Уравнение связи прочностных параметров тел и его применение для анализа и прогноза физического состояния горных пород Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 624:539.4

УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ ПРОЧНОСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ТЕЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗА ФИЗИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

Заднепровский Р. П.

Приведено уравнение, связывающее напряжения сдвига с нормальными напряжениями и позволяющее моделировать реальные и гипотетические физические состояния тел. Рассмотрена реологическая модель для анализа динамического изменения деформативности, приведены опытные данные анализа коэффициентов уравнения связи для горных пород и других минеральных тел.

Ключевые слова: напряжение сдвига; моделирование; горные породы; строительные материалы; уравнение связи.

Существуют аналогии процессов фрикционного скольжения и соотношения касательных и нормальных напряжений при сдвиге. Например, аналогия известных зависимостей удельных сил трения скольжения F от потенциала внешнего давления N (по Ш. Кулону) простейшему уравнению связи касательного т и нормального ос напряжений т = c^g ф + C, широко используемому в механике горных пород и дисперсных тел. Здесь угол внутреннего трения ф отражает деформативность при сжатии. Коэффициент С, называемой коэффициентом сцепления, не получил еще должного физического представления и связан с параметром прочности - когезией РК (интегральный фактор ионно-молекулярного взаимодействия частиц тела, противодействующий разрушению тела под действием сил растяжения).

Автором [1] обоснована более строгая и общая зависимость удельной силы трения от внешнего и адгезионно-когезионного потенциала в виде:

F = F0 + fiN + /2 Pa(k) N/(N + PA(K) ). (1)

Здесь f1 и f2 - коэффициенты деформационного, адгезионного (для внешнего трения - при относительном скольжении разнородных тел) и когезионного (при внутреннем скольжении слоев однородного тела) слагаемых трения. Величина Р - адгезионно-когезионный потенциал, учитывающий возможность разрыва тел (при растяжении или сжатии), имеющих явно выраженные фазовые плоскости (например, слоистые тела с прослойками со значительной разностью фи-

зического состояния и физико-механических свойств соседних слоев), по фазовым или внутрифазовым поверхностям. Адгезионный потенциал РА соответствует скольжению тела или его разрушению по фазовой плоскости. Когезионный потенциал РК (как следствие ионно-молекулярной связи) аналогичен предельному напряжению растяжения. Соответствующая аналогия с учетом физического смысла коэффициентов и силовых потенциалов выражения (1) дает уравнение связи:

т = т0+ /Сс +2/2 СсСр /(Сс + °р). (2)

Реальные физические состояния твердых тел являются промежуточными вариациями между несколькими идеализированными состояниями (абсолютно твердое или жидкое, пластичное, вязкое, порошковое). В отличие от абстрактных тел, рассматриваемых в теории упругости, реальные тела негомогенны, имеют существенную неоднородность появления внутренних напряжений при внешнем воздействии, а также полидисперсность и взаимодействие ультрадисперсных частиц. Здесь силовые (механические) потенциалы выражаются в паскалях, хотя могут быть переведены в размерность других энергетических потенциалов (что более привычно при рассмотрении когезионно-адгезионного взаимодействия).

Целями данной статьи являются обоснование более общего и достаточно простого уравнения связи между касательным сопротивлением сдвигу и нормальными напряжениями растяжению ор и сжатию ос с раскрытием более четкого физического смысла

38

Известия Уральского государственного горного университета

слагаемых уравнения трения (1); предварительный анализ возможных физических состояний тел и оценка коэффициентов уравнения связи применительно к горным породам монолитного и дисперсного состояния и другим материалам на минеральной основе.

Для горных пород характерен большой разброс физических состояний от твердых упругих монолитов до дисперсных порошков с множеством промежуточных пластичновязких вариаций (особенно для глинистых пород и строительных водосодержащих материалов). При этом для поликристаллических тел характерна многоуровневая структура, где разрушение происходит по микроплощадкам наименее низкого энергетического уровня, которые в значительной мере не совпадают для касательных и нормальных напряжений. Чрезвычайно важно наличие в естественных породах трещиноватости, блочности и разломов, которые можно считать способом существования горных массивов. При разрушении на первый план выходят структурные особенности тел с учетом физического состояния. Для горных пород применимы предложенные академиком Ю. Н. Роботновым понятия рассеянного разрушения и его скрытого периода до формирования трещиноватости.

Обозначим соотношение предельных напряжений растяжения и сжатия ор /сс = а < 1 и соотношение 2/(1 + а) = в, где 0 < в < 1. Величина сцепления С в формуле Кулона может быть выражена в виде С = т0 + /2всР, где усматривается более четкий физический смысл этой величины. При в/2 = tg ф2 получаем уравнение, удобное для графического анализа возможных физических состояний тел:

Т = Т0 +Сс*ё Ф1 + Vg Ф2 . (3)

Здесь коэффициенты а, ф1 2 и соответствующие значения тангенсов углов tg ф1 = f1 и tg ф2 могут рассматриваться как упрощенные параметры физического состояния тел при данном режиме изменения напряжений (скорости и времени нагружения). Физический смысл величины т0 определяется наличием потенциальной энергии тел, не зависящей от внешних сил, вследствие реальной неоднородности физических свойств микрообъемов (фактическая площадь разрушения имеет

неровности, то есть не соответствует расчетной), их дискретности, различной ориентации вектора деформации, а также возможного действия внешних полей немеханической природы (электромагнитного или радиационного воздействия).

Уравнение (3) содержит пять изменяемых параметров, имеющих краевые ограничения. Из уравнения (3) получаем:

(т - "О / о0 = /1 + /2в = /. Для равнопрочного тела (сопротивления растяжению и сжатию

равны) при т / с < 1, сумма / < 1. Эксперименты с различными минеральными образованиями (табл. 1) дают значения f1 = 0,1-0,8 (в том числе для скальных пород - 0,5-0,8).

Формально в области упругого деформирования коэффициент / = у / s (1 + ц), где Y, ц, s - соответственно относительные деформации при нормальном и касательном напряжении и коэффициент Пуассона. При изменении реологических констант тел в простейшем случае / = (т - т0) / (с + tEs* + ns* + sn*). Здесь n - приведенная вязкость.

Положительное значение /1 соответствует соотношению 2(т - т0)/сР(С) > 0. Для большинства минеральных материалов коэффициент а = 0,05-0,18 и в = 0,08-0,3.

Уравнение связи может учитывать возможность появления критических значений напряжений сКр и соответствующих деформаций, когда при их достижении (на фоне других возможных энергетических воздействий) заметным скачком изменяются значения коэффициентов ф, а, /. В более общем случае

Т - Т0 = Mg (Ф1±Ф, ) + Mg (Ф2 ± Ф, ). (4)

Результаты анализа литературных данных [3] и опытов автора по прочностным характеристикам горных пород, полученным стандартными методами на основе уравнения Кулона, с расчетом коэффициентов полученного выше уравнения их связи представлены в табл. 1.

Используя данные таблицы, с учетом вышеуказанных соотношений можно приближенно оценить величины а, т, А = /,в, f1 и т0 = С - АсР. Примеры расчетных характеристик: для гипса, уртрита, фосфорита, кремния, глины (при коэффициенте консистенции, близком к нулю), известняка, сланцев значения т0, соответственно, равны 1,1; 5,4; 43; 9,8;

№ 1(33), 2014

39

0,9; 3,9; 25 МПа, а соответствующие соотношения т0 / т = B равны 0,08; 0,06; 0,38; 0,25; 0,33; 0,36; 0,28. Последовательные ряды (по возрастанию или убыванию) коэффициентов a, A, f слабо согласуются между собой, что говорит об их индивидуальной значимости при анализе особенностей пород. Расчетные значения f = 0,2-6,2 и аномальные значения (более единицы) получены (по убыванию) для кремния, фосфорита, доломита, сланцев,

песчаника, уртрита, глинистого конгломерата, мергеля. Можно полагать, что этот коэффициент наиболее полно отражает влияние на прочность поликристаллических пород структурной неоднородности и наличия микротрещин и может служить одним из параметров оценки геодинамических процессов.

По уравнению связи (2) величина сцепления С = оСОр/(оС+оР). Здесь в приближенном анализе последним слагаемым можно

Таблица 1

Прочностные свойства горных пород и значения параметров связи

Порода а , Мпа р’ ас, Мпа С, Мпа Ф1 А102

Апатит -1 5 98 1,9 39 1

Гипс - 2 1,6 14,8 2,1 35 6

Пегматит - 3 9,5 118 2,5 42 1,5

Сланцы -4 4,2 90,3 25,5 34 2,6

Мергель - 5 3,8 13,7 4,4 12 2,8

Известняк- 6 6,7 150 4,2 35 2,5

Доломит - 7 85 1310 410 35 3

Рисчоррит - 8 9,6 160 3 36 4

Луяврит - 9 19 220 3,8 35 5

Уртрит - 10 130 1800 210 38 1,2

Уртрит (2) - 11 15,2 110 5,2 27 13

Кремень - 12 3 40 10 37 3,5

Фосфорит -13 7 100 44 34 3,5

Песчаник - 14 2,4 47 14 34 3

Глинистый -15 (конгломерат) 2,5 41 12 33 4

Глина уплотненная (К = 0-0,2) - 16 0,6-0,1 5-1 0,5-2 12-17 9

* К - коэффициент консистенции.

пренебречь. Для равнопрочных тел (при сжа- тивление сдвига в значительной мере зависит тии или растяжении) критическое значение и от более высокоэнергетических уровней с коэффициента f2 = С/оС(Р) и теоретически не учетом структуры материала. В связи с этим превышает единицы. Фактически, как прави- величину т - т0 можно трактовать как своео-ло, соблюдается неравенство разрушающих бразный КПД фактической реализации коге-напряжений по ряду: сжатие > сдвиг > растя- зионных сил.

жение. Рост величины f означает повышение Некоторые из многих возможных графи-

роли когезионной составляющей прочности ков реальных и гипотетических физических при возможной трещиноватости по направле- состояний тел, вытекающие из уравнений (3, нию нормальных напряжений, и сохранение 4), показаны на рис. 1. Теоретическое число в этом случае существенных значений т - т0 физических состояний (и соответствующих может объясняться структурно-текстурными частных уравнений) определяется известны-особенностями пород при их значительной ми из теории чисел формулами комбинаций гетерогенности. и сочетаний шести варьируемых параметров

Можно полагать, что в полидисперсных уравнений (3) или (4). Между основными фи-породах реализуется несколько энергетиче- зическими состояниями: твердое (монолит ских уровней связей между частицами нано-, или порошок), жидкость, пластичное тело, микро- и мезодиапазона. Разрыв когезионных газ - возможно множество промежуточных связей, в первую очередь, происходит по на- реальных или гипотетических состояний. именее энергоемкому мезоуровню, а сопро- При этом структура каждого состояния име-

40

Известия Уральского государственного горного университета

ет свои особенности, определяющие физикомеханические свойства (с учетом скорости и длительности энергетического воздействия). Связь структурных особенностей, физического состояния и режима энергетического воздействия весьма сложна и еще мало изучена. Исходя из этого, представляет интерес предварительный прогноз и моделирование физических состояний на основе простых уравнений (3, 4).

Принимая во внимание только две вариации: минимально и максимально возможное значение каждого параметра, имеем число

возможных состояний, равное 45. Если учитывать и реологические параметры, то это значение будет значительно больше. Указанные уравнения отражают физическое состояние в данный момент, а их параметры, изменяясь в зависимости от скорости или времени внешнего воздействия, дают возможность приближенного анализа изменения физического состояния при упруго-пластичном деформировании.

Ниже даны комментарии к некоторым физическим состояниям, представленным на графиках рис. 1. Все параметры уравне-

т

Рис. 1. Примеры графиков физических состояний по уравнению (3)

ния (3) или их часть могут иметь нулевые, предельно-критические или неопределенные значимые значения. В точках резкого излома отдельных линейных графиков (где тангенсы углов ф имеют нулевые или отрицательные значения) происходит структурно-энергетическая перестройка (например, за счет внешних импульсных энергетических полей немеханической природы). Линия 1-2-11-18 - типовой график уравнения связи при значимых величинах его параметров.

Линия А-2-11-10: тело с критической точкой 2 структурной переориентации частиц при росте потенциальной слагаемой т0 и далее (после критической точки 11, когда угол ф1 принимает отрицательное значение) происходит снижение сопротивления сдвигу (суммарного касательного напряжения) при росте ос с возможным переходом в жидкое несжимаемое состояние. Отрезок АВ отвечает теоретической модели недеформируемого тела (пластичное или монолитное состояние

при углах ф12 = 0.

Линия 1-2-3: равнопрочное изотропное тело при ор = ок (когезионной прочности на уровне сцепления молекул, ионов), т. е. равенство отражает максимальную внутреннюю энергию, а ос - сумму внешних потенциалов (механического, температурного, электромагнитного, радиационного). Это график уравнения связи при т0 = 0. Вариант сказанного выше: линия 1-2-11-18 (при Т0 > 0).

Линия 0-2-В: тонкопорошковое несжимаемое тело при нулевой когезионной прочности; 1-12-13 - то же при т0 > 0 (характеризует резкую анизотропию, например, модель структуры тела в виде тонковолокнистых частиц с предельной продольной неустойчивостью); линия 1-2-4-5: переход в точке 4 перегиба графика в деформируемое состояние; отрезок 2-4 характеризует абсолютно хрупкое состояние.

Линия 1-11-18: однородно-изотропное

тело с уравнением связи при т0 = 0, ф1 = ф2;

№ 1(33), 2014

41

1-0-6: вариант при т - т0 ^ 0; 1-0-7 - эластомерная структура при больших значениях угла ф;; линия 1-0-11 - ГТ (гипотетическое тело), при ос = 0, т > 0 - структурно-энергетическая перестройка, при ок = 0 с ростом касательного сопротивления. Точка 0 характеризует идеальный газ.

Линия 17-12-0-6 (ГТ): при т > 0 - переход из одного пластичного состояния в другое, когда т растет при сжатии (или жидкость в ограниченном интервале воздействия внешнего потенциала).

Линия 1-11-2-3: ГТ, склонное к самопроизвольному снижению т при возрастании сжатия в ограниченном интервале, 17-12-0-7(9) - варианты абсолютно пластичного тела, переходящего в абсолютную жидкость при ос(р) ^ да; 1-2-0-9-8 - то же (но пластичное тело с перестройкой структуры при о > оет и эквивалентное отрезку 0-9 при 0 < о < оет; т > 0 ).

Линия 1-0-2-3. Модель этого состояния характеризуется следующими переходами: отрезок 1-0 - реологическая жидкость (ф2 = 0, когезионное сцепление является функцией скорости силового воздействия); отрезок 2-3 - переход в деформируемое порошкообразное состояние на отрезке 0-2 (например, за счет резкого охлаждения в момент отсутствия когезионных связей, приводящего к образованию структуры соответствующего энергетического уровня). При этом временной интер-вал перестройки неизвестен.

Следует отметить, что величина т0 связана с неоднородностью структуры и текстуры материальных тел, в первую очередь, волокнистого строения с полярными и легкополяризующимися частицами под действием суммарного внешнего потенциала (включая электромагнитное и тепловое воздействие).

По мнению автора, угол ф2 (см. уравнение (3)) косвенно отражает структурную неоднородность поликристаллических пород и наличие микротрещин. В связи с этим, выбор масштабного коэффициента для объективной сопоставимой оценки прочностных характеристик представляет значительную трудность.

Линейно-кусочные графики на рис. 1 являются, по существу, изображениями частных случаев уравнения связи при данных (статических) параметрах (неизменные ско-

рость и время). Для учета динамического воздействия (составления полного комплекса уравнений связи с учетом реологического изменения величин т, о необходимы зависимости т = f (V, t);s = f (V, t), совмещаемые с уравнениями (3)-(4).

Рассмотрим более общий случай, когда все величины могут изменяться во времени под действием суммарного силового потенциала. Тогда реологическое уравнение связи касательного напряжения с соответствующей деформацией запишется в виде:

т = Gy + уп + ny , где G, у - модуль и относительная деформация при сдвиге, п - условная вязкость. Предельная величина т близка практически к величине с12р, где с1 - продольная скорость звука (волны деформации), р - плотность. Взяв производную т = с12р , после преобразований получим:

у** + Ау* + Ру = С0, (5)

где А = (2n* + G) - n , B = (G* + п**) - П.

Общее решение этого уравнения имеет

вид:

Y = (exp(-At - 2)(С1 cos>/B - At -4) +

+ C2sinVB - At -4) - C0 - B, (6)

модуль сдвига G1 = Е1 -2(1 + p).

При критической величине t = 4Р - А = = 4(G* +n**)-(G + n*) относительная деформация y = С1 exp(-2B) - C0 - B. При t = 0, Y = = С14Р + С24Р - C0- Р.

Максимальная угловая относительная деформация y = с12р - (G + п ), динамические коэффициенты А = (Е + п*) - п, Р = (Е * + п* )п,

С0 = 0М - п.

Учитывая существенное уменьшение коэффициента ф - затухания акустических деформационных волн [2] - при переходе к упругим деформациям и пренебрегая изменением плотности, получим: производная о* « (с*2)2р (1-ф*)п и величина С0 -Р = D. Для простейших линейных зависимостей Е = Е0 + et; ф* = ф0 + at;

п* = п0 + mt; c2* = c0 + nt

получим:

s = с2рпа х

х[1 - (1 - exp(Et 12п)со^/a I b - (EI п)21J =

= 0m - ап- (7)

42

Известия Уральского государственного горного университета

Коэффициенты а, b, m, n можно трактовать как тангенсы соответствующих углов, связанных с начальной и текущей (в процессе динамической деформации) величинами вектора структурной неоднородности. Из уравнений (6)-(7) можно выразить функцию ф (т/о) или о = ф (т, е) и построить совмещенные пространственные графики физического состояния с учетом динамического воздействия суммарного силового потенциала.

Для поликристаллических материалов характерна анизотропия свойств на микро- и макроуровнях. При этом соотношение модулей упругости и коэффициента Пуассона по опытным данным [4]:

Emax / Em G / G

max m M-max / M-mi

= 1,18 - 3,35; = 1,07 - 2,48; = 0,1 - 0,6.

Такое изменение сказывается на значениях углов ф и коэффициентов /1(2) и подтверждает вывод о повышении с ростом динамичности воздействия коэффициента f и снижении коэффициента f Конкретные динамические зависимости изменения величин П, E, м, G дадут возможность на любом этапе деформирования представить более конкретный график физического состояния тела.

Итак, предложенное уравнение, связывающее касательные и нормальные напряжения через коэффициенты связи, позволяет в наглядной графической интерпретации при-

ближенно прогнозировать принципиально возможные и гипотетические состояния тел, физическое моделирование которых затруднено. Анализ реологических уравнений общего вида дает возможность выявить изменение коэффициентов связи основного уравнения в динамическом процессе деформирования изотропно-неоднородных тел с учетом скорости деформации и изменения условных параметров вязкости, а также наличия критических точек перестройки структуры при анализе физических состояний и приближенных вариационных моделей тел, резко отличающихся от обычных реальных свойств.

Показанные линейные графики состояний, по существу, являются интерпретацией уравнений (3)-(4) для некоторого промежутка времени действия данного комплекса внешнего энергосилового воздействия с учетом возможностей внутренней релаксационной перестройки начальной структуры тела.

Также проведен анализ сопоставления опытных прочностных характеристик (по стандартным методикам) с соответствующими величинами уточненного уравнения связи прочностных параметров, включающих коэффициенты уравнения связи, и показана возможность изменения обобщенных параметров за счет изменения структуры и ее более высокой организации в рамках данного химико-минералогического состава (применительно к горным породам и строительным материалам).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Заднепровский Р. П. Теория трения скольжения. Волгоград: Офсет, 2005. 52 с.

2. Михайлов И. Г., Соловьев В. А., Сырников Ю. П. Основы молекулярной акустики. М: Наука, 1964. С. 380470.

3. Свойства пород горно-химического сырья / под ред. М. Е. Певзнера. М., 1971. 172 с.

4. Кукса Л. В. Механика структурно-неоднородных материалов на микро- и макроуровнях. Волгоград: Вол-гГАСУ, 2002. С. 17-23.

Заднепровский Рем Петрович - доктор технических наук, профессор. 400074, Волгоград, ул. Лавочкина, 10-27, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет. E-mail: [email protected]

№ 1(33), 2014

43