К. Аммосова. Автор 10 научных работ в области прикладной математики.

Ye.R. Yegorova (b. 1982) graduated from the Institute of Mathematics and Information Technology of the Yakutsk State University in 2006. Post-graduate of the Yakutsk State University n.a. M.K. Ammosov. Author of 10 publications in the field of applied mathematics.