CC BY
28
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 155, кн. 1 Физико-математические пауки
2013
УДК 535.14
УРАВНЕНИЕ ЛИНДБЛАДА СПОНТАННО ИЗЛУЧАЮЩЕГО АТОМНО-ФОТОННОГО КЛАСТЕРА В НЕЛАНЖЕВЕНОВСКОМ СЛУЧАЕ
А.М. Башаров
Аннотация
Получено пелапжевеповское кинетическое уравнение для матрицы плотности атомпо-фотоппого кластера, споптаппо излучающего в вакуумном широкополосном электромагнитном поле с пулевой плотностью фотонов. Учтено штарковское взаимодействие кластера и вакуумного поля.
Ключевые слова: полиномиальная алгебра, марковское приближение, квантовое стохастическое дифференциальное уравнение, пуассоповский процесс, алгебра Хадсопа Партасарати.
Введение
В работах [1 4] введено и развито представление о локализованных в одномодовом резонаторе атомах и фотонах как едином элементарном излучателе атомно-фотонном кластере. В условиях двухквантовых резонансов с участием классического и/или квантового внешних электромагнитных полей и фотонов микрорезонатора атомно-фотонный кластер выступает как единое целое в задачах указанного резонансного взаимодействия с внешним классическим когерентным полем, внешним квантованным (в том числе и широкополосным термостатным) электромагнитным полем, при наличии обоих типов полей. С точки зрения взаимодействия внешних полей с атомно-фотонным кластером реализуются условия одноквантового резонанса внешних полей с такого рода искусственным излучателем. При этом возможно проявление всего спектра эффектов нелинейной и квантовой оптики радиационный распад и спонтанное излучение, сверхизлучение, оптическая нутация и все другие когерентные явления. С математической точки зрения на состояниях атомно-фотонного кластера реализуется неприводимое представление полиномиальной алгебры [5. 6] третьего порядка, и это послужило решающим обстоятельством в пользу введения понятия атомно-фотонного кластера как самостоятельного элементарного объекта, или элементарного излучателя.
При рассмотрении спонтанного излучения атомно-фотонного кластера первоначально [1 4] пренебрегал ось штарковским взаимодействием атомно-фотонного кластера с внешним широкополосным квантованным электромагнитным полем (вакуумом). Между тем в [7] показано, что в ансамбле одинаковых атомов с ростом числа атомов ансамбля пропорционально числу атомов растет и штарковское взаимодействие ансамбля с вакуумным электромагнитным полем. А в работе [8] установлено, что сильное штарковское взаимодействие двухуровневой квантовой частицы с вакуумом стабилизирует квантовую частицу в возбужденном состоянии. подавляя ее спонтанный распад. В [7. 8] штарковское взаимодействие квантовых частиц с вакуумным электромагнитным полем с нулевой плотностью фотонов
представлено квантовым пуассоновским процессом. В условиях штарковского взаимодействия спонтанный распад одиночной квантовой частицы и коллективный спонтанный распад ансамбля одинаковых квантовых частиц относятся к классу неланжевеновской динамики, отличительной чертой которой является наличие в стохастических дифференциальных уравнениях, описывающих такую динамику (открытой квантовой системы и окружения), пуассоновского процесса [9]. Кинетические уравнения, описывающие иелаижевеиовскую динамику, также принято называть неланжевеновскими уравнениями.
Настоящая статья посвящена выводу иеланжевеиовского кинетического уравнения для атомно-фотонного кластера, взаимодействующего с вакуумным электромагнитным полем с нулевой плотностью фотонов с учетом квантового эффекта Штарка, представлению этого уравнения в форме Линдблада и обсуждению условий, в которых штарковское взаимодействие для атомно-фотонного кластера может быть существенным.
1. Эффективный гамильтониан атомно-фотонного кластера с учетом штарковского взаимодействия с электромагнитным вакуумом
Пусть атомно-фотонный кластер, описанный в [1 3], резонансно взаимодействует с внешним широкополосным электромагнитным полем с центральной частотой , совпадающей с частотой шсі квантового перехода кластера: ^г « шсі ■ Выражение для эффективного гамильтониана такой системы следует из [2, 3], он может быть представлен в виде
Н = Нсі + НР + нСг + и%1
Гамильтониан состоит из эффективного гамильтониана атомно-фотонного кластера (здесь пренебрегаем несущественным взаимодействием между атомной и фотонной подсистемами кластера)
Нсі = ЬшсіХ о,
гамильтониана электромагнитного поля (с обычными коммутационными соотношениями для операторов уничтожения и рождения фотонов с волновыми векторами ^ и q/, [6Ч, 6+, ] = и обычным дисперсионным соотношением = до)
Нр
Я
и операторов взаимодействия атомно-фотонного кластера с квантованным полем
Н?Г и Н$:
НсГ = 53гчЬчЛ2іХ+ + Н.о.,
Я
нЯ = ££гчг, 'Ь+Ья'{П+(^я,^я'У + П-(^Ч,^Ч/)(Хо - (Х - г)/2)},
Я я'
причем НТГ описывает квантовые переходы в атомно-фотонном кластере, сопровождающиеся излучением фотонов, а НЯ - штарковское взаимодействие атомнофотонного кластера с внешним квантованным электромагнитным полем. Как отмечено в [1 3], гамильтониан атомно-фотонного кластера во внешнем электромагнитном поле (без учета штарковского взаимодействия с этим полем) получается из эффективного гамильтониана двухуровневой квантовой частицы в том же внешнем поле путем замены образующих алгебры углового момента Д_, Е+ и Е3,
описывающих двухуровневую квантовую систему, на образующие Х-, Х+ и Хо полиномиальной алгебры третьего порядка, описывающих квантовые состояния атомно-фотонного кластера и удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[Хо,Х±] = ±Х±, [Х-,Х+] = рп(Хо + 1) -рп(Хо)
с характеристическим полиномом
п
Х+Х- = Рп(Хо) = е^П(Хо - Яг)
г=1
третьего порядка (п = 3) с параметрами
ео = -1, Я1 = (г - Х)/2, Я2 = (Х - 3г)/2, яз = (Х + г)/2+1. Операторы
Х = N - Д3 + г, Д2 = Д+Д- + д2 - Д3 = Д-Д+ + д2 + Д3
являются операторами Казимира рассматриваемой полиномиальной алгебры (М - число фотонов микрорезонаторной моды), причем па неприводимом представлении собственные значения оператора Х неотрицательны, а оператора Д3 равны г(г + 1). При этом считаем состояние атомной подсистемы полностью симметричным относительно перестановки атомов. Число атомов Ыа атомной под-
г
М = 2г.
Заметим, что как штарковское взаимодействие между атомной и фотонной подсистемами атомно-фотонного кластера, так и штарковское взаимодействие атомнофотонного кластера с внешним электромагнитным полем, не получаются указанной выше заменой образующих одной алгебры на образующие другой, поскольку штарковское взаимодействие в полях разной частоты есть сумма штарковских операторов в каждом поле [10]. В формировании оператора штарковского взаимодействия #Сг участвует только атомная подсистема атомно-фотонного кластера, а штарковское взаимодействие между атомной и фотонной подсистемами кластера ие связано с внешними полями. Тем не менее все указанные операторы выражаются через образующие полиномиальной алгебры, и атомно-фотонный кластер с учетом штарковского взаимодействия с внешними полями выступает как единый искусственный элементарный излучатель.
Другие величины, входящие в определение гамильтониана атомно-фотонного кластера и операторов его резонансного взаимодействия с внешним квантованным электромагнитным полем, связаны с основными параметрами П21(ш), Щ(ш) и П2 (ш) теории двухфотонного резонанса [10]:
^21 = -0П21(-шс), П±(ш, ш') = 1(П2(ш) + П2(ш')) ± ^(Щ(ш) + Щ(ш')).
Через д обозначена константа связи атомов и микрорезонаторной фотонной моды частоты шс, а через Гч - параметр связи атомов с внешним широкополосным электромагнитным полем (см. [1 3]). Для трехмерного внешнего электромагнитного поля Гч = (2п%е/13)1/2, где I - характерный размер объема квантования.
2. Квантовое стохастическое дифференциальное уравнение для оператора эволюции атомно-фотонного кластера
Рассмотренный в предыдущем разделе эффективный гамильтониан определяет эволюцию волновой функции |Ф(і)> системы в представлении взаимодействия:
іь = (нТг (і) + Н$(*))|ад, (і)
|Ф(і)> = ехр(і(Нсі + Нр )і/Ь)|Ф).
НсГ(і) = ехр(і(Нсі + Нр)г/Н)НІ,і[ ехр(-і(Нсі + Нр)і/Ь),
Н^;(і) = ехр(і(Нсі + Нр)і/Ь)Ня ехр(-і(Нсі + Нр)і/Ь),
а временной аргумент различает одну и ту же величину в представлении взаимодействия от представления Шрсдингсра.
Решение уравнения Шредингера выразим через оператор эволюции и (і) (/ -единичный оператор):
|*(і)> = и (і)|*о), и (0)= I,
а уравнение для оператора эволюции запишем в безразмерном виде
. ^и (т )
і йт
= (НТГ (т) + Н^;(т))и(т), (2)
где в качестве безразмерного времени взято т = шс;£, а в качестве безразмерных частот - V = ш0/шс1 и V' = ш0,/шс1, шс1 « шг. При этом
СЮ СЮ
НТГ (т) = ^6+в<(*-1)т )Х- + -1=1 ^ е-г^-1)т хМХ+,
оо
СЮ СЮ
нсг(т) = 2П / ^Ь+е^ТУ е-ЫУТ{п+(^')г + П-(^ V')(Хо - (Х - г)/2)}.
оо
Здесь произведена замена суммирования на интегрирование
4п^2
\2по/ У і 4п
Я
где волновой вектор представлен при помощи единичного вектора п Ч = ^шг/е, —— = J 1 означает интегрирование по различным ориентациям
волнового вектора. При этом
6 73 ^шП3/2 г 6 ^^(/ ,
"V = V V/ У "^^г/^ и (т) = и (т/ш с^
л/2шсг^21 , Л П±(шсгv, шсгv/) ' 2ш2
> = 7С3727ТV• > = 1 ^г/(«шг) ^ 7 = 72л.
Введенные операторы уничтожения 6^ ^ ^^ждения 6+ также удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры осцилляторов ^,6+,] = - V'). Величи-
на 7шг характеризует естественную ширину линии квазирезонансного атомного
уровня, как если бы он спонтанно распадался одноквантовым образом на резонансный уровень атомной подсистемы атомно-фотонного кластера в рассматриваемом внешнем квантованном широкополосном электромагнитном поле (dr _ дипольпый момент такого перехода). Поправочный коэффициент ^ учитывает геометрию внешнего квантованного поля и в трехмерном случае равен %/3 (поляризацией поля пренебрегаем).
Представленная форма выражения для n± удобна для оценки оптимального значения этих штарковских параметров. Известные выражения для параметров Щи П2 [10] дают оце нки П± ~ dp/ftA, где А - частотная отстройка от квазире-зонансного уровня. Таким образом, n± ~ (7wr)/A. Обычно (7^г) ^ А чтобы не было резонанса с квазирезонансным уровнем.
Решение уравнения (2) для оператора эволюции представим через T -экспоненту:
/ оо \
U(т) = Texp ( -i I (HT[(r') + Я**(т')) dr'J . (3)
Начальным условием для уравнения Шредпнгера (1) служит факторизован-
ное состояние атомно-фотонного кластера и внешнего электромагнитного поля |Фо> = |Ф0С|ФГ},где |Ф0С') волновая функция атомно-фотонного кластера, а |Ф^) - волновая функция состояния электромагнитного поля, причем
«|bvb+ |<г= J(v - V'),
« |b+bv' Ф г = «|bv bv Ф г = (*о|b+b+ ф г =0. 4
Это отвечает вакуумному широкополосному электромагнитному полю без фото-
Нижеследующие предположения соответствуют марковскому приближению [10.
И]:
со со
Ь(т) = —= f dve-i(v—1)tbv, Ь+(т) = —= f dvei(v—1)tb+,
— о —о
X(v) = const = x(1) = X, П± (v, v') = const = n±(1,1) = n±, dT = xX+dB(T) + xX—dB+(T), #S;dT = (n+r + n—(Xo - (X - r)/2))dA(T),
dB(T) = B(t + dT) - B(t), dB+(T) = B+ (т + dT) - B+(t),
(5)
dA(T) = Л(т + dT) - Л(т),
T T T
B(t ) = | dT' Ь(т'), B+(t )^У dT' Ь+(т'), Л(т ) = J dT' Ь+(т ')Ь(т'), (6)
о о о
причем
[b(T),b+(T)] = J(t - t'), [B(ti),B+ (T2)] = min(Ti,T2).
Интегралы в (3) следует понимать в смысле Ито [10, 11]. Дифференциалы (5) представляют собой, по сути, инкременты Ито квантовых впнеровского и пуассо-новского процессов (точнее, они определяют квантовые вннеровскнй н пуассонов-скпй процессы по формулам [9]). Инкременты dB(T) и dЛ(т) подчиняются алгебре
Хадсона Партасарати [12]:
йЛ(т )йЛ(т) = йЛ(т), йЛ(т )йВ+ (т) = йВ+(т),
йВ(т )йЛ(т) = йВ(т), йВ(т )йВ+ (т) = йт, (7)
а остальные произведения инкрементов Ито (5) стохастических процессов между собой и с дифференциалом безразмерного времени йт равны нулю.
Чтобы получить квантовое стохастическое дифференциальное уравнение (в смысле Ито) для оператора эволюции вместо уравнения (2). которое в условиях марковского приближения является неопределенным, следует рассмотреть инкремент йи (т), определяемый как йи (т) = и (т + йт) — и (т). С учетом представления (3) через Т -экспоненту имеем
Разложение экспоненты в ряд с использование алгебры Хадсона Партасарати (7) позволяет получить квантовое стохастическое дифференциальное уравнение для оператора эволюции системы, состоящей из атомно-фотонного кластера и внешнего квантованного электромагнитного поля, в следующем виде:
йи (т) = Аойти (т) + А+йВ(т )и (т) + А_йВ+(т )и (т) + АдйЛ(т )и (т), (8)
Уравнение для матрицы плотности рассматриваемой системы из атомно-фотонного кластера и внешнего широкополосного электромагнитного поля р(т) = = и(т)|Фо) (Фо|и +(т) получается вычислением инкремента йр(т) = р(т+йт)— р(т). Использование (8) и алгебры Хадсона Партасарати (7) дает
йр(т) = Аойтр(т) + А+ йВ(т )р(т) + А_йВ+(т )р(т) + АдйЛ(т )р(т)+
+ р(т )А+йт + р(т )йВ+ (т )А+ + р(т )йВ(т )А- + р(т )йЛ(т )А+ +
+ А+йВ(т )р(т )йВ+ (т )А+ + А+йВ(т )р(т )йВ(т )А- + А+йВ(т )р(т )йЛ(т )А+ +
+ АдйЛ(т )р(т )йВ+ (т )А+ + АдйЛ(т )р(т )йВ(т )А- + АдйЛ(т )р(т )йЛ(т )А+.
йи (т) = {ехр[-і(хХ+йВ(т) + хХ-йВ+(т)+
+ (п+г + П-(Хо - (X - г)/2))йЛ(т))] - 1}и(т).
где введены операторные функции
А- =------^------Xх-, А+ = Хх+
Х0
операторного аргумента
Х,?‘ = П+г + П- (Хо - (X - г)/2).
3. Кинетическое уравнение для матрицы плотности атомно-фотонного кластера
+ А-йВ+ (т )р(т )йВ+ (т )А+ + А-йВ+ (т )р(т )йВ(т )А- + А-йВ+(т )р(т )йЛ(т )А+ +
Отсюда матрица плотности атомно-фотонного кластера получается взятием шпура по полевым переменным рС1(т) = Тг_рр(т):
= Х2«№Ь(П+,П-,хо54)х-Р С 1(т )х+«^Ь(П+,П-,хо54) —
— Х! |Х+{а"Ь(п+,п-,Хо54) — *аКЬ(п+,П- ,Х054)}Х-рс 1 +
+ рс гХ+{а^Ь(п+,п-,Хо54) + ш^(п+,П-,Х«)}Х_}. (9)
При выводе (9) учтено соотношение
Тг_р (р(т )йВ(т)) = Тг_р (р(т )йВ+ (т)) = Тгр (р(т )йЛ(т)) н введены неланжевеновскне операторы
„КЬ/ „ _ 01 — СОв(х0?4) ^Ь/ „ _ ох0 — »ш(х0
'(п П х21 - С°8(Х0”) а№Ь(п п х^=2Хо’* - 81П(Х0
(п+,п-,Х0 ) 2 (Х^()2 , (п+,п-,Хо ) 2 (Х^с)2
аКЬ(п _ х яе) — 1 .
а± (п+,п-,х0 ) х «4 ± X 5'* :
Х0 Х0
удовлетворяющие тождеству а^Ь(п+, П-; Х0?4)а^Ь(п+ ,П-,Х0’4) = аКЬ(п+, П-; X54).
Уравнение (9) описывает динамику атомно-фотонного кластера во внешнем (вакуумном) широкополосном электромагнитном поле с нулевой плотностью фотонов. Из-за наличия в нем иеланжевеиовских операторов, отражающих учет штарковского взаимодействия атомно-фотонного кластера с внешним вакуумным полем, это уравнение назовем неланжевеновским кинетическим уравнением, поскольку штарковское взаимодействие представляется «иелаижевеиовским» квантовым пуассоновским процессом.
Уравнение (9) можно также записать в форме Линдблада
= х2Ь-Рс‘ (т )Ь+ — Х22 (Ь+Ь-рс1(т) + рс‘(т )Ь+ Ь-) — ,[НКЬ-5Т ,рс‘(т)]
при помощи операторов
Ь- = а- ь(п+,П-,Хой‘)Х-, Ь+ = Х+а^ь(п+,П-,Хой‘),
Ь+Ь- = Х+а^Ь(п+ ,п-,Хо54)Х+, Н^-5Т = -X-2Х+а^(п+, П-, Хо^)Х+.
В случае однократно возбужденного атомно-фотонного кластера Х = N =1 с большим числом атомов г ^ 1 имеем следующее представление для полиномиальной алгебры [3]:
Х± = а/2гИ±, Хо = Из + г/2, Х^4 = (п+ + П-)г + П-Из ~ (п+ + П-)г.
Здесь операторы И± и И,3 реализуют двумерное представление вм(2)-алгебры.
Из приведенных уравнений нетрудно получить, что возбужденное состояние Рее (т) однократно возбужденного атомно-фотонного кластера распадается экспоненциально
Рее (т = ехР(-Х22г7№Ьт)
с неланжевеновским фактором = 2(1 - с°в((п+ г + п-г)/(п+ г + п-г)2- Этот
нелаижевеновский фактор равен единице при пренебрежении штарковским взаимодействием. Если число атомов атомно-фотонного кластера удовлетворяет условию (п+ +п-)г = 2пп, п = 1, 2,..., то нелаижевеновский фактор обращается в нуль
и спонтанный распад атомно-фотонного кластера оказывается подавленным штар-ковским взаимодействием кластера с вакуумным электромагнитным полем. Полученный результат ие зависит от учета или иеучета штарковского взаимодействия между атомной и фотонной подсистемами атомно-фотонного кластера. Таким образом. однократно возбужденный атомно-фотонный кластер с большим числом атомов дает важный пример элементарного двухуровневого искусственного излучателя с нелаижевеновским типом спонтанного распада [7. 8].
Автор выражает благодарность профессору В.В. Самарцеву за приглашение прочитать лекцию на XIV Международной молодежной научной школе «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», часть содержания которой легла в основу настоящей статьи.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 13-02-00199-а).
Summary
A.M. Basharov. The Lindblad Equation of a Spontaneously Radiating At.om-Pliot.on Cluster for the Non-Langevin Case.
Tlie non-Langevin master equation was obtained for the density matrix of an at.om-phot.on duster spontaneously emitted in a vacuum broadband pliot.on-free electromagnetic field. The Stark interaction between the at.om-phot.oii cluster and the vacuum field was taken into account.
Keywords: polynomial algebra, Markovian approximation, quantum stochastic differential equation, Poisson process, Hudson Part.hasarat.hy algebra.
Литература
1. Башаров A.M. Уравнение Липдблада в образующих полипомиальпой алгебры для
описания излучения атомпо-фотошюго кластера // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2009. Т. 151, кп. 1. С. 33 42.
2. Башаров А.М. Эффективный гамильтониан атомпо-фотошюго кластера в резонансном когерентном поле // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2010.
Т. 152, кп. 3. С. 43 52.
3. Башаров А.М. Атомпо-фотоппый кластер как элементарный излучатель // Жури,
эксперим. и теорет. физики. 2010. Т. 137, Вып. 6. С. 1090 1106.
4. Башаров А.М. Атомпо-фотоппый кластер, локализованный в микрорезопаторе //
Изв. РАН. Сер. физ. 2011. Т. 75, Л» 2. С. 176 179.
5. Карасев В.П. Полиномиальные деформации алгебры Ли sl('2) в задачах квантовой оптики // Теорет. и матем. физика. 1993. Т. 95, Л'! 1. С. 3 19.
6. Karassiov V.P. G-invariant. polynomial extensions of Lie algebras in quantum many-body physics // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27, No 1. P. 153 165.
7. Башаров A.M. Невиперовский тип спонтанного излучения // Жури, эксперим. и
теорет. физики. 2011. Т. 140, Вып. 3. С. 431 449.
8. Basharov A.M. Spontaneous emission of a quantum particle under strong Stark interaction with resonant, vacuum field // Phys. Lett. A. 2011. V. 375, No 3. P. 784 787.
9. Белавкин В.П. О генераторах квантовых стохастических эволюционных уравнений // Теорет. и матем. физика. 1997. Т. 110, Л'! 1. С. 46 60.
10. Maimistov A.I., Basharov A.M. Nonlinear optical waves. Dordrecht: Kluwer Acad., 1999. XIII-650 p.
11. Gardiner С. W., Zoller P. Quantum noise. Berlin: Springer-Verlag, 2000. XXI— 453 p.
12. Hudson R.L., Parthasarathy K.R. Quantum Ito’s formula and stochastic evolutions // Comm. Math. Phys. 1984. V. 93, No 3. P. 301 323.
Поступила в редакцию 16.01.13
Башаров Асхат Масхудович кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник, Научно-исследовательский центр «Курчатовский институт», г. Москва, Россия.
E-mail: basharovQgmail.cum
