Уравнения движения горизонтальных крутильных весов при малых маятниковых качаниях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 155-166 Механика

УДК 531.5;528.565

Уравнения движения горизонтальных крутильных весов при малых маятниковых качаниях

С.А. Шопин

Аннотация. С использованием уравнения Лагранжа 2-го рода получены уравнения движения горизонтальных крутильных весов.

При выводе уравнений допущение малости принималось только для маятниковых качаний.

Ключевые слова: горизонтальный крутильный маятник,

крутильные весы, углы Эйлера, асимметричное твердое тело.

Работа выполнена в рамках проектов №4173 «Фундаментальные исследования механизма геодинамических процессов на основе принципов неравновесной термодинамики и разработка физико-математической модели механизма природных аномалий» (рук. д.т.н., проф. Мартынов О.В.) аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» и №1235 «Исследование неравновесных природных систем, создание теории и практических рекомендаций производства энергии за счет динамики естественных поляризованных сред» (рук. д.т.н., проф. Мартынов О.В.) аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)».

Введение

В работах [1-2] описана приборная система широкополосного градиентометра (далее ШГМ), используемая для регистрации динамических возмущений гравитационного поля Земли.

В основе конструкции прибора ШГМ лежит принцип измерения малых сил с использованием асимметричных горизонтальных крутильных весов. Асимметричность делает движение крутильных весов достаточно сложным и существенно затрудняет непосредственный анализ сигналов приборной системы. Для интерпретации ее сигналов необходима математическая модель реакции крутильных весов на возмущения гравитационного поля Земли. Известные в литературе уравнения похожего по конструкции прибора —

динамического гравитационного вариометра [3] — выведены при допущении малости всех движений в системе. В тоже время исследования показали, что указанное допущение неверно по отношению к движению крутильной системы прибора ШГМ: малыми являются только часть движений [1]. В связи с этим возникла задача построения математической модели движения асимметричных крутильных весов, учитывающей особенности прибора ШГМ.

1. Системы координат и исходные данные

Конструкция крутильной системы прибора ШГМ показана на рис. 1а. Она представляет собой коромысло 2, подвешенное за центр тяжести на нити

1. На концах коромысла закреплены грузы 3 и 4. Точка подвеса нити О неподвижна. Груз 3 имеет сложную геометрическую форму, что придает крутильной системе асимметричность.

Для построения математической модели движения крутильных весов заменим коромысло с грузами асимметричным твердым телом, с механическими параметрами, соответствующими массо-инерционным характеристикам крутильной системы (рис. 1б). На рис. 1б твердое тело условно показано в виде цилиндра.

а) б)

Рис. 1. а) Крутильная система прибора ШГМ: О — точка подвеса крутильной системы; 1 — нить подвеса; 2 — коромысло; 3 — груз сложной формы; 4 — груз-противовес; б) Замена крутильной системы на асимметричное твердое тело: Ь — длина нити подвеса, Ьо — смещение центра тяжести в вертикальной плоскости, Хо — точка подвеса тела

При выводе уравнений предполагаем известными конструктивные параметры крутильной системы:

• длину Ь и коэффициент крутильной жесткости ккр нити подвеса;

• смещение центра тяжести в вертикальной плоскости Ьо;

• главные компоненты .]х, ,1У, тензора инерции I;

• общую массу элементов крутильной системы М.

Свяжем с точкой подвеса крутильной системы неподвижную систему координат хуг, с подвешенным телом — подвижную систему координат ХУZ (рис. 2). Оси подвижной системы координат направим по главным осям инерции твердого тела. Начало координат подвижной системы совместим с центром тяжести твердого тела.

Для определения ориентации подвижной системы координат относительно неподвижной будем использовать углы Эйлера (трехмерному пространству соответствуют три угла Эйлера). Всего существует 12 возможных вариантов выбора углов Эйлера, каждому из которых соответствует определенная последовательность поворотов. Каждая последовательность обозначается 3-мя цифрами. Каждая из цифр в обозначении последовательности соответствует номеру координатной оси относительно которой выполняется поворот (1 — X,2 — У, 3 — Z) [4]. Среди них последовательность 123 (XУZ) позволяет получить наиболее простые уравнения, кроме того углы Эйлера в этом случае имеют ясный физический смысл.

Преобразование координат из неподвижной системы в подвижную может быть осуществлено путем параллельного переноса начала координат и выполнения последовательности поворотов, соответствующих используемому набору углов Эйлера.

г

У

Рис. 2. Системы координат

Последовательность поворотов 123 строится следующим образом (рис. 3):

1) поворот на угол ві относительно оси ОХ — в результате получаем базис Еі, определяемый по формуле:

Еі = Е • (ві), (1)

где Е — базис неподвижной системы координат, Кж (ві) — матрица поворота относительно оси ОХ на угол ві;

2) поворот на угол в2 относительно оси ОУі — в результате получаем базис Е2:

Е2 = Еі • Б* (в2), (2)

где ^ (в2) — матрица поворота относительно оси ОУ на угол в2;

3) поворот на угол вз относительно оси OZ2 — в результате получаем базис Е3

Ез = Е2 • Я, (вз), (3)

где Я, (вз) - матрица поворота относительно оси OZ на угол вз.

Рис. 3. Последовательность поворотов 123

Матрица перехода от базиса неподвижной системы координат к базису подвижной строится путем перемножения матриц последовательных поворотов:

Я* = Яж (вг) Яу (02) Я* (вз) . (4)

Матрица преобразования базиса Я* является также матрицей для преобразования координат из подвижной системы координат, связанной с телом, в неподвижную:

Ягєт

(5)

где єві — вектор-столбец координат вектора в неподвижной системе координат, єт'€ — вектор-столбец координат вектора в подвижной системе координат.

Получим матрицу Яг в явном виде:

Яі

Я;

і

1 0 0 008 в2 0 8ІП в2 008 вз — 8ІП вз 0 "

0 008 ві — 8ІП ві 0 1 0 8ІП вз 008 вз 0

_ 0 8ІП ві 008 ві — 8ІП в2 0 008 в2 0 01

г СОБ в2 СОБ в3 — СОБ в2 БІП в3 БІП в2

СОБ в1 БІП в3 + СОБ вз БІП в1 БІП в2 СОБ в1 СОБ вз — БІП в1 БІП в2 БІП вз — СОБ в2 БІП в1

БІП ві БІП в3 — СОБ в1 СОБ в3 БІП в2 СОБ в3 БІП в1 + СОБ в1 БІП в2 БІП в3 СОБ в1 СОБ в2

2. Основное уравнение движения и обобщенные координаты

Для вывода уравнений движения воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода [5, с.24, с.48]:

й дЬ дЬ дК

-------------------------1--------= О,

йг дд, дд, дс[г

(7)

где Ь — скалярная функция, называемая лагранжианом системы, д, — обобщенные координаты, д, — обобщенные скорости, О, — обобщенные силы, К — диссипативная функция Релея.

Лагранжиан определяется как разность между кинетической и потенциальной энергией [6, с.59]:

ь = т- п,

(8)

где Т — кинетическая энергия, П — потенциальная энергия.

Для вывода уравнений движения необходимо выразить лагранжиан системы и диссипативную функцию Релея через обобщенные координаты и скорости.

Рассматриваемая механическая система при пренебрежении растяжением нити подвеса имеет 5 степеней свободы и 5 обобщенных координат (рис. 4): одна крутильная вз — являющаяся основным видом движения в системе, и четыре маятниковых — отклонения нити подвеса от вертикали 04 и 05 и два угла Эйлера в\ и 02, характеризующие отклонения тела в горизонтальной плоскости. Обобщенными скоростями системы являются производные по времени соответствующих обобщенных координат.

Рис. 4. Основные виды движения в системе

С помощью обобщенных сил в уравнения движения системы вводятся внешние воздействия. В рассматриваемой системе внешним воздействием является вращательный момент М (г), определяющий движение по крутильной степени свободы, т.е. Оз = М (г), все остальные внешние силы равны 0.

При выводе уравнений будем учитывать, что для крутильных весов рассматриваемой конструкции маятниковые качания являются малыми.

3. Кинетическая энергия системы

Кинетическая энергия твердого тела определяется как сумма энергии поступательного движения центра масс и энергии вращательного движения [6, с.55]:

Т = Тп + Твр 1 (9)

где тп — кинетическая энергия поступательного движения центра масс, твр

— кинетическая энергия вращательного движения.

Кинетическая энергия поступательного движения определяется по формуле [6, с.55]:

1 , ,-!-2

Тп = 2 м Го,

(10)

где Г0 — радиус-вектор центра масс тела.

Выразим координаты центра масс через обобщенные переменные системы. На рис.5 показан радиус-вектор Г0.

Рис. 5. Составляющие радиус-вектора Го: г — радиус-вектор точки подвеса тела (направлен вдоль нити), Дг — вектор, задающий смещение

центра масс тела

Из рис. 5 следует, что

го = г + Дг, (11)

где вектор Дг имеет в подвижной системе координат следующие координаты:

/ 0 \

ДГ

0

—Ьо

(12)

С использованием матрицы преобразования координат (6) координаты вектора ДГ в неподвижной системе координат определяются как

Дг

(13)

где Дг5* — вектор-столбец координат вектора Дг в неподвижной системе координат, И,* — матрица преобразования базиса.

Подставляя (12) в (13), выполнив умножение матриц, получим

/ 8ІП 02

Дг5* = — £0 I — 008 02 8ІП 01 \ 008 01 008 02

(14)

Выразим координаты вектора г через углы 04 и 05. На рис. 6 показан вектор г для некоторого положения коромысла, отклоненного от положения равновесия.

Рис. 6. Углы отклонения вектора г от вертикали

Согласно рис. 6 можно показать, что

х = — г ■ tg 04, у = —г ■ tg05, г = —

ь

/1+tg204+tg204

х=

у=

г=

/ 1+tg2в4+tg2 в4 Ь^ в5 11+tg2в4 +tg2в4 '

ь

/1+tg2в4+tg2в4 '

(15)

где х, у, г — координаты вектора г в неподвижной системе координат.

Дифференцирование формул (15) приводит к очень громоздким тригонометрическим выражениям, поэтому для упрощения дальнейших выкладок, формулу (15) желательно аппроксимировать. При малых значениях углов 04 и 05 можно использовать следующую аппроксимацию:

х & £04,

у & £05,

(16)

г & —Ь (1 — 2 (04 +02))

Погрешность аппроксимации (16) для диапазона значений углов 04 и 05 [—1°... 1°] не превышает 0,02%.

Подставляя (14) и (16) в (11), получим формулу для координат вектора го в неподвижной системе координат:

ro

L64 — Lo sin в2 L95 + Lo cos Q2 sin 9l L (9\ + 92) — L — Lo cos dl cos 62

(XT)

Дифференцируя (17) по времени получим:

ro

L94 — Lo92 cos Q2 l95 — Lo (92 sin в2 sin Ql — 9l cos Q2 cos 9^

L (9494 + 9595) + Lo (9l sin 9l cos 92 + 92 cos 9l sin 92)

(ІЗ)

С использованием (18) найдем кинетическую энергию поступательного движения по формуле (10):

тп = 2 ML2 9\ + 1 ML2 9\ + 2 ML2 919\ + 1 ML2 95,9\ + 1ML^5 94 95+

+ 1 MLo92 + 2 ML09\ cos 92 — MLL0 [9492 cos 92 + 9592 sin 92 sin 9i —

—9591 cos 92 cos 9^ + MLL09494 (91 sin 91 cos 92 + 92 cos 91 sin 92) + (19)

+MLL09595 (91 sin 91 cos 92 + 92 cos 91 sin 92) .

Кинетическая энергия вращательного движения определяется по формуле [б, с.55]:

1 (2о)

Твр — 2 и '1' и’

где и — вектор угловой скорости,

Jx о о

1 = о о

о о

— тензор инерции тела.

Вектор угловой скорости в подвижной системе координат может быть записан в виде [6, с.48]:

и = 9\в1 + 92е2 + 9звз,

где 01, 62, ез — вектора, относительно которых производится поворот. Для последовательности 123 формула (21) запишется в виде:

(2І)

и

К, (—9з) Ry (—92)

9l о о

о + К, (—9з) ■ 92 + о

о о 9з

(22)

Выполнив преобразования матриц в (22), получим

02 sin 03 + 01 cos 02 cos 03 ш = 02 cos 03 — 0i cos 02 sin 03 . (23)

03 + 01 sin 02

Тогда, подставляя (23) в (20), определим кинетическую энергию вращательного движения

1 / • 2 • 2 Твр = 2 Jx {02 sin 03 + 01 cos 02 cos 0з) + Jy (02 cos 03 — 01 cos 02 sin 0з) +

+ Jz (03 + 01 sin 02) 'j . (24)

4. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия складывается из

1) потенциальной энергии упругого кручения нити:

П

і —

ккр О2 2 :

(25)

где ккр — крутильная жесткость нити подвеса;

2) потенциальной энергии тела в поле силы тяжести.

На рис. 8 показана крутильная система, замененная на эквивалентную массу, расположенную в центре масс.

Для системы на рис. 8 потенциальная энергия рассчитывается по формуле:

П1 = МдАИ = Мд (Ь + Ьо — (—)) = Мд (Ь + Ьо + гдг) , (26)

где roz — z-координата вектора ro в неподвижной системе координат. Подставляя (17) в (26), получим

Пі — MgL (О| + О22) + MgLo (1 - cos ^i cos^2).

(27)

Рис. Т. Замена крутильной системы на сосредоточенную массу

5. Лагранжиан системы и уравнения движения

Таким образом, лагранжиан системы запишется в виде:

Ь = Тп + Твр — П1 - П2, С

ь = 2 мь2 в4 + 1 мь2 ё\ + 2 мь2в| в2 + 2 мь2в2 в2 + 2 мь2в4въ в4 вь+

Аи Аи

(28)

+ 2 МЬ0в2 + 2 МЬо в2 008 в2 — МЬЬо [в4 в2 008 в2 + в5в2 8ІП в2 8ІП в1 —

—в5в1 008 в2 008 в^ + МЬЬов4в4 ( в1 8ІП в1 008 в2 + в2 008 в1 8ІП в2) + (29)

Диссипативная функция Релея, учитывающая рассеяние энергии по степеням свободы, определяется по формуле [5, с.24]:

где ті — коэффициент затухания колебаний по і-й степени свободы.

Производная диссипативной функции (30)

Подставляя (29) и (32) в уравнение (7), учитывая малость величин маятниковых качаний и пренебрегая в уравнениях маятникового движения слагаемыми, содержащими произведения маятниковых координат и их производных, с помощью математического пакета символьных вычислений Маріє 11 получили следующие дифференциальные уравнения свободного движения крутильных весов:

+ МЬ^) ' + т-1 в1 + МдЬов1 + МЬЬов5 = (,1у — Jx) [в\ 0082 вз+

+в2 008 вз 8ІП вз — 2 в1 вз 008 вз 8ІП вз + 2в2вз 0082 вз — в2вз] — Jz (в2вз + в2вз) ,

^х + МЬд) в'2 + Т2 1 в2 + МдЬов 2 — МЬЬо' = ^у — Jx) [—' 0082 вз+

+в1 008 вз 8ІП вз + 2в2вз 008 вз 8ІП вз + 2 в1 вз 0082 вз — в1 вз] + ,1гв1 вз, (33)

вз + Тз 1 вз + ккрвз = (Jy — Jx) [(в2 — в2) 008 вз 8ІП вз +

к в2 —

— _к2_вз — Мд- (в| + в5) — МдЬо (1 — 008^1 008 ^2) •

(30)

+0102 (2 sin2 03 — l)] — Jz0102 — Jz0102 + M (t) ,

ML2 04 + t-1 04 + MgLo04 = MLLo 02, ML2 05 + t-1 05 + MgLo05 = —MLL0 01.

В уравнениях (33) третье уравнение описывает крутильное движение, остальные уравнения — маятниковые качания. Члены, стоящие в правых частях уравнений (33) отражают взаимодействие маятниковых и крутильных движений. Даже упрощенные уравнения крутильных весов являются очень сложными (эквивалентная модель в форме Коши имеет 10-й порядок) и существенно нелинейными, что делает аналитическое исследование данных уравнений невозможным.

Следует отметить, что уравнения (33) в отличие от известных в литературе [3], выведены без принятия допущения о малости крутильного угла 03, которое не соответствует особенностям работы прибора ШГМ.

Список литературы

1. Мартынов О.В. Концепция системы прогноза природных катастроф и практические результаты, полученные на основе аппарата нелинейной физики, математики и данных системы // Нелинейный мир. 2008. Т.6, №10. С.579-615.

2. Shopin S.A. Instrumentation system for registration of ultra low frequency gravitational field disturbances // Proceedings of International conference on ecology, energy, economy security in a non linear world, Swiss Association «NON-LINEARITE», Geneva, Swiss. 2009. P.86-100.

3. Калинников И.И. Консервативные системы для геофизических исследований. М.:Наука, 1983. 127 с.

4. Pio R. Euler Angle Transformation // Automatic Control, IEEE Transactions on. Aug. 1966. V.11, №4. P.707-715.

5. Goldstein H. Classical Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1980. 672 p.

6. Heard W.B. Rigid Body Mechanics: Mathematics, Physics and Applications. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. 2006. 250 p.

Шопин Сергей Александрович ([email protected]), аспирант, кафедра электротехники и электрооборудования, Тульский государственный университет.

Equations of motion of horizontal torsion balance at small

pendular oscillations

S.A. Shopin

Abstract. Utilizing Lagrange 2nd kind equation it was established horizontal torsion balance equations of motion. Infinitesimality assumption was taken over only pendular oscillations.

Keywords: horizontal torsional balance, Euler angles, asymmetrical rigid body.

Shopin Sergey ([email protected]), postgraduate student, department of electrotechnics and electrical equipment, Tula State University.

Поступила 01.02.2011