CC BY
68
УДК 517.958:531.34 ББК 22.1 Б 38
С.Ю. Беданокова
Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера
(Рецензирована)
Аннотация:
В работе предложены и исследованы математические модели водного режима в поч-вогрунтах с фрактальной структурой. В основе моделей лежат дифференциальные уравнения дробного порядка.
Ключевые слова:
Фрактальная структура, уравнение диффузии, оператор дробного дифференцирования, локальные краевые условия, нелокальные краевые условия, градиент влажности, влагосо-держание.
Хорошо известно, что одной из важнейших характеристик почв, оказывающих влияние практически на все почвенные свойства, является их влажность. При изучении структурных свойств почв методом малоуглового рассеянья нейтронов была установлена их фрактальная организация [1], [2], обнаружено влияние влажности на фрактальные свойства почвенных коллоидов. Зависимость фрактальной размерности почвы от влажности существенно может повлиять на процесс нестационарного движения влаги в этой капиллярно-пористой среде. Обычно движение влаги в почве моделируется нелинейным уравнением диффузии, основанным на законе Дарси. Оно имеет следующий вид [3]
дw д
д! дх
Здесь w = w(х, t) - влажность в долях единицы, х - глубина, t - время, Б = Б^) - коэффициент диффузитивности.
Коэффициент диффузитивности связан с давлением р = р(м) почвенной влаги, с плотностью р и ускоренной силы тяжести формулой
Б( *') = к £ ■
р^ дw
где к = к^) - коэффициент влагопроводно-сти.
Б(у)— дх
Уравнение движения влаги в почвах с фрактальной структурой можно получить, если модифицировать известную схему М. Аллера [4], приводящую к уравнению
дw д
дt дх
„. ч дw . д^
БЫ)— + А--------
дх дtдx
с варьируемым коэффициентом А .
Действительно, пусть разность уе - у эффективного потенциала уе и капиллярного потенциала влажности у пропорциональна «фрактальной скорости изменения влажности» да^(х, т), где д^ - оператор дробного (в
смысле М. Сари1ю) дифференцирования по t порядка а е]0,1[ с началом в начальный момент времени t = 0 [5]. Таким образом
(1)
Уе -У = ^доМх^
да ,х \(t -т)-а дw(x, т)
доМ хт)=0т(Т-ау
дт
дт.
где д ) коэффициент пропорциональности, зависящий только от времени t, Г(г) -гамма функция Эйлера и предполагается, что роль уравнения течения однокомпонентной сжимаемой жидкости играет уравнение
д ( Л даtw(х т) = д- к
дх {
дУ е
дх
(2)
Из (1) и (2) получаем модифицированное уравнение движения влаги
ЭоХх, х) = дх [В(м;>х([О + кцдо^х(хТ)] (3)
Здесь
В( м>) = к ^ ^, кц = М*(Н
= —
дх
Уравнение (3) в какой то степени отражает, в первую очередь через параметр а, фрактальные свойства почвенных коллоидов.
Для почв типа Гарднера [6], [7] коэффициент диффузитивности
Б( w) = в ехр^), (4)
где в и 7 - параметры, характеризующие почву.
В силу (4) можно предположить, что в слое 0 < х < г с небольшой влагоемкостью между Б^) и w существует линейная зависимость и записать приближенное равенство
Б^) = в(1 + ^). (5)
В случае (5) уравнение (3) допускает следующую запись:
в д2(1 + YW)2 + д
доМх Т) =
Пусть
2у дх
дх
хд0>х (x, Т)(
(6)
. (8)
і
д“г |^(х, і)ёх = 8(а)(і),
0
™х (г, * ) = Фг (і К
™х (г, *) - ™х (0, *) = /(і),
™х(0, *)=т).
(9)
(10)
(11)
(12)
Предположим, что известно влагосодержа-ние 8(t) в начальный момент времени
8(0) = 8о (13)
и нелокальное краевое условие (11) с правой частью /1^)е С1[0,Г]. Тогда уравнение (8)
можно записать в виде
ча
да ад - о(і )8(*)=/ (і ), о < * < т, (14)
8(і) = Іw(х, і)dx, 0 < і < Т
0
- влагосодержание несущего слоя [0, г] в момент времени і от начального 0 до расчетного Т; кц не зависит от х, тогда уравнение (6)
можно приближенно заменить уравнением следующего вида
д 2
д х т) = Р(1 + У8) —^ + кцд о>хх(x, т) . (7)
дх
Из уравнения (7) после интегрирования обеих его частей по х от 0 до г будем иметь
д 0і 8(т) = № + У8(і )][wx(г, *) - ^(0, *)] +
+ кцд ^ [wx(г, т) - ^(0, т)]
Уравнение (8) для уравнения (3) порождает следующие локальные и нелокальные краевые условия:
где
с(і) = Ру/1 (і ), / (і ) = Р/1 (і ) + кцд 1/1 (т).
С учетом начального условия (13) для нахождения 8(і) получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
8(і) - с(т)8(і) = 80 + Б-?/(т) . (15)
Здесь и в дальнейшем БХ - оператор Ри-мана-Лиувилля [5].
Уравнение (15) имеет и притом единственное решение 8(і) . Метод итерации или метод последовательных приближений позволяет найти это решение с любой наперед заданной точностью.
Рассмотрим модифицированное уравнение движения влаги (3) с постоянным коэффициентом диффузитивности Д когда влажность меняется в небольшом диапазоне, и постоянным коэффициентом Аллера кц
д^ д2w(х, т)
д оГ w( x, Т) = В-
2 + кЦд 0Г
2
дх2 ^ дх2
с начальным условием
w(х,0) = ф(х), 0 < х < г
и граничными условиями второго рода дw
(16)
дх
дw
дх
х=0
: /1 (і), 0 <і< Т,
0, 0 < і < Т,
(17)
(18)
где Ж0 є С[0, г] /1( о є г].
Условие (17) задает правило изменения потока влаги на поверхности х = 0 почвы. Условие (18) физически означает отсутствие потока влаги через границу х = г .
Пусть влажность w( х, і) удовлетворяет условиям (17) и (18). Тогда из равенства (16) после почленного интегрирования по х от 0 до г получаем
д “ад = -в/1( і) - кцд а /1(т). (19)
х=г
Из (19) нетрудно показать, что 8(*) = 80 - ВД-ЛШ - кц [ (і ) - /,(0)]. (20)
где 80 - начальное состояние (13) переменной 8.
Рассмотрим важный вариант модели (13), (19), когда градиент влажности дх при х = 0 меняется по следующему закону:
j=0
Z Ajt£j
j=0
Dr(1+£j)
Г(1 + a + ej)
В формуле (22) положим, что Aj = Xj/Г (1 + ej), X = const, j Тогда она примет вид
Ц
0,1,
8(t) = 80 - Dta I
(Xtє)j
=0 r(1 + a + ej)
kц I
є ) j
(Xtb)
=1r(1 + ej)
Пусть
Е/p[ z; Г0] = Z
n zk
5(t) = 80 - DtaE” E[Xtє;1 + a] --Х*ц t EE/-1[XiE ;1 + є]
/,(<) = EV e[X(e ;1],
тогда расчет влагосодержания слоя или фильтрационной почвенной колонки длины г можно произвести следующим образом:
8(t) = 80 - Dt aE^ £[Xtє ;1 + a] -
Xkц t гЕу E[Xtє ;1 + e]
(28)
При є = a формула (28) записывается в
виде
(21)
где А^ для любого ] = 0,1,... представляют постоянные величины, независящие от времени, е - неотрицательное число, которое характеризует фрактальную размерность поверхности почвенного слоя.
Подставляя /1(1) из (21) в формулу (20) и, учитывая равенство /1 (0) = А) будем иметь расчетную формулу 8(/) = 80 + кц А0 -
8(t) = 80 -(D + XkJ)E1a [Xta ;1 + a]. (29)
Пер
aL
репишем уравнение (16) в виде
d0t
w( X, т) - k.
d 2w( x, т)
Ц
dx
2
D
d 2w
dx
2
(30)
(22)
(23)
и предположим, что задано граничное условие (11), которое означает закон изменения во времени от начального і = 0 до расчетного і = Т разность градиента влажности на границах х = 0, х = г почвенного слоя 0 < х < г .
В уравнении (30) заменим выражение, стоящее в квадратных скобках на его среднее значение, тогда уравнение приближенно заменится нагруженным уравнением вида
л2
3a, 8(т) = D dw-Э0% /і(т), dx
(24)
(31)
0 < x < r, 0 < t < T Любое решение w = w(x, t) уравнения (31) представимо в виде
rDw( x, t) = Q (t) x + C2 (t) +
1 2 + — x 2 2
Эо, 8(т) + доЛц Жт)
(32)
где
(25)
к=0 Г(г0 + кР)
- полином Миттаг-Леффлера по терминологии А. М. Нахушева [5]
е1/р[ г г0] = Е1 р[ г0].
Тогда формулу (24) можно переписать в виде
C1 (t) = rDwx (0, t), C2 (t) = rDw(0, t). (33) Пусть соблюдены граничные условия w(0, t) = f0(t),
dw dx
\ dw
= f1(t), T"
dx
= 0, 0 < t < T .
(26)
x=0
Тогда из (32) и (33)
w( xt) = f1(t) x + f0(t) + x2
+ -
2rD
Э& 8(т) + a&k/T)
(34)
Если в (21) положить п = / и коэффициенты ряда определить по формуле (23), то
(27)
Из (34) следует дифференциальное уравнение дробного порядка
2 2 г
г г
8(0 = МУ+т—+— д0аг8(т)+д0%/1(т)
2 60
которое эквивалентно уравнению
n
где
д O ад - Щ- S(t ) = - foi(, ),
6D
(35)
Fоl(t) = д “кц/Кт) + 30/l(t) +—/о(t). (36)
г г
Единственное решение 8(t) задачи Коши (13) для этого уравнения определяется формулой [5]
а
6 D
(t -т)
а
где
—Т, (37)
(38)
^01^) = 80 - Б0г ^01(т).
Справедлива следующая Теорема. Единственное решение w(х, t) начально-краевой задачи
Г
|w(х,0)ёх = 80 ,
dw
дх
х=0
w(0, t ) = f0(t ) dw дх
fl(t ),
для уравнения (31) задается формулой
2
х
w( xt ) = f0 (t )+f1(t ) х+^ггд °iM1(Т)+
2rD
зх2 — t
+—FoO(t)E а
r3 dt n
6D
(t -Т)
а
—Т-^ x2,
2rD
где функции F01(t) и F0a(t) однозначно вычисляются по алгоритмам (36) и (38).
Примечания:
1. Федотов ГЛ., Третъяков Ю.Д, Иванов В.К, Кук-лин АЛ., Пахомов ЕЛ., Исламов АХ., Початко-
..
почвах различной зональности // ДАН. - 2005. Т. 405. № 3. С. 351-354.
2. . ., . ., . ., -. ., . ., . .,
..
почвенных коллоидов // ДАН. - 2006. Т. 409. № 2. С. 199-201.
3. . ., . . -
мен в системе растение-почва-воздух. - Л.: Гид-рометиздат, 1975. 358 с.
4. Hallaire М. Leon et productios vegetabl. Institut National de la Reche Agronomique. - № 9. 1964.
5. . . -
нение. - М.: Физматлит, 2003. 272 с.
6. - . ., . ., Эмих В Л. Математические методы в вопросах орошения. - М.: Наука, 1969.
7. . . -
ции уравнений движения грунтовых вод и почвенной влаги / Межвуз. сб. «Краевые задачи для уравнений смешанного типа и родственные проблемы функционального анализа и прикладной математики». Вып 2. - Нальчик: КБГУ, 1979. 198 с.
r
2
r
0
0
x=r
2
r
