CC BY
17УДК 629.7.05 ГРНТИ 78.25.13
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА LL-ТИПА С УЧЁТОМ УПРУГОЙ ПОДАТЛИВОСТИ ПОДВЕСОВ НА ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ
В.С. КИРИЛЛОВ, кандидат физико-математических наук
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
Методом уравнений Лагранжа 2 рода выведена система уравнений движения чувствительных элементов микромеханического гироскопа LL-типа с учётом упругой податливости подвесов на вибрирующем основании. Система уравнений движения и её линейное приближение приведены к векторному виду с матрично-блочными коэффициентами, что упрощает реализацию численных методов решения и перестройку модели гироскопа при добавлении некоторых элементов и параметров. В свою очередь решение уравнений движения микромеханического гироскопа LL-типа со множеством конструктивных элементов и их параметров позволит выработать рекомендации по повышению точности определения ими угловой скорости.
Ключевые слова: микромеханический гироскоп LL-типа, система кинематических уравнений, метод уравнений Лагранжа 2 рода, матрица жёсткостей, блочные матрицы коэффициентов.
ll-type micromechanical gyroscope sensitive elements motion equations with account for elastic militability of suspensions on a vibrating basis
V.S. KIRILLOV, Candidate of physico-mathematical sciences
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
Using the method of Lagrange equations of the second kind, a system of equations of motion of sensitive elements of an LL-type micromechanical gyroscope is derived taking into account the elastic compliance of suspensions on a vibrating base. The system of equations of motion and its linear approximation are reduced to a vector form with matrix-block coefficients, which simplifies the implementation of numerical methods of solution and the reconstruction of the gyroscope model with the addition of some elements and parameters. In turn, the solution of the equations of motion of an LL-type micromechanical gyroscope with many structural elements and their parameters will make it possible to develop recommendations for improving the accuracy of determining their angular velocity.
Keywords: LL-type micromechanical gyroscope, system of kinematic equations, method of Lagrange equations of the second kind, stiffness matrix, block matrix coefficients.
Введение. Основными тенденциями развития современных систем инерциальной навигации являются уменьшение их габаритных размеров и повышение точности определения местоположения и ориентации объектов. Одним из методов повышения точности является совершенствование датчиков навигационной информации - создание прецизионных датчиков. В частности, создание прецизионных датчиков угловой скорости требует навыков в моделировании гироскопических систем с учётом упругих и демпфирующих свойств их элементов. В данной статье рассмотрим подход к построению математической модели широко
используемых в современной инерциальнои навигации датчиков угловой скорости с использованием микроэлектромеханических систем (МЭМС) на примере двухмассового микромеханического гироскопа (ММГ) ЬЬ-типа [1, 2].
Актуальность. Широкое использование ММГ в инерциальных навигационных системах определяется их малыми габаритными размерами. Однако точность измерения угловой скорости ими невелика вследствие множества факторов, приводящих к появлению ошибок измерения. Среди этих факторов следует отметить следующие: вибрации со стороны объекта измерения, несовершенство конструкции элементов гироскопа (конечную жесткость подвесов элементов, неточность их изготовления и динамическую несбалансированность, вязкое трение и др.). Все перечисленные факторы приводят к появлению паразитных сил и моментов как по оси возбуждения, так и по оси съёма информации, что в конечном счёте вызывает искажения выходного сигнала, снимаемого с датчиков перемещений. Проблема снижения ошибок измерения угловой скорости - создания прецизионных датчиков требует детального анализа вклада каждого из указанных факторов на суммарную ошибку, а также их взаимосвязей. В известных работах [3-6] при решении этой проблемы используются какие-либо эмпирические данные о параметрах гироскопа при построении математической модели. В других работах [2, 7, 8] предполагается больше ограничений, меньше степеней свободы, а значит и меньше факторов, влияющих на ошибку определения угловой скорости. Осуществление же такого анализа без использования эмпирических данных о параметрах гироскопа в целом и с учётом большого числа факторов требует навыков в составлении кинематических уравнений сложных механических систем и приведении их к матрично-блочному виду [9].
Схема и описание элементов микромеханического гироскопа ЬЬ-типа. Конструкция двухмассового ММГ ЬЬ-типа представлена на рисунке 1:
Рисунок 1 - Схема микромеханического гироскопа ЬЬ-типа
ММГ представляет собой две инерционные массы (ИМ) 1, 2, которые с помощью упругих элементов (торсионов) 3, 4 смонтированы в раме 5. Рама 5, в свою очередь, посредством торсионов 6 скреплена с корпусом. ИМ электростатическими виброприводами 7 (центральным), 8 (левым) и 9 (правым), имеющими гребенчатую структуру [1, 3], приводятся в колебательные противофазные движения в своей плоскости (XX) - первичные колебания ИМ.
В данной статье рассмотрим систему, в которой вторичные колебания, вызываемые силой Кориолиса от переносной угловой скорости 0г + 0р, будут поступательными в направлении оси
ОУ. Указанные колебания содержат информацию об измеряемой угловой скорости О2р и
измеряются с помощью емкостных датчиков перемещений, образованных подвижными электродами, расположенными на ИМ 1, 2, и неподвижными электродами 10, 11, размещёнными на корпусе.
При выводе уравнений движения будем полагать, что рама и ИМ имеют конечные и разные жёсткости в направлении осей ОХ,ОУ - Ох,Оу, Ох1,Оу1 и ох2,Оу2, а торсионы 6 - конечную
жесткость на кручение вокруг оси О2 - Оа. Жесткости на кручение вокруг оси OZ всех остальных элементов (кроме 6) считаем бесконечно большими. Величины инерционных масс и рамы будем полагать равными м1,М2 и мр соответственно. Ар,Вр,Ср, А1,В1,С1, А2,В2,С2 - главные
моменты инерции рамы и ИМ относительно осей ОХр, ОУр, OZp . Вектора расстояний между центрами масс (ЦМ) рамы и ИМ и их геометрическими центрами (ГЦ) - [Хр 8ур 82^], [8х1 8уг 8хх ], \8х2 8у2 8г2 ] соответственно. Эти расстояния могут иметь физическую природу технологических и/или температурных смещений. Коэффициенты диссипации рамы при повороте вокруг оси OZ - Ъа, при поступательном движении вдоль осей ОХ, ОУ - Ьх , Ъу,
при поступательном движении 1 и 2 ИМ относительно рамы вдоль осей ОрХр, ОрУр - Ъх1, Ъу1 и Ъх2, Ъу2 соответственно. Корпус гироскопа жестко соединён с основанием, на которое
воздействуют вибрации со стороны летательного аппарата. С корпусом свяжем систему координат (СК) OXУZ. Основание подвержено как поступательным вибрациям со стороны летательного аппарата с ускорениями на оси СК OXYZ [А] = [А А А ]Т, так и вращательным с
угловыми скоростями [о] = [о О 0+0]Т, О,р - измеряемая угловая скорость. Соответственно скорости будут определяться интегралами от ускорений [у] = [у у, у ], поступательные перемещения - вторыми интегралами от ускорений [г ] = [ гх гу гг ]Т, а угловые ускорения-[о] = [ол оу а +
Вывод кинематических уравнений микромеханического гироскопа ЬЬ-типа.
Пояснение взаимного расположения вспомогательных СК, необходимых для вывода уравнений движения, приведено и пояснено на рисунке 2:
Рисунок 2 - Системы координат: а) для рамы; б) для инерционных масс
На этом рисунке 0'ХТ'2' - СК 0ХУ2, повернутая на угол а вследствие конечной жёсткости торсионов 6 на кручение;
0рХрУр2р - СК, связанная с ГЦ рамы;
0'рХ'рУ'р2'р - СК, связанная с ЦМ рамы;
ОХ1У121 - СК, связанная с ГЦ 1 ИМ;
0[Х[У;1[ - СК, связанная с ЦМ 1 ИМ;
02Х2У222 - СК, связанная с ГЦ 2 ИМ;
02Х2У222 - СК, связанная с ЦМ 2 ИМ.
Уравнения движения ММГ получим на основе метода уравнений Лагранжа 2 рода [10]. В качестве обобщенных координат возьмём для рамы угловую а и линейные х, у, для первой и второй ИМ соответственно линейные х1, у1 и х2, у2. Сначала получим выражения для радиус-
векторов и скоростей ЦМ каждого из элементов гироскопа в обобщенных координатах и параметрах системы:
х 5хр
М ] = [г ] + ([а]Г +[Е ]) У + ([а]Г + [ Е ]) 5Ур
0 5 ]
(1)
[ М: ] = [г ] + ([а]Т +[ Е ])
[ М 2 ] = [г ] + ([а]Т +[ Е ])
х У +([ а]Т + [ Е ]) х1 У1
0 0
х " х2 '
У +([ 4 +[ Е ]) У 2
0 0
([а]Г + [ Е ])
([а]Т +[ Е ])
5хг
5Ух 5 г,
5х2
5Уг 5
(2)
(3)
где [Е] - единичная матрица, х1 = х1 + х1 р , & = У1 + У1 р , .«2 = х2 + х2р , У2 = У2 + У2р , х1 р -смещение 1 ИМ за счёт силы вибропривода Е вдоль оси 01Х1, у1 - смещение 1 ИМ за счёт силы Кориолиса, вызванной переносной угловой скоростью , вдоль оси 01 Хх; х2р -
смещение 2 ИМ за счёт силы вибропривода Е вдоль оси 02Х2, у2 - смещение 2 ИМ за счёт силы Кориолиса, вызванной переносной угловой скоростью + Огр, вдоль оси 02У2;
" 0 а 0 ^ [а] = -а 0 0 0 0 0
Соответственно выражения для скоростей будут производными по времени от (1)-(3):
х X 5хр
У + ([«] Т+[Е]) У +(иг) ¿ур
0 0 5 ]
(4)
Э1
и
X X X, *
КлМП+И* У +([«]*+[я]) У + [а]т У У + [а]т 8ух
0 0 0 0 дг1
(5)
X X V
[^НН+ИГ У + ([а]Т+[Е]) У + [а]Т У2 + ([а]Т+[Е]) У 2
0 0 0 0
(6)
где х, = х, + х1р = х,+ Гх1, уг = у, + у1р = у, + Гу1, х2=х2+х2р=х2 + ¥х2, у2=у2+ у2р =у2 + Гу2. Выражение для угловой скорости рамы будет иметь вид:
14 И4+[* ])["]-
(7)
Для получения выражения полной кинетической энергии запишем кинетические энергии поступательного движения каждого из тел (рамы и двух ИМ) по отдельности в виде квадратичных форм:
Tp=\^ г м ],
T = 2 К1 ] [м ! ], T2 = 2 V2 ] [м ]К2 ] ,
(8)
[Мр 0 0 " "М1 0 0 " " м 2 0 0 "
где Ы= 0 мр 0 , [м] = 0 Мх 0 2= II 0 м 2 0
0 0 м р _ 0 0 м _ 0 0 м 2
M р - масса рамы,
м1 - 1 ИМ, м2 - 2 ИМ.
Кинетическая энергия вращательных колебаний рамы вокруг оси OZ описывается формулой:
1 Г
гро = -[4 ] [Лр][4р ],
(9)
где
Ар + А1 + А2 0 0
[Л ]= 0 Бр + В + В2 0
0 0 Ср + С1 + с2
Ар, Бр, Ср - главные моменты инерции рамы относительно осей ОХ , ОУр, О2р соответственно, А1, Б1, С1, А2, В2, С2 - главные моменты инерции 1 и 2 ИМ относительно осей О1 Х^У121 и О2Х2У2Z2
соответственно. Подставим в (8) выражения для скоростей ЦМ каждого из тел (4)-(6) и получим: для кинетической энергии рамы -
г, =[у Г
Мр (у + 5ур) М, -аМр -Мр (х + 8Хр) аМр Мр 0 0 0
1
+— 2
• п1 а ~Мр[(х + 5хр)2] 0 0 а
X 0 Мр(\ + а2) 0 X +
У_ 0 0 Мр(\ + а2) У _
+мра {((.V + 3ур)-а(х + дхр))х
для первой ИМ -
" М1У М1 -аМ1 а 1 а т -у) 0 0 а
71=[V ]Т -М1х аМ1 М1 X 1 + - о X 0 Аф + а2) 0 X +
0 0 0 У. 1 У. 0 0 А 4(1+а2) _У_
' М( +5у) М1 -аМ1 а
-М1( Х +5x1) 0 аМ1 М1 К +
0 0 _У_
1
+2
Ща |((й + 5у1 )-а(х1+ 5х1))л- - ((+ 5х1)+а(ух + 5у1))^|
и для второй
" М2у М 2 -аМ2 а 1 а т (.V - V ) 0 0 а
2 = V 1 7 -М2х аМ 2 М 2 X 1 + — о X 0 М2(1 + а2) 0 X +
0 0 0 _У_ 1 _У_ 0 0 М2(1 + а2) _У_
-[V ]Т
М (у 2 +5у2) М2 -аМ2 -М2 (Х2 + 5х2) аМ2 М2 0 0 0
а
х. +
У2_
1
+ — 2
+М2а{((>-2 + 5у2)-а{х2 +6х1))х1 ~((х2 +6х1) + ос(у1 + $у1))у1}. Подставляя (7) в (9) для кинетической энергии вращательных колебаний рамы получим:
(10)
(11)
а т м 0 0 а
К 0 А11(\+а2) 0 \
Ук 0 0 Аф+а2) У.
(12)
ОС Т м2 (х2+3х2)2 +(у2+3у2)2 0 0 а
Хп 0 М2(1 + а2) 0 хп
У2_ 0 0 М2(1 + а2) Л.
+
" 0" " 0" т " 0" т " 0 "
^ =НГ([«МЕ])[ Jp ] 0 + 0 0 Ы 0
ОС а ос а
+Тп =
= -С сс+С (о +П )сс+тп.
2 г г\ - -р / 0
(13)
Слагаемое Т0 не конкретизируем, так как оно пропадает при дифференцировании по
обобщенным скоростям и координатам. Просуммируем все слагаемые кинетической энергии каждого из тел (формулы 10-13), содержащие только векторы обобщенных скоростей, и получим следующую квадратичную форму:
ос Т п 0 мА1+а2) 0 0 (\ 0 (\ 0 (\ 0 п ос
X и и и и и и X
У 0 0 мА1+а2) 0 0 0 0 У
хг 0 0 0 мА\ + а2) 0 0 0 хг (14)
Л 0 0 0 V / 0 мА\ + а2\ 0 0 У
V / П П П П П Л/Г (л 1 п
У 2 _ 0 0 0 0 0 0 М2 (1 + сг) Л.
где = -2 + мр {( х + 8Хр р + (у + 5Ур )21 + {х2 + у2 + (X + 3Х1 )2 + (у + 8у )2 } -+м^2 {х2 + у2 + (.^2 + 5хс2 )2 + (у2 + 8у2 )2 },
= мр + м1 + м2.
Слагаемые с вектором входных воздействий при суммировании дадут следующую квадратичную форму:
[V ]т
мх (у + у +8у1)+ м2 (у + у>2 +8У2) мх + м2 -«(м; + м —м1 (х + Х1 + дх1)- м 2 (х + Х2 +^х2) а (м1 + м 2) м1 + м 2 0 0 0
а
X
мх —ам1 м 2 —ам 2 У /1 С \
д (15)
ам1 м1 ам 2 м 2
0 0 0 0 Ух
х2
Л.
Соответственно сумма оставшихся слагаемых будет иметь вид:
Мра^у + 8ур)-а(х + 8хр))х-((х + 8хр) + а(у + 8ур))у} +
+Мхсс{((й + 8ух)-а(хг + 8хг))хг -((^ + 8хг) + а(уг + 8уг))у | +
+М2ос\{{у2 + ду2)-а{Х+ 8х2))Х ~({Х + 8х2) + а{у2 + ду2))у^ + 2С. р:ос + Т0.
(16)
Выражение для потенциальной энергии всего ММГ будет иметь вид:
и=2 £ и г [К ],
2 г=1
(17)
где [К1 ] = [Кр], [К2] = [К ], [К] = [К2], ] = [а]
И ] =
Л1 А
[И ] =
2
У2.
[ Кр ] =
а 0 0
о а о
оо а
[ К ] =
о
. 0 °у1.
[ К2 ] =
а*2 о
. 0 0У 2.
. Здесь " Кр ], [ К1 ], [ К2 ] - матрицы жесткостей рамы, 1 и 2
ИМ
соответственно [11]. Аналогично тому, как это было сделано для кинетической энергии, потенциальную энергию всего ММГ можно привести к виду:
и = 1 2
а Т "0 0 0 0 0 0 0 " а
X 0 + а а а2 & - а)а 0 0 0 0 X
у 0 а - Сх )а ах+а а2 0 0 0 0 У
х1 0 0 0 а 1 0 0 0
у1 0 0 0 0 ау1 0 0
х2 0 0 0 0 0 а 2 0 х2
У 2 _ 0 0 0 0 0 0 а, У 2 _ _у
Выражение для диссипативной функции всего ММГ:
(18)
(19)
где
Ш = Ы Ш = [ВМ], Ы = [4] = [а]
х X
У + ([а] + [Е]) У
0 0
[ ** ] =
К 0 0
о ь о
х
0 0 ь
[ Ва1 ] =
Ь1 0
0 Ьу1
, [ вА2 ] =
К2 0
0 Ьу 2
м=
х. Г • И "г "
1 • м= 2
А А
. Здесь ВАр, В
В
■"А1> А2
матрицы
коэффициентов демпфирования [3]. Аналогично тому, как это было сделано для кинетической и потенциальной энергий, диссипативную функцию всего ММГ можно привести к виду:
Н = ■
а Т ГЪ х2+ьу 0 0 0 0 0 0 ~ а
X х осу 0 Ъ„+Ъ а2 (Ъ-Ъ )а 0 0 0 0 X
У 0 а х {К~Ъх)а 0 \ а х / Ъ +Ъ а2 0 0 0 0 У
1 хх 0 х а 0 ъ, 0 0 0
2 й 0 0 0 х\ 0 0 0 А (20)
X, 0 0 0 0 0 Ъх2 0 г,
А_ 0 0 0 0 0 0 К 2 А_
Для построения уравнений Лагранжа 2 рода
А
( \ дТ
дв
V 1 )
( дТ\
дв
V 1 )
( \
дН
дв
V J J
= 0,7 = 1..7,
(21)
где в = [а х у х1 у1 х2 у2 ]т - вектор обобщённых координат,
в = [а х у х, у\ Х-, у-,]' - вектор обобщённых скоростей, преобразуем выражения (14)-(16),
(18) и (20) для кинетической, потенциальной энергий и диссипативной функции соответственно к матрично-блочному виду, согласно тому, как это сделано в [9]. Для производных по времени от частных производных кинетической энергии по обобщенным скоростям воспользуемся следующим соотношением:
( дТЛ
дв
V J
Те,}
2[А]Т К][Е ] + 2V]Т [][Е] + 2[Е]Т [РЕ]• ' = 1"7'
(22)
где [оч],[ошр] - матрицы квадратичных форм (14) и (15), содержащих только векторы
обобщенных скоростей и содержащих вектор входных воздействий соответственно, [ ], [ ОС1пр ] - производные по времени матриц [о ], [о.^ ] соответственно, вектор
[ВА] = [0 0 0 Ал, Ау1 Ал, Ау2]г, Ах1 = х1р, Ау1 =у1р, Ах2=х2р, Ау2=у2р. Вектор [ЕЕ] определяется
следующим образом:
РЕ,
2М р | а^у + 8ур -а(^х + 3хр^ + а^у-а^х + 3хр^-ах^ -2Мр (х + 8хр + а (у + 8у р )) + а (х + а [у + 8ур ) + а у)} _ 2М11а (у, + 8у, - а (^ + 8хх)) + а (ух - а (^ + дх1) - ах1 ) | -2Мх | а [х.+Зх.-а (ух +8у1)) + а(х1-а(у1+8у1)- а у, )} 2М, |а (у, + 8уп - а {хп + 8хп)) + а ^ у, - а (х, + 8хп) - ахп)| -1М2 |а (х2 + 8х2 - а (у2 + 8у2)) + а (х2 - а (у2 + 8у2) - ау2 )}
РЕ =
\ = 2Мр V - а (х + 8хр ) - ах| х + ^у + 8ур - а (х + 8хр ) | х| --2Мр {(х + а ( V + 8ур ) + ау)у + (х + 8хр + а ( V + 8ур )) у} + +2Мх у -а{х1+ 8х^~ ахх ) Х; + (ух + 8ух - а + 8х1)) Х; | - ^Е. ^ -2М1 |(х; - а ( V; + 8у1) - аух )у1+(х1+ 8х1 - а (у + 8у1)) г\ } +2М2у2 -а{х2 + 8х2 ) - ах21 х2 + ( V, + 8у2 -а{х2 +8х2)) х21 -2М2 |(х2 - а ( V, + 8у2) - ау2) V, + (х2 +8х2-а (у2 + 8у2)) V, |,
0,0,...,0,1,0,...0
Из вектора [ ре ] выделим линейную часть
[ рер] = [ре^ М8уи —Мр8хрос Мх8уха —Мх8хха М -,8у./х ,
=Мр8урх-Мр8хру+М18уххх -Мх8хху +М28у2х2 -М28х2у2 и запишем её в виде:
[ рщ=
0 [ОУв1ш ]Т [ОУЕ11П ] [0]
(23)
где [ОУЕНп] = [ыр8ур -Мр8хр Мх8ух -Мх8хх М28у2 -Ы28х2 ]Т, [0] - нулевая матрица размерности
6х 6. Соотношение для частных производных потенциальной энергии по обобщенным координатам будет иметь вид:
ди _ 1 60 ~ 2
[ Е ]Т а ]([0] + [ ВЯ]) + 2 ([0] + [ ВЯ])Т ([ ООч ]([0] + [ ВЯ]) + [Оя ][ EJ ]),
(24)
где [Ош ] - матрица квадратичной формы для потенциальной энергии (18), вектор
[ ВЯ ] = [ 0 о о х р У1 р х2 р у 2 р ] Т,
"0 0 0 0 0 0 0 0 Юха Са - ах 0 0 0 0
0 а а Сх 2Саа 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 [о], у = 2..7
обобщённым координатам 0у, [0] - нулевая матрица размерности 7х 7. Соотношение для частных производных диссипативной функции по обобщённым скоростям будет иметь вид:
[ Вау ] =
у 1 - набор матриц производных [Сш ] по
6Н _ 1
600 " 2
(25)
где [ОН] - матрица квадратичной формы для диссипативной функции (2о), вектор
[ВУ] = [о о о У 1 Уу 1 У*2 У2 ]Т. Вследствие диагональности матрицы ^ ] можно записать
соотношение:
(26)
кроме того, можно получить следующие соотношения из свойств транспонирования матриц:
[ А]Т [ °шр ][ Е ] = [ Еу ]Г [ ]Г [ А], (27)
[у ]Т [ ^ ][ Е ] = [ Е ]г [ ватр ]г [У ].
(28)
Воспользовавшись формулами (26)-(28) перепишем выражение (22) в виде:
йг
( дТ \
дв
V ] )
+2[Еу X К]Т [А] +1 [Еу]Т [Щ, ]Т [V] + 2[Еу ]Т [РЕ], у = 1..7.
Воспользовавшись соотношением
1 Т
1 ([0] + [ВЯ]) [ши ]([в] + [ВЯ]) = Охах2 + (а,, - ах )ху + 2
выражение (24) перепишем в следующем виде:
ди
[ Еу ]Т [Сш ] ([в]+[ ВЯ ])+ахах2+(аа - Сх ) ху+ааау2, у = 1,
IЕ ]Т [а ]([в]+[ВЯ]), у = 2..7.
(29)
(зо)
(31)
Аналогичным образом выражение (25) перепишем в виде:
дН
Ж
В свою очередь вектор
К ]Т [ А]=
0 -[ MAW ]Т [ MAW ] [0]
([в] + [ ВЯ]) + [САо] = [ МА] ([в] + [ ВЯ ]) + [САо],
(32)
(33)
где [MAW] = [[ -МА МАу -М1 Ах М2Ау -М2Ах], [0] - нулевая матрица размерности 6 х 6:
[САо] = [[ МА МА МАх М1 Ау М2Ах М2Ау ],
САо, = Мр (¿УрАх - ¿ХрАу ) + М1 (Зу, А, - Зх, Ау ) + М2 (Зу2Ах - Зх2Ау ), а вектор
К ] [V ] =
0 -[MVW ]Т [MVW] [0]
(34)
где [МУЖ] = [муу -МУх М1Уу -М1Ух Муу -М2Ух], [0] - нулевая матрица размерности
6 х 6. Подставляя преобразованные выражения (29), (31) и (32) для каждой из частей системы уравнений Лагранжа 2 рода в их общий вид (21) и переходя от системы уравнений для
обобщенных координат в у к уравнению для вектора обобщенных координат [в] получим
векторное уравнение движения ММГ ЬЬ-типа:
+[ ооу ]+([а, ]+[оенп ])[ ва]+([аш ]+[ма])[вя ]+([сн ]+[ щ ]+[му ])[ву ] = [о],
где
[СЕп1 ] =
ОЕг
2Мр\а[у - а (^х + 8хр)) + а ^у - -а(х + 8хр)~
-2Мр |а^х + а (у + 8ур )) + сс(х + а(у + 8ур ) - -а у)}
2М1\а{у1- - а + 8х1)) + а (у -
-2М11 а (х, - -а (у +<5у)) + а(х1 -а(}>1+8у1)- ~ау)}
2М2{а(у2- а (х, + 8хп)) + а ^ у, - - ах, ^ |
-2М^ |а (х, - -а(у2+8у2)) + а(х2 -а(у2+8у2) -ау2)}
СЕХ = 2М р |(у-а{х + 8хр)-ах)х + {у-а{х + 8хр))х|--2Мр Цх + сс(у + 8ур) + ау)у + (х + сс(у + 8ур))у} + +2М1 |(у -а^у+Зу}- ахх) у + (у - а (^ + 8хх)) у | --2Мх {(^ - а (у + 8 у) - а у)у+(у-а(у + 8 у)) у } +2М2 {(у2 - а (х2 + 8х2 ) - «х2) х2 + (у2 - а (х2 + 8х2)) х21 -1М2 {(х2 - а (у2 + 8у2) - ау2) у2 + (х2 - а (у2 + 8у2)) у2},
[о£о] = [2сг(а+£\,) о о о о о о]г,
[П0У] = [20хах2 + 2(Оа - Ох) ху + 20аау2 0 0 0 0 0 0], [0] - нулевой вектор размерности 7.
Для удобства реализации численного метода решения запишем векторное дифференциальное уравнение (35) в первом (линейном) приближении:
([^ ]■+ »]) М-+ ([Сш ,„]+ [ЯО10 ] + [МГ]) [в] + ([С 1т ] + [Ш])[в] + [ОАО] + [030] + +([°фп ~] + [СЕп ])[ БЛ] + ([Ои1т ] + [ ЫЛ])[ БЯ ] + ([Он1т ] + [ БОд1 ] + [ ] + [МУ ])[ БУ ] = [0],
(36)
где
Од1тп 0 0 0 0 0 0 " [ 0 0 0 0 0 0 0
0 М g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 Ме 0 0 0 0 0 0 я 0 0 0 0
] 0 0 0 Мх 0 0 0 , [ СиИп ] 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 Мх 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 М 2 0 0 0 0 0 0 Сх2 0
0 0 0 0 0 0 М 2 0 0 0 0 0 0 С 2
0 0 0 0 0 0 0
0 к 0 0 0 0 0
0 0 Ьх 0 0 0 0
0 0 0 Ьх1 0 0 0
0 0 0 0 ЬУ1 0 0
0 0 0 0 0 Ьх 2 0
0 0 0 0 0 0 Ь 2 У 2
, [] =
¿Ео [0]
[о]6х1 [о]
1x6
' [ ж* ]:
[0]1х [0 ]бх1 [0 ]бх
с
= + Мр (ёх2р + ёу2р ) + Ы1 (5x1 + 5у2 + Х12р + у1р )+М2 (5х2 + 5у2 + х^ + у2р ),
¿Ео = 2 (XР + 5Х1) Кх1 + 2М1 (У1Р + ) V1 + 2М2 (х2Р + Зх2 ) Гх2 + 2 (у2р + Зу2) V2,
^ = 2Мрёхрх + шр5уру + 2МХ (л-|/; + ёх^х, + Ш}<Ахх + 2МХ (у]р + 5у )>■ + +2Муу1ух + 2М2 (х2р + ёх2)х2 + ШУх2х2 + Ш2 (у2р + 8у2)у2 + ШУу2у2.
Выводы. Матрично-блочный подход к составлению уравнений Лагранжа 2 рода существенно упрощает математические преобразования и затраты ручного труда при выводе системы кинематических уравнений ММГ ЬЬ-типа. Представление самой системы кинематических уравнений ММГ и её линейного приближения в векторном виде с матрично-блочными коэффициентами снижает временные затраты на программирование при реализации численных методов решения на ЭВМ. Кроме того, такая форма записи системы кинематических уравнений позволяет легко осуществлять перестройку модели: добавлять недиагональные компоненты в матрицы жесткостей элементов, недиагональные компоненты тензоров инерции элементов (учёт динамической несбалансированности), добавлять дополнительные массивные элементы в систему (например, учитывать конечную массу подвесов элементов или рассматривать гироскопы с большим количеством инерционных масс). Решение подобных систем кинематических уравнений с различными параметрами поможет осуществить анализ вклада каждого из вредных факторов на суммарную ошибку измерения угловой скорости датчиками на основе МЭМС. Это в свою очередь позволит выработать рекомендации по разработке прецизионных датчиков, что поспособствует и повышению точности инерциальных навигационных систем в целом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: учебное пособие. М.: Машиностроение, 2007. 400 с.
2. Матвеев В.В., Серёгин С.И. Математические модели микромеханических гироскопов ЬЬ-типа // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 12. Ч.1. С. 205-213.
3. Бабрин Е.С., Баранов П.Ф. Моделирование конструкционных и динамических характеристик двухкомпонентного микромеханического гироскопа // Вестник науки Сибири. 2013. № 1 (7). С. 96-105.
4. Некрасов Я.А. Методы повышения точности съёма информации в микромеханических гироскопах: дис. ... канд. техн. наук. Санкт-Петербург, 2007. 125 с.
5. Пономарёв Ю.А. Двухкоординатный компенсационный микромеханический гироскоп: дис. ... канд. техн. наук. Москва, 2013. 265 с.
военные системы управления, связи и навигации
6. Моисеев Н.В. Микромеханический гироскоп компенсационного типа с расширенным диапазоном измерения: дис. ... канд. тенх. наук. Санкт-Петербург, 2015. 123 с.
7. Барулина М.А. Температурные и технологические погрешности микромеханических гироскопов: дис. ... канд. техн. наук. Саратов, 2004. 171 с.
8. Барулина М.А., Джашитов В.Э. Математическая модель камертонного микромеханического гироскопа // Механика деформируемых сред. 2004. № 15. С. 43-49.
9. Бачкало Б.И. Уравнения движения гиростабилизированной платформы с учётом упругой податливости её элементов // Автоматика и вычислительная техника. 1966. Вып. 12. С. 47-56.
10. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10-ти т. Т. 1. Механика, 4-е изд., испр. М.: Наука. 1988. 216 с.
11. Бачкало Б.И., Бондарев В.Г. Результаты моделирования уходов вибрационного гироскопа, обусловленных упругой податливостью элементов его конструкции: Научно-методические материалы по авиационному оборудованию. Рига: РВВАИУ им. Я. Алксниса, 1986. Вып. № 9. С. 53-56.
REFERENCES
1. Raspopov V.Ya. Mikromehanicheskie pribory: uchebnoe posobie. M.: Mashinostroenie, 2007.
400 p.
2. Matveev V.V., Seregin S.I. Matematicheskie modeli mikromehanicheskih giroskopov LL-tipa // Izvestiya TulGU. Tehnicheskie nauki. 2012. Vyp. 12. Ch.1. Pp. 205-213.
3. Babrin E.S., Baranov P.F. Modelirovanie konstrukcionnyh i dinamicheskih harakteristik dvuhkomponentnogo mikromehanicheskogo giroskopa // Vestnik nauki Sibiri. 2013. № 1 (7). Pp. 96-105.
4. Nekrasov Ya.A. Metody povysheniya tochnosti s'ema informacii v mikromehanicheskih giroskopah: dis. ... kand. tehn. nauk. Sankt-Peterburg, 2007. 125 p.
5. Ponomarev Yu.A. Dvuhkoordinatnyj kompensacionnyj mikromehanicheskij giroskop: dis. ... kand. tehn. nauk. Moskva, 2013. 265 p.
6. Moiseev N.V. Mikromehanicheskij giroskop kompensacionnogo tipa s rasshirennym diapazonom izmereniya: dis. ... kand. tenh. nauk. Sankt-Peterburg, 2015. 123 p.
7. Barulina M.A. Temperaturnye i tehnologicheskie pogreshnosti mikromehanicheskih giroskopov: dis. ... kand. tehn. nauk. Saratov, 2004. 171 p.
8. Barulina M.A., Dzhashitov V.'E. Matematicheskaya model' kamertonnogo mikromehanicheskogo giroskopa // Mehanika deformiruemyh sred. 2004. № 15. Pp. 43-49.
9. Bachkalo B.I. Uravneniya dvizheniya girostabilizirovannoj platformy s uchetom uprugoj podatlivosti ee 'elementov // Avtomatika i vychislitel'naya tehnika. 1966. Vyp. 12. Pp. 47-56.
10. Landau L.D. Teoreticheskaya fizika: Ucheb. posobie v 10-ti t. T. 1. Mehanika, 4-e izd., ispr. M.: Nauka. 1988. 216 p.
11. Bachkalo B.I., Bondarev V.G. Rezul'taty modelirovaniya uhodov vibracionnogo giroskopa, obuslovlennyh uprugoj podatlivost'yu 'elementov ego konstrukcii: Nauchno-metodicheskie materialy po aviacionnomu oborudovaniyu. Riga: RVVAIU im. Ya. Alksnisa, 1986. Vyp. № 9. Pp. 53-56.
© Кириллов В.С., 2019
Кириллов Владислав Сергеевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник 31 отдела научно-исследовательского научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, vkirillow@mail.ru.
