CC BY
127
УДК 531.383
B.В.Матвеев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-19-59, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
C.И.Серегин, аспирант, (4872) 35-19-59, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
В.В. Лихошерст, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-19-59, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ ЬЬ-ТИПА
Рассматриваются механические и математические модели микромеханических гироскопов с линейным движением по осям первичных и вторичных колебаний (так называемые гироскопы 1.1-типа). Приведены примеры конструктивного оформления гироскопов ЬЬ-типа.
Ключевые слова: микромеханический гироскоп ЬЬ-типа, механические и математические модели.
Введение
Микромеханические гироскопы (ММГ) - устройства, построенные по технологии микроэлектронной промышленности, которые измеряют угловую скорость основания относительно инерциального пространства. Они находят все большее применение в технике, где использование традиционных гироскопов по соображениям массы, габаритов и цены не представляется возможным.
Работа ММГ заключается в определении силы инерции Кориолиса, функционально связанной с параметром угловой скорости объекта, для чего необходимо привести инерциальную массу (ИМ) в движение с линейной скоростью, вектор которой составляет с угловой скоростью некоторый угол. В ММГ ЬЬ-типа линейная скорость, создающая первичные колебания, изменяется по гармоническому закону под действием силы, развиваемой актюатором (режим возбуждения).
Вторичные колебания, которые в гироскопе ЬЬ-типа также линейные, характеризуют реакцию гироскопа на силу инерции Кориолиса (режим чувствительности).
Первичные и вторичные колебания могут располагаться как в одной плоскости, в основном это плоскость структуры ММГ, так и в разных плоскостях. Существуют ММГ с различными типами подвесов, с разным количеством ИМ, с внешней рамкой и без нее. На начальном этапе проектирования следует выбрать базовую схему чувствительного элемента и получить примерную оценку его движения [1].
Одномассовые гироскопы
В одномассовых гироскопах ИМ связана с корпусом посредством упругого подвеса, который одновременно функционирует при первичных и вторичных колебаниях. Механическая часть гироскопа может быть представлена в виде модели, приведенной на рис. 1. Если первичные колебания возбудить вдоль оси х, то вторичные колебания будут возбуждаться вдоль оси у или г, что определяется конструкцией упругого подвеса и направлением измерительной оси, вдоль которой направлена угловая скорость, подлежащая измерению.
1
п
ЭК ч* \
br 1 ( m
ï> 'z X
1
by
00 ш
Ключ:
|_ -вязкий '- демпфер
-упругий элемент
-безынерционный
каток /777* -корпус
Рис. 1. Механическая модель одномассового гироскопа LL-muna
bx>by
На рис.1 хуг - система координат, связанная с корпусом гироскопа, коэффициенты демпфирования ИМ, Сх,Су - жесткости подвеса
вдоль соответствующих направлении.
Обобщенное уравнение движения ИМ одномассового гироскопа в векторной форме имеет вид:
m[r + а + Q х г + Q х (Q х г) + 2Q х г] = Fy + Fd + F9Jl, (1)
II \\Т
где m - массаИМ, г = \\х у z|| - радиус-вектор, характеризующий положение ИМ относительно корпуса, а - вектор линейного ускорения корпуса гироскопа, Q - вектор угловой скорости корпуса, Fy,Fö - векторы
сил упругости и демпфирования соответственно, F3Jl - вектор сил электрической природы, развиваемый актюаторами, датчиками силы и т.п.
Примеры исполнения одномассовых гироскопов приведены на рис. 2 [2]. Упругие подвесы ММГ позволяют реализовывать так называемые z-гироскопы с измерительной осью z, у которых первичные и вторичные колебания происходят в одной плоскости (in-plane). Аналогично могут быть реализованы гироскопы, у которых один из режимов колебаний происходит в плоскости пластины {in-plane), а другой режим - вне плоскости (out-of-plane). Такие гироскопы обычно выполняют из тонкой пластины,
чтобы была возможность колебательного движения ИМ с выходом из плоскости. Однако предпочтительнее выполнять гироскопы с первичными и вторичными колебаниями, происходящими в плоскости структуры (ш-р1апе), так как толстая пластина исключает нежелательные колебания вне плоскости структуры [2].
Подвесы типа «нога краба» и Н-типа обеспечивают лучшую симметрию для режимов возбуждения и чувствительности и позволяют легко сблизить собственные частоты. Однако в подвесах типа «нога краба» и серпантин режим возбуждения часто передает нежелательные колебания на режим чувствительности. Лучшую развязку первичных и вторичных колебаний дают подвесы II- и Н-типа. Дальнейшее улучшение механической развязки первичных и вторичных колебаний возможно путем введения дополнительной рамки [2].
Рис. 2. Микромеханические гироскопы LL-muna с различной формой подвеса: а - «нога краба» (crab-leg); б - серпантин (serpentine);
в - U-muna; г - Н-типа
Микромеханические гироскопы с дополнительной рамкой
ММГ данной группы благодаря наличию дополнительной рамы и схеме упругого подвеса позволяют изолировать друг от друга первичные и вторичные колебания. Упруго - вязкая модель гироскопа приведена на рис. 3. Чувствительным элементом, реагирующим на ускорение Кориолиса, служит рамка или центральный элемент, расположенный внутри нее. В последнем случае актюатор приводит в колебательное движение рамку вместе с центральной массой.
/////////////// / / / / / / Рис. 3. Схема гироскопа ЬЬ-типа с дополнительной рамкой
Обобщенная математическая модель гироскопа с дополнительной рамкой имеет вид
(тр + т)[гр + а + С1х Гр + О х (О х гр) + 20, х гр] — Рру + ^рд ^рэл
-т[гт + С1хгт + Ох (Ох гт) + 2С1 х гт\ т[гт + а + Г2 х гт + О х (Г2 х гт) + 2С1 х гт] = ¥у + Рд + Г3
(2)
эл
-т[г + С1х гр + С1х(С1х гр) + 2Пх гр],
где тр, т
Уг
масса рамки и центрального элемента соответственно, т
- радиус-вектор положения рамки относительно корпу-
са, Рру, Ррд - векторы сил упругости и демпфирования соответственно, действующие на рамку, Ррэп - вектор электрических сил, действующих на
и \\Т
рамку, гт — ||х у - радиус вектор положения центральной элемента
относительно рамки, ^, , Рэл- векторы сил упругости, демпфирования и
электрической природы соответственно, действующие на центральную элемент, а - вектор линейного ускорения корпуса гироскопа.
Примеры выполнения гироскопов с дополнительной рамкой приведены на рис. 4, 5 [2].
Рис. 4. Гироскоп с дополнительной рамой (вариант 1)
Рис. 5. Гироскоп с дополнительной рамой (вариант 2)
В первом варианте (рис. 4) чувствительным элементом гироскопа яв-
ляется центральный элемент, а во втором (рис. 5) - дополнительная рамка соответственно.
Двухмассовые гироскопы
Данный тип ММГ называют гироскопами камертонного типа (tuning-fork), так как в них возбуждаются противофазные первичные колебания масс. Вращение корпуса вызывает также противофазные вторичные колебания под действием сил инерции Кориолиса, которые могут быть в одной плоскости вместе с первичными колебаниями либо с выходом из плоскости. Упруго - вязкая модель двухмаесового гироскопа приведена на рис. 6.
Рис. 6. Схема двухмассового гироскопа
Обобщенная математическая модель двухмассового гироскопа имеет следующий вид:
тЛп + а + Q х п + Qх Qх п + 2Qх п) = Fvl + Föl + F' ,,
(3)
m2{r2 + a + Qxr2 + QxQxr2 + 2Qx r2) = Fyl + Fö2 + F^ 2,
где m1? m2 - масса первой и второй ИМ соответственно;
п \\Т II \\т
r\ ~ ||xi У\ zi\\ г2 = \\х2 Уi z2\\ ' радиус-векторы положения инерцион-
ных масс относительно корпуса, Fyi,Fdi,F3ni - векторы сил упругости,
демпфирования и электростатических сил соответственно, действующие на каждую ИМ (/ = 1), а - вектор линейного ускорения корпуса гироскопа.
При возбуждении первичных колебаний инерционных масс в противофазе электростатические силы в уравнениях масс должны входить с противоположными знаками. Пример исполнения такого гироскопа приведен на рис. 7.
Двухмассовый гироскоп с дополнительными рамками
Для изоляции первичных и вторичных колебаний инерционные массы камертонного гироскопа могут снабжаться рамками как в случае одно-массового гироскопа с дополнительной рамкой. На рис. 8 приведена модель данного гироскопа.
Рис. 7. Гироскоп с двумя инерционными массами
Рис. 8. Модель двухмассового гироскопа с дополнительными рамками
Обобщенная математическая модель двухмассового гироскопа с дополнительными рамками имеет вид
(mpl + Ш1)[Гр1 + a + 0 х гр1 + 0х (Ох rpl) + 2Ох Гр1] = Fpyl + ^ +
эл1
- Ш1[Гш1 + a + 0 Х Гш1 + О Х (О Х гш1) + 2О Х Гш1]>
(Шр2 + Ш1)[rp2 + a + 0 Х rp2 + 0 Х (0 Х rp2) + 20 Х rp2] = Fpy2 + Fpд2 + Fpэл2 -Ш2[гш2 + a + 0 Х гш2 + 0 Х (0 Х Гш2 ) + 20 Х Гш2]
Ш1[Гш1 + а + 0 Х Гш1 + 0 Х (0 Х гш1) + 20 Х Гш1] = Fy1 + Fд1 + ^л1 -
(4)
-ш1[Гр1 + 0Х гр1 + 0Х (0Х гр1) + 20Х Гр1]
>1
р1
гр1
Ш2[Гш2 + а + 0х ГШ2 + 0Х (0Х ГШ2) + 20Х Гш2] = Fy2 + ^2 + ^л2 -
-Ш2[Гр2 + 0 Х Гр2 + 0 Х (0 Х Гр2) + 20 Х Гр2]' где Шр1, Шр2 - массы рамок, Ш1, Ш2 - масса первой и второй ИМ соответ-
ственно; гр1 =
X
р1 Ур1 *р1
Гр 2 =
X
р 2 У р 2 ^ 2
радиус-вектор по-
ложения первой и второй рамок относительно корпуса, Fpyi, Fpдi - векторы сил упругости и демпфирования соответственно, действующие на рамку ^ = 1,2), Fpэлi - вектор сил электрической природы,
II 11^ II 11^
действующий на рамку ^ = 1,2), гш1 = ||х1 у1 z1|| гШ2 = ||х2 у2 z2|| -
радиус-вектор положения инерционных масс относительно рамок, Fyi, Fдi - векторы сил упругости и демпфирования соответственно, действующие на ИМ ^ = 1,2), Fэлi - вектор сил электрической природы, действующий на ИМ (/' = 1,2), а - вектор линейного ускорение корпуса гироскопа.
Гироскоп камертонного типа с дополнительными рамками приведен на рис. 9.
Рис. 9. Гироскоп с двумя инерциальными массами и дополнительными рамками
Актюаторы возбуждают противофазные колебания рамок вдоль X, которые передаются на инерционные массы гироскопа. При возникновении угловой скорости основания Q_ возникают силы инерции Кориолиса, возбуждающие вторичные колебания вдоль оси Y, амплитуда которых и является мерой угловой скорости основания.
Заключение
Ключевым вопросом проектирования микромеханических гироскопов является формирование конструкции, которая положена в основу топологии прибора. Выбор конструкции определяет чувствительность ММГ, полосу пропускания, время переходного процесса, устойчивость к вибрациям, перегрузкам, тепловым воздействиям и др. Необходимую топологию ММГ можно создавать, располагая приведенными механическими и математическими моделями.
Рассмотренные в статье схемы и модели гироскопов LL-типа не претендуют на исчерпывающую полноту, так как существует большое разнообразие различных вариантов исполнения.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-08-00230а «Научные основы построения малогабаритных систем ориентации и навигации для беспилотных вращающихся по крену летательных аппаратов».
Список литературы
1. Информационно-аналитическое обеспечение начальных этапов проектирования микромеханических гироскопов и акселерометров / В.В. Ефимов [и др.] //Нано-и микросистемная техника. 2012. № 1. С. 11-18.
2. Cenk A., Shkel A. MEMS Vibratory Gyroscopes Structural Approaches to Improve Robustness. Springer Science+Business Media, LLC.-2009. P. 257.
V. V. Matveev, S.I. Seregin, V. V. Likhosherst,
MATHEMATICAL MODELS OF MICROMECHANICAL GYROSCOPES LL-TYPE
Mechanical and mathematical models of micromechanical gyroscopes with the linear driving on axes ofprimary and secondary fluctuations (so-called gyroscopes of LL type) are considered. Examples of design registration of gyroscopes of LL type are given.
Key words: micromechanical gyroscope of LL type, mechanical and mathematical models.
Получено 3.12.12
